高中数学破题致胜微方法（函数的周期性）：抽象函数周期的求法 递推法

http://shitibao.zxxk.com/weikan/t5310001047?weikanid=gs1047 高中阶段，经常讨论抽象函数，即只关注函数的性质。今天我们介绍利用递推法来求抽象函数的周期，同学们可以类比数列中相应的方法，深入理解，灵活应用。 我们知道在数列中，有许多递推关系，比如 ，说明它是一个等差数列。如果我们再得知 的值，则可推导出数列的通项公式。相似地，我们通过例题来看递推法求抽象函数的周期。 先看例题 例：已知函数 满足： ，证明f(x)是周期函数 证明 令x=x+1，再次使用递推式 两式联立可得： 再令x=x+3，可知 所以 注意：当题中给定的已知条件可以递推时，多次递推可使问题获解。 回忆： 都可以整理为： 的形式 之前我们介绍过上述两类函数是周期函数，当递推式转化为如下形式时，可以判定原函数为周期函数。 练：已知定义在R上的函数f(x)满足 ，则f(x)必有一周期为（） A.2 B.3 C.4 D.5 解：令x=x+1，再次使用递推式 将原递推式代入上式： 整理得到 ，根据上面复习的公式，直接可以得到 即原函数是周期函数，且周期为T=4 注意：本题不必去计算 的值，可以直接根据周期函数的特点，选取合理的公式进行计算，降低运算量。 总结： 1.根据递推公式求函数周期，往往需要根据条件多次递推，解决问题。 2.要熟练掌握周期函数的特性，将递推式合理的进行转化。 3.注意得出周期函数的三个关键等式，合理运用，降低运算量。 练习： 1.已知函数 满足 ，且 ，则 2.设f(x)是定义在R上的函数，且对任意x∈R，都有 ，又 ，求f(2005)的值 答案： 1. 2.解： = 又 所以 所以f(x)是以2为周期的周期函数 所以 � EMBED Equation.DSMT4 ��� 1 $$