9.2.4 总体离散程度的估计课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“总体离散程度的估计”，系统讲解方差、标准差、极差的概念及计算，结合分层随机抽样的方差估计，通过课前基础认知衔接集中趋势估计，构建从数据集中到离散的完整统计分析学习支架。 其亮点在于设计微思考、微拓展深化概念理解，通过甲、乙机床加工零件质量比较等典例，落实数学抽象、数据分析、数学运算素养。采用“典例剖析-规律总结-学以致用”教学方法，系统梳理方差意义及分层抽样方差步骤，助力学生提升数据分析能力，为教师提供结构化教学资源。

9.2.4　总体离散程度的估计 目 标 素 养 1.理解离散程度参数的统计含义,提升数学抽象素养. 2.结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差),提升数据分析和数学运算素养. 3.结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差,提升数学运算素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.极差 (1)定义:一组数据中最大值与最小值的　差　.  (2)特征:极差是一种简单的度量数据　离散程度　的方法,极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及,所以极差所含的　信息量　很少.  (4)总体方差、总体标准差 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为 ,则 称总体方差为S2= .  如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2= .  总体标准差S= . 微思考1 (1)对一组数据进行统计分析,应该从哪几个方面进行? 提示：用平均数反映数据的平均水平,用众数反映数据的最大集中点,用中位数反映数据的集中趋势和一般水平,用标准差或方差反映数据的离散程度. (2)如何对比两组数据? 提示：从众数、中位数、平均数和方差等几个方面进行对比. 微拓展 关于方差的重要结论 (1)数据x1,x2,…,xn与数据x1+a,x2+a,…,xn+a的方差相等. (2)若x1,x2,…,xn的方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2. 3.标准差的意义 标准差刻画了数据的　离散程度　或　波动幅度　,标准差越大,数据的离散程度越　大　;标准差越小,数据的离散程度越　小　.  4.分层随机抽样的方差 课堂·重难突破 一 方差和标准差的计算 典例剖析 1.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质量,各从中抽取6件进行测量,数据(单位:cm)如下: 甲:99,100,98,100,100,103; 乙:99,100,102,99,100,100. (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据(1)中计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 规律总结 标准差、方差的意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,标准差的大小不会超过极差. (2)标准差、方差的取值范围:[0,+∞). 当标准差、方差为0时,样本各数据全相等. 学以致用 答案:B 二 分层随机抽样的方差 典例剖析 2.甲、乙两支田径队体检结果为:甲队队员的体重的平均数为60 kg,方差为200,乙队队员的体重的平均数为70 kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4,试求甲、乙两队全部队员的平均体重和方差. 规律总结 计算分层随机抽样的方差s2的步骤 学以致用 2.在一个文艺比赛中,8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组,给参赛选手打分.在给某选手的打分中,专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7,观众代表打分的平均数和标准差分别为56.2和11.8,试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差(精确到0.01). 三 数字特征的综合应用 典例剖析 3.在一次科技知识竞赛中,某学校的两组学生的成绩如下表: 　 请根据你所学过的统计知识,判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由. 解:(1)甲组成绩的众数为90,乙组成绩的众数为70,从成绩的众数比较看,甲组成绩好些. (3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中,甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人,乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人.从这一角度看,甲组的成绩较好. (4)从成绩统计表看,甲组成绩大于或等于90分的有20人,乙组成绩大于或等于90分的有24人,所以乙组成绩集中在高分段的人数多.同时,乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人.从这一角度看,乙组的成绩较好. 规律总结 数据分析的要点 (1)要正确处理此类问题,首先要抓住问题中的关键词语,全方位地进行必要的计算、分析,而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好,应从实际角度进行分析,如本例的“满分人数”;其次要在恰当评估后,组织清晰、简洁的语言给出结论. (2)在进行数据分析时,不同的标准没有对和错的问题,也不存在唯一解的问题,而是根据提出的标准选择最优决策. 学以致用 3.某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛,对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛,他们的成绩(单位:m)如下: 甲:1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67; 乙:1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75. 经预测,跳高成绩达到1.65 m就很可能获得冠军.该校为了获取冠军,可能选哪位运动员参赛?若预测跳高成绩达到1.70 m方可获得冠军,则选哪位运动员参赛? 解:甲的平均成绩和方差如下: 显然,甲的平均成绩高于乙的平均成绩,而且甲的方差小于乙的方差,说明甲的成绩比乙稳定.由于甲的平均成绩高于乙,且成绩稳定,所以若跳高成绩达到1.65 m就很可能获得冠军,应派甲参赛. 在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上,虽然乙的平均成绩不如甲,成绩的稳定性也不如甲,但成绩突破1.70 m的可能性大于甲,所以若跳高成绩达到1.70 m方可获得冠军,应派乙参赛. 随堂训练 1.若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…, 2x10-1的标准差为(　　) A.8 B.15 C.16 D.32 答案:C 解析:已知样本数据x1,x2,…,x10的标准差为s=8,则s2=64,数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差为22s2=22×64,所以其标准差为 2.在某次模拟考试中,甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表: 班级 人数 平均分数 方差 甲 40 70 5 乙 60 80 8 则两个班所有学生的数学成绩的方差为(　　) A.6.5 B.13 C.30.8 D.31.8 答案:C 3.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下: 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4, 则:(1)平均命中环数为　　　　　;  (2)命中环数的标准差为　　　　　.  答案:(1)7　(2)2 4.某校医务室随机抽查了高一10名学生的体重(单位:kg),记录如下: 74,71,72,68,76,73,67,70,65,74. (1)求这10名学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差; (2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差. (2)由样本估计总体,估计高一所有学生体重数据的平均数为71,中位数为71.5,方差为11,标准差为 . $