精品解析：吉林省长春市第七十二中学2025-2026学年下学期5月中考模拟九年级数学

2025—2026学年下学期九年级大练习数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 计算的结果为（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法，掌握“同号得正、异号得负”的规律是解答本题的关键． 2. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 实数在数轴上对应点的位置如图，若实数满足，则的值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法法则的应用，利用数轴判断数的大小是解题关键． 根据有理数加法法则判断出为负数，且绝对值大于，即可判断答案． 【详解】解：，且， ，且， ∴b的值可以是，D选项同符合题意，A、B、C不符合题意， 故选：D． 4. 已知，在正比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两点横坐标代入解析式得到和，比较大小即可． 【详解】解：∵，在正比例函数的图象上， ∴将代入函数解析式可得，将代入函数解析式可得， ∵， ∴． 5. 如图，直线，直线分别交，于点，，的平分线交点，若，则的大小是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据角平分线计算出，再根据两直线平行内错角相等得出的大小即可． 【详解】解：，平分， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了角平分线的相关计算和平行线的性质，掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键． 6. 如图，点，，在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 7. 2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得的水平距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，千米， ∴（千米）， ∴此时火箭距海平面的高度为千米， 故选：B． 8. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与平行四边形的综合运用，灵活运用平行四边形的性质以及反比例函数的定义是解题的关键．根据平行四边形的对边平行且相等、面积公式求出点的坐标，再根据反比例函数的定义，将点的坐标代入，进而求出实数的值． 【详解】解：如图，过点作轴， 点， ,即， ， ， ， ， ， 将点代入函数得，， 解得：． 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算的结果是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：3 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案． 【详解】根据正n边形的中心角的度数为， 则， 故这个正多边形的边数为18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 12. 如图，在中，，，，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系． 13. 如图，折扇骨柄长为，小鸣完全张开折扇时的度数为，此时弧的长是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵折扇骨柄长为，小鸣完全张开折扇时的度数为， ∴弧的长是． 14. 如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，给出下面四个结论：；；平分；．上述结论中，正确结论的序号有___． 【答案】 【解析】 【分析】通过证明，可得，故错误；由，故正确；由正方形的性质可得垂直平分，，可得，由角的数量关系可求，即平分，故正确；通过证明，可得，故正确，即可求解． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ，， ， ，故错误； ，故正确； ， ， ， ， ， 四边形是正方形， 垂直平分，， ， ， ， 平分，故正确； ，， ， ， ， ， ，故正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形的知识，角平分线的定义，平行线的性质，垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，先根据完全平方公式和去括号法则化简，然后合并同类项，最后把x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动． （1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______； （2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图；能理解“放回与不放回的区别”是解题的关键． （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，再利用概率公式进行计算即可； 【小问1详解】 解：由题意得从这些景区随机选择1个景区，选中东关街的有1种可能， ∴选中东关街的概率是， 故案䅁为：； 【小问2详解】 列表如下： 小亮 小明 C D E C D E 共有9种等可能结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种， ∴小明和小亮选到相同景区的概率：； 答：小明和小亮选到相同景区的概率． 17. 为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？ 【答案】B型机器每天处理60吨垃圾 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解． 答：B型机器每天处理60吨垃圾． 18. 如图，在平行四边形中，连接对角线． （1）按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）根据平行四边形的性质得到，进而得到，根据垂直平分线的性质得到，，，证明，得到，进而可证四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵的垂直平分线为直线， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，画等腰三角形，使其面积为3． （2）在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为5． （3）在图③中，画平行四边形，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点C，连接，得到即为所求，再利用三角形的面积计算方法求得到符合题意的图形，即可； （2）取格点D，连接，得到即为所求，再根据勾股定理逆定理，即可证明； （3）取格点E，F，连接，即可得到平行四边形，由勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质和平行四边形的判定和性质即可证明． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 理由：由图可知， ∴，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 理由：由图可知， ∴，且， ∴为等腰直角三角形，； 【小问3详解】 解：如图，平行四边形ABEF即为所求； 理由：连接， 由图可知， ∴四边形ABEF是平行四边形，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了作图—应用与设计，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．利用数形结合的思想是解题关键． 20. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50；30，6 （2）见解析 （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ，则， ，则， 故答案为：50；30，6； 【小问2详解】 解：∵， ∴补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 21. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，7分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完，在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）进水管每分钟进水__________升； （2）当时，求y与x的关系式； （3）当容器中水全部排完时，整个注水、排水过程共用了多少分钟？ 【答案】（1）8 （2） （3）整个注水、排水过程共用了分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关键． （1）观察图象得：3分钟进水管注水24升，即可求解； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）先求出出水管排水的速度，再求出排完20升水所用的时间，即可求解． 【小问1详解】 解：进水管注水的速度为升/分钟； 故答案为：8； 【小问2详解】 解：当时，设与之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：根据题意得：（升/分钟）， ∴整个注水、排水过程共用了分钟． 22. 在中，，点是的中点，点在边上，过点作的垂线，交直线于点． （1）【特例感知】如图①，当点与点重合时，，请说明理由． 【提出问题】如图②，当点与点不重合时，还成立吗？ 【解决问题】答：图②中的依然成立； （2）下面是针对点在线段上的情形进行的一种证明，请你补充完整： 如图③，取中点，连接，，． ， ． 点是的中点， ， ．______________（填依据） ，点是的中点， ． ， 即点，，，在以____为直径的圆上； ____． 由【特例感知】可知，． ． （3）【拓展应用】如图④，若，，，点为线段上的动点，点为线段上的动点，以为斜边构造等腰直角三角形，则的最小值为____． 【答案】（1）证明：当点与点重合时， ，点是的中点， ， ． （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；； （3） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质以及等边对等角即可证明； （2）取中点，连结，，，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、四点共圆的判定与性质、圆周角定理得到，再利用【特例感知】的结论解答即可； （3）连接，取中点，连接，先根据直角三角形斜边中线的性质得到点在以点为圆心，为直径的圆上，则，故当时，取得最小值，在解直角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图③，取中点，连接，，， ， ， 点是的中点， ， ，__直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半_（填依据） ，点是的中点， ， ， 即点，，，在以_____为直径的圆上， ___． 由【特例感知】可知，， ． 【小问3详解】 解：∵等腰直角， ∴， 连接，取中点，连接， ∵， ∴， ∴点在以点为圆心，为直径的圆上， ∴， ∴当时，取得最小值， ∴． 23. 在中，、、、为中点，为边上一点，连结、以、为邻边构造平行四边形． （1）若时，求的长； （2）若平行四边形为轴对称图形，求的长； （3）当最小时，______，此时，______． （4）当点到直线的距离是点到直线距离的倍，直接写出的长． 【答案】（1）3 （2）或 （3），2 （4）或 【解析】 【分析】（1）解即可； （2）当平行四边形为轴对称图形时，则平行四边形为矩形或菱形，即可根据矩形和菱形的性质分类讨论，再结合矩形的内角为直角以及菱形的邻边相等求解即可； （3）连接交于点，先根据三角形中位线定理确定点的轨迹，然后根据垂线段最短可得取得最小值的位置，再根据平行四边形和解直角三角形进行求解即可； （4）连接，过点分别作的垂线，垂足为点，然后分两种情况要来，根据面积法求解即可． 【小问1详解】 解：当时，如图： 在中， ∴设， 则 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵平行四边形为轴对称图形 ∴平行四边形为矩形或菱形， ①当平行四边形为矩形时，则， ∵，为中点， ∴ 过点作于点，则由 （1）可得 ∴， ∴ ∴； 当平行四边形为菱形时， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴同上可得 综上：当平行四边形为轴对称图形，的长为或； 【小问3详解】 解：连接交于点， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵ ∴，即 ∴当时，最短，如图，过点作于点，则 由上知， ∴， ∵平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问4详解】 解：当点在同侧时，如图： 连接，过点分别作的垂线，垂足为点 同上可得，， ∴ ∴ ∵ 设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形，且点是中点， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴； 当点在异侧时，如图： 连接，过点分别作的垂线，垂足为点 同上可得，， ∴ ∴ ∵ 设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形，且点是中点， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴； 综上：当点到直线的距离是点到直线距离的倍，的长为或． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）的对称轴为直线，是抛物线上一点，横坐标为，是平面内一点，横坐标为，轴，作点关于的对称点，作点关于的对称点，构造四边形． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点落在抛物线上时，求的值； （3）若点在抛物线对称轴左侧，当抛物线的顶点落在四边形的边上时，求的值； （4）当抛物线在四边形的内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，求出的值，即可求出该抛物线对应的函数表达式； （2）根据题意将点的坐标表示出来，再代入抛物线表达式中，即可求出的值； （3）根据题意将点、的坐标表示出来，分别求出四边形的边所在直线的解析式，将顶点坐标代入，即可求解； （4）分四种情况讨论：当时，当时，当时，当时，分别画出图形，找到临界位置即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ，解得， ∴该抛物线对应的函数表达式为：． 【小问2详解】 解：∵是抛物线上一点，横坐标为， ∴． ∵的横坐标为，轴， ． ∵点落在抛物线上， ， 解得． 【小问3详解】 解：∵点在抛物线对称轴左侧， ∴． ∵， 顶点坐标为：． 由（2）得，，， ∵点、关于对称，点、关于对称， ∴，． ∵点在抛物线对称轴左侧， ∴顶点不可能在边上． 当顶点在边上时， ，解得，． ∵， ∴． ． ∴点不在边上，舍去． 当顶点在边上时， 设直线的表达式为， 将点，点代入得， ，解得， ∴直线的表达式为． 将点代入，得 ，解得，， ∵， ． 当顶点在边上时， 设直线的表达式为， 将点，代入得， ，解得， ∴直线的表达式为． 将点代入，得 ，解得，， ∵， ∴， 此时点横坐标为，点横坐标为， 顶点不在边上，故舍去． 综上所述，． 【小问4详解】 解：由（2）得，，，，， 如图，当时， 当抛物线顶点在线段左边时，满足抛物线在四边形的内部的点的纵坐标随的增大而减小． 由（3）得，直线的表达式为， 将顶点代入，得 ，解得， ∵， ∴当时，抛物线在四边形的内部的点的纵坐标随的增大而减小． 如图，当时， 当点在抛物线上方时，满足抛物线在四边形的内部的点的纵坐标随的增大而减小． ∴当，， 即，解得， ∴当时，抛物线在四边形的内部的点的纵坐标随的增大而减小． 如图，当时， 当点在抛物线上或下方时，满足抛物线在四边形的内部的点的纵坐标随的增大而减小． 将点代入中，得 ，解得， ∵， ∴当时，抛物线在四边形的内部的点的纵坐标随的增大而减小． 如图，当时，不存在这样的四边形的内部的点的纵坐标随的增大而减小． 综上所述，当或时，抛物线在四边形的内部的点的纵坐标随的增大而减小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期九年级大练习数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 计算的结果为（ ）． A. 3 B. C. D. 2. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 实数在数轴上对应点的位置如图，若实数满足，则的值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 4. 已知，在正比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线分别交，于点，，的平分线交点，若，则的大小是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，点，，在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得的水平距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 8. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算的结果是______． 10. 分解因式：________． 11. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 12. 如图，在中，，，，则的值是___________． 13. 如图，折扇骨柄长为，小鸣完全张开折扇时的度数为，此时弧的长是____． 14. 如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，给出下面四个结论：；；平分；．上述结论中，正确结论的序号有___． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动． （1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______； （2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率． 17. 为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？ 18. 如图，在平行四边形中，连接对角线． （1）按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，画等腰三角形，使其面积为3． （2）在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为5． （3）在图③中，画平行四边形，使． 20. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 21. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，7分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完，在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）进水管每分钟进水__________升； （2）当时，求y与x的关系式； （3）当容器中水全部排完时，整个注水、排水过程共用了多少分钟？ 22. 在中，，点是的中点，点在边上，过点作的垂线，交直线于点． （1）【特例感知】如图①，当点与点重合时，，请说明理由． 【提出问题】如图②，当点与点不重合时，还成立吗？ 【解决问题】答：图②中的依然成立； （2）下面是针对点在线段上的情形进行的一种证明，请你补充完整： 如图③，取中点，连接，，． ， ． 点是的中点， ， ．______________（填依据） ，点是的中点， ． ， 即点，，，在以____为直径的圆上； ____． 由【特例感知】可知，． ． （3）【拓展应用】如图④，若，，，点为线段上的动点，点为线段上的动点，以为斜边构造等腰直角三角形，则的最小值为____． 23. 在中，、、、为中点，为边上一点，连结、以、为邻边构造平行四边形． （1）若时，求的长； （2）若平行四边形为轴对称图形，求的长； （3）当最小时，______，此时，______． （4）当点到直线的距离是点到直线距离的倍，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）的对称轴为直线，是抛物线上一点，横坐标为，是平面内一点，横坐标为，轴，作点关于的对称点，作点关于的对称点，构造四边形． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点落在抛物线上时，求的值； （3）若点在抛物线对称轴左侧，当抛物线的顶点落在四边形的边上时，求的值； （4）当抛物线在四边形的内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $