专题1.1 正数和负数【导图+知识卡片+知识梳理+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题】-2026-2027学年人教版数学七年级上册同步讲义

本讲义系统梳理正数和负数的核心知识点，从基本概念（正数、负数、0的定义）到相反意义的量表示，再到有理数分类、非正非负数概念、典型应用场景及易错点，构建从定义理解到实际应用的完整学习支架。 资料以思维导图直观呈现知识结构，通过3个题型讲练（含典例与变式）、中考真题及难度分层训练，培养学生抽象能力（如符号规范）和应用意识（如温度、海拔场景）。课中辅助教师教学，课后助力学生分层巩固，查漏补缺。

nullnull 专题1.1 正数和负数『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【人教版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 正数与负数的基本概念 2 知识点二 相反意义的量及其表示 2 知识点三 有理数的定义与分类 3 知识点四 非正数与非负数的概念 3 知识点五 典型应用场景 3 知识点六 易错点与注意事项 3 题型讲练 4 题型一 正负数的定义 4 题型二 相反意义的量 5 题型三 正负数的实际应用 6 中考真题演练 7 难度分层训练 9 【基础夯实】 9 【培优拔高】 15 知识点一 正数与负数的基本概念 正数的定义：大于 0 的数称为正数，如等。正数前面的 “+” 号通常可省略，直接写作  等。 负数的定义：小于 0 的数称为负数，需在正数前加 “-” 号表示，如 -3、-0.5、 等。负数的 “-” 号不可省略。 0 的特殊：0 既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界点，也是唯一的中性数。 知识点二 相反意义的量及其表示 相反意义的量的含义：在实际问题中，具有相反意义的一对量（如收入与支出、上升与下降），可用正数和负数表示。例如： 零上 记作 ，零下记作 ； 盈利 200 元记作 +200 元，亏损 150 元记作 -150 元。 表示方法 若规定某一方向或性质为正，则相反方向或性质为负。例如： 向东走 3 米记为 +3 米，则向西走 2 米记为 -2 米； 水位上升 0.8 米记为+0.8 米，则下降 0.3 米记为 0.3米。 知识点三 有理数的定义与分类 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。所有有理数都可以写成分数形式 （a、b 为整数，。 按定义分类 整数：包括正整数（如 1, 2, 3）、0、负整数（如 - 1, -2, -3）； 分数：包括正分数（如、3.5）和负分数（如、-0.75）。 按性质分类 正数：正整数和正分数的统称，如 5； 负数：负整数和负分数的统称，如 - 4、-1.2； 0：单独分类，既不属于正数也不属于负数。 知识点四 非正数与非负数的概念 非正数0和负数的统称，即小于或等于 0 的数，如 0、-1、。 非负数0和正数的统称，即大于或等于 0 的数，如 0、2、。 知识点五 典型应用场景 温度表示 例如：某地气温为，表示最低零下 3 摄氏度，最高零上 8 摄氏度。 海拔高度 例如：珠穆朗玛峰海拔约 +8848米（高于海平面），吐鲁番盆地海拔约-155米（低于海平面）。 收支记录 例如：收入 500 元记作+500元，支出 300 元记作-300元。 知识点六 易错点与注意事项 符号的规范性：负数必须带 “-” 号，正数符号可省略但不可随意添加（如 +(-2) 表示负数）。 0 的多重身份：0不仅是整数，也是有理数，同时是非正数和非负数的公共元素。 分数的形式：有限小数（如 0.25）和无限循环小数（如 均属于分数，因此也是有理数。 题型一 正负数的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在，0，，，2五个数中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题根据负数的定义，即小于0的数是负数，逐个判断给出的数，统计负数的个数即可得到答案． 【详解】解：根据负数的定义：小于0的数是负数. 是负数，既不是正数也不是负数， 是负数， 是正数， 是正数． ∴ 负数共有个． 因此答案选B． 【变式训练1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）下列有理数中为负数的是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的定义，正负数的定义，根据负数的定义（小于0的数是负数），进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴是负数， 故选：D 【变式训练2】（25-26七年级上·山西长治·期末）如果超出标准零件尺寸记作，那么不足标准零件尺寸记作________． 【答案】 【分析】本题是考查正负数的定义，关键是读懂题意，采用类比的方法作答．根据正负数的定义，超出标准零件尺寸记为正数，则不足标准零件尺寸应记为负数即可解答． 【详解】解：因为超出标准零件尺寸记作， 所以不足标准零件尺寸记作， 故答案为：． 【变式训练3】（25-26七年级上·四川乐山·期末）下列各数，，54，0，，，0.001，中，负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查负数的定义，小于0的数是负数，据此求解即可． 【详解】解：在，，54，0，，，0.001，中， 负数为，，，共3个． 故选：B． 题型二 相反意义的量 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如盈利记为正，则亏本记为负，元表示______，元表示_______． 【答案】 盈利3000元 亏本240元 【分析】本题考查正负数的意义，题目已规定盈利记为正，亏本记为负，只需根据规定判断正负数对应的实际意义即可． 【详解】解：根据正负数表示具有相反意义的量， 由题意得，盈利记为正，则正号表示盈利，负号表示亏本， 因此元表示盈利元，元表示亏本元． 【变式训练1】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）我国数学家刘徽在1700多年前首次明确提出了正负数概念，“今两算得失相反，要令正负以名之”例如：某店铺今日盈利107元记作元，那么亏损56元记作（  ） A．56元 B．0元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵“正”和“负”相对， ∴则某店铺今日盈利107元记作元，那么亏损56元记作元．即选项C符合题意． 【变式训练2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）如果把顺时针旋转记作，那么逆时针旋转应记作________ ． 【答案】 【分析】此题考查正数和负数的相关知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量. 【详解】解： . 【变式训练3】（25-26七年级上·广西河池·期末）我国是最早使用负数的国家，如果把小欢获得生活补助时“收入750元”记作“元”，那么“支出20元”记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】收入为正，则支出为负. 【详解】解：“支出20元”记作元. 题型三 正负数的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·福建漳州·期中）中考体育“排球对墙垫球”项目男生的及格标准为23次，为方便记录，在平时训练时小航把垫球25次记为，则记为的垫球次数是__________次． 【答案】20 【分析】本题考查正负数的实际意义，先确定计数的基准为及格标准23次，明确正负数表示的含义，再计算所求垫球次数即可． 【详解】解：由题意得，计数的基准为及格标准垫球23次，超过基准的次数记为正，低于基准的次数记为负，则记为的垫球次数是． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）随着国际油价的波动和国内成品油价格调整机制的运行，95号汽油的价格也随之变化．如果每升95号汽油的价格下降元，记作元，那么元表示每升95号汽油的价格（    ） A．上涨0.2元 B．上涨0.3元 C．下降0.2元 D．下降0.3元 【答案】A 【详解】解：∵每升95号汽油的价格下降元，记作元，即下降用负数表示， ∴正数表示价格上涨， ∴元表示每升95号汽油的价格上涨0.2元． 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出6元记作_____. 【答案】元 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确收入与支出是一对具有相反意义的量； 根据题意，确定收入用正数表示，那么支出就用负数表示，从而得出支出6元的表示方法． 【详解】解：∵ 收入与支出是一对具有相反意义的量， 且收入5元记作元， ∴ 支出6元记作元． 故答案为：元． 【变式训练3】（25-26七年级上·湖南常德·期中）一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 【答案】(1)是 (2)米 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把所有数据相加即可解答； （2）把跑过的路程相加即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 答：守门员最后回到了球门线的位置． （2）解：由题意可得：， 答：守门员全部练习结束后，他共跑了米． 【真题演练1】（2025·河北沧州·中考真题）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 【答案】A 【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可． 【详解】解：∵30+0.03=30.03，30-0.02=29.98， ∴零件的直径的合格范围是：29.98mm≤零件的直径≤30.03mm． ∵29.8mm不在该范围之内， ∴不合格的是A． 故选：A． 【真题演练2】（2025·广东广州·中考真题）一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 【答案】C 【分析】用减去前5次各数与8：00的水位和，然后即可做出判断． 【详解】解：0-（0.5-0.8+0-0.2-0.3-0.1）=0.9． 故选：C． 【真题演练3】（2025·江苏无锡·中考真题）桌子上放有6枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的4枚，至少翻转_________次能使所有硬币都反面朝上． 【答案】3 【分析】用“”表示正面朝上，用“”表示正面朝下，找出最少翻转次数能使硬币正面全部朝下的情况即可． 【详解】解：用“”表示正面朝上，用“”表示正面朝下， 开始时 ， 第一次 ， 第二次 ， 第三次 ， 至少翻转3次能使所有硬币都反面朝上， 故答案为：3． 【真题演练4】（2025·青海西宁·中考真题）如果温度上升，记作，那么温度下降记作________． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键；根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，即可求解． 【详解】解：如果上升，记作，那么温度下降记作， 故答案为： ． 【真题演练5】（2025·江苏宿迁·中考真题）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【答案】(1)他此时在出发地A处东边，距A处8千米； (2)小王师傅接送8次乘客共收车费元； 【分析】（1）根据有理数的加法，把相反意义的行程理数相加求和，根据正数在东，负数在西方可得答案； （2）判断出大于3千米与小于3千米的，根据收费标准列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴他此时在出发地A处东边，距A处8千米； （2）解：由题意可得， 只有，，，四次大于3千米， 分别超过：2千米，5千米，1千米，4千米， ∴费用为：（元）， ∴小王师傅接送8次乘客共收车费元． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·浙江·单元复习）在，，，，，，这些数中，正数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，解答本题的关键是掌握正数和负数的定义．根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：，是正数； ，是负数； ，是正数； 既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ∴正数有，，共个； 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东湛江·开学考试）下列说法正确的有（　　） A．比2小的整数只有0和1 B．两个不同质数，公因数只有1 C．4.956 精确到十分位是4.96 D．，(和Δ为自然数)最小是60 【答案】B 【分析】A. 根据整数的定义：整数是正整数、零、负整数的集合，判断即可； B. 质数的定义：一个自然数,只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；公因数的定义：对于两个或两个以上的整数，如果有一个整数是它们共同的因数，那么这个数就叫做它们的公因数；根据质数及公因数的定义判断即可； C. 利用四舍五入法求近似数，将4.956精确到小数点后第二位数即可判断； D. 根据除法和乘法是互逆运算可得, 当△取最小自然数1时★的值最小,即可判断． 【详解】A．比2小的整数包含负整数（如,等），因此“只有0和1”错误． B．质数仅有1和自身为因数，不同质数的公因数只能是1，正确． C．4.956精确到十分位需看百分位数字5，四舍五入后为5.0，而非4.96，错误． D．由，当△取最小自然数1时，，故“最小60”错误． 故选：B． 3．（24-25七年级上·广西桂林·期中）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期．下列各数中，是负数的是（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查负数的定义，熟练掌握负数的定义是解题的关键．根据负数的定义即可得到答案． 【详解】解：负数即带有负号的数，故是负数的是， 故选：C． 4．（25-26七年级上·福建福州·期中）桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下．如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过_____次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，通过模拟翻转过程，用表示杯口朝上，表示杯口朝下，从初始状态开始，逐步翻转，找到使所有杯口朝下的最少次数即可． 【详解】解：设杯口朝上用“”表示，杯口朝下用“”表示， 初始状态全部杯口朝上，即为6个， 第一次翻转任意4个，变为4个和2个，即状态为： ， 第二次翻转选择第2、3、4、5个杯子，翻转后状态为： ． 第三次翻转选择第2、3、4、6个杯子，翻转后状态为： ，即全部杯口朝下． ∴最少翻转3次就能把它们全部翻成杯口朝下， 故答案为：3． 5．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）在一次测量身高中，5位六年级同学的身高如表，如果将六年级学生平均身高米记为“0米”，小王的身高则记为“米”．那么，小美的身高记为______米，小红的身高记为______米，这5位同学的身高达标率是______． 姓名 小王 小美 小红 小明 小强 成绩 米 米 米 米 米 【答案】 60 【分析】本题主要考查正负数的意义及百分率的计算，熟练掌握正负数表示相反意义的量以及达标率的计算公式是解题的关键． 先根据平均身高与小王身高的记法，确定身高的记数规则，即实际身高减平均身高，再据此计算小美、小红的身高，最后统计达标人数计算达标率． 【详解】解：小美的身高记为米，小红的身高记为米， ∵这5位同学中达标的同学有：小王，小红，小明3人， ∴身高达标率为：， 故答案为：，，60． 6．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）如图，以、、、四人的平均体重为基准，已用条形统计图表示出、、三人的体重（整千克数）． （1）的体重比的体重多_______． （2）平均体重记作，的体重可记作_______． （3）若平均体重是，那么的体重是_______． 【答案】 10 35 【分析】本题考查的是统计图的应用． （1）由图可知，A的体重比平均体重多，D的体重比平均体重少，由此解答本题； （2）A的体重比平均体重多，B的体重比平均体重少，D的体重比平均体重少，则C的体重比平均体重多，由此解答本题； （3）B的体重比平均体重少，由此解答本题． 【详解】解：（1）， 答：A的体重比D的体重多． 故答案为：10； （2）C的体重比平均体重多：， 答：平均体重记作，C的体重可记作． 故答案为：； （3）， 答：若平均体重是，那么B的体重是， 故答案为：35． 7．（25-26七年级上·全国·期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了正数、负数的意义，掌握“正负数可以用来表示相反意义的量”是解题的关键． （1）从，先向右走格，对应，再向上走格，对应；从开始先向左走格，再向下走格，到达处； （2）从开始先向右走格，向上走格，接着向右走格，向下走格，之后向左走格，向上走格，最后向左走格，向下走格，即可明确的位置． 【详解】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负， 所以到记为，到记为； （2）解：点位置如图所示： 8．（25-26七年级上·山西朔州·期中）体育课上，七年级（1）班男生进行了引体向上测试．以能做5个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名男生的成绩（单位：个）如下：，，，0，，，0，． (1)这8名男生中达到标准的有______人； (2)这8名男生平均每人做了多少个引体向上？ 【答案】(1)5 (2)5个 【分析】本题重点考查了正负数、平均数的概念，理解正负数的意义是解题的关键． （1）以能做个为标准，当个数时，达到标准，统计个数即可完成求解； （2）标准个数加上所给数据的平均数，即为名男生平均每人做的个数． 【详解】（1）解：，，，， 个成绩达到标准，故有人达到标准． 答：这名男生中达到标准的有人． （2）解：（个）． 答：这8名男生平均每人做了个引体向上． 9．（25-26七年级上·广东广州·期中）外卖小哥小张某天骑电动车在东西走向的路上送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）： ，，，，，，，，，． (1)当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为多少千米？ (2)若小张的电动车充满电能行驶，在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)4千米 (2)他能完成上面的行程，理由见解析 【分析】本题考查了正负数的实际应用，正负数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把行程中的正负数相加即可解答； （2）求出所行驶的路程后进行比较即可． 【详解】（1）解：， 答：当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为4千米． （2）解：， 因此他能完成上面的行程． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动． (1)这里的含义是什么？ (2)请你算出该商品的最高价格和最低价格． (3)如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“”，低于标准价格记作“”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 【答案】(1)见解析 (2)元，元 (3)元 【分析】本题考查了正数和负数的知识． （1）“”表示加价，“”表示降价； （2）根据浮动标准，可计算出最高价格和最低价格； （3）求出所代表的价格，然后即可表示出价格的浮动范围． 【详解】（1）解：的含义是在标准价格的基础上，加价和降价的幅度不超过10%． （2）最高价格是（元）， 最低价格是（元）． （3）因为（元）， 所以该商品价格的浮动范围又可以表示为元． 【培优拔高】 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 【答案】C 【分析】本题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量．根据相反意义的量的概念，逐项判断分析即可解题． 【详解】解：A.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； B.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； C.是一对具有相反意义的量，符合题意； D.不是一对具有相反意义的量，不符合题意． 故本题选：C． 2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示（　　） A．水面低于标准水位 B．水面低于标准水位 C．水面高于标准水位 D．水面水深为 【答案】B 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，根据正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位． 本题主要考查了正数和负数，解题关键是熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【详解】∵用正数表示水面高于标准水位的高度， ∴表示水面低于标准水位． 故选：B． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】此题主要考查了正数和负数的意义，根据正负数的意义即可得出答案，理解正数和负数是具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵收入3元记作元， ∴支出5元，记作元， 故选：A． 4．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）宜宾有着“万里长江第一城”的美誉，长江的水位随着季节的变化而变化，如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作 ______． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据正数和负数表示相反意义的量，水位上升记为正，可得水位下降的表示方法． 【详解】解：如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作______个． 【答案】 【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数的意义解答即可，解题的关键是能准确理解正负数的意义和具有相反意义的量． 【详解】解：∵甲队进3个球，记作个， ∴甲队失2个球，记作个， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·全国·单元测试）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为，则应把次记为______． 【答案】 【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量．正确理解正、负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义求解即可． 【详解】解：∵“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为， ∴应把次记为， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·江西南昌·期中）今年高考期间，某出租车驾驶员参加爱心送考活动，他从位于昆明北京路的家出发，在南北向的北京路上连续免费接送位高考考生，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位）； 第位 第位 第位 第位 第位 (1)接送完第位考生后，该驾驶员在家什么方向，距离家多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升．那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费元，超过的部分按每千米加元收费，在这过程中该驾驶员为位考生共节省了多少元车费？ 【答案】(1)南边千米处； (2)升； (3)元． 【分析】（）根据有理数加法即可求出答案； （）根据题意列出算式即可求出答案； （）根据题意列出算式即可求出答案； 此题考查了正负数计算的应用能力，关键是能准确理解并运用正负数的定义进行列式求解． 【详解】（1）（）， 答：接送完第位考生后，该驾驶员在家的南边千米处； （2）（升）， 答：在这个过程中共耗油升； （3）， ， （元）， 答：在这过程中该驾驶员为位考生共节省了元． 8．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为七年级某班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 【答案】(1)102个 (2)192分 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； （1）根据表格可直接进行求解； （2）先求出该班的总积分，然后问题可求解； 【详解】（1）由题意得：因为， 所以平均每人跳绳个， 答：这个班42人一分钟内平均每人跳绳102个． （2）（分） 答：这个班跳绳总共获得192分． 9．（23-24七年级上·广东深圳·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负（单位：千米）． (1)李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)这时间段李师傅开车的平均速度是多少千米每小时？ 【答案】(1)在出发地东方，距离6千米 (2)平均速度为千米/小时 【分析】此题考查了正负数的应用，（1）把记录的数字相加即可得到结果；（2）根据路程÷速度=时间即可求解． 【详解】（1）解：（千米）， 答：李师傅位于第一批乘客出发地的东方，距离6千米； （2）解：（千米/小时）， 答：平均速度为千米/小时． 10．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米） (1)收工时该检修小组在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的西方，距离A地3千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为45千米 【分析】（1）将所记录的数据求和，和为正数则在A地的东方，如果为负数则在西方，其绝对值是距A的距离； （2）求出所记录数据的绝对值的和即为所行的所有的路程． 【详解】（1）解：（千米）， ， 答：收工时该检修小组在A地的西方，距离A地3千米， （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为45千米． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 正数和负数『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【人教版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 正数与负数的基本概念 2 知识点二 相反意义的量及其表示 2 知识点三 有理数的定义与分类 3 知识点四 非正数与非负数的概念 3 知识点五 典型应用场景 3 知识点六 易错点与注意事项 3 题型讲练 4 题型一 正负数的定义 4 题型二 相反意义的量 4 题型三 正负数的实际应用 4 中考真题演练 5 难度分层训练 6 【基础夯实】 6 【培优拔高】 9 知识点一 正数与负数的基本概念 正数的定义：大于 0 的数称为正数，如等。正数前面的 “+” 号通常可省略，直接写作  等。 负数的定义：小于 0 的数称为负数，需在正数前加 “-” 号表示，如 -3、-0.5、 等。负数的 “-” 号不可省略。 0 的特殊：0 既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界点，也是唯一的中性数。 知识点二 相反意义的量及其表示 相反意义的量的含义：在实际问题中，具有相反意义的一对量（如收入与支出、上升与下降），可用正数和负数表示。例如： 零上 记作 ，零下记作 ； 盈利 200 元记作 +200 元，亏损 150 元记作 -150 元。 表示方法 若规定某一方向或性质为正，则相反方向或性质为负。例如： 向东走 3 米记为 +3 米，则向西走 2 米记为 -2 米； 水位上升 0.8 米记为+0.8 米，则下降 0.3 米记为 0.3米。 知识点三 有理数的定义与分类 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。所有有理数都可以写成分数形式 （a、b 为整数，。 按定义分类 整数：包括正整数（如 1, 2, 3）、0、负整数（如 - 1, -2, -3）； 分数：包括正分数（如、3.5）和负分数（如、-0.75）。 按性质分类 正数：正整数和正分数的统称，如 5； 负数：负整数和负分数的统称，如 - 4、-1.2； 0：单独分类，既不属于正数也不属于负数。 知识点四 非正数与非负数的概念 非正数0和负数的统称，即小于或等于 0 的数，如 0、-1、。 非负数0和正数的统称，即大于或等于 0 的数，如 0、2、。 知识点五 典型应用场景 温度表示 例如：某地气温为，表示最低零下 3 摄氏度，最高零上 8 摄氏度。 海拔高度 例如：珠穆朗玛峰海拔约 +8848米（高于海平面），吐鲁番盆地海拔约-155米（低于海平面）。 收支记录 例如：收入 500 元记作+500元，支出 300 元记作-300元。 知识点六 易错点与注意事项 符号的规范性：负数必须带 “-” 号，正数符号可省略但不可随意添加（如 +(-2) 表示负数）。 0 的多重身份：0不仅是整数，也是有理数，同时是非正数和非负数的公共元素。 分数的形式：有限小数（如 0.25）和无限循环小数（如 均属于分数，因此也是有理数。 题型一 正负数的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在，0，，，2五个数中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）下列有理数中为负数的是（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·山西长治·期末）如果超出标准零件尺寸记作，那么不足标准零件尺寸记作________． 【变式训练3】（25-26七年级上·四川乐山·期末）下列各数，，54，0，，，0.001，中，负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 相反意义的量 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如盈利记为正，则亏本记为负，元表示______，元表示_______． 【变式训练1】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）我国数学家刘徽在1700多年前首次明确提出了正负数概念，“今两算得失相反，要令正负以名之”例如：某店铺今日盈利107元记作元，那么亏损56元记作（  ） A．56元 B．0元 C．元 D．元 【变式训练2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）如果把顺时针旋转记作，那么逆时针旋转应记作________ ． 【变式训练3】（25-26七年级上·广西河池·期末）我国是最早使用负数的国家，如果把小欢获得生活补助时“收入750元”记作“元”，那么“支出20元”记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 题型三 正负数的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·福建漳州·期中）中考体育“排球对墙垫球”项目男生的及格标准为23次，为方便记录，在平时训练时小航把垫球25次记为，则记为的垫球次数是__________次． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）随着国际油价的波动和国内成品油价格调整机制的运行，95号汽油的价格也随之变化．如果每升95号汽油的价格下降元，记作元，那么元表示每升95号汽油的价格（    ） A．上涨0.2元 B．上涨0.3元 C．下降0.2元 D．下降0.3元 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出6元记作_____. 【变式训练3】（25-26七年级上·湖南常德·期中）一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 【真题演练1】（2025·河北沧州·中考真题）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 【真题演练2】（2025·广东广州·中考真题）一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 【真题演练3】（2025·江苏无锡·中考真题）桌子上放有6枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的4枚，至少翻转_________次能使所有硬币都反面朝上． 【真题演练4】（2025·青海西宁·中考真题）如果温度上升，记作，那么温度下降记作________． 【真题演练5】（2025·江苏宿迁·中考真题）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·浙江·单元复习）在，，，，，，这些数中，正数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·广东湛江·开学考试）下列说法正确的有（　　） A．比2小的整数只有0和1 B．两个不同质数，公因数只有1 C．4.956 精确到十分位是4.96 D．，(和Δ为自然数)最小是60 3．（24-25七年级上·广西桂林·期中）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期．下列各数中，是负数的是（    ） A．3 B．0 C． D． 4．（25-26七年级上·福建福州·期中）桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下．如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过_____次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． 5．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）在一次测量身高中，5位六年级同学的身高如表，如果将六年级学生平均身高米记为“0米”，小王的身高则记为“米”．那么，小美的身高记为______米，小红的身高记为______米，这5位同学的身高达标率是______． 姓名 小王 小美 小红 小明 小强 成绩 米 米 米 米 米 6．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）如图，以、、、四人的平均体重为基准，已用条形统计图表示出、、三人的体重（整千克数）． （1）的体重比的体重多_______． （2）平均体重记作，的体重可记作_______． （3）若平均体重是，那么的体重是_______． 7．（25-26七年级上·全国·期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 8．（25-26七年级上·山西朔州·期中）体育课上，七年级（1）班男生进行了引体向上测试．以能做5个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名男生的成绩（单位：个）如下：，，，0，，，0，． (1)这8名男生中达到标准的有______人； (2)这8名男生平均每人做了多少个引体向上？ 9．（25-26七年级上·广东广州·期中）外卖小哥小张某天骑电动车在东西走向的路上送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）： ，，，，，，，，，． (1)当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为多少千米？ (2)若小张的电动车充满电能行驶，在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动． (1)这里的含义是什么？ (2)请你算出该商品的最高价格和最低价格． (3)如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“”，低于标准价格记作“”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 【培优拔高】 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示（　　） A．水面低于标准水位 B．水面低于标准水位 C．水面高于标准水位 D．水面水深为 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）宜宾有着“万里长江第一城”的美誉，长江的水位随着季节的变化而变化，如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作 ______． 5．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作______个． 6．（24-25七年级上·全国·单元测试）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为，则应把次记为______． 7．（23-24七年级上·江西南昌·期中）今年高考期间，某出租车驾驶员参加爱心送考活动，他从位于昆明北京路的家出发，在南北向的北京路上连续免费接送位高考考生，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位）； 第位 第位 第位 第位 第位 (1)接送完第位考生后，该驾驶员在家什么方向，距离家多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升．那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费元，超过的部分按每千米加元收费，在这过程中该驾驶员为位考生共节省了多少元车费？ 8．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为七年级某班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 9．（23-24七年级上·广东深圳·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负（单位：千米）． (1)李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)这时间段李师傅开车的平均速度是多少千米每小时？ 10．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米） (1)收工时该检修小组在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $