精品解析：河南开封市祥符区第四高级中学等校2026届高三考前自测数学试题

河南开封市祥符区第四高级中学等校2026届高三考前自测数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 2 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，，，若，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 若等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 4 6. 若实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. 2 D. 7. 已知，，，都是锐角，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 在定义域上单调递减 10. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则 B. 若将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则的最小值为 C. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 D. 若函数在上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是 11. 如图1，矩形中，，过，向对角线作垂线，垂足分别为，，且，将沿翻折，得到三棱锥，如图2，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的外接球的表面积是 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 二面角为直二面角时，的长为 D. 二面角为直二面角时，点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为______． 13. 若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________． 14. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，内切圆的面积是内切圆的面积的4倍，则的离心率的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司考察了A，B两个项目进行投资，记A，B两个项目的利润分别为X（万元），Y（万元），经过风险评估，得到X，Y的分布列如下： X（万元） –10 0 10 30 Y（万元） 0 10 20 P 0.1 0.3 0.4 0.2 P 0.3 0.5 0.2 （1）求A，B两个项目的利润的期望； （2）求A，B两个项目的利润的方差，并比较方差的大小． 16. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． （1）求角C的大小： （2）若边，求的面积S的取值范围． 17. 如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点． （1）证明：CD⊥AE； （2）点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值． 18. 已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 设函数，． （1）求的图象在点处的切线方程； （2）证明：； （3）设，，数列的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南开封市祥符区第四高级中学等校2026届高三考前自测数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出，再根据共轭复数的定义得到，进而求解即可． 【详解】由，则， 所以． 3. 设向量，，，若，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先将转化为坐标方程组，然后求解，进而可得. 【详解】因为，所以， 即，解得，所以. 4. 若等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，，，则， 故，代入得：，解得. 5. 若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式计算即得. 【详解】将代入，得， 设，则， 由，解得， 于是原点到直线的距离为. 6. 若实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】换元，，将转化为关于的三角函数，利用辅助角公式求最值 【详解】因为，所以，令，，， 其中，所以的最大值为 7. 已知，，，都是锐角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，， 得，， 两式相加得，， 则，即，则， 因为，都是锐角，所以， 则，即. 8. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别构造函数和，利用导数讨论其单调性可得. 【详解】将用变量x替代，则，，，其中， 令，则， 令，则， 则在上单调递减，且，， 所以，使得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 又，，则，则在上单调递增， 则，即，所以， 记，，则，在上单调递增， 又，所以，所以. 综上，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 在定义域上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】先通过分离常数将函数表达式转化为平移后的反比例函数形式，然后借助反比例函数的性质依次判断各选项即可. 【详解】因为， 对于A：因为的对称中心为，将其向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到，所以对称中心变为，故A正确； 对于B：任取上一点，其关于直线的对称点为， 而， 因此其对称点也在上，所以的图象关于对称，故B正确； 对于C：因为，所以， 即的值域为，故C正确； 对于D：的定义域为，它仅在区间和上分别单调递减， 不能说在整个定义域上单调递减，例如：取， 有，不符合单调递减定义，故D错误. 10. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则 B. 若将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则的最小值为 C. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 D. 若函数在上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，结合余弦函数的性质可得，进而结合余弦型函数的周期公式求解判断即可；对于B，先根据函数的平移求得函数解析式，再根据余弦函数的奇偶性判断即可；对于C，根据余弦函数的单调性列不等式组求解判断即可；对于D，结合余弦函数的图象、极值点、零点的定义求解判断即可. 【详解】对于A，因为函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为， 所以，则，即，故A错误； 对于B，将函数的图象向右平移个单位长度，得到， 因为所得函数图象关于原点对称，所以， 则，又，则时，取得最小值，故B正确； 对于C，当，时，， 因为函数在上单调递增， 所以，，则，， 又，则，，即的取值范围是，故C错误； 对于D，当，时，， 因为函数在上恰有两个极值点和三个零点， 所以，则， 即的取值范围是，故D正确. 11. 如图1，矩形中，，过，向对角线作垂线，垂足分别为，，且，将沿翻折，得到三棱锥，如图2，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的外接球的表面积是 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 二面角为直二面角时，的长为 D. 二面角为直二面角时，点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形射影定理求出，确定三棱锥的外接球球心及半径判断A；求出最大体积判断B；利用空间向量求出线段长判断C；利用等体积法求出点到平面距离判断D. 【详解】在矩形中，由，得，又于， 则，而，解得，， 对于A，取中点，连接，则， 点是三棱锥的外接球球心，球半径，该球表面积是，A正确； 对于B，由，得，， 当且仅当平面平面，即平面时，点到平面的距离最大， 因此三棱锥体积的最大值为，B正确； 对于C，，，由二面角为直二面角， 得，由，得 ，C错误； 对于D，由选项C知，，在中，由余弦定理得 ，则，， 二面角为直二面角时，由选项B得，设点到平面的距离为， 因此，所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为______． 【答案】60 【解析】 【详解】的展开式的通项为，，1，2，…，6， 令，得，所以的展开式中常数项为． 13. 若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的导数，根据题意得二次方程有两个不等正根，再根据不等式求解即可. 【详解】已知，进而. 令，设其两个根为，由题意. 二次方程有两个不等正根，则， 解得或，则实数的取值范围. 14. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，内切圆的面积是内切圆的面积的4倍，则的离心率的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别记和的内切圆为，其半径分别为，则；由双曲线的定义及切线的性质，可得和的内切圆圆心的连线与垂直，且，从而求得，由二倍角的正切公式可求得，即直线的斜率，与渐近线斜率比较，并结合，求得关系式，进而得到离心率的取值范围. 【详解】设双曲线的焦距为，则. 分别记和的内切圆为，其半径分别为，则，所以. 设与切于点， 则 又，所以. 即点坐标为， 同理，与切于点，即三点共线，且. 所以， 所以. 又 所以， 所以，所以，. 所以， 即直线的斜率为. 所以，即，即，所以， 所以的离心率的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司考察了A，B两个项目进行投资，记A，B两个项目的利润分别为X（万元），Y（万元），经过风险评估，得到X，Y的分布列如下： X（万元） –10 0 10 30 Y（万元） 0 10 20 P 0.1 0.3 0.4 0.2 P 0.3 0.5 0.2 （1）求A，B两个项目的利润的期望； （2）求A，B两个项目的利润的方差，并比较方差的大小． 【答案】（1）万元，万元． （2），，所以 【解析】 【详解】（1）由题意知（万元） （万元）． （2）， ， 所以． 16. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． （1）求角C的大小： （2）若边，求的面积S的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，由同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）由正弦定理和三角形面积公式结合三角恒等变换可得，再利用为锐角三角形求得角的范围即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 所以，即， 因为为锐角三角形，所以，且， 所以，， 又，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，得，所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，，即， 由，得， 所以，，， 所以的面积S的取值范围为. 17. 如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点． （1）证明：CD⊥AE； （2）点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直进而得线线垂直，由二面角定义可得，进而根据中点得线线垂直即可求， （2）由线面平行的性质可得线线平行，由线线角的几何法可利用三角形的边角关系求解，或者建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 （1）因为平面平面，且两平面交线为,，平面 所以平面，所以，是二面角的平面角，故 ． 连接，E为棱的中点，则，从而． 又，，平面AED，所以平面，平面,因此． 【小问2详解】 解法1：设，则，所以． 连交于点，连接交于点G，连．因为平面，平面AEC,平面AEC平面BDF=OG 所以，因为为中点， 所以G为中点，故．且直线与所成角等于直线与所成角． 在中，，因为， 所以． 因此直线AE与DF所成角的余弦值为． 解法2；设，则，所以． 取中点为，连接交于点，则． 连接交于点，连，因为平面，平面AGE，平面AGE平面BDF=IH，所以． 与所成角等于直线与所成角． 正方形中，，，所以，故． 在中，，， 由余弦定理．在中，． 因此直线与所成角的余弦值为． 解法3:由（1）知平面，以为坐标原点，为x轴正方向，为2个单位长，建立如图所示的空间直角坐标系． 由（1）知，得，． 则，，，． 由，得． 因为平面BDF，所以存在唯一的，， 使得， 故，解得， 从而． 所以直线与所成角的余弦值为． 18. 已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，． 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用题设条件建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算推得的斜率之和为0即得证；（ⅱ）结合图形，得到的面积为，利用韦达定理代入，借助于求导判断函数的单调性即可求得面积最大值. 【小问1详解】 由可得① 由点在上，则② 联立①②得，， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因，则 ， 令，设， 则， 所以在上单调递减，则， 故当，即时，取到最大值. 19. 设函数，． （1）求的图象在点处的切线方程； （2）证明：； （3）设，，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）令，则，. 令，， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，即时，， 所以． 令，，则， 代入上式得， 所以 ， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求得的图象在点处的切线的斜率，从而得到切线方程； （2）构造函数，利用导数分析的单调性，利用单调性可得，从而证得； （3）利用（2）的结论，可得时，，结合均值不等式可得；令，，利用放缩法及裂项相消求和法可证得． 【小问1详解】 由，， 得， 所以， 所以的图象在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $