高中数学破题致胜微方法（函数的周期性）：抽象函数周期的求法 函数模型法

http://shitibao.zxxk.com/weikan/t5310001048?weikanid=gs1048 数学模型，在数学学习中有很大的作用，它可以帮助我们解决很多未知的问题。如何有效利用数学模型呢？首先要对基础知识掌握的扎实，其次要在遇到问题时，大胆想象，大胆类比，用已知知识作为铺垫，找到问题的突破口。 我们知道，基本初等函数分为，幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，而三角函数中大多数都具有周期性，今天我们就利用三角函数作为模型，求抽象函数的周期。 先看例题 例：设函数f(x)的定义域为R，且对任意的实数x，y满足 ，并存在非零实数c，使 ，证明函数f(x)是周期函数 类比 因为，通过两角和差的余弦公式展开，有： 即 而对于余弦函数 ，而 ， 类比原函数 ，我们可以猜测，T=2c 所以，可令 整理得： 所以有 这时可得到结论，原函数为周期函数，且T=2c，与我们猜测一致 模型法解题： 我们从剖析题设条件的结构入手， 大胆类比，联想出原型函数（主要是从三角公式联想）， 通过猜想，进而确定函数的周期性。 注意：我们所研究的函数并不一定是 ，但是可以根据这个模型，给我们的证明提供帮助。 接下来我们再看一个例子，加深印象 练：函数f(x)是定义在R上的奇函数，且 ， 则 根据已知条件，我们知道函数首先是奇函数 其次，函数关于直线 对称 所以我们类比 ，它既是奇函数，又满足函数关于 对称 由奇函数的性质： 令 ： 两式联立：所以 ， 同理 所以函数是周期函数，且T=2 进而可以求值 因为f(0)=0，所以f(2)=f(0)=0， 同理f(4)=f(2)=f(0)=0 再根据 ， 所以f(2)=-f(1)=0所以f(1)=0 所以f(3)=f(1)=0，同理f(5)=f(3)=0 所以 总结： 1.根据题目本身的特征，找到对应的函数模型，对未知函数进行类比分析 2.所选取的模型函数要满足题目所有条件，要注意定义域，值域等隐含条件 3.模型函数具备参考价值，但并不能说所求的抽象函数一定是模型函数 练习： 1.已知函数f(x)满足 ，若 ，则 2.已知y=f(x)对于任何正实数x、y都有 ，且当x>1时， . (1)求证 ； (2)求证 (3)求证y=f(x)在 上为单调减函数； (4)若f(m)=9，试求m的值 答案： 1. 2.分析：由条件