精品解析：上海市吴淞中学附属宝山实验学校2025学年第二学期期中考试八年级数学试卷

2025学年第二学期期中考试八年级数学试卷 完成时间：100分钟 满分150分 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，那么点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在平面直角坐标系中，有点、、，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 3. 下列各关系中成正比例的有（ ） ①圆的周长与半径； ②速度一定，路程与时间； ③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高； ④长方形的面积一定时，长与宽． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 四个内角相等的四边形是矩形 B. 对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形 C. 一组邻边相等的矩形是正方形 D. 两组邻边分别相等的四边形是平行四边形 5. 如图，在矩形中，，连接，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，直线分别交、于点、．结论中：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中错误的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点，若，，则的最小值为（ ） A. 4.8 B. 2.4 C. 10 D. 5 二、填空题（每题4分，共48分） 7. “早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是___________． 8. 一个多边形的内角和是外角和的两倍，则它是____________边形． 9. 在平面直角坐标系中，点在第四象限，它到轴和轴的距离分别是2和5，则点的坐标为_________． 10. 如果直角三角形的斜边长为，那么它的重心与斜边中点之间的距离为_______． 11. 已知点关于原点的对称点位于第四象限，则的取值范围是_____． 12. 等腰直角在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，，，则B的坐标为________． 13. 已知P1点关于x轴的对称点P2(3－2a，2a－5)是第三象限内的整点(横、纵坐标都为整数的点，称为整点)，则P1点的坐标是________ 14. 如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 15. 如图，在矩形中，，，为对角线的中点，为边上一点，连接，取的中点，连接，若，则的长为________． 16. 如图第一象限内有两点，，将线段平移，使点、分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______． 17. 已知中，，，，为斜边上的中点，是直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点，若的面积是面积的一半，则______． 18. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶体．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点的坐标为，点在第一象限，，将菱形绕原点沿顺时针方向旋转5次，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点重合），则旋转第四次得到的点的坐标是_____． 三、解答题 19. 已知与成正比例，当时， （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求自变量x的值． 20. 已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标． （1）点在第二、四象限的角平分线上； （2）点在过点，且与轴平行的直线上． 21. 如图是某市部分位置的示意图，已知“文化宫”的坐标为，“超市”的坐标为，完成以下问题： （1）根据题意，在图中建立一个平面直角坐标系； （2）用坐标表示图中其他地点的位置： ①“体育场”的坐标为___________； ②“医院”的坐标为___________； ③“火车站”的坐标为___________； ④“市场”的坐标为___________． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点称为格点，线段的端点在格点上．请按下列要求画出一个四边形，且四边形的顶点都在格点上． （1）在图①中，画一个面积为的平行四边形； （2）在图②中，画一个面积为的矩形； （3）在图③中，画一个面积为的菱形． 23. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若，，则点就是点的“关联点”． （1）直接写出点的“关联点”坐标； （2）将点向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后到点，如果点的“关联点”与点互相重合，求点的坐标； （3）设点的“关联点”为点，是否存在，使线段最小，若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 24. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使，连接EC并延长，使，连接FG，H为FG的中点，连接DH （1）求证：四边形AFHD为平行四边形； （2）若，，，求的度数． 25. 在综合实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （2）小华在以上操作的基础上，继续探究，如图②，延长交于点M，连接交于点N，已知，请判断的形状，并说明理由． 【迁移探究】 （3）如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中考试八年级数学试卷 完成时间：100分钟 满分150分 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，那么点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据各象限内点的坐标的符号特征即可判断． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴横坐标，纵坐标， 四个象限的坐标符号特点为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， ∴点符合第二象限点的坐标特征，点在第二象限． 2. 在平面直角坐标系中，有点、、，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的坐标判断边的位置关系，计算边长，结合垂直和边长关系判断三角形形状． 【详解】解：如图， ∵点、、， ∴，，， ∴， ∴ 是直角三角形，不是等腰，等边或等腰直角三角形， 选项C符合题意． 3. 下列各关系中成正比例的有（ ） ①圆的周长与半径； ②速度一定，路程与时间； ③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高； ④长方形的面积一定时，长与宽． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数关系，根据成正比例则比值固定解决此题． 【详解】①设圆的半径为，周长为，则固定不变，那么圆的周长与半径是正比例关系； ②，则速度一定，路程与时间是正比例关系； ③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高乘积固定，不是比值固定，不成正比例． ④长方形的面积一定时，长与宽乘积固定，不是比值固定，不成正比例． 故符合条件的有：①②， 故选：C． 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 四个内角相等的四边形是矩形 B. 对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形 C. 一组邻边相等的矩形是正方形 D. 两组邻边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断，即可确定正确的选项． 【详解】解：A、四个内角相等的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意； B、对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意； C、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是真命题，不符合题意； D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大． 5. 如图，在矩形中，，连接，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，直线分别交、于点、．结论中：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中错误的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设交于点 由作图知，垂直平分 在矩形中， 四边形是菱形 ∴①正确 四边形是菱形 ∴②正确 ∴③错误 平分 ∴④正确． 综上，错误的结论只有1个． 6. 如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点，若，，则的最小值为（ ） A. 4.8 B. 2.4 C. 10 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理，求出的长，证明四边形为矩形，得到，根据垂线段最短和等积法进行求解即可. 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点， ∴， ∴， 连接， ∵于点，于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为边上一动点， ∴当时，的值最小，即的值最小， 此时：， ∴， 解得， ∴的最小值为. 二、填空题（每题4分，共48分） 7. “早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是___________． 【答案】时间 【解析】 【分析】根据定义，主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量，据此即可判断求解． 【详解】解：由题意可知，气温随时间的变化而变化，其中时间是主动变化的量，气温是随时间变化的量，因此自变量是时间． 8. 一个多边形的内角和是外角和的两倍，则它是____________边形． 【答案】六## 【解析】 【分析】n边形的外角和为，内角和为，结合题意列出方程求解即可得到边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得 解得， 故这个多边形是六边形． 9. 在平面直角坐标系中，点在第四象限，它到轴和轴的距离分别是2和5，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：点在第四象限， 点的横坐标为正数，纵坐标为负数， 点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值，且点到轴和轴的距离分别是、， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为. 10. 如果直角三角形的斜边长为，那么它的重心与斜边中点之间的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了重心的有关性质，斜边的中线等于斜边的一半，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 直角三角形的外心是斜边中点，重心位于中线上，且重心到斜边中点的距离等于中线长度的三分之一．斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为， 则斜边上的中线长度为． 因为重心将中线分为的两段， 其中重心到斜边中点的距离为中线长度的， 所以它的重心与斜边中点之间的距离为． 故答案为：． 11. 已知点关于原点的对称点位于第四象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，直接利用关于原点对称点的性质得出关于的不等式组，进而求出答案． 【详解】解：∵点关于原点的对称点位于第四象限， ∴， 解该不等式组，得 ， 则的取值范围是：． 故答案为：． 12. 等腰直角在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，，，则B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，则，证明，得到，，即可得到B的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，， ， B的坐标为， 故答案为：． 13. 已知P1点关于x轴的对称点P2(3－2a，2a－5)是第三象限内的整点(横、纵坐标都为整数的点，称为整点)，则P1点的坐标是________ 【答案】(－1，1) 【解析】 【分析】根据第三象限内的点的横纵坐标均为负，列出关于a的不等式组，求出解集，然后根据点P2是整点，得出a的值，进而根据对称性得出点P1的坐标． 【详解】解：已知P2（3-2a，2a-5）是第三象限内的整点，则有 ， 解得1.5＜a＜2.5． 又因为3-2a和2a-5都必须为整数，那么2a必须为整数， 又3＜2a＜5，因此2a=4，解得a=2； 代入可得到P2点的坐标是（-1，-1）， 所以P1的坐标为（-1，1）． 故答案为（-1，1）． 【点睛】此题考查关于坐标轴对称的点的坐标特点，各象限内点的坐标特点和不等式组的应用，根据点所在的象限和根据整点的规定列出不等式组并求出a的值是解决此题的关键． 14. 如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 【答案】 【解析】 【分析】本题可根据菱形的定义来求解．、分别是，的中点，那么就是三角形的中位线，同理，是三角形的中位线，因此、同时平行且等于，因此，，因此四边形是平行四边形，、是，的中点，那么，要想证明是菱形，那么就需证明，那么就需要、满足的条件． 【详解】解：当时，四边形是菱形．理由如下： 点，分别是，的中点， ，同理， ， ∵， 四边形是平行四边形． ，又可同理证得， ， ， 四边形是菱形． 故当四边形的边满足，四边形是菱形． 15. 如图，在矩形中，，，为对角线的中点，为边上一点，连接，取的中点，连接，若，则的长为________． 【答案】 3 【解析】 【分析】取中点，连接和，可得分别为和中位线，利用中位线定理可证得三点共线，求出后，组合计算即可． 【详解】解：取中点，连接和， 在矩形中， ， ，， ， 为对角线的中点，为的中点，为中点， 分别为和中位线， ，且， 三点共线， ． 16. 如图第一象限内有两点，，将线段平移，使点、分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上． 【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′． 分两种情况： ①P′在y轴上，Q′在x轴上， 则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0， ∵0-（n-3）=-n+3， ∴n-n+2=3=3， ∴点P平移后的对应点的坐标是（0，3）； ②P′在x轴上，Q′在y轴上， 则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0， ∵0-m=-m， ∴m-4-m=-4， ∴点P平移后的对应点的坐标是（-4，0）； 综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（-4，0）． 故答案为：（0，3）或（-4，0）． 【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 17. 已知中，，，，为斜边上的中点，是直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点，若的面积是面积的一半，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD=2DF，A'F=EF，通过勾股定理可得AB的长度，从而可求AD，DF，BF的长度，可得BF=DF，可证BEDA'是平行四边形，可得BE=A'D，根据勾股定理可得CE的长度 【详解】如图连接BE， ∵∠ACB=90°，AC=8，BC=4 ∴AB= ∵D是AB中点 ∴BD=AD= ∵折叠 ∴AD=A′D=，S△ADE=S△A′DE ∵S△DEF=S△ADE ∴AD=2DF，S△DEF=S△A′DE ∴DF=，A′F=EF ∴BF=DF=，且A′F=EF ∴四边形BEDA′是平行四边形 ∴A′D=BE= ∴根据勾股定理得：CE=2 故答案为：2． 【点睛】本题考查直角三角形中的折叠问题，及“斜中半”定理的应用，灵活利用面积转化边长关系是解题关键． 18. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶体．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点的坐标为，点在第一象限，，将菱形绕原点沿顺时针方向旋转5次，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点重合），则旋转第四次得到的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转，含30度角的直角三角形的性质；如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，求出，即可得到的坐标． 【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形， 过作轴于，连接交于， 四边形是菱形， ，，， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是． 故答案为：． 三、解答题 19. 已知与成正比例，当时， （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求自变量x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，用待定系数法求函数解析式，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键. （1）设与之间的函数关系式为，将 代入求出，即可得到答案； （2）把代入函数解析式，求解即可. 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将 代入得， 解得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：把代入函数解析式得， 解得：， 自变量x的值是. 20. 已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标． （1）点在第二、四象限的角平分线上； （2）点在过点，且与轴平行的直线上． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二，四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数，进行求解即可； （2）根据与轴平行的直线上的点的纵坐标相同，列方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴. 21. 如图是某市部分位置的示意图，已知“文化宫”的坐标为，“超市”的坐标为，完成以下问题： （1）根据题意，在图中建立一个平面直角坐标系； （2）用坐标表示图中其他地点的位置： ①“体育场”的坐标为___________； ②“医院”的坐标为___________； ③“火车站”的坐标为___________； ④“市场”的坐标为___________． 【答案】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求； （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】（1）先根据文化宫和超市的坐标，确定原点位置，以文化宫向右格、向下格的点为坐标原点，以水平向右为轴正方向、竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系即可； （2）根据建立的坐标系，数出各地点到轴、轴的距离，结合所在象限确定横纵坐标，用有序数对表示各地点的位置即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①“体育场”的坐标为； ②“医院”的坐标为； ③“火车站”的坐标为； ④“市场”的坐标为． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点称为格点，线段的端点在格点上．请按下列要求画出一个四边形，且四边形的顶点都在格点上． （1）在图①中，画一个面积为的平行四边形； （2）在图②中，画一个面积为的矩形； （3）在图③中，画一个面积为的菱形． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 （3）作图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查格点作图，掌握平行四边形，矩形，菱形，勾股定理等知识是关键． （1）根据格点，平行四边形的判定方法作图即可； （2）根据格点，矩形的判定方法作图即可； （3）根据菱形，勾股定理的计算作图即可． 【小问1详解】 解：如图所示，根据网格特点可得四边形，点到的距离为， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形即为所求图形； 【小问2详解】 解：如图所示，根据格点特点， ∴四边形是矩形，， ∴四边形即为所求图形； 【小问3详解】 解：如图所示，，，， ∴四边形是菱形，， ∴四边形即为所求图形． 23. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若，，则点就是点的“关联点”． （1）直接写出点的“关联点”坐标； （2）将点向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后到点，如果点的“关联点”与点互相重合，求点的坐标； （3）设点的“关联点”为点，是否存在，使线段最小，若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标、勾股定理、坐标系中点的平移等知识，熟练掌握“关联点”的定义是关键． （1）根据“关联点”的定义进行解答即可； （2）根据平移得到，得到点的“关联点”为，根据点的“关联点”与点互相重合得到方程组，接方程组即可得到答案； （3）求出点的“关联点”为点，求出线段，进一步分析即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得，，， ∴点的“关联点”坐标为； 【小问2详解】 平移后的坐标为， 则，， 即点的“关联点”为， 由题意可得，，解得， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 存在，使线段最小．理由如下： 由题意可得，点的“关联点”为点，则线段 当最小时，即，解得，此时最小， ∴存在，使线段最小． 24. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使，连接EC并延长，使，连接FG，H为FG的中点，连接DH （1）求证：四边形AFHD为平行四边形； （2）若，，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）40° 【解析】 【分析】（1）证明BC为△FEG的中位线，得出BC∥FG，BC=FG，证出BC=FH，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，得出AD∥FH，AD=FH，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出∠DAB=∠DCB，由等腰三角形的性质得出∠BEC=∠EBC=75°，由三角形内角和定理求出∠BCE，得出∠DCB=∠DCE+∠BCE=40°，即可得出结果． 【详解】（1）证明：，， 为的中位线， ，， 又是FG的中点， ， ． 又四边形ABCD是平行四边形， ，， ，， 四边形AFHD是平行四边形； （2）解：四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 25. 在综合实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （2）小华在以上操作的基础上，继续探究，如图②，延长交于点M，连接交于点N，已知，请判断的形状，并说明理由． 【迁移探究】 （3）如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）为等边三角形，理由见解析；（3）MD的长为或． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，根据折叠的性质可得，，，进而得出结果； （2）可推出，证得，从而，进一步得出结果； （3）设，分两种情形：当，时，可得出，则，，在中根据勾股定理列出关于x的方程，进而得出结果；同样得出当，时的情形． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形为正方形， ，， 根据折叠的性质可得， ，， ； （2）为等边三角形．理由如下： 四边形ABCD是正方形， ，， 由折叠可得，， ，， 又， ， 由折叠得 ， ∴， ， 在与中 ， ， ， ， 为等边三角形； （3）设， 当，时， 由（2）知，， 则，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 当，时， 同理可得：， ， ∴的长为或 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $