高中数学破题致胜微方法（函数的周期性）：轴对称与周期函数的关系

http://shitibao.zxxk.com/weikan/t5310001050?weikanid=gs1050 对称性和周期性都是函数的重要性质，而这两种性质之间，有没有什么关联呢？今天我们就来通过几个例子，轴对称与周期性之间的关系。 我们在数学学习过程中，认识了很多函数，如二次函数，它有对称轴，但并不是周期函数；而三角函数，一般都是周期函数，且如cosx有无数条对称轴。这些都是具体函数的特点，那么它们之间有没有普遍规律呢？ 先看例题 例：f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x=1对称，证明f(x)是周期函数 由已知，f(x)为偶函数，所以有 又因为，f(x)关于x=1对称，所以有 所以有， ，即函数为周期函数 一般规律： 若函数f(x)的图象关于直线x=a和直线x=b对称(a≠b)， 则函数f(x)必为周期函数，2|a-b|是它的一个周期； 证明： 练：已知函数f(x)图象关于x=2对称，且函数f(6+x)是定义在R上的偶函数，f(11)=2，则f(2011)=( ) 由已知： 可知函数有对称轴为：x=6 由上文整理的一般规律可知： 函数为周期函数，且周期为 又因为： 所以 总结： 1.如果函数有两条不同的对称轴，则它一定是周期函数 2.该类函数的周期为T=2|a-b| 练习： 1.函数f(x)定义在R上，且对一切x∈R满足 ，设 ，求方程 在区间 中至少有几个实根？ 2.若偶函数f(x)，x∈R满足： (1)图象关于x=a对称(a>0)； (2)在区间[0,a]上是减函数； 求证：f(x)以2a为最小正周期 答案： 1.解： 根据已知x=2，x=7是函数的两条对称轴 所以可知函数为周期函数T=2(7-2)=10， 因为f(0)=f(4)=0 所以f(10)=f(14)=0 所以函数在区间(0,10]上至少有两个根 因为 由周期性可知，f(-1000)=0 所以方程 在区间 至少有 个 2.解 根据已知，函数为偶函数，所以关于x=0对称， 又因为函数关于x=a对称 所以函数为周期函数，且T=2(a-0)=2a 假设f(x)存在比2a更小的周期，设为2b，则0<2b<2a 且 令x=-2b，则 (1)若 ， 则 与f(x)在[0,a]上是减函数 (2)若 ，即 时 与f(x)在[0,a]上是减函数矛盾， 所以2a是