第2章 第8讲 函数的奇偶性、周期性(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

课时分层测评9　函数的奇偶性、周期性

(时间：60分钟　满分：85分)

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(1—8题，每小题5分，共40分)

1.已知函数f(x)＝x3－，则f(x)(　　)

A.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增

B.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增

C.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减

D.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减

答案：B

解析：f(x)的定义域是{x｜x≠0}，f(－x)＝－(x3－)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，当x＞0时，y＝x3单调递增，y＝－单调递增.故函数f(x)＝x3－在x＞0时单调递增.故选B.

2.已知函数f(x)满足对于任意的实数x，都有f(x＋3)＝，且f(3)＝，则f(2 025)＝(　　)

A.－ B.

C.－1 D.1

答案：B

解析：由f(x＋3)＝得f(x)的周期T＝6，f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝.故选B.

3.已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝x3－2 026sin x＋b＋2，则f(a)＋f(b)＝(　　)

A.0 B.1

C.2 D.不能确定

答案：A

解析：由题意得a－4＋2a－2＝0，解得a＝2，由f(0)＝b＋2＝0，得b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝0.故选A.

4.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)

A.f(π)＞f(－3)＞f(－2)

B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)

C.f(π)＜f(－3)＜f(－2)

D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)

答案：A

解析：因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2).故选A.

5.(多选)已知f(x)＝cos 2 027x·g(x)为定义在R上的奇函数，则函数g的解析式可以为(　　)

A.g(x)＝lg

B.g(x)＝3x－3－x

C.g(x)＝＋

D.g(x)＝ln

答案：BD

解析：因为f(x)＝cos 2 027x·g(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是定义在R上的奇函数.对于A，定义域是(－1，1)，所以不满足题意；对于B，定义域是R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，符合题意；对于C，定义域是R，g(－x)＝＋＝＋＝－≠－g(x)，不符合题意；对于D，定义域为R，g(－x)＝ln，而g(－x)＋g(x)＝ln＋ln＝0，符合题意.故选BD.

6.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　)

A.函数f(x)的一个周期为4

B.f(2 026)＝1

C.当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x)

D.函数f(x)在[0，2 027]内有1 013个零点

答案：AC

解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，故A正确；f(2 026)＝f(4×506＋2)＝f(2)＝－f(0)＝－1，故B错误；当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 025)＝f(2 027)＝0，于是函数f(x)在[0，2 027]内有1 014个零点，故D错误.故选AC.

7.(多题同解)(1)若f(x)＝(＋1)x2 027为偶函数，则a＝　　　　.

(2)(一题多解)若函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，则a＝　　　　.

答案：(1)1　(2)

解析：(1)函数f(x)＝(＋1)x2 027的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，若f(x)为偶函数，则g(x)＝＋1是奇函数，所以g(x)＋g(－x)＝0，即(＋1)＋(＋1)＝－＋2＝0，所以a＋1＝2，解得a＝1.

(2)法一：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以＝－，即＝，所以＝＝，即x－ax＝ax，解得a＝.

法二：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即＝－，整理解得a＝.经验证，当a＝时，f(x)是奇函数.