第2章 第9讲 函数的对称性及其应用(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

课时分层测评10　函数的对称性及其应用

(时间：60分钟　满分：85分)

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(每小题5分，共50分)

1.已知函数f(x)＝，则函数f(x)图象的对称中心的坐标为(　　)

A.(－1，－3) B.(－1，3)

C.(－1，－2) D.(－1，2)

答案：C

解析：f(－1＋x)＋f(－1－x)＝＋＝＋＝－4，所以函数f(x)的图象关于点(－1，－2)对称.故选C.

2.(一题多解)已知函数f(x)＝2｜2x－a｜的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　)

A.2 B.4

C.－2 D.－4

答案：B

解析：法一：函数f(x)＝2｜2x－a｜的图象关于直线x＝2对称，可得f(2＋x)＝f(2－x)，即为＝，即有｜2x＋4－a｜＝｜4－2x－a｜(*)恒成立，可得4＋2x－a＝4－2x－a或4＋2x－a＋4－2x－a＝0，解得x＝0或a＝4，检验可得a＝4时(*)式恒成立.故选B.

法二：因为函数y＝的对称轴为x＝.根据题意，有＝2，解得a＝4.故选B.

3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，0)对称，则b等于(　　)

A.1 B.－1

C.3 D.－3

答案：A

解析：因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)＋f(2－x)＝0.又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，所以f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，所以解得a＝－3，b＝1.故选A.

4.函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于(　　)

A.点(－2，0)对称 B.点(2，0)对称

C.直线x＝－2对称 D.直线x＝2对称

答案：B

解析：因为f(x)＝ex－2－e2－x，所以f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x，f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称.故选B.

5.已知函数f (x)的定义域为R，则下列说法不正确的是(　　)

A.若f (x＋2)＝－f (－x)，则函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称

B.函数y＝－f (2－x)与函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称

C.函数y＝f (－1＋x)－f (1－x)的图象关于(1，0)对称

D.函数y＝f (1＋x)－f (1－x)的图象关于(1，0)对称

答案：D

解析：若f (x＋2)＝－f (－x)，即f (x＋2)＋f(－x)＝0，则函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称，故A正确；若点(x，y)在y＝f (x)上，则点(2－x，－y)在y＝－f (2－x)的图象上，且点(x，y)与点(2－x，－y)关于点(1，0)对称，则函数y＝－f (2－x)与函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称，故B正确；设g(x)＝f (－1＋x)－f (1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f (1－x)－f (x－1)＋f (－1＋x)－f (1－x)＝0，故函数y＝f (－1＋x)－f (1－x)的图象关于(1，0)对称，故C正确；令g(x)＝f (1＋x)－f (1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f (3－x)－f (x－1)＋f (1＋

x)－f (1－x)不恒为0，故函数y＝f (1＋x)－f (1－x)的图象不关于(1，0)对称，故D错误.故选D.

6.(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)＝f(－x)

B.f(2＋x)＋f(2－x)＝0

C.f(3)＝f(5)

D.f(x＋2)＝f(x－2)

答案：ABC

解析：因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于点(2，0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，则f(3)＝－f(1)，令x＝3，则f(5)＝－f(－1)＝－f(1)，则f(3)＝f(5)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误.故选ABC.

7.(多选)已知函数f(x)的图象的对称轴为x＝3，则函数f(x)的解析式可以是(　　)

A.f(x)＝x＋ B.f(x)＝ex－3＋e3－x

C.f(x)＝x4－18x2 D.f(x)＝

答案：BD

解析：若函数f(x)的图象的对称轴为x＝3，则f(6－x)＝f(x)总成立.对于A，f(6－x)＝6－x＋≠x＋＝f(x)，故A错误；对于B，f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x)，故B正确；对于C，f(0)＝0，f(6)＝64－18×62＝648≠f(0)，所以f(6－x)＝f(x)不恒成立，故C错误；对于D，易求f(x)的图象关于直线x＝3对称，故D正确.故选BD.

8.设函数y＝f的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f＋f(9)＝1，则实数m＝　　　　.