高中数学破题致胜微方法（函数的周期性）：抽象函数周期的求法 定义法

http://shitibao.zxxk.com/weikan/t5310001046?weikanid=gs1046 抽象函数，即没有给定具体解析式的函数，我们往往直接研究函数的性质：奇偶性，单调性，周期性。今天我们何研究，抽象函数的周期性。因为没有解析式，所以要牢牢抓住周期函数的定义，从定义出发，合理使用题目条件，研究问题。 先看例题： 例：已知定义在R上的奇函数f(x)满足 ， ，则 首先，对于该函数，不知道解析式，只能由奇函数的性质得知 f(0)=0，这是题目唯一可知的函数值，不妨猜测，所求的 与其有没有关系？ 我们充分利用题目给出的不等关系。 由 ，令x=x+1， 则有 ，以此类推，可知 即 又因为 所以有： ，即函数以5为周期。 由此很容易解得 注意： 1.没有明确给出解析式的函数，称为抽象函数。 2.根据已知条件，逻辑推理得到抽象函数的周期 ，关键是将函数整理为周期函数的形式，找到T的值。 练：设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且 ， ，则f(x)是以2为周期的周期函数 由奇函数的性质： 结合着题目条件，进行合理赋值，找到函数中的关键值。 得： 则可知，原函数是以2为周期的周期函数。 注意：赋值时要合理，要注意使用题目条件，进而达到预计目标。 总结： 1.从定义出发，将题目条件转化到与 有关的式子上。 2.注意技巧的使用，通过迭代，或合理赋值，转化条件。 3.注意函数其它性质的应用，以及一些特殊位置的函数值。 练习： 设f(x)的定义域为R，f(0)=1，f(1)=0 对任意实数 都有 求证：f(x)是周期函数 答案： 令 则有 令 EMBED Equation.DSMT4 即 令x=x+2，可得 即 所以原函数为周期函数。 高考真题： 2.对于定义域为R的函数g(x),若存在正常数T,使得cosg(x)是以T为周期的函数,则称g(x)为余弦周期函数,且称T为其余弦周期.已知f(x)是以T为余弦周期的余弦周期函数,其值域为R.设f(x)单调递增,f(0)=0,f(T)=4π. (1)验证 是以6π为余弦周期的余弦周期函数; (2)设a<b.证明对任意c∈[f(a),f(b)],存在x0∈[a,b],使得f(x0)=c; (3)证明:“u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上得解”的充要条件是“u0+T为方程cosf(x)=1在