学易金卷：高二数学下学期期末真题重组卷【浙江专用，测试范围：人教A版必修第一册～选择性必修第三册】

**基本信息** 精选浙江多地高二期末真题重组，覆盖必修至选择性必修全册，以《九章算术》阳马鳖臑、多项分布等情境融合数学抽象与逻辑推理，适配高二期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、排列组合、等比数列、复数、导数切线、椭圆光学性质|结合浙江地域真题，8题函数不等式考查数学思维的严谨性| |填空题|3题/15分|二项式定理、椭圆切线、抽象函数性质|14题开放型设计，培养创新意识与数学表达| |解答题|5题/77分|向量与三角、立体几何、函数导数、多项分布、抛物线综合|18题以多项分布为背景构建数学模型，11题融入《九章算术》文化，体现数学眼光与应用意识|

2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册~选择性必修第三册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2025高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，， ， 于是. 故选：C 2．（2025高二下·浙江·期末）某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（   ）种． A．7 B．10 C．14 D．16 【答案】C 【详解】由题可得，至少有一名女生被选中的不同选法有2种情况，一男一女，两女， 所以共种， 故选：C． 3．（2025高二下·浙江温州·期末）设a，b，c，d是非零实数，，则“a，b，c，d成等比数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意知，为非零向量， 充分性：当a，b，c，d成等比数列时，则，所以，则，故充分性满足； 必要性：当时，则，取，显然，但a，b，c，d不成等比，故必要性不满足， 所以“a，b，c，d成等比数列”是“”的充分不必要条件，故A正确. 故选：A. 4．（2023高二下·浙江·期末）已知复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】复数满足， 则复数z对应的点的轨迹为以为焦点，长轴长的椭圆， 则椭圆短半轴长为，椭圆方程为， 表示椭圆上的点到原点的距离， 当点位于椭圆长轴上的顶点时，取值大值2； 当点位于椭圆短轴上的顶点时，取值小值； 故的取值范围为， 故选：D 5．（2025高二下·浙江台州·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为， 所以， 设直线与曲线的切点为， 所以， 所以，且， 令函数，， 因为， 所以函数在单调递减，在单调递增， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 6．（2023高二下·浙江·期末）过点作两条直线分别交抛物线于，两点，记直线，的斜率分为，，若，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A ，即可求出直线的方程. 【详解】因为点作两条直线分别交抛物线于，两点， 在抛物线上，所以直线斜率一定不为， 设直线的方程为：，设， 与联立方程可得：，即， 所以， 则 ，所以①， ， 所以②，由①②可得：， 所以，故. 故选：A. 7．（2023高二下·浙江宁波·期末）椭圆：有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且，当时，椭圆的中心到与椭圆切于点的切线的距离为：（    ） A．1 B． C． D．或 【答案】C 【分析】设过点的切线为，分别做于点，做交轴于点，设，入射角和反射角相等得， 利用中位线可得，再根据，可得答案， 【详解】设过点的切线为，分别做于点， 做交轴于点，所得是梯形的中位线， 设，入射角和反射角相等，则， 则 ， 因为，当为上顶点时，为， 因为，，所以， 即，， ， 故选：C. 8．（2023高二下·浙江宁波·期末）已知函数，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式，作出函数图象，继而作出的图象，数形结合，求得不等式的解集. 【详解】根据题意当时,， 当时, , 作出函数的图象如图， 在同一坐标系中作出函数的图象， 由图象可得不等式解集为， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025高二下·浙江·期末）下列关于概率统计的说法，正确的是（   ） A．若随机变量，则， B．若随机变量；，则 C．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 D．设关于分类变量与的独立性检验的零假设为与无关，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断不成立，即认为与无关. 【答案】ABC 【详解】A.因为随机变量， 所以，，A正确. B. 因为随机变量，， 所以， 所以，B正确. C.因为越接近于1时，成对样本数据的线性相关程度越强， 所以当一组样本数据的对应样本点都在直线上时， 变量与负线性相关，此时，C正确. D.因为， 所以根据的独立性检验，推断不成立，即认为与有关联，此推断犯错误的概率不大于，D错误. 故选：ABC. 10．（2025高二下·浙江·期末）已知数列满足，，令，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．为整数 D．数列的前2025项和为2025 【答案】ABD 【详解】因为①， 所以当时，②， ①-②得：. 化简得. 所以，所以数列为首项是1，公比为1的等比数列. 所以，所以. 所以. 对于选项A：，所以A正确； 对于选项B：因为，所以数列是首项为0，公差为的等差数列，所以B正确； 对于选项C：，不是整数，所以C错误； 对于选项D：因为数列是首项为0，公差为的等差数列， 所以，所以D正确. 故选：ABD. 11．（2023高二下·浙江丽水·期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，分别为的中点，则（    ） A．四面体是鳖臑 B．与所成角的余弦值是 C．点到平面的距离为 D．过点的平面截四棱锥的截面面积为 【答案】ABD 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，根据鳖臑的定义即可判断A；利用向量法即可判断BC；设过点的平面于线段的交点为，根据共面，可得存在唯一实数对使得，由此求出点的坐标，进而可判断D. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 对于A，， 因为， 所以，即， 所以四面体的四个面都为直角三角形，所以四面体是鳖臑，故A正确； 对于B，， 则与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，， 设平面的法向量为，则，可取， 则点到平面的距离为，故C错误； 对于D，设过点的平面于线段的交点为，则， 因为共面，则共面，故存在唯一实数对使得， 即， 所以，解得， 所以，则， 因为，所以， 所以过点的平面截四棱锥的截面面积为 ，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2023高二下·浙江·期末）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中所有各项的系数和为______. 【答案】64 【详解】因为在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大， 所以二项式展开式有7项，所以， 所以二项式为， 令，则， 所以展开式中所有各项的系数和为64， 故答案为：64 13．（2024高二下·浙江温州·期末）椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】由可得， 由于直线与椭圆相切于，故上半椭圆的方程为， 求导得，因此， 故椭圆在的切线斜率为，由于直线于圆也相切于， 故圆心所在的直线斜率为1，且经过点，故点的轨迹方程为（）， ，故的最小值为到的距离， 故答案为： 14．（2024高二下·浙江宁波·期末）已知定义在上的函数满足下列两个条件： ①；②. 请你写出一个符合要求的函数解析式__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知条件写出一个符合题意的函数即可. 【详解】因为， 所以，可得， 设，可得. 因为， ， 所以， 且，符合题意. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对已知条件化简得到，再构造函数. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2025高二下·浙江·期末）已知向量，，， (1)求的单调递增区间； (2)设的内角，，的对边分别为，，，，且的内切圆半径为1，求的面积. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由向量，， 所以， 所以，，解得：，， 所以的单调递增区间. （2）由可得：，又因为， 所以，解得：. 余弦定理可得：，则①， 由等面积法可得，则②， 联立①②得，所以的面积, 故的面积为. 16．（2024高二下·浙江金华·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，分别为的中点，，垂足为. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面形成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）如图，连接，在中，， 在正方形中，，又因为平面， 所以平面，又因为，所以平面， 而平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2）在中，因为，， 所以由余弦定理可得：， 因为平面，所以，在中， 由勾股定理得：， 又在中，由余弦定理得：. 如图以为原点，分别为轴，过且垂直底面的直线为轴建系， 则，，， 则，， 设为平面的法向量，则，取， 设为平面的法向量，则，取， 所以， 故平面与平面形成的锐二面角的余弦值. 17．（2025高二下·浙江金华·期末）已知函数，其中. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)试比较2.8与的大小并证明. 【答案】(1)； (2)； (3)，证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 求导得， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. （2）依题意，，， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， ，由恒成立，得恒成立， 则，即，解得， 所以的取值范围是. （3）由（2）知，当时，，即， 令，有，而， ， 则，两边取对数得，所以. 18．（2024高二下·浙江金华·期末）二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道，若，则.多项分布是二项分布的推广，同样是重复次试验，不同的是每次试验的结果不止2种，而有种，记这种结果为事件，它们的概率分别为，则.现考虑某厂生产的产品分成一等品､二等品､三等品和不合格品，它们出现的概率分别为，从该厂产品中抽出个，研究各类产品出现的次数的情况，就是一个多项分布.由于产品很多，每次抽取可以看作是独立重复的. (1)若从该厂产品中抽出4个，且和分别为和0.05，求抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个的概率； (2)现从该厂中抽出个产品，记事件出现的次数为随机变量.为了定出这一多项分布的分布列，只需求出事件的概率，其中为非负整数，. （i）求； （ii）对于上述多项分布，求在给定的条件下，随机变量的数学期望. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据多项分布求概率； （2）（i）根据多项分布求概率； （ii）根据二项分布得到，然后利用条件概率的计算公式得到，最后根据二项分布期望的性质计算即可. 【详解】（1）记从该厂产品中抽出4个，且恰好抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个为事件，则， （2）（i）， （ii）若把事件作为一方，则作为另一方， 那么随机变量分布列为， 即服从二项分布列为， 同理可知：. 所以 . 所以在给定的条件下，随机变量服从二项分布，即， 所以此时，随机变量的数学期望为. 19．（2023高二下·浙江温州·期末）已知抛物线，斜率为1的直线交于不同于原点的，两点，点为线段的中点. (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，设切线，的交点为 ①求证：为直角三角形. ②记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②最小值4，此时. 【分析】（1）设直线方程，联立抛物线方程消元，根据韦达定理，结合中点坐标公式可得； （2）①利用导数的切线方程，结合韦达定理即可证明；②根据点P坐标满足①中切线方程可得直线AB方程，然后由弦长公式和点到直线的距离公式可得面积，然后可解. 【详解】（1）设直线的方程为，代入抛物线， 可得，设，，则 点为线段的中点，可得，即则抛物线的方程为.    （2）①设，，由，可得，则， 所以，两点处的切线斜率分别为，， 由，得，所以，， 所以，所以，即为直角三角形.    ②由（1）知，即：，同理， 由直线，都过点，即， 则点，的坐标都满足方程， 即直线的方程为：， 又由直线过点，∴， 联立得， ∴， 点到直线的距离， ∴ ∴ 当且仅当时，有最小值4，此时 试卷第2页，共20页 试卷第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二学期期末真题重组卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 题号 1 2 3 6 1 8 答案 C C A A C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABC ABD ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 V6+V2 12.64 13. 2 14.f(x)=-x3+ax(k>0)(答案不唯一) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(1)由向量i=(W3eosx-sinx,2cosx),元=(cosx+sin无，nx …2分 2kx-T≤2x+T≤2kz+T 所以2 31 2,k∈Z,…4分 解得：红-亚sx≤标+ π 12 12’keZ ko-5i 所以∫(x)的单调递增区间2红+文 …6分 答案第1页，共7页 可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)由f(B)=1可得： …7分 又因为 所以2B+5 36,解得：B= 4.…9分 余弦定理可得：a2+c2-V2ac=4,则(a+c)'=2ac+V2ac+4 ，…10分 由签面和注得三(a+c+2):1三2 ac sin B，则4十+2三义之。 2C②，11分 联立n@有ac=6N2+4,所△MBC的周积S=acm8=(65+4小-3+万 故△ABC 的面积 3+V2 .…13分 16.(1) PE,EF △PAD,PE⊥AD 如图，连接 ,在 中， .…1分 在正方形ABCD中，EF LAD,-2分 PE、EFC PEF,PEEF=E 又因为 平面 所以AD⊥平面PEF, 3分 又因为BC∥AD,所以BC⊥平面PEF, 而EGC平面PEF,所以EG LBC,4分 又因为EG⊥P℉，. …5分 答案第2页，共7页 可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 BC、PFC PBC,BCOPF=F EG⊥，PBC 且 平面 ，所以 广平面 …6分 (2在△PAB中，因为PA=2,B=2,o∠PAB= 4 PB= 3 2=V14 所以由余弦定理可得： 4+4+2×2×2× …7分 因为BC⊥平面PEF,所以BC⊥PF,在△PBF中， 由勾股定理得：PF=VPB2-BF2=V3 8分 又在△PEF中，由余弦定理得：c05∠PEF=4+3-1尽 2×2×V3 2…9分 EA,EF x,y E ABCD 如图以为原点， 分别为“轴，过且垂直底面 的直线为轴建系， a0a02o4-aoci-i20a-9)L10 …11分 4s-020A=9c-020西-号9) 2y=0 设元=(，4，乙)为平面p4B的法向量，则2x+3y-V52,=0:取元=(3,02）…13分 2y2=0 设元=(x,2)为平面PCD的法向量，则-2x+3y,-V32,=0,取元=(V3,0,-214分 所以C0sh,乃= n·n23-41 77, 答案第3页，共7页 可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 故平面PAB与平面PCD形成的锐二面角的余弦值7… …15分 f(x)=(1-a)Inx+a+x 2 f(x)=-lnx+二+x 17.(1)函数 x的定义域为(0，+o),当a=2时， 士是+1=2r-2+y 求导得7x)=-12, x2 …2分 由x>0.相∈(2，+o) ,得 f(x) (2,+0) 所以函数 的单调递增区间是 …4分 （2)题高，fx=生0-1=+1-a-0--ax+山 x x2 x2 x2 ，a>0,…5分 当0<x<0时.fxK0,当>a.fx>0,西数f在0a)上德减在a 上递 增， …6分 f(x)min=f(a)=(1-a)Ina+1+a …7分 南/2 (1-a)lna+1+a≥2 成立，得 恒成立，… 8分 则1-ama+a-1≥0.ma-1)fa-l)s0 m1≤a≤e ,即 解得 [1,e 所以的取值范围是 …10分 e+x-2 (3)由(2)知，当时，f(x)=(1-ex+e+x≥2，即mx≤ …11分 a=e e-1 +2.8-2e-1+1+ +0.8 令x=28有28s28 =2.8 1,1+0.8 -1 e-1 2.82.8(e-1)e-1 …12分 而e>2.71 答案第4页，共7页 可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 0.81 1-+0.8<0.358+0.209+0.468=1.035<1.04 2.82.8(e-1)e-12.82.8×1.711.71 …14分 则28<1.04，两边取对数得2 8<e.04 所以28<em …15分 18.(1)记从该厂产品中抽出4个，且恰好抽出一等品1个、二等品2个，三等品1个为事件M,则 P(M)=C4p,CpCp=4×0.15×3×0.72×1×0.1=0.0882 …4分 (2)0P(B)=P{X=k,X,=k,X=k,X4=k) =Chp1.Chp吟，Ch-p.C你-与-6Pp …6分 的n时瓷时 n! ,(n-k)业 0!.ka! ……10分 ()若把事件4作为一方，则4=4+4+A作为另一方， 那么随机变量X分布列为P(化=k,X,+X+X=n-) n. 即X,服从二项分布列为 P(() .…12分 n! 同理可知： PX,=）-k吟--p)广 …13分 n! PX=,X=)）A-k-P座0-A四》 …14分 所以P(x=1X=6)=P(出=，X=) P(X2=k2) 答案第5页，共7页 可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 飞5%(n-么-咚1-A-A广6 n! 名(n-)1-A) n! (n-k业 …16分 防以在验突K-大的条程下，随变世X限从二重分布，即X~a。-东)】 所以此时，随机变量X,的数学期望为 （n-k21Sp2, …17分 19,1)设直线的方程为=x+,代入撒物线C:r=2p(D>0), 可得-2m-2p=0,设5(，），7西少），则+6-=2p2分 点M(2,3)为线段PT的中点，可得2p=4,即P=2 x2=4y 则抛物线的方程为 …4分 1 1 所以A，B两点处的切线斜率分别为 =2.6=2 …6分 答案第6页，共7页 可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 y=x+1 由x2=4y，得x2-4x-4=0,所以x+x3=4k，xx3=-4, …8分 所以 46=-】 ,所以PA⊥PB,即△PAB为直角三角形.…9分 B 1 1 1 4y=2- 七2 4 y=-xx-y ②由(1)知 ，即： 2 10分 1 IpB :y= X2x-y2 同理 2 …11分 1 y% 25-乃 由直线， 都过点 ,即 1 PA PB P(xo,yo) %=2- 则点A(:,y),B(x,乃2)的坐标都满足方程2x-y=6, 1 即直线AB的方程为：2ox-y= 13分 又由直线AB过 点F(0,0,%=-1 xr-y=-1 2 联立 x2=4y 得x2-2xx-4=0 答案第7页，共7页 可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 a8=+-+年G+广-4-+至2+16 …14分 d 点 到直线 的距离 P(xo,-1)AB 4 6+2 5d-5+手af+i6 + …16分 5m对=4 当且仅当=0时，S网有最小值4，此时P(0,-）17分 答案第8页，共7页 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 目 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] s[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C]D] 口 3[A[B][C][D] 7[A][B][C][D] 杯 4[A[B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 1 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025~2026学年高二下学期数学期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册~选择性必修第三册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2025高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·浙江·期末）某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（   ）种 A．7 B．10 C．14 D．16 3．（2025高二下·浙江温州·期末）设a，b，c，d是非零实数，，则“a，b，c，d成等比数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023高二下·浙江·期末）已知复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高二下·浙江台州·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2023高二下·浙江·期末）过点作两条直线分别交抛物线于，两点，记直线，的斜率分为，，若，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2023高二下·浙江宁波·期末）椭圆：有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且，当时，椭圆的中心到与椭圆切于点的切线的距离为：（    ） A．1 B． C． D．或 8．（2023高二下·浙江宁波·期末）已知函数，则的解集是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025高二下·浙江·期末）下列关于概率统计的说法，正确的是（   ） A．若随机变量，则， B．若随机变量；，则 C．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 D．设关于分类变量与的独立性检验的零假设为与无关，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断不成立，即认为与无关. 10．（2025高二下·浙江·期末）已知数列满足，，令，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．为整数 D．数列的前2025项和为2025 11．（2023高二下·浙江丽水·期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，分别为的中点，则（    ） A．四面体是鳖臑 B．与所成角的余弦值是 C．点到平面的距离为 D．过点的平面截四棱锥的截面面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2023高二下·浙江·期末）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中所有各项的系数和为______. 13．（2024高二下·浙江温州·期末）椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为__________. 14．（2024高二下·浙江宁波·期末）已知定义在上的函数满足下列两个条件： ①；②. 请你写出一个符合要求的函数解析式__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（2025高二下·浙江·期末）已知向量，，， (1)求的单调递增区间； (2)设的内角，，的对边分别为，，，，且的内切圆半径为1，求的面积. 16．（15分）（2024高二下·浙江金华·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，分别为的中点，，垂足为. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面形成的锐二面角的余弦值. 17．（15分）（2025高二下·浙江金华·期末）已知函数，其中. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)试比较2.8与的大小并证明. 18．（17分）（2024高二下·浙江金华·期末）二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道，若，则.多项分布是二项分布的推广，同样是重复次试验，不同的是每次试验的结果不止2种，而有种，记这种结果为事件，它们的概率分别为，则.现考虑某厂生产的产品分成一等品､二等品､三等品和不合格品，它们出现的概率分别为，从该厂产品中抽出个，研究各类产品出现的次数的情况，就是一个多项分布.由于产品很多，每次抽取可以看作是独立重复的. (1)若从该厂产品中抽出4个，且和分别为和0.05，求抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个的概率； (2)现从该厂中抽出个产品，记事件出现的次数为随机变量.为了定出这一多项分布的分布列，只需求出事件的概率，其中为非负整数，. （i）求； （ii）对于上述多项分布，求在给定的条件下，随机变量的数学期望. 19．（17分）（2023高二下·浙江温州·期末）已知抛物线，斜率为1的直线交于不同于原点的，两点，点为线段的中点. (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，设切线，的交点为 ①求证：为直角三角形. ②记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标. 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025~2026学年高二下学期数学期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册~选择性必修三。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2025高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·浙江·期末）某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（   ）种 A．7 B．10 C．14 D．16 3．（2025高二下·浙江温州·期末）设a，b，c，d是非零实数，，则“a，b，c，d成等比数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023高二下·浙江·期末）已知复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高二下·浙江台州·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2023高二下·浙江·期末）过点作两条直线分别交抛物线于，两点，记直线，的斜率分为，，若，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2023高二下·浙江宁波·期末）椭圆：有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且，当时，椭圆的中心到与椭圆切于点的切线的距离为：（    ） A．1 B． C． D．或 8．（2023高二下·浙江宁波·期末）已知函数，则的解集是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025高二下·浙江·期末）下列关于概率统计的说法，正确的是（   ） A．若随机变量，则， B．若随机变量；，则 C．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 D．设关于分类变量与的独立性检验的零假设为与无关，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断不成立，即认为与无关. 10．（2025高二下·浙江·期末）已知数列满足，，令，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．为整数 D．数列的前2025项和为2025 11．（2023高二下·浙江丽水·期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，分别为的中点，则（    ） A．四面体是鳖臑 B．与所成角的余弦值是 C．点到平面的距离为 D．过点的平面截四棱锥的截面面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2023高二下·浙江·期末）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中所有各项的系数和为______. 13．（2024高二下·浙江温州·期末）椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为__________. 14．（2024高二下·浙江宁波·期末）已知定义在上的函数满足下列两个条件： ①；②. 请你写出一个符合要求的函数解析式__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（2025高二下·浙江·期末）已知向量，，， (1)求的单调递增区间； (2)设的内角，，的对边分别为，，，，且的内切圆半径为1，求的面积. 16．（15分）（2024高二下·浙江金华·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，分别为的中点，，垂足为. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面形成的锐二面角的余弦值. 17．（15分）（2025高二下·浙江金华·期末）已知函数，其中. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)试比较2.8与的大小并证明. 18．（17分）（2024高二下·浙江金华·期末）二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道，若，则.多项分布是二项分布的推广，同样是重复次试验，不同的是每次试验的结果不止2种，而有种，记这种结果为事件，它们的概率分别为，则.现考虑某厂生产的产品分成一等品､二等品､三等品和不合格品，它们出现的概率分别为，从该厂产品中抽出个，研究各类产品出现的次数的情况，就是一个多项分布.由于产品很多，每次抽取可以看作是独立重复的. (1)若从该厂产品中抽出4个，且和分别为和0.05，求抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个的概率； (2)现从该厂中抽出个产品，记事件出现的次数为随机变量.为了定出这一多项分布的分布列，只需求出事件的概率，其中为非负整数，. （i）求； （ii）对于上述多项分布，求在给定的条件下，随机变量的数学期望. 19．（17分）（2023高二下·浙江温州·期末）已知抛物线，斜率为1的直线交于不同于原点的，两点，点为线段的中点. (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，设切线，的交点为 ①求证：为直角三角形. ②记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $