精品解析：河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二下学期5月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二下期05月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 满足的集合A有个 A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 2. 不等式的解集为（   ） A. B. C. 或 D. 3. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 已知等比数列满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 设；不等式对任意的恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（ ） A. 60种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，且，线段的中垂线与在第一象限内交于点为坐标原点，若的面积是的面积的4倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 若，则下列叙述中正确的是（ ） A. “”的充要条件是“” B. “”是“”的充分不必要条件 C. “对恒成立”的充要条件是“” D. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 11. 投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为.设事件“”，事件“”，事件“”，则（ ） A. B. C. 事件和相互独立 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为___________. 13. 已知函数的定义域为，函数，则的定义域为________． 14. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，E，F分别为PD，PC的中点．请用空间向量知识解答下面问题： （1）求证：平面PAD； （2）求平面AEF与底面所成角的余弦值． 16. 为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下： （1）若甲单位数据的平均数是122，求； （2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为，，令，求的分布列和期望. 17. 已知双曲线经过点，其渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 18. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数. （1）若函数为理想函数，求的值； （2）判断函数是否为理想函数，并予以证明； （3）若函数为理想函数，假定存在，使得，且，求证. 19. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求. （2）若，且边上的中线长为，求的面积. （3）若，且角的平分线长为，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二下期05月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 满足的集合A有个 A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】解析过程略 2. 不等式的解集为（   ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项通分，然后转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】， 解得，所以不等式的解集为. 3. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】用求根公式解一元二次方程可得，再根据复数的模的概念即可求解. 【详解】已知 ，展开整理得：， 由求根公式： 则 4. 已知等比数列满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式将已知条件进行转化，然后通过两式相除求出公比 的相关表达式，进而求出的值. 【详解】为等比数列，已知，则， 化简可得①， 已知 ， 将 代入可得： ， 化简可得②， ①②可得：, 因为，则化简得，即； 所以，则. 又因为，且同号，所以，故. 5. 设；不等式对任意的恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，变形得：， 因为是增函数，可得：，即， 不等式对任意恒成立，整理得：， 因为，，两边除以得：对任意恒成立， 令，导数，在上是增函数， 因此的最小值为， 要使恒成立，只需，即，得， 因为，故是的充分不必要条件. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 7. 某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（ ） A. 60种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 【答案】D 【解析】 【分析】先用插空法求出3个图形渲染任务互不相邻的排法总数，然后利用减法原理，从中排除2个逻辑推理任务相邻的情况，即可得答案。. 【详解】第一步，先排列2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，共有种排法； 第二步，将3个不同的图形渲染任务插入到第一步中3个不同的任务产生的4个空隙中， 共有种排法； 第三步，排除2个不同的逻辑推理任务相邻的情况， 将2个逻辑推理任务捆绑视为一个元素，此元素与数据检索任务共2个元素先进行排列，产生3个空位，有种排法； 将3个不同的图形渲染任务插入这3个空位，有种排法； 捆绑的2个逻辑推理任务内部有种排法，故共有种排法。 所以满足条件的排法总数为. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，且，线段的中垂线与在第一象限内交于点为坐标原点，若的面积是的面积的4倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线定义可得  三点共线，结合面积关系判定为等边三角形，再利用余弦定理求解离心率. 【详解】如图，，根据双曲线的定义，得，因为 ，所以，故 三点共线. 因为，所以，所以， 又，所以是等边三角形，所以. 在中，由余弦定理得， 整理得，故离心率 . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】由可知A正确；利用基本不等式可直接构造不等式求得B正确；将已知等式变形为，利用基本不等式可构造不等式求得C错误；由，利用基本不等式可求得D错误. 【详解】对于A，由得：， ，，又，，，A正确； 对于B，， ，解得：， （当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，B正确； 对于C，由得：， 由A知：，，即， ，即， 又，，则（当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，C错误； 对于D，由C知：，（当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，D错误. 故选：AB. 10. 若，则下列叙述中正确的是（ ） A. “”的充要条件是“” B. “”是“”的充分不必要条件 C. “对恒成立”的充要条件是“” D. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义结合不等式的性质，二次函数性质，一元二次不等式根的分布知识判断各选项， 【详解】，则一定有，但是时，若，则，A错； 时有成立，充分的，但当时有或，不必要，B正确； 若，但，则恒成立，C错； 方程有一正一负两实根的充要条件是，因此D正确． 故选：BD． 11. 投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为.设事件“”，事件“”，事件“”，则（ ） A. B. C. 事件和相互独立 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由古典概率及条件概率的知识进行判断． 【详解】投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为的基本事件的总数有种， 对于选项A，事件“”包含： 当时，有6种， 当时，有种， 共有种， 则，故A项正确； 对于B项，事件“”包含： 当时，有6种， 当时，有种， 当时，有种， 当时，有种， 共有种，所以，故B项错误； 对于C项，因为，， 则，故事件和不相互独立，故C项错误； 对于D项，， 事件“且”包含：对每个，有都，有种， 求和：种， 所以， 事件“且”包含：对每个，有都，有种， 求和：种， 所以， 因此且相同，故，故D项正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为___________. 【答案】330 【解析】 【分析】将看作对象甲，看作对象乙，1看作对象丙，则题设可转化为将个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题，再利用组合数的运算即可得解. 【详解】将看作对象甲，看作对象乙，1看作对象丙， 则题设可转化为将个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题， 则要得到，则给甲1个元素，给乙1个元素，给丙3个元素，或给甲0个元素，给乙3个元素，给丙2个元素， 即的系数为， 故答案为：330. 13. 已知函数的定义域为，函数，则的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据定义域以及分母不为零、偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域． 【详解】由题意得，即定义域为 故答案为： 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题． 14. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为， 因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为， 可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得， 根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在直线上， 设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为， 因为正四棱台的高为， 所以若球心在线段上，则，解得， 所以，所以外接球表面积为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，E，F分别为PD，PC的中点．请用空间向量知识解答下面问题： （1）求证：平面PAD； （2）求平面AEF与底面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以A为坐标原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可. （2）利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 由题知AB，AD，AP两两相互垂直． 以A为坐标原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，． ∴，，． ∴，，∴，． 又平面，平面，． ∴平面． 【小问2详解】 易知平面的一个法向量为， 设平面AEF的法向量为， ∵，， ∴即 取，解得 则平面的一个法向量为． . 因为平面与平面所成角为锐角， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 16. 为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下： （1）若甲单位数据的平均数是122，求； （2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为，，令，求的分布列和期望. 【答案】(1)8；(2)答案见解析. 【解析】 【详解】试题分析： （1）根据茎叶图列出的数据并结合所给的平均数可求得．（2）根据题意得到的所有可能的取值，并分别求出概率，列出表格可得分布列，然后求出期望． 试题解析： （1）由题意， 解得． （2）由题意知，随机变量的所有可能取值有0,1,2,3,4. 的分布列为： 0 1 2 3 4 ∴． 17. 已知双曲线经过点，其渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】（1） （2）不能,理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【小问1详解】 双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为. 【小问2详解】 假设是线段的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段的中点，， 代入上式，可得，即此时直线的斜率为， 于是直线的方程为，即. 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段的中点. 18. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数. （1）若函数为理想函数，求的值； （2）判断函数是否为理想函数，并予以证明； （3）若函数为理想函数，假定存在，使得，且，求证. 【答案】（1）0；（2）是，证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）取可根据条件①和③求出； （2）易得函数满足条件①②，当，，时，可根据 得出结论； （3）由条件③知，若，，则分别讨论和两种情况可证. 【详解】(1)取可得. 又由条件①，故. (2)显然在[0，1]满足条件①；也满足条件②. 若，，，则 ，即满足条件③， 故理想函数. (3)由条件③知，任给、[0，1]，当时，由知[0，1]， 若，则，前后矛盾； 若，则，前后矛盾. 故. 【点睛】本题考查函数的新定义问题，解题的关键是正确理解理想函数满足的三个条件，从而利用条件进行计算. 19. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求. （2）若，且边上的中线长为，求的面积. （3）若，且角的平分线长为，求的面积. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【小问1详解】 由正弦定理，得，，. 代入已知式，两边乘以得：，整理得：. 由余弦定理，代入：，解得：. 因为为三角形内角，所以. 【小问2详解】 已知，边上的中线长为，对应边为，即.设为中点，则为中线，.中线公式为：，其中为边上的中线长，代入，： 由余弦定理，代入，：，代入：，化简得：，解得或（舍）. 代入得，所以. 面积. 【小问3详解】 设角的平分线交于点，则，且. 在中，由正弦定理：；在中，由正弦定理：.又，且，所以. 由,,在中，，，，由余弦定理：，则，解得：. 同理，在中，，，设，由余弦定理：，则. 由角平分线性质：，所以，两边平方得，代入表达式：，解得或. 若，则三角形为等腰三角形，，，此时，三角形为等边三角形，角平分线长应为，与不符，舍去； 若，成立. 所以，，面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $