学易金卷：高二数学下学期期末模拟卷【广东专用，测试范围：人教A版选择性必修第一册～第三册】

**基本信息** 以选择性必修1-3为核心，通过交通调图、新药试验等真实情境设计，融合数学建模与数据分析，考查数学眼光、思维与语言的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|数列、正态分布、概率、导数、双曲线|第5题以中国空间站航天员安排为背景，考查排列组合，体现科技前沿情境| |填空题|3题/15分|二项式定理、函数单调性、概率期望|第14题结合举重比赛规则，考查离散型随机变量期望与条件概率，强化应用意识| |解答题|5题/77分|独立性检验、立体几何折叠、圆锥曲线、导数证明|第17题以新药试验为载体，设计概率分布列与等比数列证明，培养逻辑推理与数学建模能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册~第三册。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 2．某次高二数学调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（    ） A． B． C． D． 3．某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去餐厅用餐的概率（    ） A．0.24 B．0.36 C．0.5 D．0.52 4．已知变量之间具有线性相关关系，根据5对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（　　） A．18 B．3.6 C．2.4 D．1.2 5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 6．如图，直线与曲线相切于点P，则函数在上的极值点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 8．已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．若事件A与B互相独立，且，则 B．甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好 C．若随机变量服从二项分布，则 D．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为 11．设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（    ） A． B． C．存在直线，使得 D．对任意直线， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，项的系数为______． 13．已知函数在上单调递增，则的最大值为____． 14．举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望________；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站． (1)为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 50 11 30 合计 55 完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？ (2)根据以往调图经验，列车在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11的列车经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为，求的分布列及均值． 附，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16．（15分）在梯形中，为的中点，线段与交于点，将沿折起到的位置，使得平面平面.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．（15分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，． (i)证明：为等比数列； (ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性． 18．（17分）已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 19．（17分）已知函数. (1)已知在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：若，则. （参考数据：） 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C B C B B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ACD ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1））补充列联表如下： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 15 50 11 20 30 50 合计 55 45 100 零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，则，(4分） 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为旅客满意程度与车站编号有关联. (5分） （2）由题的可能取值为8，10，12，14， 则；； ；，(7分） 所以的分布列为 8 10 12 14 所以．15分） 16．（15分）在梯形中，为的中点，线段与交于点，将沿折起到的位置，使得平面平面.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）    在梯形中连接， 因为，，为中点，所以，， 所以四边形为菱形， 所以是中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面， 所以∥平面.(4分） （2）因为四边形为菱形，所以，，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，， 所以，，两两垂直，则以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，， ，，，，，，，，(10分） 设 ，则，(11分） 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，(12分） 所以， 因为与平面所成角的正弦值为， 所以，解得或2（舍去），(14分） 所以线段上存在点使得与平面所成角的正弦值为，.(15分） 17．（15分） 【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：，， ；；(3分） 则的分布列如下： (5分） （2），，， （i）即 整理可得：   是以为首项，为公比的等比数列 (8分） （ii）由（i）知： ，，……， (10分） 作和可得： (12分） (14分） 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理. (15分） 18．（17分） 【详解】（1）若，则曲线，所以曲线为双曲线，离心率. (2分） （2）设，则，又，，解得，即曲线， (5分） （ⅰ）设直线倾斜角分别为，则，由题可知，， ，联立， 解得或（舍去），即，所以点的坐标为. (8分） （ⅱ）设，， 则由，得，即.且， (10分） 由题意知，直线不与轴垂直. 设直线，联立方程，消去x可得， 则，解得， 且， 则， 整理可得，则， 因为，则， 化简得，则直线， 所以直线过定点. (14分） 故直线斜率存在时， ， 代入得，，令，则，则，其中， 故当且仅当，即时，即，故当直线斜率不存在时，取最小值，最小值为. (17分） 19．（17分） 【详解】（1）由题可知：在区间上单调递减，则在恒成立， 即在恒成立.令，在恒成立， 所以在单调递增，所以.(4分） （2）当时，，，令，，(5分） 若，；若，，所以函数在单调递增，在单调递减. 又，，所以存在，， 若，，即；若，，即， 所以在单调递减，在单调递增，在，有最小值，在，有最大值，因为，所以，则，(12分） 由，所以，又，所以(15分） 则， 即.(17分） 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册~第三册。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 2．某次高二数学调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（    ） A． B． C． D． 3．某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去餐厅用餐的概率（    ） A．0.24 B．0.36 C．0.5 D．0.52 4．已知变量之间具有线性相关关系，根据5对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（　　） A．18 B．3.6 C．2.4 D．1.2 5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 6．如图，直线与曲线相切于点P，则函数在上的极值点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 8．已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．若事件A与B互相独立，且，则 B．甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好 C．若随机变量服从二项分布，则 D．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为 11．设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（    ） A． B． C．存在直线，使得 D．对任意直线， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，项的系数为______． 13．已知函数在上单调递增，则的最大值为____． 14．举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望________；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站． (1)为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 50 11 30 合计 55 完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？ (2)根据以往调图经验，列车在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11的列车经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为，求的分布列及均值． 附，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16．（15分）在梯形中，为的中点，线段与交于点，将沿折起到的位置，使得平面平面.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．（15分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，． (i)证明：为等比数列； (ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性． 18．（17分）已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 19．（17分）已知函数. (1)已知在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：若，则. （参考数据：） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 2．某次高二数学调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由以及正态曲线的对称轴为， 故， 故选：B 3．某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去餐厅用餐的概率（    ） A．0.24 B．0.36 C．0.5 D．0.52 【答案】C 【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得 ， 因此，王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.5. 故选：C. 4．已知变量之间具有线性相关关系，根据5对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（　　） A．18 B．3.6 C．2.4 D．1.2 【答案】B 【详解】根据题意可得，，，则5对样本数据的样本点中心为， 将其代入方程中得，，则. 故选：B. 5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 【答案】C 【详解】按照甲是否在天和核心舱划分， ①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的4人中选取3人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能； ②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下5人中选取4人进入天和核心舱即可，则有种可能； 根据分类加法计数原理，共有种可能. 故选：C. 6．如图，直线与曲线相切于点P，则函数在上的极值点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】由有，由与平行，作出与的交点，设横坐标为且，由，解得或，由图可知：在单调递减，在，单调递增，所以在的极值点个数为2.故选：B. 7．已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，PF1，如图．由题意可得， 易知P，Q两点关于坐标原点O对称，所以O为线段PQ的中点， 所以，故为直角三角形，由题意，，设， 则，解得或（舍）， 所以，． 故选：B 8．已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】原不等式等价于，由图可知   若满足题意，只需小于与两个函数相切时的的值即可， 设公切点为，因为，，所以，所以，所以， 令，所以，所以单调递增，因为，， 所以存在，使得， 所以，令，则， 根据对勾函数的性质知单调递减，所以，所以正整数的最大值为. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由，所以，故A正确； 令得：， 令得：， 所以，故B错误； 再令得：， 与相加得：，故C正确； 由，两边同乘可得; , 两边求导得：， 再令得：，故D正确； 故选：ACD. 10．下列说法正确的是（   ） A．若事件A与B互相独立，且，则 B．甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好 C．若随机变量服从二项分布，则 D．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为 【答案】ACD 【详解】已知事件A与B互相独立，则，则，所以A正确； 决定系数越接近1拟合效果越好，则甲拟合效果更好，所以B错误； 根据二项分布均值公式可知，根据均值的性质可知，所以C正确； 根据规则，只有连续五次投不中，才游戏失败，所以成功的概率为，所以D正确. 故选：ACD. 11．设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（    ） A． B． C．存在直线，使得 D．对任意直线， 【答案】ACD 【详解】 对于A，当直线的斜率不存在时，为中点，满足；当直线的斜率存在时，设直线方程为，，联立，消去，得， ，则，因为，， 所以，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为， 所以，过垂直于的直线方程为 当时，代入，，所以，所以， 因为，所以，故A正确； 对于B，由题意可知，则，又，，所以， 所以，同理，又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误；对于C，在与中，， 所以，则，即， 同理，当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 所以存在直线，使得，故C正确； 对于D，，，所以，所以， 因为，，所以，因为，所以， ，所以，同理， 令，则，因为，则，所以，所以，所以，其中，所以，其中 ， 同理， 所以，故D正确， 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，项的系数为______． 【答案】 【详解】的展开式通项， 则的展开式的通项为： ， 所以所求项的系数为． 故答案为： 13．已知函数在上单调递增，则的最大值为____． 【答案】 【详解】因为，则， （i）若，则对任意的恒成立，由可得，由可得， 此时函数的减区间为，增区间为，不合乎题意； （ii）若，由可得或， ①若，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为，不合乎题意； ②若，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为，不合乎题意； ③当时，对任意的，恒成立，当且仅当时，等号成立， 此时函数在上为增函数，合乎题意，所以，故， 所以，令，，则， 由可得，由可得，所以函数的增区间为，减区间为， 故. 综上所述，的最大值为. 故答案为：. 14．举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望________；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是________． 【答案】 【详解】依题意随机变量的可能取值为、、，则；； ， 所以随机变量的概率分布为 1 2 3 所以随机变量的期望为. 记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件， 则， , 所以， 所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站． (1)为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 50 11 30 合计 55 完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？ (2)根据以往调图经验，列车在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11的列车经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为，求的分布列及均值． 附，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【详解】（1））补充列联表如下： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 15 50 11 20 30 50 合计 55 45 100 零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，则，(4分） 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为旅客满意程度与车站编号有关联. (5分） （2）由题的可能取值为8，10，12，14， 则；； ；，(7分） 所以的分布列为 8 10 12 14 所以．15分） 16．（15分）在梯形中，为的中点，线段与交于点，将沿折起到的位置，使得平面平面.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）    在梯形中连接， 因为，，为中点，所以，， 所以四边形为菱形， 所以是中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面， 所以∥平面.(4分） （2）因为四边形为菱形，所以，，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，， 所以，，两两垂直，则以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，， ，，，，，，，，(10分） 设 ，则，(11分） 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，(12分）所以， 因为与平面所成角的正弦值为， 所以，解得或2（舍去），(14分） 所以线段上存在点使得与平面所成角的正弦值为，.(15分） 17．（15分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，． (i)证明：为等比数列； (ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性． 【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：，， ；；(3分） 则的分布列如下： (5分） （2），，， （i）即 整理可得：   是以为首项，为公比的等比数列 (8分） （ii）由（i）知： ，，……， (10分） 作和可得： (12分） (14分） 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理. (15分） 18．（17分）已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 【详解】（1）若，则曲线，所以曲线为双曲线，离心率. (2分） （2）设，则，又，，解得，即曲线， (5分） （ⅰ）设直线倾斜角分别为，则，由题可知，， ，联立， 解得或（舍去），即，所以点的坐标为. (8分） （ⅱ）设，， 则由，得，即.且， (10分） 由题意知，直线不与轴垂直. 设直线，联立方程，消去x可得， 则，解得， 且， 则， 整理可得，则， 因为，则， 化简得，则直线， 所以直线过定点. (14分） 故直线斜率存在时， ， 代入得，，令，则，则，其中， 故当且仅当，即时，即，故当直线斜率不存在时，取最小值，最小值为. (17分） 19．（17分）已知函数. (1)已知在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：若，则. （参考数据：） 【详解】（1）由题可知：在区间上单调递减，则在恒成立， 即在恒成立.令，在恒成立， 所以在单调递增，所以.(4分） （2）当时，，，令，，(5分） 若，；若，，所以函数在单调递增，在单调递减. 又，，所以存在，， 若，，即；若，，即， 所以在单调递减，在单调递增，在，有最小值，在，有最大值，因为，所以，则，(12分） 由，所以，又，所以(15分） 则， 即.(17分） 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D' D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）