广东省东莞市2025-2026学年高二下学期期末模拟考试数学试题（全国通用）

**基本信息** 以新能源汽车研发、广告投入等现实情境为载体，融合杨辉三角文化传承，通过函数、统计与概率等核心知识，考查数学眼光、思维与语言，适配高二期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、统计量、函数性质|基础巩固，如第2题考查平均数、中位数、众数| |多选|3/18|函数极值与零点、杨辉三角|能力提升，如第11题结合杨辉三角考组合数性质| |填空|3/15|回归方程、等比数列|知识应用，如第12题广告投入与销售额回归分析| |解答|5/77|概率分布列、数列求和、导数应用|综合创新，如18题新能源汽车研发投入与收益的回归分析考查数据意识，19题导数综合考查逻辑推理|

2025-2026学年高二下学期期末模拟考试数学试题 考试时间：120分钟试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的： 1.已知集合M=-1,3,N=(0,+∞)，则集合(-1,0=() A.RMON B.M∩(RN C.R(MUN) D.R(MO N) 2.某校举行校园歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为9.2,9.5,8.8,9.9,8.9,9.5，设该选手得分 的平均数为x,中位数为y,众数为z,则() A.x<y<2 B.x<y=z C.y<x<z D.x<Z<y 3.若函数国对任意xeR都有f+引=石，且当xe2,司时，了=-4，则12024：() A.-8 B.8 C.-12 D.12 4.袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到中“国”两 个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数 值的随机数，分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次 的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232321230023123021132220001 231130133231013320122103233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为() 1 A.9 B.d c D.g 5.已知随机变量X的分布列为P(X=)=(i=1,23),则E(aX+4)=() A.10 B.12 C.14 D.18 6.某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次 己知原平均分和原方差分别为x,s2,新平均分和新方差分别为：，s,若此同学的得分恰好为x,则() 试卷第1页，共3页 A.x=x1,s2=s2 B.x=1,s2<s C.x=1,s2>s2 D.x<,s2=s2 7.已知函数f(x)=e-2r,若f1+)>f(21-),则实数t的取值范围是() A.(1,2) C.(-0,2) D.(2,+0) 8。已知函数f)=,+1og,(2+1-,若正实数a,6满足f2a)+fb-1)=1,则2+6的最小 2+1 a3b+1 值为() A B.3 D.6 9.下列说法正确的个数是() ①线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强： ②若随机变量X服从正态分布N3,σ2)，且P(X≤4)=0.7，则P(2<X<4)=0.2; ③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样 的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； ④甲、乙两个模型的决定系数R2分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好 A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10.已知函数f-ar+名，则() 6 A.a>0时，x=0是f(x)的极大值点 B.若f(m存在三个零点，则a>} C.当a=0时，过点(0,0)可以作f(x)的切线，有且只有一条 D.存在m俊符八3+/八品 /2023++f202 /2023*f3 =337 2023 2 11.杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》 杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的杨辉三 角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是() 试卷第1页，共3页 交 积 积 本积一 商除一 第0行 1 平方一 第1行 11 立方Q自月 第2行 121 三乘 第3行 1331 四乘 面面 第4行 14641 五乘 第5行 15101051 以 右 左 第6行 1615201561 实而除之 藏者皆廉 乃积数 第n-1行1Cn1C1.C1C.CC1 第n行1CnCn …C…Cg2C1 图1 图2 A.第20行中最大的数是第11个数 B.第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为6：1 20 C.记第20行第i个数为a, 则∑2a,=300 D.第四斜行的数：1,4,10,20，，构成数列an},则数列{an}的前n项和为C43 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某产品的广告投入x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下图所示： 2 3 5 6 20 35 50 55 若y关于x的线性回归方程为=8.5x+,则à= 13记8为等比数列的前减和，着4=马-则公比9= x2+3ax+1,x≤1 14.已知函数f(x)= 对任意实数，X,都有-<0成立，则实数的取 2a+alnx,x>1 x-x2 值范围是 试卷第1页，共3页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假设甲发现故障的概率为；， 乙、丙两人同时发现故障的屐率是石，甲、丙两人均未发现故障的概率是。，且三人各自能否发现故障相 6 互独立， ()求乙、丙两人各自发现故障的概率： (2)用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望E(X). 16.已知各项均不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=an2+元m,1∈R. (1)求1的值： 1,113 (2②若b,=2a,+1,数列b,}的前硕和为Z,，求证：元十元+…74 +…+ 17.已知函数f(x)=(x+1)2+alnx+ax (1)讨论f(r)的单调性： ②证明：当a<0时，f≥-30-2a+1. 4 试卷第1页，共3页 18.近年来，促进新能源汽车产业发展政策出，新能源汽车市场得到快速发展，销量及渗透率远超预期， 新能源汽车成为汽车领域的热点.某车企通过市场调研，得到研发投入x(亿元)与经济收益y(亿元)的 数据，统计如下： 研发投入x(亿元) 2 3 4 5 经济收益y(亿元) 2.5 4 6.5 10.5 (1)x,(i=1,2,3,4,5)的平均数记为x,证明： ∑(x-2-∑x2-52 (2)依据表中统计数据，计算样本相关系数，（结果保留3位小数），并判断研发投入x与经济收益y之间是 否有较强的线性相关性；（若03<<0.75，则线性相关程度一般，若>0.75，则线性相关程度较强.） (3)求出y关于x的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益. 参考数据： ∑y-52=44.5,V445≈21.1. 公(x-刘y-列 (x-刘y-列 附：相关系数r 线性回归方程的斜率6= ②-到空男-明 2(x-对 19.己知函数y=f(x),其中f(x)=e-1-2nr+x. (①)求函数y=f(x)的单调区间； (2)设函数gx)=f(x+2lx,问：函数y=g(x)的图像上是否存在三点A,B,C，使得它们的横坐标成等差数 列，且直线AC的斜率等于y=g(x)在点B处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点B的坐标； 若不存在，说明理由： (3)证明：函数y=f(x)图像上任意一点都不落在函数y=(x-2-3x-2)图像的下方 试卷第1页，共3页 2025-2026学年高二下学期期末模拟考试数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的运算，求出，再结合条件，即可求解. 【详解】因为，则，又，则. 2．某校举行校园歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，设该选手得分的平均数为x，中位数为y，众数为z，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念，分别求出，即可求出结果. 【详解】由题意可得，，，， 则． 故选：A. 3．若函数对任意都有，且当时，，则（    ） A． B．8 C． D．12 【答案】A 【分析】由题意首先得，从而周期为6，由此即可进一步根据周期性求解. 【详解】因为，所以，所以周期为6， 当时，，. 故选：A. 4．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用频率估计概率的方法求解. 【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数： ， 其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个， 所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为， 故选：B 5．已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质求出的值，再利用期望公式和性质可求得结果. 【详解】由分布列的性质可得，解得， 所以， 故. 故选：D. 6．某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为，，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用平均数和方差的公式即可求解. 【详解】设这个班有n个同学，分数分别是，，，…，， 第i个同学的成绩没录入， 第一次计算时，总分是， 方差； 第二次计算时，， 方差， 故. 故选：C. 7．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数关于对称，且在上单调递增， 所以函数关于对称，且在上单调递增， 若，则，得. 8．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】由题意可得，根据复合函数单调性可得函数在上单调递减，进而可得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】由，可知定义域为， 又，即， 则， 所以， 因为在单调递减，在定义域内单调递增， 由复合函数单调性可知，在单调递减， 显然在上单调递减，所以函数在单调递减． 令， 因为， 所以函数是定义在上的奇函数，故函数在也单调递减， 所以函数在定义域上单调递减． 正实数a，b满足，所以 故，即，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为6． 9．下列说法正确的个数是（   ） ①线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强； ②若随机变量服从正态分布，且，则； ③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； ④甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用线性相关系数，决定系数，残差图意义，正态分布的对称性逐个理解计算判断即可. 【详解】根据线性相关系数的性质，线性相关系数越接近，两个变量的线性相关程度越强；越接近，两个变量的线性相关程度越弱.所以说法①正确. 已知随机变量服从正态分布，则该正态分布曲线关于对称. 因为，所以，根据对称性可得. 那么，所以说法②错误. 在回归分析中，残差图是用于判断模型拟合效果的重要工具.残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适；带状区域的宽度越窄，说明模型对数据的拟合精度越高.所以说法③正确. 决定系数越接近，表示模型对数据的拟合效果越好. 已知甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，，即模型甲的决定系数更接近，所以模型甲的拟合效果更好.所以说法④正确. 综上，说法①③④正确，共个. 正确说法的个数是个. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 10．已知函数，则（    ） A．时，是的极大值点 B．若存在三个零点，则 C．当时，过点可以作的切线，有且只有一条 D．存在，使得 【答案】ACD 【分析】求出极大值点判断A；有三个零点，求出的范围判断B；利用导数的几何意义求解判断C；取，求出函数图象对称中心计算判断D. 【详解】对于A，当时，，当或时，， 当时，，因此是的极大值点，A正确； 对于C，当时，，，设切点为，， 则切线方程为，由切线过点，得，此方程有唯一解， 因此过点可以作的切线，有且只有一条，C正确； 对于B，当时，在上取得极大值，在处取得极小值， 函数存在三个零点，则，解得， 当时，在R上单调递增，最多一个零点； 当时，当或时，，当时，， 因此在处取得极大值，在上取得极小值， 则最多一个零点，于是存在三个零点，，B错误； 对于D，取，则，， 令， 则，，， 因此当时，，D正确. 故选：ACD 11．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（    ） A．第20行中最大的数是第11个数 B．第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为 C．记第20行第个数为，则 D．第四斜行的数：1，4，10，20，…，构成数列，则数列的前项和为 【答案】ABD 【分析】A选项利用组合数取得最值的性质可判断；B选项利用组合数公式可计算；C选项利用二项式定理可求解；D选项利用组合数的性质可求解. 【详解】对于A选项，因为杨辉三角第行的数对应组合数，，，， 由组合数的性质：当为偶数时，最大数是，对应第个数，可得 第行对应，最大数为，是第个数.故A正确； 对于B选项，第行的数对应组合数，，，， 则从左到右第个数为，第个数为， 所以.故B正确； 对于C选项，因为第行第个数为， 所以，令， 根据二项式定理，.故C错误； 对于D选项，因为第四斜行的数为：1，4，10，20，…， 对应组合数为，即， 所以数列的前项和为 .故D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下图所示： x 2 3 5 6 y 20 35 50 55 若y关于x的线性回归方程为，则__________. 【答案】6 【详解】将，， 代入中可得，解得. 13．记为等比数列的前项和，若，则公比______． 【答案】1或 【分析】设等比数列的公比为，由题意可得，求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得，所以， 又，所以，所以， 所以，解得或. 故答案为：或. 14．已知函数对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】可知在定义域内单调递减，根据分段函数单调性以及对数函数性质列式求解即可. 【详解】由题意可知：在定义域内单调递减， 则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假设甲发现故障的概率为，乙、丙两人同时发现故障的概率是，甲、丙两人均未发现故障的概率是，且三人各自能否发现故障相互独立． (1)求乙、丙两人各自发现故障的概率； (2)用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望． 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意利用独立事件的乘法公式列方程，即可求得答案； （2）确定X的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，进而求得数学期望. 【详解】（1）记乙、丙各自发现故障为事件，，由于事件相互独立， 则有，，解得，， 所以乙、丙两人各自发现故障的概率分别为，． （2）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3 ， ， ， X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． 16．已知各项均不为零的等差数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）利用数列的前n项和与通项间的关系求解； （2）由（1）得到和，从而由，利用裂项相消法求解. 【详解】（1）当时，由，得， 两式相减得，则， 即，因为， 所以，解得， 当时，，解得， ； （2）由（1）知：， 则， 所以， 所以， ， . 17．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论求解导函数为正为负的不等式解集即得. （2）由（1）中信息，求出函数的最小值，再构造函数，结合不等式性质推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，由，得，函数在上单调递减， 由，得，函数在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 令函数，求导得，当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减，则， 于是，有，当时，则， 因此， 所以. 18．近年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源汽车市场得到快速发展，销量及渗透率远超预期，新能源汽车成为汽车领域的热点．某车企通过市场调研，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下： 研发投入（亿元） 经济收益（亿元） (1)的平均数记为，证明： (2)依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强．） (3)求出关于的线性回归方程，并预测研发投入亿元时的经济收益． 参考数据：，． 附：相关系数，线性回归方程的斜率. 【答案】(1)证明见解析 (2)，具有较强的线性相关程度． (3)关于的线性回归方程为，预测研发投入亿元时的经济收益为亿元． 【分析】（1）先利用完全平方公式展开，再根据平均数定义，即，对展开后的式子进行化简，最终推导出目标等式； （2）先计算的均值，再分别求出、与交叉项，代入相关系数公式计算，最后根据与的大小关系判断线性相关程度； （3）利用已求出的交叉项与计算回归系数，再根据求出截距，得到回归方程，最后将代入方程，计算并得到预测的经济收益值． 【详解】（1）已知，即， ， 所以； （2），， ，， ， 又因为， 所以 所以研发投入与经济收益之间具有较强的线性相关性． （3），则， 所以关于的线性回归方程为， 将代入线性回归方程，得， 所以预测研发投入亿元时的经济收益为亿元． 19．已知函数，其中 . (1)求函数的单调区间； (2)设函数，问:函数的图像上是否存在三点，使得它们的横坐标成等差数列，且直线 的斜率等于 在点 处的切线的斜率? 若存在，求出所有满足条件的点的坐标; 若不存在，说明理由; (3)证明: 函数 图像上任意一点都不落在函数 图像的下方 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数导数，利用导数求解函数的单调区间； （2）利用反证法，先假设存在，化简后得出矛盾即可证明； （3）构造新函数，原题转化为求证新函数的最小值不小0即可. 【详解】（1）定义域为，， 显然在上严格增，且. 所以当时，；当时，. 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），假设存在三点满足条件， 设三点的横坐标分别为 则，， 即，即，令，则， 当且仅当时等号成立，所以严格增，只有一个零点，矛盾， 所以不存在满足条件的三点. （3）令，只需证明当时，恒成立. 由， 当时，显然严格增， 当是，分两段， ①当时，，所以； ②当时，， 令，则，再令， 则，当时，，所以单调递增， 所以，即，所以单调递增， 所以，所以，， 综上可知，， 所以 图像上任意一点都不落在函数 图像的下方. 【点睛】关键点点睛：第三问中，图象位置关系转化为函数之差的最小值不小于0即可，再构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得证. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $