24.3&4 数据的四分位数、数据的分组【五大考点+五大题型】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本讲义聚焦数据的四分位数、箱线图、离差平方和、数据分组及统计量综合问题，从百分位数概念入手，梳理四分位数确定步骤，再到箱线图构成与应用，最后整合数据分组及统计量分析，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过典例与变式结合、现实情境（如成绩分析、农作物高度）设计题型，培养数据意识（箱线图分析分布）、推理能力（离差平方和分组优化）。课中助力教师分层教学，课后学生可借精练巩固知识，有效查漏补缺。

24.3&4 数据的四分位数、数据的分组 【考点梳理】 · 考点一：求四分位数 · 考点二：箱线图问题 · 考点三：离差平方和问题 · 考点四：数据的分组问题 · 考点五：数据的统计量综合问题 【知识梳理】 知识点一：百分位数 一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2等份，将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数，相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息. 知识点二：箱线图 为了更加直观地观察产品收益率的分布特征，我们可以用产品收益率的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图.它主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段（称为须线）构成.整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距. 知识点三： 步骤确定其四分位数： 1.找出这组数据的中位数，作为这组数据的第二四分位数 2.找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的第一四分位数和 第三四分位数 利用一组数据的三个四分位数，以及最小值、最大值可以刻画这组数据的大致分布情况. 知识点四：数据的分组 【题型归纳】 题型一：求四分位数 【典例1】．（25-26八年级下·江苏·期中）为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度（单位：）如下：8，8，9，9，10，11，12，12，13，14．则这组数据的________，________，________． 【答案】 9 12 【分析】分别计算下四分位数、中位数和上四分位数即可． 【详解】解：由数据排序得：，，，，，，，，，， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即； 下四分位数为前个数据的中位数，即第个数据； 上四分位数为后个数据的中位数，即原数据中的第个数据． 【变式1】．（2026八年级下·全国·专题练习）小高将初中以来数学成绩进行排序，结果是：89，91，91，92，94，96，96，98，98，98．这组成绩的上四分位数是（　　） A．91 B．94 C． D．98 【答案】D 【详解】解：∵数据已排序：89，91，91，92，94，96，96，98，98，98，共10个数据， ∴上半部分数据为第6至第10个：96，96，98，98，98，共5个数据， ∴上四分位数即上半部分的中位数，取第3个数据98， ∴上四分位数为98． 【变式2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的第三四分位数和第一四分位数分别为______． 【答案】295，250 【详解】解：首先将这组数据从小到大排列：188，240，260，284，288，290，300，360， 数据共有个， 第一四分位数的位置为：，当位置为整数时，第一四分位数为排序后第2项与第3项数据的平均值，即， 第三四分位数的位置为：，当位置为整数时，第三四分位数为排序后第6项与第7项数据的平均值，即． 故答案为：295，250． 题型二：箱线图问题 【典例2】．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【详解】解：由题意可知： 三个班级中，甲班分数的方差最小，故选项A说法正确，不符合题意； 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大，故选项B说法正确，不符合题意； 丙班的中位数比80分稍多，所以丙班得分低于80分的人数不可能多于得分高于80分的学生人数，故选项C说法错误，符合题意； 根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大， ∴若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，最高的是丙班，故选项D说法正确，不符合题意． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的第三四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【分析】对比两班箱线图的箱体长度和整体数据跨度，可判断成绩集中程度，再根据箱线图的相关定义依次判断即可． 【详解】解：选项A：由图2可知，一班成绩的极差（最大值减最小值）更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中，因此A错误； 选项B：一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端（第一四分位数），因此B错误； 选项C：一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分，因此C正确； 选项D：由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班，因此D错误． 【变式2】．（25-26八年级上·福建宁德·期末）已知某校甲、乙两个篮球队人数相等，两队队员身高（）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲队身高数据比乙队更集中 B．甲队身高的下四分位数是 C．乙队身高超过的人数占 D．乙队身高的中位数比甲队大 【答案】B 【详解】解：A选项：观察箱线图，可以看到甲队队员身高的最大值与最小值的差大于乙队， ∴乙队身高数据比甲队更集中，故A选项错误； B选项：由箱线图可知，甲队身高的下四分位数是，故B选项正确； C选项：乙队身高的上四分位数是，即的队员身高不超过， ∴超过的人数占，故C选项错误； D选项：观察箱线图，可以看到甲队队员身高的中位数大于乙队， ∴乙队身高的中位数比甲队小，故D选项错误； 故选：B． 题型三：离差平方和问题 【典例3】．（25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 【答案】A 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算各选项中两组离差平方和的总和，总和最小的分组即为符合要求的分组 【详解】解：选项A、∵组{7，9}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{11，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项B、∵ 组{7，11}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项C、∵组{7，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，11，13}的平均数为11， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项D、∵ 组{11，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{7，9，13}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小，符合组内离差平方和最小原则 【变式2】．（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变 C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数和离差平方和，解题的关键是掌握以上两个公式． 先分别计算原6名队员与现5名队员身高的平均数，再计算两者的离差平方和，通过比较结果得出结论，用到平均数和离差平方和的定义和公式． 【详解】解：∵原6名队员身高总和为， ∴原平均数为； ∵去掉的队员后，5名队员身高总和为， ∴现平均数为； ∴平均数不变； ∵原离差平方和为 ； 现离差平方和为 ； ∴离差平方和不变； 综上，平均数不变，离差平方和不变， 故选：B． 题型四：数据的分组问题 【典例4】．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为了让同学们铭记历史、缅怀先烈，弘扬伟大的爱国主义精神、伟大的抗战精神，某地区甲、乙两个学校举行了“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年”知识竞赛，最后的决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了10名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙校：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 (1)求甲校测试成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 【详解】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，共有10个数据， ∴中位数为， 前半段的数据：60，70，70，80，89， ∴， 后半段的数据：91，92，96，98，100， ， ∴，，； （2）解：如图所示： （3）解：根据箱线图和四分位数可知甲校成绩的中位数和乙校相同，但甲校成绩明显比乙校的波动大． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）某班为了选拔一名学生参加学校举办的诗词大赛，组织了五次测试，其中甲、乙两名学生的成绩较为优秀，他们在这五次测试中的成绩（单位：分）如下： 【数据收集】 甲：； 乙：． 【数据分析】 学生 众数/分 中位数/分 平均数/分 甲 乙 根据上述收集、分析的结果，解答下列问题： (1)上表中_________，_________； (2)求乙同学这五次测试成绩的平均数； (3)计算甲、乙两名学生这五次测试成绩的离差平方和，若班主任张老师要选一名成绩比较稳定的学生去参加学校举办的诗词大赛，选择哪名学生更合适？ 【答案】(1)， (2)乙同学这五次测试成绩的平均数是分 (3)甲的离差平方和是，乙的离差平方和是；选择学生甲去参加学校举办的诗词大赛更合适 【分析】本题考查了众数、中位数、离差平方和、平均数，关键是熟练应用特征数的算法进行数据的整理和分析； （1）根据众数及中位数的定义计算即可； （2）根据平均数的求法计算即可； （3）根据离差平方和的求法计算出两名学生的成绩，利用离差平方和越小成绩越稳定来选择参赛学生即可． 【详解】（1）解：∵甲成绩中出现次数最多， ∴， ∵乙成绩按从小到大排序中间位置的数是， ∴； 故答案为：． （2）解：∵， 乙同学这五次测试成绩的平均数是分． （3）解：甲的离差平方和，      乙的离差平方和，            ∵， 选择学生甲去参加学校举办的诗词大赛更合适． 【变式2】．（25-26八年级上·广东深圳·期末）在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 【详解】（1）解：∵甲的成绩为：4，6，7，7，7，7，8，10，共8个数据 ∴上四分位数a为第6、7项的平均数，即， ∵乙的成绩中7出现的次数最多， ∴众数， ∵丙的成绩为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，共10个数据 ∴中位数c为第5、6项的平均数，即， ∴ 故答案为：，，； （2）解：不同意．理由如下： 虽然乙和丙的离差平方和相同，但稳定性还需结合数据的离散程度和波动区间判断． 乙的成绩最小值为6，最大值为10；丙的成绩最小值为5，最大值为9． 且乙的上四分位数为7，丙的上四分位数为8，说明丙的高分段数据更多，乙的成绩更集中在中低分段，因此二者的射击稳定性并不完全一样． （3）解：甲：平均成绩7，众数7，但成绩波动较大（最小值4，最大值10），离差平方和最大，稳定性最差，但存在打出高分的潜力． 乙：平均成绩7，众数7，成绩集中在6~10区间，离差平方和较小，稳定性较好，但高分段表现较少． 丙：平均成绩7，众数7，成绩集中在5~9区间，离差平方和较小，稳定性较好，且高分段（8、9环）数据更多，整体发挥更均衡． 题型五：数据的统计量综合问题 【典例5】．（2026八年级下·浙江·专题练习）八年级（1）班共50人平均分为两组进行比拼，解一道满分为5分的数学题．得分结果绘制成两张统计图如图． 姜老师要对两组比拼的得分结果进行点评，所以需要计算两组得分相关的统计数据，请你帮他完成： (1)分别求出A组和B组得分的平均数，指出两组的众数和中位数． (2)求出这两组数据的方差，并指出哪一组的数据更加稳定． (3)绘制两组数据的四分位数表，并制作箱线图．通过箱线图总结本次比拼两组的得分情况． ①四分位数表（单位：分）和箱线图 组别 下四分位数 中位数 上四分位数 A组 B组 ②总结：___________． 【答案】(1)A组平均数为3分，众数为3分，中位数为3分；B组平均数为3分，众数为4分，中位数为3分 (2)B组成绩更稳定 (3)①图表见详解；②两组的中位数相同，但A组出现了满分，说明从绝对成绩出发，A组发挥出色．但B组箱体比A组更加扁，说明的分数更加集中，在上四分位数相同的情况下，B组中间成绩更稳定 【详解】（1）解：由图可得，A组的平均数为：（分），众数为3分，中位数为3分； B组的平均数为：（分），众数为4分，中位数为3分； （2）解：由题意得，A组方差， B组方差， ∵， ∴B组成绩更稳定； （3）解：由题意得，A组的下四分位数为，上四分位数为； B组的下四分位数为，上四分位数为； ∴四分位数表如下： 组别 下四分位数 中位数 上四分位数 A组 2 3 4 B组 3 4 箱线图如下： 总结：两组的中位数相同，但A组出现了满分，说明从绝对成绩出发，A组发挥出色；但B组箱体比A组更加扁，说明的分数更加集中，在上四分位数相同的情况下，B组中间成绩更稳定． 【变式1】．（25-26八年级下·浙江·期中）为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (3)根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】(1)90；92 (2)70；96；补图见解析 (3)乙组竞赛成绩较好．理由：平均分更高，成绩更稳定．（答案不唯一） 【分析】（）根据众数，中位数的定义即可求解． （）根据数值计算前后各个数的中位数即可求出上四分为数和下四分位数即可． （）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【详解】（1）解：甲组个数，排序后第五和第六位分别是89 和91， ∴中位数 ， 众数是出现次数最多的，乙组排序后最多， ∴众数． （2）解：前半部分为前个数（, , , , ），中位数是第个为，则下四分位数为，后半部分数据为（, , , , ），中位数是第个为，则上四分位数为， 所以，箱线图为： （3）解：乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好． 【变式2】．（25-26八年级下·全国·期末）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的平均成绩更高；通过计算方差，，__________，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的射击水平更稳定． (2)小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 表格中，①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】(1)9；B；0.75；B (2)7.5；9；10 (3)选择选手B参加青少年射击比赛，见解析 【详解】（1）解：由图可得：， ， ∴选手的平均成绩更高．； ， ∵， ∴选手的射击水平发挥更稳定； （2）解：选手的数据从小到大排列为， 则下四分位数为，即；中位数为，即； 选手的数据从小到大排列为， 则上四分位数为，即； 可以发现选手射击成绩的中位数选手射击成绩的中位数； （3）解：选择选手B参加青少年射击比赛． 理由：因为A，B两名选手的中位数相等，但选手B的方差更小，成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 【高分精练】 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）现有一组数据分别为： ，则上四分位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将数据从小到大排序，再求出上半部分数据的中位数即可求解． 【详解】解：∵数据从小到大排序为， ∵上四分位数是排序后上半部分数据的中位数，上半部分数据为， ∴上四分位数． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D．乙组跳绳次数的最大值大于190 【答案】C 【详解】解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组， 则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170， ， 乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195， 乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（     ） A．地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B．地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C．地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D．地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 【答案】C 【分析】箱线图中，箱体的上下四分位数、中间的线是中位数，两端是最大值和最小值，数据越分散，方差越大． 【详解】解：A、A地的最大值接近20，B地的最大值在15左右，所以A地最大值大于B地，正确； B、A地的中位数比B地的中位数低，正确； C、A地的数据分布比B地更分散，所以A地的方差大于B地的方差，该选项说法错误； D、B地的最小值约为5，A地的下四分位数在5以下，说明有以上的数据低于5，即低于B地的最小值，正确； 所以不正确的是C． 4．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：），关于这组数据，下列说法正确的是（    ） A．众数是2 B．中位数是6 C．平均数是6 D．离差平方和是10 【答案】D 【分析】本题考查众数、中位数、平均数和离差平方和的计算，根据定义逐项计算判断即可． 【详解】解：A、众数为出现次数最多的数，5出现2次，其他出现1次，所以众数为5，A错误； B、数据排序后为3，4，5，5，6，7，中位数为，所以B错误； C、平均数，所以C错误； D、平均数，离差平方和，所以D正确． 故选：D． 5．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是分 C．一班有同学的成绩超过分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【详解】解：A、一班与二班的箱体高度相同，所以一班与二班的数据集中程度相同，该选项说法错误； B、一班成绩的上四分位数是分，该选项说法错误； C、一班存在一个异常值点在分刻度上方，说明一班有同学成绩超过分，该选项说法正确； D、一班的平均分低于二班的平均分，该选项说法错误． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断，下列说法错误的是（    ） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化严重 C．丙班得分低于80分的学生人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的成绩按从高到低排列的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，该选项正确； 、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，该选项正确； 、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，说法错误； 、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，该选项正确； 故选：． 7．（25-26八年级上·山东青岛·期末）有6名同学参加体能测试，测试成绩（单位：分）分别是：80，80，90，75，75，80．这组数据的离差平方和是（   ） A．5 B．25 C．125 D．150 【答案】D 【分析】本题主要考查了离差平方和的计算，计算离差平方和，需先求平均值，再求每个数据与平均值之差的平方和． 【详解】解∶∵数据总和， 平均值， ∴离差平方和， 故选：D． 8．（25-26八年级上·全国·期末）求一组数据方差的算式为．由算式提供的信息，下列结论：①加入两个数7，7后，n的值增加了2；②加入两个数7，7后，该组数据的平均数不变；③加入两个数7，7后，该组数据的方差变小；④加入两个数7，7后，该组数据的离差平方和变大．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了方差，平均数，离差平方和．依题意，得出原始数据为，，平均数，当加入两个7后，，平均数不变，方差变小，离差平方和不变，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴原始数据为，， 当加入两个7后，此时， ∴n的值增加了2， ∴①是符合题意的； 则原始数据求和：， ∴平均数， 则当加入两个7后，新数据求和：， 此时新数据的平均数，平均数不变， ∴ ②符合题意； ∴原始方差； 新方差为， ∵， ∴方差变小， ∴ ③符合题意； 依题意，原始离差平方和 新离差平方和，不变， ∴ ④是不符合题意， ∴ 正确结论有3个， 故选：C 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）对于两组数据和，若数据的离差平方和为，数据的离差平方和为，则下列说法正确的是（   ） A．数据的波动比数据大 B．数据的波动比数据大 C．数据和数据的波动相同 D．无法判断两组数据的波动情况 【答案】D 【分析】本题考查组内离差平方和，掌握离差平方和的意义是解题的关键． 离差平方和反映数据波动，但波动大小需考虑数据个数，题干未给出数据个数，故无法比较波动情况． 【详解】解：∵ 离差平方和的大小受数据个数影响， 题干中未提供数据和的个数， ∴ 无法判断两组数据的波动情况． 故选：D． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）现有数据：6，9，12，15，18，21．若将其分为2组，根据组内离差平方和最小的原则，下列选项中，最优的分组方法是（   ） A．第一组，第二组 B．第一组，第二组 C．第一组，第二组 D．第一组，第二组 【答案】A 【分析】计算各选项的组内离差平方和总和，总和最小的分组最优． 本题考查了组内离差平方和的计算， 掌握离差平方和的定义是解题的关键． 【详解】解：A、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． B、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． C、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． D、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． ∵选项A的总离差平方和最小， ∴最优分组为A． 故选：A． 11．（25-26八年级上·重庆南岸·阶段检测）在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年月每天的最高温度数据进行分析．如图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（   ） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查箱线图的统计意义，掌握箱线图各部分对应的统计量含义是解决问题的关键．根据箱线图各部分含义，逐个判断结论对错即可． 【详解】解：结论①：箱线图中，下四分位数对应箱的左边界，济南的箱左边界为，故下四分位数是，故①错误； 结论②：中位数对应箱内的线，济南的中位数（箱内线）低于西安的中位数，故②正确； 结论③：西安的最高气温低于济南的部分气温，并非“都高于”，故③错误； 结论④：观察箱线图：西安的箱线图中，代表数据分布的“箱体”及右侧线段显示，其数据的中位数（箱体中间线）和大部分数据集中在以上，但不低于的部分仅占数据的一小部分（箱体右侧到最大值的区间），并未超过总天数的一半，因此，结论④是错误的， 故选：A． 二、填空题 12．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组. 比较表格中三组的组内离差平方和，得， 因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组. 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）将数据1，3，5，7，9分为和两组，则组内离差平方和为___________． 【答案】10 【分析】计算每组数据的均值，然后求每组数据与均值的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加． 本题考查了组内离差平方和的计算， 掌握离差平方和的定义是解题的关键． 【详解】解：对于组，均值，离差平方和； 对于组，均值，离差平方和； 总组内离差平方和． 故答案为：10． 14．（25-26八年级下·四川广安·阶段检测）某校“魅力篮球节”活动中，有8位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为6，5，4，7，6，10，9，8．则这8位同学投篮进球次数的上四分位数为__________． 【答案】8.5次 【分析】本题考查上四分位数的计算，需先将数据从小到大排序，再根据数据个数计算上四分位数的值，上四分位数就是分位数． 【详解】解：将进球次数从小到大排序为，共有个数据， 由，可知上四分位数为第6个数据与第7个数据的平均值， 为（次），即这8位同学投篮进球次数的上四分位数为次． 15．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是根据甲、乙组跳绳成绩（单位：次／分）在同一幅图中画出两组数据的箱线图．下面有四个结论：①甲组的中位数比乙组的大；②甲组最小数据和乙组相差不多；③乙组最大数据比甲组的明显大；④乙组数据的波动明显比甲组的大．其中正确的是______．（填四个结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了箱线图，根据甲、乙组的箱线图，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①甲组的中位数比乙组的大，故①正确； ②甲组最小数据和乙组相差不多，故②正确； ③乙组最大数据比甲组的明显大，故③正确； ④乙组数据的波动范围比甲组大，故④正确． 故答案为：①②③④． 三、解答题 16．（25-26八年级下·浙江温州·期中）为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)在扇形统计图中，a的值为__________，在箱线图中b的值为__________，c的值为__________． (2)本次调查样本中数据的众数为___________． (3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少？ 【答案】(1)28，6，7 (2) (3)估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数为100人 【分析】（1）用1减去扇形统计图中各项百分比即可求出a，根据箱线图中第一四分位数，中位数的定义求解即可． （2）根据众数的定义求解即可． （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：，即． 根据样本容量50， 计算各时间段人数：∶(人)， (人)， (人)， (人)， (人)， (人)， 箱线图中，b为第一四分位数，c为中位数， 中位数：第25、26个数据的平均数，前个数据中， 第25、26个数据均为， 故； 第一四分位数∶第12、13个数据的平均数， 前个数据中 第12、13个数据均为，故， 因此：，，． （2）解：由各时间段人数可知，对应的人数为14人，是所有时间段中人数最多的， 因此众数为； （3）解：(人)． 答：估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数为100人． 17．（25-26八年级下·浙江台州·期中）某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司 A 3.195 a 4.44 B b 3.890 c 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 【答案】(1)，， (2)通过箱线图可知，A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健． 【详解】（1）解：将A公司的数据排序：2.02，2.15，3.18，3.21，3.64，3.85，3.98，4.10，4.11，4.77，4.88，4.89， ∵第6个和第7个数据分别为3.85，3.98， ∴； B公司的数据排序：3.18，3.40、3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44， ∵第3个和第4个数据为3.60和3.67，第9个和第10个数据为4.10和4.15， ∴； （2）解：由图可知：A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健． 18．（25-26八年级下·浙江温州·期中）【数据收集】某实验室为了从甲、乙两个图像分类模型中选拔一个部署到智能安防系统，现组织两者在10轮基准测试中进行性能评估，记录每轮测试的准确率（）： 甲模型：100，95，85，60，90，75，90，95，70，90 乙模型：90，80，70，85，85，90，80，100，80，90 【数据整理】将甲、乙两个模型测试的准确率绘制成如图统计图：    【数据分析】 (1)若利用平均数、方差进行分析（如图1），通过计算平均数，___________．再计算方差，___________． 准确率 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 60 75 ② 95 100 乙 70 ① 85 ③ 100 (2)若利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填___________，②处应填___________，③处应填___________． 【作出决策】 (3)请你根据10轮基准测试的成绩，从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差、四分位数和箱线图等作全面分析） 【答案】(1)85，60 (2)80，90，90 (3)选择乙模型，理由见解析 【分析】（1）利用平均数的公式以及方差公式求解； （2）利用四分位数、箱线图的定义求解； （3）平均数、方差、四分位数和箱线图等做出决策． 【详解】（1）解：， ； （2）解：根据四分位数、箱线图①处应填，②处应填，③处应填； （3）解：选择乙模型，理由如下： 通过平均数可得； 通过方差可得，乙模型表现更为稳定； 通过四分位数和箱线图可得，乙模型四分位距更小，更稳定； ∴选择乙模型． 19．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号、、星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 70 八年级 c (1)上表中，___________，___________； (2)请你求出七年级所抽取学生成绩的下四分位数和上四分位数，并补全箱线图； (3)求八年级所抽取学生的平均成绩和离差平方和． 【答案】(1)；； (2)；；图见解析 (3)；离差平方和为 【分析】（1）将八年级成绩排序，进而根据中位数和众数的定义作答即可； （2）将七年级成绩排序，求出下四分位数、上四分位数，求出中位数，进而作图即可； （3）先求出平均数，再计算离差平方和即可． 【详解】（1）解：八年级成绩排序：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 中位数，众数． 故答案为：；； （2）解：七年级成绩排序：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100． 下四分位数为，上四分位数为； 中位数， 作图如下： （3）解：八年级平均数：， 离差平方和： ． 20．（25-26八年级上·河南郑州·期末）某校组织七、八年级学生开展劳动技能知识比赛．为了解活动效果，从两个年级随机抽取部分学生成绩，进行如图统计分析： 收集数据 七年级共400人，八年级共500人，每个年级分别随机抽取20名学生的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数） 整理数据 将抽取的学生比赛成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组（用x表示成绩）A组：，B组：，C组：，D组：．其中七年级20名学生的比赛成绩众数出现在B组，B的数据为：72，73，74，74，74，74，74，76，78；八年级20名学生的比赛成绩中C组的数据为：87，88，88，88，89，89，89，89 描述数据 根据统计数据，绘制成如图统计图： 分析数据： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 八年级 (1)_________，_________，_________． (2)你认为哪个年级劳动技能比赛的总体成绩较好，说明理由． (3)①该校授予劳动技能比赛成绩不低于分的学生“劳动小能手”称号估计七、八年级共_________名学生获此称号． ②七（1）班“乐学”小组五位组员在本次比赛中均未达到80分，成绩分别为：65，69，70，74，78．他们决定分成两人组或三人组合作学习，如表． 分法 分组情况 组内离差平方和 第一种 第一组人，第二组人 第二种 第一组人，第二组人 22 为了达到“组内离差平方和最小”，请你计算并做出选择．_________，选第_________种分法． 【答案】(1)；； (2)八年级成绩总体较好，理由见解析 (3)①；②；二 【详解】（1）解：∵七年级学生的比赛成绩的众数出现在B组， 又∵B组成绩中分出现5次，出现的次数最多， ∴七年级学生的比赛成绩的众数为分， ∴， 七年级的成绩中，B组占比为， ∴C组占比为， ∴， 由条形统计图和八年级C组的数据可知，八年级学生的比赛成绩的第11名与第10名的成绩对应C组的分与分， ∴． （2）解：八年级的比赛成绩总体较好，理由如下； 虽然在平均分上八年级的比赛成绩略低于七年级，但八年级的中位数大幅高于七年级，说明八年级有一半成绩在分以上，而七年级低分段的学生较多．八年级的众数也远高于七年级，反映八年级大多数学生成绩集中在较高水平．另外八年级的方差更小，成绩更稳定，综合来看，八年级的成绩总体好于七年级（言之有理即可）． （3）解：①由统计的数据可知， 七年级获得“劳动小能手”称号的人约有（人）， 八年级获得“劳动小能手”称号的人约有（人）， （人）， ∴七、八年级约有名学生获得“劳动小能手”称号； ②，， ∴， ∵， ∴应该选第二种分法． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.3&4 数据的四分位数、数据的分组 【考点梳理】 · 考点一：求四分位数 · 考点二：箱线图问题 · 考点三：离差平方和问题 · 考点四：数据的分组问题 · 考点五：数据的统计量综合问题 【知识梳理】 知识点一：百分位数 一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2等份，将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数，相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息. 知识点二：箱线图 为了更加直观地观察产品收益率的分布特征，我们可以用产品收益率的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图.它主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段（称为须线）构成.整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距. 知识点三： 步骤确定其四分位数： 1.找出这组数据的中位数，作为这组数据的第二四分位数 2.找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的第一四分位数和 第三四分位数 利用一组数据的三个四分位数，以及最小值、最大值可以刻画这组数据的大致分布情况. 知识点四：数据的分组 【题型归纳】 题型一：求四分位数 【典例1】．（25-26八年级下·江苏·期中）为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度（单位：）如下：8，8，9，9，10，11，12，12，13，14．则这组数据的________，________，________． 【变式1】．（2026八年级下·全国·专题练习）小高将初中以来数学成绩进行排序，结果是：89，91，91，92，94，96，96，98，98，98．这组成绩的上四分位数是（　　） A．91 B．94 C． D．98 【变式2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的第三四分位数和第一四分位数分别为______． 题型二：箱线图问题 【典例2】．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的第三四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【变式2】．（25-26八年级上·福建宁德·期末）已知某校甲、乙两个篮球队人数相等，两队队员身高（）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲队身高数据比乙队更集中 B．甲队身高的下四分位数是 C．乙队身高超过的人数占 D．乙队身高的中位数比甲队大 题型三：离差平方和问题 【典例3】．（25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 【变式2】．（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变 C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大 题型四：数据的分组问题 【典例4】．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为了让同学们铭记历史、缅怀先烈，弘扬伟大的爱国主义精神、伟大的抗战精神，某地区甲、乙两个学校举行了“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年”知识竞赛，最后的决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了10名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙校：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 (1)求甲校测试成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）某班为了选拔一名学生参加学校举办的诗词大赛，组织了五次测试，其中甲、乙两名学生的成绩较为优秀，他们在这五次测试中的成绩（单位：分）如下： 【数据收集】 甲：； 乙：． 【数据分析】 学生 众数/分 中位数/分 平均数/分 甲 乙 根据上述收集、分析的结果，解答下列问题： (1)上表中_________，_________； (2)求乙同学这五次测试成绩的平均数； (3)计算甲、乙两名学生这五次测试成绩的离差平方和，若班主任张老师要选一名成绩比较稳定的学生去参加学校举办的诗词大赛，选择哪名学生更合适？ 【变式2】．（25-26八年级上·广东深圳·期末）在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 题型五：数据的统计量综合问题 【典例5】．（2026八年级下·浙江·专题练习）八年级（1）班共50人平均分为两组进行比拼，解一道满分为5分的数学题．得分结果绘制成两张统计图如图． 姜老师要对两组比拼的得分结果进行点评，所以需要计算两组得分相关的统计数据，请你帮他完成： (1)分别求出A组和B组得分的平均数，指出两组的众数和中位数． (2)求出这两组数据的方差，并指出哪一组的数据更加稳定． (3)绘制两组数据的四分位数表，并制作箱线图．通过箱线图总结本次比拼两组的得分情况． ①四分位数表（单位：分）和箱线图 组别 下四分位数 中位数 上四分位数 A组 B组 ②总结：___________． 【变式1】．（25-26八年级下·浙江·期中）为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (3)根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【变式2】．（25-26八年级下·全国·期末）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的平均成绩更高；通过计算方差，，__________，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的射击水平更稳定． (2)小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 表格中，①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【高分精练】 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）现有一组数据分别为： ，则上四分位数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D．乙组跳绳次数的最大值大于190 3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（     ） A．地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B．地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C．地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D．地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 4．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：），关于这组数据，下列说法正确的是（    ） A．众数是2 B．中位数是6 C．平均数是6 D．离差平方和是10 5．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是分 C．一班有同学的成绩超过分 D．一班的平均分高于二班的平均分 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断，下列说法错误的是（    ） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化严重 C．丙班得分低于80分的学生人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的成绩按从高到低排列的第11名中，丙班的分数最高 7．（25-26八年级上·山东青岛·期末）有6名同学参加体能测试，测试成绩（单位：分）分别是：80，80，90，75，75，80．这组数据的离差平方和是（   ） A．5 B．25 C．125 D．150 8．（25-26八年级上·全国·期末）求一组数据方差的算式为．由算式提供的信息，下列结论：①加入两个数7，7后，n的值增加了2；②加入两个数7，7后，该组数据的平均数不变；③加入两个数7，7后，该组数据的方差变小；④加入两个数7，7后，该组数据的离差平方和变大．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）现有数据：6，9，12，15，18，21．若将其分为2组，根据组内离差平方和最小的原则，下列选项中，最优的分组方法是（   ） A．第一组，第二组 B．第一组，第二组 C．第一组，第二组 D．第一组，第二组 11．（25-26八年级上·重庆南岸·阶段检测）在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年月每天的最高温度数据进行分析．如图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（   ） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 12．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）将数据1，3，5，7，9分为和两组，则组内离差平方和为___________． 14．（25-26八年级下·四川广安·阶段检测）某校“魅力篮球节”活动中，有8位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为6，5，4，7，6，10，9，8．则这8位同学投篮进球次数的上四分位数为__________． 15．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是根据甲、乙组跳绳成绩（单位：次／分）在同一幅图中画出两组数据的箱线图．下面有四个结论：①甲组的中位数比乙组的大；②甲组最小数据和乙组相差不多；③乙组最大数据比甲组的明显大；④乙组数据的波动明显比甲组的大．其中正确的是______．（填四个结论的序号） 三、解答题 16．（25-26八年级下·浙江温州·期中）为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)在扇形统计图中，a的值为__________，在箱线图中b的值为__________，c的值为__________． (2)本次调查样本中数据的众数为___________． (3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少？ 17．（25-26八年级下·浙江台州·期中）某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司 A 3.195 a 4.44 B b 3.890 c 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 18．（25-26八年级下·浙江温州·期中）【数据收集】某实验室为了从甲、乙两个图像分类模型中选拔一个部署到智能安防系统，现组织两者在10轮基准测试中进行性能评估，记录每轮测试的准确率（）： 甲模型：100，95，85，60，90，75，90，95，70，90 乙模型：90，80，70，85，85，90，80，100，80，90 【数据整理】将甲、乙两个模型测试的准确率绘制成如图统计图：    【数据分析】 (1)若利用平均数、方差进行分析（如图1），通过计算平均数，___________．再计算方差，___________． 准确率 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 60 75 ② 95 100 乙 70 ① 85 ③ 100 (2)若利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填___________，②处应填___________，③处应填___________． 【作出决策】 (3)请你根据10轮基准测试的成绩，从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差、四分位数和箱线图等作全面分析） 19．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号、、星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 70 八年级 c (1)上表中，___________，___________； (2)请你求出七年级所抽取学生成绩的下四分位数和上四分位数，并补全箱线图； (3)求八年级所抽取学生的平均成绩和离差平方和． 20．（25-26八年级上·河南郑州·期末）某校组织七、八年级学生开展劳动技能知识比赛．为了解活动效果，从两个年级随机抽取部分学生成绩，进行如图统计分析： 收集数据 七年级共400人，八年级共500人，每个年级分别随机抽取20名学生的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数） 整理数据 将抽取的学生比赛成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组（用x表示成绩）A组：，B组：，C组：，D组：．其中七年级20名学生的比赛成绩众数出现在B组，B的数据为：72，73，74，74，74，74，74，76，78；八年级20名学生的比赛成绩中C组的数据为：87，88，88，88，89，89，89，89 描述数据 根据统计数据，绘制成如图统计图： 分析数据： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 八年级 (1)_________，_________，_________． (2)你认为哪个年级劳动技能比赛的总体成绩较好，说明理由． (3)①该校授予劳动技能比赛成绩不低于分的学生“劳动小能手”称号估计七、八年级共_________名学生获此称号． ②七（1）班“乐学”小组五位组员在本次比赛中均未达到80分，成绩分别为：65，69，70，74，78．他们决定分成两人组或三人组合作学习，如表． 分法 分组情况 组内离差平方和 第一种 第一组人，第二组人 第二种 第一组人，第二组人 22 为了达到“组内离差平方和最小”，请你计算并做出选择．_________，选第_________种分法． 2 学科网（北京）股份有限公司 $