专题03 函数（5大考点）（山西专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦函数五大核心考点，精选山西各地二模真题，融合晋字剪纸、水火箭发射等地域文化与科技情境，分层设置基础判断、图象分析及综合建模题，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约25题|平面直角坐标系、一次/反比例/二次函数图象与性质|以五子棋坐标、太阳能功率曲线等生活情境考查概念理解| |解答题|约15题|函数建模与应用|二次函数结合桥拱设计、足球运动轨迹等真实问题，考查数学建模与综合应用能力|

专题03 函数 5大考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02函数及函数图象的分析与判断 考点03一次函数的图象、性质及应用 考点04反比例函数的图象、性质及应用 考点05二次函数的图象、性质及应用 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·山西太原·二模）如图是某中学部分建筑的手绘地图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示操场的点的坐标为，表示勤学楼的点的坐标为，则下列表示建筑的点的坐标正确的是（   ） A．信毅楼 B．体育馆 C．知味堂 D．勤政楼 2．（2026·山西阳泉·二模）如图，已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若的面积为6，则下列说法一定正确的是（   ） A．，n为任意实数 B．，n为任意实数 C．m为任意实数， D．m为任意实数， 3．（2026·山西太原·二模）如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，顶点，在轴上且关于轴对称．将沿轴正半轴方向平移，点，，的对应点分别为点，，．已知点的坐标为，点，的坐标分别为，．当点在内部时，下列说法正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．（2026·山西运城·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，点是的中点，点是上一点，连接，已知且．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山西阳泉·二模）如图，已知，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山西阳泉·二模）如图是一幅源自山西剪纸文化的“晋”字团花剪纸，它将汉字“晋”与传统纹样巧妙融合，造型对称饱满．现将该剪纸放置在如图所示的平面直角坐标系中，若点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为__________． 7．（2026·山西吕梁·二模）2025赛季中国足球甲级联赛在3月15日拉开大幕．如图是百度搜索“2025赛季中国足球甲级联赛”得到的一个图标，将其放在平面直角坐标系中，若A，B两点的坐标分别为，，则点C的坐标为______． 8．（2026·山西临汾·二模）下“五子棋”是同学们喜闻乐见的课后娱乐方式.如图是小明与小刚玩“五子棋”棋盘的一部分，将其放置在平面直角坐标系中，若白棋(1)的坐标为，黑棋（2）的坐标为，则黑棋（3）的坐标为______． 函数及函数图象的分析与判断 考点02 1．（2026·山西吕梁·二模）某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则它的高度（单位：）与生长月数之间的关系式为（    ）    A． B． C． D． 2．（2026·山西吕梁·二模）太阳能路灯以太阳能为动力源，白天通过太阳能电池板收集太阳光，将其转化为电能并储存起来，晚上释放电能用于照明．如图记录了某型号太阳能电池板某天从6时到18时之间，发电功率（）随时间（）变化的函数图象，下列说法正确的是（    ） A．最大发电功率和最小发电功率相差 B．8时和16时太阳能电池板的发电功率相同 C．从10时到14时太阳能电池板的发电功率逐渐增大 D．当天发电功率超过的时长为 3．（2026·山西吕梁·二模）在化学实验中，小明研究三种固体物质的溶解度，如图为这三种固体物质的溶解度与温度对应的图象．下列说法正确的是（    ） A．三种物质的溶解度都随温度的增加而变大 B．三种物质中，物质的溶解度最小 C．温度为时，三种物质的溶解度由大到小的顺序是 D．温度为时，两种物质的溶解度相等 4．（2026·山西吕梁·二模）某餐厅规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠．现统计了某时段顾客的等位时间（分钟），如图是根据数据绘制的统计图．下列说法正确的是（    ） A．此时段有1桌顾客等位时间是40分钟 B．此时段平均等位时间不小于20分钟 C．此时段等位时间的中位数可能是26 D．此时段有5桌顾客可享受优惠 5．（2026·山西太原·二模）我国某盐湖地区有“夏天晒盐，冬天捞碱”的说法，这里的“盐”是指，“碱”是指．如图是和的溶解度曲线，根据图象，下列说法正确的是（     ） A．的溶解度随温度的升高而增大 B．时的溶解度大于的溶解度 C．的溶解度随温度升高而显著增大 D．和的溶解度相同时，温度为 6．（2026·山西阳泉·二模）在密闭实验装置内充一定质量的气体，在容积不变的情况下，该装置内部气体压强是气体热力学温度的正比例函数，其部分图象如图所示．已知热力学温度与摄氏温度之间的关系近似为，由此可估计该装置内的气体温度为时，该气体压强为_____． 7．（2026·山西晋中·二模）某工厂有一款自动蓄水池，其内部结构呈圆柱体形状，某次匀速注水时蓄水池内水位高度（米）与注水时间（小时）之间的关系如图所示，若该蓄水池匀速注水时，每小时的注水量为54立方米，则该蓄水池内部结构的底面圆半径为________米（注：取3）． 一次函数的图象、性质及应用 考点03 1．（2026·山西吕梁·二模）已知点是一次函数图像上的两点，若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 2．（2026·山西临汾·二模）如图，水平放置的容器内有一定量的水，将若干个相同的实心球逐一放入该容器中，设水面的高度为y，放入实心球的个数为x，则容器内水满之前，y与x满足的函数关系为（   ） A．正比例函数 B．二次函数 C．反比例函数 D．一次函数 3．（2026·山西阳泉·二模）如图所示的容器中装有一定体积的液体，现用电加热器进行加热，忽略热损失．在一定的温度范围内，液体温度（℃）与加热时间（min）之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 加热时间 0 4 8 12 16 液体温度/℃ 15 20 25 30 35 A． B． C． D． 4．（2026·山西晋中·二模）若点，在直线上，且，则该直线所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 5．（2026·山西运城·二模）实验室用智能配液机器人匀速向烧杯中加入某种溶质，在溶液达到饱和之前，烧杯内溶液的总质量是加入溶质的时间的一次函数，部分数据如下表：当溶液的总质量为时，加入溶质的时间为（    ） 加入溶质的时间 4 8 12 16 … 溶液的总质量 27 39 51 63 … A． B． C． D． 6．（2026·山西吕梁·二模）为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速带（如图所示），减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，一般情况下，减速带的长度与减速块的数量满足一次函数关系．当有块减速块时，减速带的长度为，当有块减速块时，减速带的长度为，则当有块减速块时，减速带的长度为（     ）． A． B． C． D． 7．（2026·山西大同·二模）阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．如图，兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板上的运动速度与运动时间之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 运动时间 1 2 3 4 … 运动速度 11 10 9 8 … A． B． C． D． 8．（2026·山西晋城·二模）直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ）． A．B．C． D． 9．（2026·山西临汾·二模）电子体重秤原理：平台重物表面形变电阻形变电流变化.内部电流变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字.简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数图象如图所示，当可变电阻为90欧时，对应被测人的质量为_____千克． 10．（2026·山西阳泉·二模）某学习小组设计了一种预防校园踩踏事故的压力传感报警装置，其工作电路如图所示．同学们在实验室进行模拟实验发现：其内部压敏电阻的阻值（单位：）随踏板所受压力（单位：）的变化满足我们所学过的某种函数关系，并通过实验测得以下表格中的数据．当踏板所受压力为时，其内部压敏电阻的阻值为_____Ω． 2 5 8 11 21 15 9 3 11．（2026·山西晋城·二模）综合与实践 项目主题：确定实现火龙果亩利润最大化的最佳每日补光时长 项目背景：在白天正常日照下，通过“分段式补光技术”在夜间给火龙果进行补光会提高成花蕾率，但每日夜间补光时长过长或过短都会使花蕾数量降低．现该基地需通过数学建模分析每日补光时长与花蕾数量的关系，并制定兼顾产量与成本的优化方案． 数据收集：该基地栽培时期无阴雨天气下花蕾数量（）、电费成本（）与每日补光时长（）的相关数据如下： 每日补光时长 花蕾数量（个/亩） 电费成本（单位：元/亩） 模型构建： (1)根据表中信息可知，与符合_______填“一次函数”“二次函数”或“反比例函数”）关系，并求出与的函数关系式； (2)经过研究发现，与成二次函数关系，且其函数关系式为，请求出与的函数关系式，同时描述随着的增加如何变化； 模型应用： (3)在一个生长周期内，每个花蕾后期可产约果实，除电费成本外，维护等其他固定成本为元/亩，已知火龙果售价为元（全部售出），求每亩取得最大利润时的每日补光时长．（每亩总利润每亩总收入每亩电费成本每亩固定成本） 12．（2026·山西太原·二模）综合与实践 问题情境：滑雪者从山坡滑下时，其滑行速度（单位：），滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间具有一定关系．实践小组记录某运动员训练数据，整理如下： 信息整理：①在山坡的滑行速度与滑行时间的部分数据如下表． 滑行时间（单位：） … 滑行速度（单位：） … ②在山坡的滑行距离与滑行时间之间的关系用图所示坐标系中的图象刻画． 解决问题： (1)根据表中数据可知，在山坡的滑行速度是滑行时间的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），其函数表达式为 ． (2)观察图可知，在山坡的滑行距离与滑行时间满足二次函数关系（图象经过原点），当该运动员在山坡的滑行时间为 时，求出他的滑行距离． (3)如图，在此次训练中，该运动员从山坡的点处滑下，滑行到坡脚点处时沿跳台做身体姿势调整，并在点处完成起跳，然后在空中作转体、旋转技巧展示．根据要求，若要顺利完成此次技巧展示，运动员距离地面的最大高度不得低于米（不考虑其他因素）．已知，运动员从到的过程中速度保持不变，从点起跳后距离地面的垂直高度（）与在空中的飞行时间（）之间的函数关系表达式是（其中为运动员在点时的速度）．请你判断该运动员能否顺利完成此次技巧展示？并说明理由． 13．（2026·山西吕梁·二模）综合与实践 问题情境：如图所示是甲、乙两名选手在某场羽毛球比赛中一个回合的示意图，其中是球距地面的高度，是球距原点的水平距离，甲在处以扣球方式击球，乙在处接球后以吊球方式回击． 数学建模：扣球时羽毛球运动路线可近似看成一条直线，吊球时羽毛球运动路线可近似看成一条抛物线.已知赛场中间球网，双方最远边界到中间球网的水平距离均为．在比赛后通过“鹰眼”技术回放，得到如下信息： 信息一：甲在点处击球时，距球网水平距离为，此时羽毛球距地面的高度，在击球后，羽毛球从球网正上方的处飞过，再过到达点.． 信息二：乙在点处回击，经过后，与交于点.甲、乙击球后羽毛球均在水平方向上作匀速运动，其速度分别为，，且． 问题解决： (1)求所在直线的表达式； (2)若乙回击球时，羽毛球在距离中间球网左边处到达最高点． ①通过计算说明甲选择不接球是否正确（注：乙回击球时，若球出界，则甲得分；若球未出界，则甲需选择接球）； ②在乙回击球的同时，甲面对羽毛球前进，前进过程中甲速度为，最高击球高度为．请直接判断出甲在前进的过程中能否接到球． 反比例函数的图象、性质及应用 考点04 1．（2026·山西阳泉·二模）若反比例函数的图象经过点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西阳泉·二模）如图，已知反比例函数的图象经过点A，连接．将线段绕点A逆时针旋转，当点O的对应点落在x轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（2026·山西吕梁·二模）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于，两点．当时，自变量的取值范围是（     ）    A． B．或 C． D．或 4．（2026·山西太原·二模）固态电池相比液态电池，有能量密度高，电池体积小，安全性高等优点．某固态电池厂商对甲、乙、丙、丁种型号的电池进行电池容量的测试，已知质量能量密度（），如图，用四个点分别描述块电池的质量能量密度（）和电池质量（），其中描述乙、丁两种型号的电池恰好在同一个反比例函数的图象上，则种电池的容量最大的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（2026·山西吕梁·二模）某款电风扇的电阻可以调节，其范围为，已知电压为，图1是该电风扇的电路图，图2是该电风扇的功率与电阻之间的函数图象，则下列说法正确的是（    ） A．电功率是电阻的一次函数 B．电功率关于电阻的函数解析式为（） C．当电阻从增大到时，电风扇的电功率从增大到 D．若电风扇转速在中等档位时的电阻为，则此时电功率的大小为 6．（2026·山西晋中·二模）某农场有一个储水量为的圆柱形储水罐，现计划对农场进行改造，需减少储水罐的占地面积．在储水量不变的前提下，储水罐的高度（m）与底面积（）成反比例函数关系，则当储水罐底面积由变为时，其高增加了________m． 7．（2026·山西晋城·二模）已知点，，在反比例函数的图象上，若时，，则当时，与的大小关系为________． 8．（2026·山西大同·二模）每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某实践小组经过实验发现，组员走出的大圆圈半径（米）与其两腿迈出的步长之差（厘米）成反比例函数关系，当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米时，两腿迈出的步长之差为厘米，则当该组员走出的大圆圈的半径为米时，他两腿迈出的步长之差为_____厘米． 9．（2026·山西吕梁·二模）的信号强度与距离有函数关系，下表是科研人员调查以后得到的距离与信号强度相关数据： 距离 1 2 5 8 10 信号强度 400 200 80 50 40 当距离为时，信号强度为________． 10．（2026·山西太原·二模）无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率保持恒定，牵引力（单位：）与速度（单位：）满足反比例函数关系．已知某无人驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为，牵引力．为保证耕地的效果，牵引力不能低于，则拖拉机速度（单位：）的最大值为_______． 11.（2026·山西临汾·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，连接，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 12．（2026·山西运城·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)连接，则的面积为__________． 13．（2026·山西晋中·二模）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出m的值； (2)D为x轴正半轴上一点，连接，若四边形的面积为14，请直接写出点D的坐标． 14．（2026·山西晋中·二模）阅读与思考 下面是小实的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 数形结合思想 数形结合是中国古代数学的璀璨智慧，赵爽在《勾股圆方图注》中以弦图直观证勾股定理，将几何图形与数量关系精妙融合，以形释数、以数解形． 《勾股圆方图注》中记载了利用图形解一元二次方程的方法．例如，在解方程时，将方程转化为，利用四个全等的矩形拼成如图①的形状，从而得到了上面方程的正数解． 如图②，四个全等的矩形中，一组邻边的长为和，连接四个矩形中的一条对角线，构造正方形，其边长为．利用两种方式表示正方形的面积，从而验证了勾股定理． 因此在解决问题“设计一个面积为平方米的矩形花园，要求用最少的篱笆围成”时，我也用了数形结合，下面是我的思考． 假设矩形花园的一边长为米，另一边长为米，篱笆长为米， 则①，②，现在问题要求的最小值． 由①得，是的反比例函数，图象如图③所示； 由②得，是的一次函数，该函数图象可以由直线平移得到，在图③中画出的图象，平移探索． 当反比例函数与一次函数图象有交点时能围成矩形． 任务： (1)图①中围成的大正方形的面积为________； (2)请利用图②验证勾股定理； (3)①在图③中，由平移过程可判断，当直线与反比例函数的图象有_______（填“”或“”）个交点时，的值最小； ②设计一个面积为25平方米的矩形花园，最少需要用_______米的篱笆． 二次函数的图象、性质及应用 考点05 1．（2026·山西阳泉·二模）已知二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： ... ... ... ... 下列结论正确的是（   ） A．函数图象开口向上 B． C．当时，随的增大而减小 D．关于的一元二次方程（a，b，c是常数，）有两个不相等的实数根 2．（2026·山西阳泉·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西吕梁·二模）综合与实践 问题情境：水火箭是校园科技活动中深受学生喜爱的科普装置，其发射后的运动轨迹可看作抛物线．某校科技社团在一次水火箭发射实验中，将水火箭从地面发射，当水火箭在空中与发射点的水平距离为米时达到最高，高度为米． 数学建模：如图1，将水火箭的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，水火箭在地面的发射点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； 问题解决：已知水火箭发射后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． (2)如图1，为保障观测安全，在发射点正前方，处放置两根高度相等的测量标杆，标杆顶端分别装有摄像头，，两个摄像头距地面的高度均为米，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，水火箭距离摄像头的竖直高度均为米，求两个测量标杆之间的水平距离； (3)在此次实验中，水火箭不能落在着落区域，其中点到发射点的距离为米，点到发射点的距离为米．如图，若在点处放置一个高度为米的发射架，从发射架顶端点发射水火箭时，水火箭正好落在着落区域（包含，两点），请直接写出发射架的高度的取值范围． 4．（2026·山西大同·二模）综合与实践 问题情境：“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据：已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，的距离为6米，桥拱最高点到水面的距离为米． 数学建模：如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； 问题解决： (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米． ①若在桥拱最高点处有一个星形灯饰（大小忽略不计），求灯饰与其水中倒影之间的距离； ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为米，另外2盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出3盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 5．（2026·山西阳泉·二模）综合与实践 问题情境： 为给九年级学子加油鼓劲，某学校举办了中考百日誓师活动，特意搭建了一座如图1所示的充气“成功门”，充气“成功门”的形状可近似看作抛物线，“成功门”内对称竖立着两根同样高的竖直充气红柱，上面分别写有“全力以赴”“中考必胜”的励志标语． 数学建模： 如图2，已知充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面．以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式． 问题解决： (2)若充气“成功门”内两立柱，间的水平距离为，求立柱的高度． (3)活动最后一项为各班同学排成列纵队依次通过“成功门”（纵队居中行走），且相邻两列纵队之间的水平间距保持，第一排靠近立柱的同学高举本班班旗．为了安全通过该“成功门”，请直接写出班旗旗顶到地面垂直距离的最大值． 6．（2026·山西临汾·二模）综合与实践 问题情境：踢足球是很多同学喜欢的一项运动．体育课上，一次精彩的任意球射门引发了同学们的数学思考，某数学兴趣小组借助仪器开展了一次数学实践活动． 实验数据：已知在水平地面上，足球从O点被踢出，O点到球门线A点的水平距离为13米．足球距地面的竖直高度y（米）与距原点O的水平距离x（米）之间满足二次函数关系（足球大小忽略不计），数据如下： x（米） 0 4 6 8 12 … y（米） 0 3 3.75 4 3 … (1)数学建模：根据表格中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数图象并求其函数表达式； (2)问题初探：守门员站在球门线A点处，其手掌能达到的最大高度为2.3米，若只从拦截高度考虑，他能否挡住这次射门？请说明理由； (3)问题拓展：在计算机软件模拟环节中，保持足球的运动轨迹形状不变，即抛物线的形状不变．小组成员提出若将球门横梁的高度降为1.44米，只沿x轴负方向移动踢球点的位置，设移动距离为m米，最终要使足球飞落进降低高度后的球门内（球落在横梁、球门线A点处均不算进球），请直接写出足球踢出点移动距离m的取值范围． 7．（2026·山西阳泉·二模）综合与实践 问题情境：旧城区改造是提升居民生活品质的重要工程．如图①是某改造小区，该小区大门轮廓形状可视为抛物线型，因通行安全性和美观性不足，计划将其改造为“矩形+近似抛物线型”的组合型门，其截面图如图②所示． 数据收集；改造后组合型门宽为8米，矩形部分的高为2米，抛物线部分的顶点到地面的距离为6米． 数学建模：如图②，以所在直线为轴，线段的中垂线为轴（抛物线的对称轴），建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求改造后抛物线部分的函数表达式； (2)为保障通行安全，需在距离地面高米的门上安装两个摄像头，用于监控拱门通行情况，求两个摄像头之间的水平距离； (3)已知门正中间设有隔离带（关于轴对称），为了安全起见，改造后的大门必须保证消防车等应急车辆能正常通行，若消防车的宽为米，高为米，要保证消防车均可从大门两通道处通过，请直接写出隔离带的宽的最大值（消防车与隔离带的间距忽略不计）． 8．（2026·山西晋中·二模）综合与实践 问题情境：儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图①）．公园为了增强其观赏性，计划将该喷泉进行改造升级．为了有更多的改造方案，该公园广泛征集大家的改造想法．某校的综合实践小组给出了以下的优化设计方案． 收集数据： 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：已知喷水口为点，抛物线的最高点距离地面4米，且距离喷水口的水平距离为3米，水流落地点为． 建立模型： 以出水点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)根据上述分析，在图②中建立平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； 优化设计： 实践小组给出如下两种优化方案： 方案一：在现有的喷泉内部增加喷水口，建造双喷泉景观，新的喷水口在点右侧地面1米处，并且新的抛物线形状与原抛物线形状相同，在离新喷水口水平距离2米处达到最高，最高点距离地面3米． 方案二：为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道，其截面图如图③所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽为1米． 问题解决： (2)试判断方案一是否可行，并说明理由； (3)直接写出方案二中隧道顶端到地面的最大高度． 9．（2026·山西晋中·二模）综合与实践 问题情境：科研人员为了研究某弹射器的性能，进行了如下的实验：在水平地面上放置一个弹射器（高度不计），通过弹射器竖直向上弹射一颗小球（忽略空气阻力），利用无人机测量小球竖直向上运动的相关数据． 数据整理：经过实验，科研人员得到小球距离水平地面的高度与运动时间的几组数据，如下表，并发现是的二次函数： 0 1 2 4 5 6 0 25 40 40 25 0 建立模型： (1)根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接，并求出h关于t的函数关系式； (2)问题解决：小球在运动过程中，从一开始经过多长时间可以达到最大高度，最大高度是多少米？ (3)问题解决：若该弹射器先发射出一颗小球，后立即发射出第二颗小球，经过一段时间后，两颗小球可在空中完成碰撞，请直接写出此时第二颗小球的运动时间． 10．（2026·山西运城·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，虚线所示的宽为、高为的矩形区域是室内客厅墙面的一块空白装饰区，设计师计划在矩形区域上方用装饰线条围出抛物线造型，点分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，两点到矩形上侧的边的距离均为，抛物线的顶点恰好落在矩形上侧的边的中点处．以矩形下侧的边所在直线为轴，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 【问题解决】 (1)请在图1中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式． (2)在（1）的条件下，设计师对抛物线下方的墙面区域，设计了以下两种装修方案：方案一：如图2，在矩形下方区域围出两条完全相同的新抛物线造型装饰线条，它们的开口方向与（1）中的抛物线相反，但开口大小（二次项系数的绝对值）相同，这两条抛物线的顶点都在矩形下侧的边上．点分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，且在同一条水平线上．方案二：如图3，利用与矩形下侧的边垂直的两条等长装饰线条和，将抛物线下方区域分割为三个装饰区块，其中点均在矩形下侧的边上，且整个装饰图形关于轴对称． ①方案一中，设计师助理认为图2中点到矩形下侧的边的距离与点到矩形上侧的边的距离的比值为，请通过计算验证该说法是否正确． ②方案二中，若到矩形右侧边的水平距离等于点在竖直方向到抛物线的距离的5倍，当两条装饰线条的总长度（）最大时，请直接写出的长度． 11．（2026·山西阳泉·二模）综合与实践 问题情境：从地面竖直向上发射的物体离地面的高度)满足关系式，其中)是物体运动的时间，为定值，是物体被发射时的速度．科学实验小组用某种发球器从水平地面竖直向上发射一个小球(记作甲)，并借助无人机探究小球甲离地面的高度)与该小球的运动时间)之间的关系，得到如下数据： 时间/ 高度/ 注：经科研人员检验，上述实验数据均满足 (1)建立模型：根据实验数据，求小球甲离地面的高度)与它运动时间)的关系式()； (2)问题解决：已知小球甲发射前，无人机悬停在的空中．在小球甲发射的同时，无人机以的速度沿竖直方向匀速下降． ①无人机下降过程中离地面的高度为______(用含的代数式表示)； ②当小球甲与无人机在空中离地面的高度恰好相等时，求的值； (3)当时，地面上另一个发球器竖直向上发射小球乙．已知小球乙被发射时的速度与小球甲被发射时的速度相同，当小球甲与小球乙同时在空中，且离地面的高度差为时，直接写出的值． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 5大考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02函数及函数图象的分析与判断 考点03一次函数的图象、性质及应用 考点04反比例函数的图象、性质及应用 考点05二次函数的图象、性质及应用 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·山西太原·二模）如图是某中学部分建筑的手绘地图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示操场的点的坐标为，表示勤学楼的点的坐标为，则下列表示建筑的点的坐标正确的是（   ） A．信毅楼 B．体育馆 C．知味堂 D．勤政楼 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．根据操场的点的坐标为，表示勤学楼的点的坐标为，建立平面直角坐标，即可判断． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系： 由坐标系可知，信毅楼，体育馆，知味堂，勤政楼， 则正确的是选项A． 故选：A． 2．（2026·山西阳泉·二模）如图，已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若的面积为6，则下列说法一定正确的是（   ） A．，n为任意实数 B．，n为任意实数 C．m为任意实数， D．m为任意实数， 【答案】D 【分析】由题意可得，再根据三角形的面积公式计算得出，即可得出结果． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∴m为任意实数，． 3．（2026·山西太原·二模）如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，顶点，在轴上且关于轴对称．将沿轴正半轴方向平移，点，，的对应点分别为点，，．已知点的坐标为，点，的坐标分别为，．当点在内部时，下列说法正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用平面直角坐标系中图形的平移及关于轴对称的点的坐标特征解题即可． 【详解】解：∵点，关于轴对称，点，的对应点分别为点，， ∴点，横坐标相等，纵坐标互为相反数， 即，， ∵点的坐标为，沿轴正半轴方向平移，点，在轴上， ∴当点在内部时，． 4．（2026·山西运城·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，点是的中点，点是上一点，连接，已知且．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出直角和相等的边，证明，得出相等的线段，然后利用线段中点的性质以及线段的数量关系进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 5．（2026·山西阳泉·二模）如图，已知，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，平面直角坐标系中点的坐标，根据勾股定理得到，由两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，且点在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 6．（2026·山西阳泉·二模）如图是一幅源自山西剪纸文化的“晋”字团花剪纸，它将汉字“晋”与传统纹样巧妙融合，造型对称饱满．现将该剪纸放置在如图所示的平面直角坐标系中，若点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为． 7．（2026·山西吕梁·二模）2025赛季中国足球甲级联赛在3月15日拉开大幕．如图是百度搜索“2025赛季中国足球甲级联赛”得到的一个图标，将其放在平面直角坐标系中，若A，B两点的坐标分别为，，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点C的坐标． 【详解】若A，B两点的坐标分别为，， ∴点C 的坐标为． 故答案为：． 8．（2026·山西临汾·二模）下“五子棋”是同学们喜闻乐见的课后娱乐方式.如图是小明与小刚玩“五子棋”棋盘的一部分，将其放置在平面直角坐标系中，若白棋(1)的坐标为，黑棋（2）的坐标为，则黑棋（3）的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标． 根据已知的坐标确定原点位置和坐标轴，问题随之得解． 【详解】根据白棋(1)的坐标为，黑棋（2）的坐标为，可得原点位置和坐标轴， 如图： 即黑棋（3）的坐标为． 函数及函数图象的分析与判断 考点02 1．（2026·山西吕梁·二模）某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则它的高度（单位：）与生长月数之间的关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式，由题意可得树苗每个月增长的高度是，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可得，树苗每个月增长的高度是， 故它的高度（单位：）与生长月数之间的关系式为：． 故选：D． 2．（2026·山西吕梁·二模）太阳能路灯以太阳能为动力源，白天通过太阳能电池板收集太阳光，将其转化为电能并储存起来，晚上释放电能用于照明．如图记录了某型号太阳能电池板某天从6时到18时之间，发电功率（）随时间（）变化的函数图象，下列说法正确的是（    ） A．最大发电功率和最小发电功率相差 B．8时和16时太阳能电池板的发电功率相同 C．从10时到14时太阳能电池板的发电功率逐渐增大 D．当天发电功率超过的时长为 【答案】B 【分析】本题考查的是函数的图象，能根据函数图象判断出函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．由图象可知，最大发电功率和最小发电功率相差，故选项错误，不符合题意； B．由图象可知，上午8时和下午16时，发电功率相同，故选项正确，符合题意； C．由图象可知，从早上10点到下午14点发电功率先增大后减小，故选项错误，不符合题意； D．由图象可知，8时至16时，发电功率超过， ∴发电功率超过的时间超过8小时，故选项正确，不符合题意； 故选：B． 3．（2026·山西吕梁·二模）在化学实验中，小明研究三种固体物质的溶解度，如图为这三种固体物质的溶解度与温度对应的图象．下列说法正确的是（    ） A．三种物质的溶解度都随温度的增加而变大 B．三种物质中，物质的溶解度最小 C．温度为时，三种物质的溶解度由大到小的顺序是 D．温度为时，两种物质的溶解度相等 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的运用，理解函数图象的特点是解题的关键． 根据函数图象的性质判定即可． 【详解】解：物质的溶解度随温度的增加而减小，故A选项错误，不符合题意； 三种物质中，当温度为时，物质的溶解度最大，故B选项错误，不符合题意； 温度为时，三种物质的溶解度由大到小的顺序是，故C选项错误，不符合题意； 温度为时，两种物质的溶解度相等，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 4．（2026·山西吕梁·二模）某餐厅规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠．现统计了某时段顾客的等位时间（分钟），如图是根据数据绘制的统计图．下列说法正确的是（    ） A．此时段有1桌顾客等位时间是40分钟 B．此时段平均等位时间不小于20分钟 C．此时段等位时间的中位数可能是26 D．此时段有5桌顾客可享受优惠 【答案】B 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．观察频数分布直方图，获取信息，然后逐一进行判断即可．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 【详解】解：A、由直方图可知：有1桌顾客等位时间在35至40分钟，不能说是40分钟，故A选项错误； B、平均等位时间为（分钟）分钟，故B选项正确； C、因为样本容量是35，中位数落在之间，故C选项错误； D、30分钟以上的人数为，故D选项错误． 故选：B． 5．（2026·山西太原·二模）我国某盐湖地区有“夏天晒盐，冬天捞碱”的说法，这里的“盐”是指，“碱”是指．如图是和的溶解度曲线，根据图象，下列说法正确的是（     ） A．的溶解度随温度的升高而增大 B．时的溶解度大于的溶解度 C．的溶解度随温度升高而显著增大 D．和的溶解度相同时，温度为 【答案】B 【分析】根据和的溶解度曲线逐项进行分析即可． 【详解】解：A. 的溶解度随温度的升高而先增大后减小，故该选项错误，不符合题意； B. 时的溶解度大于的溶解度，故该选项正确，符合题意； C. 的溶解度随温度升高而缓慢增加，故该选项错误，不符合题意； D. 和的溶解度相同时，温度低于，故该选项错误，不符合题意； 6．（2026·山西阳泉·二模）在密闭实验装置内充一定质量的气体，在容积不变的情况下，该装置内部气体压强是气体热力学温度的正比例函数，其部分图象如图所示．已知热力学温度与摄氏温度之间的关系近似为，由此可估计该装置内的气体温度为时，该气体压强为_____． 【答案】2 【分析】先求出该装置内部气体压强是气体热力学温度的函数关系式为，再求出该装置内的气体温度为时，，即可得出结果． 【详解】解：设该装置内部气体压强是气体热力学温度的函数关系式为， 将代入可得， 解得：， ∴该装置内部气体压强是气体热力学温度的函数关系式为， ∵热力学温度与摄氏温度之间的关系近似为， ∴该装置内的气体温度为时，， ∴此时该气体压强为． 7．（2026·山西晋中·二模）某工厂有一款自动蓄水池，其内部结构呈圆柱体形状，某次匀速注水时蓄水池内水位高度（米）与注水时间（小时）之间的关系如图所示，若该蓄水池匀速注水时，每小时的注水量为54立方米，则该蓄水池内部结构的底面圆半径为________米（注：取3）． 【答案】3 【分析】先根据函数图像求得一小时注水高度为2米，再根据每小时的注水量为54立方米列关于r的方程求解即可． 【详解】解：由题图可知，蓄水池内水位高度h（米）与注水时间t（小时）之间满足一次函数关系，且初始时，蓄水池内水位高度为1米，注水2小时时，蓄水池内水位高度为5米，（米/小时），即一小时注水高度为2米， ∵该蓄水池匀速注水时，每小时的注水量为54立方米， ，解得（负值已舍去）， ∴该蓄水池内部结构的底面圆半径为3米． 一次函数的图象、性质及应用 考点03 1．（2026·山西吕梁·二模）已知点是一次函数图像上的两点，若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】先判断一次函数的增减性，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴该一次函数y随x的增大而减小， ∵， ∴． 2．（2026·山西临汾·二模）如图，水平放置的容器内有一定量的水，将若干个相同的实心球逐一放入该容器中，设水面的高度为y，放入实心球的个数为x，则容器内水满之前，y与x满足的函数关系为（   ） A．正比例函数 B．二次函数 C．反比例函数 D．一次函数 【答案】D 【分析】本题考查函数的基本知识，一次函数的定义及实际应用，解题的关键是抓住相同实心球与柱形容器的条件，判断出水面高度随球的个数增加呈均匀变化，再结合初始水量不为零的特点，对照各类函数的定义进行判断． 【详解】解：因为水平放置的容器内有一定量的水，所以具有初始高度，每放一个相同的实心球，水面上升高度相同，设实心球个数为x，水面高度为y，初始高度为b，则可列函数关系式为（k，b为参数，），此函数为一次函数． 3．（2026·山西阳泉·二模）如图所示的容器中装有一定体积的液体，现用电加热器进行加热，忽略热损失．在一定的温度范围内，液体温度（℃）与加热时间（min）之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 加热时间 0 4 8 12 16 液体温度/℃ 15 20 25 30 35 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表格数据，可以观察到，当x的值每增加4，相应的y值增加5，符合一次函数关系，待定系数法求关系式即可． 【详解】解：由表格数据，可以判断出y是x的一次函数， 设， 代入，， 得， 解得， ∴． 4．（2026·山西晋中·二模）若点，在直线上，且，则该直线所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，解题关键是先根据已知点的横坐标和函数值的大小关系确定k的符号，再根据截距的符号判断直线经过的象限． 【详解】解：∵，且， ∴y随x的增大而减小， ∴， 又∵直线解析式为，常数项，即直线与y轴交于负半轴， ∴直线经过第二、三、四象限． 5．（2026·山西运城·二模）实验室用智能配液机器人匀速向烧杯中加入某种溶质，在溶液达到饱和之前，烧杯内溶液的总质量是加入溶质的时间的一次函数，部分数据如下表：当溶液的总质量为时，加入溶质的时间为（    ） 加入溶质的时间 4 8 12 16 … 溶液的总质量 27 39 51 63 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设关于的一次函数解析式为，再利用待定系数法求出解析式即可求解． 【详解】设关于的一次函数解析式为，把，代入得， ，解得， ，当时，，解得． 6．（2026·山西吕梁·二模）为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速带（如图所示），减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，一般情况下，减速带的长度与减速块的数量满足一次函数关系．当有块减速块时，减速带的长度为，当有块减速块时，减速带的长度为，则当有块减速块时，减速带的长度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出关于的一次函数解析式，再代入即可求解． 【详解】解：∵减速带的长度与减速块的数量满足一次函数关系， ∴设关于的一次函数解析式为：， ∵将时，和时，分别代入中， 即：，解得：， ∴关于的一次函数解析式为：， ∴当时，， 即当有块减速块时，减速带的长度为． 7．（2026·山西大同·二模）阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．如图，兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板上的运动速度与运动时间之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 运动时间 1 2 3 4 … 运动速度 11 10 9 8 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一组数据中自变量每增加，对应因变量的值减小，可得与之间存在一次函数关系，再进一步利用待定系数法求解解析式即可. 【详解】解：由题表中数据可知，运动时间每增加，运动速度减小，满足一次函数关系， 设与之间的函数关系式为，代入，， 得， 解得， 与之间的函数关系式为． 8．（2026·山西晋城·二模）直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ）． A．B．C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数经过的象限，判断出的取值范围，再进行判断即可． 【详解】选项A，如图在中，，在中，，即，，前后不矛盾，故A符合题意； 选项B，如图在中，，在中，，即，，前后矛盾，故B不符合题意； 选项C，如图在中，，在中，，即，，前后矛盾，故C不符合题意； 选项D，如图在中，，在中，，即，，前后矛盾，故D不符合题意． 9．（2026·山西临汾·二模）电子体重秤原理：平台重物表面形变电阻形变电流变化.内部电流变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字.简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数图象如图所示，当可变电阻为90欧时，对应被测人的质量为_____千克． 【答案】75 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 先由待定系数法求出函数解析式，再把为90欧代入解析式即可求解． 【详解】解：由图可知，与踏板上人的质量之间的关系为一次函数关系，设函数关系式为（其中，为常数，）， 把和代入得： ，解得， ∴， 当为90欧时，， 解得：， 故答案为：75． 10．（2026·山西阳泉·二模）某学习小组设计了一种预防校园踩踏事故的压力传感报警装置，其工作电路如图所示．同学们在实验室进行模拟实验发现：其内部压敏电阻的阻值（单位：）随踏板所受压力（单位：）的变化满足我们所学过的某种函数关系，并通过实验测得以下表格中的数据．当踏板所受压力为时，其内部压敏电阻的阻值为_____Ω． 2 5 8 11 21 15 9 3 【答案】2 【分析】先判断出与满足一次函数关系，再由待定系数法求解函数解析式，再把代入函数解析式即可求解． 【详解】解：由表格可得，压力F每增加，压敏电阻的阻值均匀减少， ∴与满足一次函数关系 ∴设 则有表格可得， 解得 ∴， 当时，． 11．（2026·山西晋城·二模）综合与实践 项目主题：确定实现火龙果亩利润最大化的最佳每日补光时长 项目背景：在白天正常日照下，通过“分段式补光技术”在夜间给火龙果进行补光会提高成花蕾率，但每日夜间补光时长过长或过短都会使花蕾数量降低．现该基地需通过数学建模分析每日补光时长与花蕾数量的关系，并制定兼顾产量与成本的优化方案． 数据收集：该基地栽培时期无阴雨天气下花蕾数量（）、电费成本（）与每日补光时长（）的相关数据如下： 每日补光时长 花蕾数量（个/亩） 电费成本（单位：元/亩） 模型构建： (1)根据表中信息可知，与符合_______填“一次函数”“二次函数”或“反比例函数”）关系，并求出与的函数关系式； (2)经过研究发现，与成二次函数关系，且其函数关系式为，请求出与的函数关系式，同时描述随着的增加如何变化； 模型应用： (3)在一个生长周期内，每个花蕾后期可产约果实，除电费成本外，维护等其他固定成本为元/亩，已知火龙果售价为元（全部售出），求每亩取得最大利润时的每日补光时长．（每亩总利润每亩总收入每亩电费成本每亩固定成本） 【答案】(1)一次函数，； (2)，见解析； (3)小时． 【分析】（1）根据表格中数据呈线性增长，且过原点，判断与关系，再用待定系数法求函数式； （2）代入数据求，分析随的增减性； （3）列利润函数，利用顶点公式求最大值对应值． 【详解】（1）解：表格中的数据呈线性增长，且过原点，符合一次函数的性质； 设与的函数关系式为， 把，代入，得，解得， ∴与的函数关系式为； （2）解：把，代入，得， 解得， 与的函数关系式为， ∴， ∴函数图象开口向下，又对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当每日补光时长时，火龙果花蕾数量随着每日补光时长的增加而增加，当每日补光时长时，火龙果花蕾数量随着每日补光时长的增加而减少； （3）解：设每亩总利润为元， 依题意可得，， ∵，， ∴当时，有最大值， ∴每日补光时长为小时时，每亩取得最大利润． 12．（2026·山西太原·二模）综合与实践 问题情境：滑雪者从山坡滑下时，其滑行速度（单位：），滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间具有一定关系．实践小组记录某运动员训练数据，整理如下： 信息整理：①在山坡的滑行速度与滑行时间的部分数据如下表． 滑行时间（单位：） … 滑行速度（单位：） … ②在山坡的滑行距离与滑行时间之间的关系用图所示坐标系中的图象刻画． 解决问题： (1)根据表中数据可知，在山坡的滑行速度是滑行时间的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），其函数表达式为 ． (2)观察图可知，在山坡的滑行距离与滑行时间满足二次函数关系（图象经过原点），当该运动员在山坡的滑行时间为 时，求出他的滑行距离． (3)如图，在此次训练中，该运动员从山坡的点处滑下，滑行到坡脚点处时沿跳台做身体姿势调整，并在点处完成起跳，然后在空中作转体、旋转技巧展示．根据要求，若要顺利完成此次技巧展示，运动员距离地面的最大高度不得低于米（不考虑其他因素）．已知，运动员从到的过程中速度保持不变，从点起跳后距离地面的垂直高度（）与在空中的飞行时间（）之间的函数关系表达式是（其中为运动员在点时的速度）．请你判断该运动员能否顺利完成此次技巧展示？并说明理由． 【答案】(1)一次， (2) (3)解：该运动员能顺利完成，理由如下： 根据题意知， 令，代入得， 解得或（舍去）， 将代入得，点速度， 将代入，得， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点的纵坐标为运动员距离地面的最大高度， ∵， 又∵， ∴该运动员能顺利完成此次技巧展示． 【分析】根据表格数据的变化规律可判断在山坡的滑行速度是滑行时间的一次函数，再利用待定系数法求出函数表达式即可； 设，利用待定系数法求出二次函数解析式，再把 代入计算即可求解； 把 代入所得函数解析式求出的值，求出点速度，再代入中求出二次函数解析式，求出二次函数的顶点的纵坐标即可判断求解． 【详解】（1）解：由表格数据可知，滑行时间增加，速度增加， ∴在山坡的滑行速度是滑行时间的一次函数， 设与函数表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴函数表达式为， 故答案为：一次，； （2）解：根据图可设， 把和代入，得， 解得， ∴， 当时， （）， 答：滑行时间为时，滑行距离为； （3）略 13．（2026·山西吕梁·二模）综合与实践 问题情境：如图所示是甲、乙两名选手在某场羽毛球比赛中一个回合的示意图，其中是球距地面的高度，是球距原点的水平距离，甲在处以扣球方式击球，乙在处接球后以吊球方式回击． 数学建模：扣球时羽毛球运动路线可近似看成一条直线，吊球时羽毛球运动路线可近似看成一条抛物线.已知赛场中间球网，双方最远边界到中间球网的水平距离均为．在比赛后通过“鹰眼”技术回放，得到如下信息： 信息一：甲在点处击球时，距球网水平距离为，此时羽毛球距地面的高度，在击球后，羽毛球从球网正上方的处飞过，再过到达点.． 信息二：乙在点处回击，经过后，与交于点.甲、乙击球后羽毛球均在水平方向上作匀速运动，其速度分别为，，且． 问题解决： (1)求所在直线的表达式； (2)若乙回击球时，羽毛球在距离中间球网左边处到达最高点． ①通过计算说明甲选择不接球是否正确（注：乙回击球时，若球出界，则甲得分；若球未出界，则甲需选择接球）； ②在乙回击球的同时，甲面对羽毛球前进，前进过程中甲速度为，最高击球高度为．请直接判断出甲在前进的过程中能否接到球． 【答案】(1) (2)①甲选择不接球是不正确的；②甲在前进的过程中能接到球 【分析】（1）根据题意可得，，再利用待定系数法求表达式即可； （2）①根据题意，利用待定系数法求出羽毛球运行的解析式，再判断即可； ②设甲前进到羽毛球正下方所需时间为，解得，结合题意判断即可． 【详解】（1）解：由题意易得，点的坐标为，点的坐标为， 设，将，代入，得，， ∴所在直线的表达式为； （2）①由题意可知，在甲击球后经过飞行的水平距离为， ， ， ， 再过到达点， 点的横坐标为， 代入可得，故点的坐标为， 乙在点处回击，经过后，与交于点， 故此时羽毛球往回飞行的水平距离为， 即点的横坐标为， 代入可得，故点的坐标为， 羽毛球在距离中间球网左边处到达最高点， 此时羽毛球最高点的横坐标为，即， 分别代入，， 得解得 ， 场地最远边界到中间球网的水平距离为， 当时，，故羽毛球不会出界， 甲选择不接球是不正确的； ②甲在前进的过程中能接到球. 设甲前进到羽毛球正下方所需时间为， ，解得， 甲前进到羽毛球正下方时距离原点水平距离为， 当时，， 甲在前进的过程中能接到球． 反比例函数的图象、性质及应用 考点04 1．（2026·山西阳泉·二模）若反比例函数的图象经过点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合点的横坐标所在象限判断函数值的正负，再根据同一象限内的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵反比例函数为 ，比例系数 ， ∴该反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点的横坐标，对应点在第二象限， ∴， ∵点的横坐标满足，两点都在第四象限， ∴， ∴． 2．（2026·山西阳泉·二模）如图，已知反比例函数的图象经过点A，连接．将线段绕点A逆时针旋转，当点O的对应点落在x轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，作轴于点，则，由反比例函数的几何意义得出，由此即可得出结果． 【详解】解：由旋转的性质可得， 如图：作轴于点， 则， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴． 3．（2026·山西吕梁·二模）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于，两点．当时，自变量的取值范围是（     ）    A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象下方，结合图象即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：观察图象可知，当或时，直线在双曲线的下方， 因此，当时，自变量x的取值范围是或， 故选：． 4．（2026·山西太原·二模）固态电池相比液态电池，有能量密度高，电池体积小，安全性高等优点．某固态电池厂商对甲、乙、丙、丁种型号的电池进行电池容量的测试，已知质量能量密度（），如图，用四个点分别描述块电池的质量能量密度（）和电池质量（），其中描述乙、丁两种型号的电池恰好在同一个反比例函数的图象上，则种电池的容量最大的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】设反比例函数解析式为，则，根据反比例函数的性质可得乙、丁两种电池的容量相同，等于，甲种电池的容量小于，丙种电池的容量大于，据此即可判断求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为，则， 由题意得，的值即为电池的容量， ∵描述乙、丁两种型号的电池恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种电池的容量相同，等于， 如图，∵， ∴甲种电池的容量小于， 同理可得，丙种电池的容量大于， ∴种电池的容量最大的是丙． 5．（2026·山西吕梁·二模）某款电风扇的电阻可以调节，其范围为，已知电压为，图1是该电风扇的电路图，图2是该电风扇的功率与电阻之间的函数图象，则下列说法正确的是（    ） A．电功率是电阻的一次函数 B．电功率关于电阻的函数解析式为（） C．当电阻从增大到时，电风扇的电功率从增大到 D．若电风扇转速在中等档位时的电阻为，则此时电功率的大小为 【答案】D 【分析】根据函数图象得出，即可判断A，B，C选项，将代入解析式，进而判断D选项，即可求解． 【详解】解：由图2可得 ∴电功率关于电阻的函数解析式为（），电功率是电阻的反比例函数 当电阻从增大到时，电风扇的电功率从减小到 若电风扇转速在中等档位时的电阻为， ，即此时电功率的大小为 综上所述，只有D选项正确． 6．（2026·山西晋中·二模）某农场有一个储水量为的圆柱形储水罐，现计划对农场进行改造，需减少储水罐的占地面积．在储水量不变的前提下，储水罐的高度（m）与底面积（）成反比例函数关系，则当储水罐底面积由变为时，其高增加了________m． 【答案】0.4 【分析】根据圆柱体积公式，已知储水量（体积）不变，因此可得反比例关系：． 【详解】解：由题意可知：，即． 当原底面积时，原高度； 当底面积变为时，新高度； 则当储水罐底面积由变为时，其高增加了． 7．（2026·山西晋城·二模）已知点，，在反比例函数的图象上，若时，，则当时，与的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】先根据时，判断k的正负与点A，B所在的象限，根据得出点C所在的象限，从而根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，即，且点在第二象限，点在第四象限， ∵， ∴点在第二象限， ∵反比例函数中，， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴． 8．（2026·山西大同·二模）每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某实践小组经过实验发现，组员走出的大圆圈半径（米）与其两腿迈出的步长之差（厘米）成反比例函数关系，当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米时，两腿迈出的步长之差为厘米，则当该组员走出的大圆圈的半径为米时，他两腿迈出的步长之差为_____厘米． 【答案】 【分析】设与之间的函数表达式为，利用待定系数法求出与之间的函数表达式为，把代入，求出的值即可． 【详解】解：∵组员走出的大圆圈半径（米）与其两腿迈出的步长之差（厘米）成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米时，两腿迈出的步长之差为7厘米， ∴， 解得：， ∴与之间的函数表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴当该组员走出的大圆圈的半径为米时，他两腿迈出的步长之差为厘米． 9．（2026·山西吕梁·二模）的信号强度与距离有函数关系，下表是科研人员调查以后得到的距离与信号强度相关数据： 距离 1 2 5 8 10 信号强度 400 200 80 50 40 当距离为时，信号强度为________． 【答案】100 【分析】观察发现：距离与信号强度的乘积为定值，即信号强度与距离成反比例关系，再利用待定系数法求得函数解析式，再将代入求函数值即可解答． 【详解】解：由题意可得：信号强度与距离成反比例关系， 设信号强度与距离的函数关系式为， 则， 所以信号强度与距离的函数关系式为， 当时，． 10．（2026·山西太原·二模）无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率保持恒定，牵引力（单位：）与速度（单位：）满足反比例函数关系．已知某无人驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为，牵引力．为保证耕地的效果，牵引力不能低于，则拖拉机速度（单位：）的最大值为_______． 【答案】 【分析】因为牵引力F和速度v是反比例函数关系，所以先设反比例函数的一般形式，其中k为常数且，把已知的、代入反比例函数表达式，求出k的值，确定F与v的函数解析式，因为要求，所以将代入已得到的函数解析式，求解对应的v值，结合反比例函数的增减性，得到v的最大值． 【详解】∵牵引力和速度是反比例函数关系， ∴设， 将，代入解析式，得， ∴函数关系式为， 当时，代入得， ∵， 解得， ∴拖拉机速度的最大值为． 11．（2026·山西临汾·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，连接，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为； (2) 【分析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）根据已知坐标和三角形的面积关系，分别计算面积即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点B的坐标为， ∵把点，，分别代入，得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∵设点C为直线与y轴的交点， ∴点C的坐标为， ∴． 12．（2026·山西运城·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)连接，则的面积为__________． 【答案】(1)， (2)8 【分析】（1）待定系数法求解； （2）求出直线与轴和轴的交点坐标，利用割补法求三角形的面积． 【详解】（1）解：将分别代入， 得 解得 ∴一次函数的表达式为； 将代入，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图所示，设直线与轴、轴的交点分别为， 当时，，即， ∴； 当时，，解得，即， ∴； ∴的面积为： ． 13．（2026·山西晋中·二模）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出m的值； (2)D为x轴正半轴上一点，连接，若四边形的面积为14，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)；m的值为6 (2)点D的坐标为 【分析】（1）把代入可求出，把代入可求m的值； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，连接，设点D的坐标为，根据列式求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ，                     ∴反比例函数的表达式为；                 将代入，得． （2）解：由（1）可知点B的坐标为， 设直线的函数表达式为， 代入，，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，得， ∴点C的坐标为， ， 如图，连接， 设点D的坐标为， ， ， 解得， ∴点D的坐标为． 14．（2026·山西晋中·二模）阅读与思考 下面是小实的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 数形结合思想 数形结合是中国古代数学的璀璨智慧，赵爽在《勾股圆方图注》中以弦图直观证勾股定理，将几何图形与数量关系精妙融合，以形释数、以数解形． 《勾股圆方图注》中记载了利用图形解一元二次方程的方法．例如，在解方程时，将方程转化为，利用四个全等的矩形拼成如图①的形状，从而得到了上面方程的正数解． 如图②，四个全等的矩形中，一组邻边的长为和，连接四个矩形中的一条对角线，构造正方形，其边长为．利用两种方式表示正方形的面积，从而验证了勾股定理． 因此在解决问题“设计一个面积为平方米的矩形花园，要求用最少的篱笆围成”时，我也用了数形结合，下面是我的思考． 假设矩形花园的一边长为米，另一边长为米，篱笆长为米， 则①，②，现在问题要求的最小值． 由①得，是的反比例函数，图象如图③所示； 由②得，是的一次函数，该函数图象可以由直线平移得到，在图③中画出的图象，平移探索． 当反比例函数与一次函数图象有交点时能围成矩形． 任务： (1)图①中围成的大正方形的面积为________； (2)请利用图②验证勾股定理； (3)①在图③中，由平移过程可判断，当直线与反比例函数的图象有_______（填“”或“”）个交点时，的值最小； ②设计一个面积为25平方米的矩形花园，最少需要用_______米的篱笆． 【答案】(1)144； (2)见解析； (3)①1；②20． 【分析】（1）利用图形面积关系，把大正方形面积转化为含的代数式，再整体代入，直接算出大正方形面积． （2）用两种不同方式表示同一个大正方形面积，一种用斜边c平方表示，一种用四个直角三角形加小正方形面积和表示，化简后等量代换，证出勾股定理． （3）①直线由向上平移，截距越大m越大；要m最小就要截距最小，直线和反比例函数相切只有1个交点时截距最小，由此确定交点个数．②把矩形长宽、篱笆总长转化为一次函数和反比例函数，联立解析式得一元二次方程；利用相切时判别式，列方程求出m的最小值，即为最少篱笆长度． 【详解】（1）解：∵方程为， ∴． 由图①可知，大正方形的面积可以表示为： 将代入，得： ∴大正方形的面积为144． （2）证明：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为． 又∵正方形可看作由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成， 每个直角三角形的直角边长为、，小正方形的边长为， ∴正方形的面积也可表示为： ∵两种方式表示的是同一个正方形的面积， ∴，勾股定理得证． （3）解：①∵直线是由向上平移得到的， 且， ∴随着直线向上平移，截距逐渐增大，也随之增大． 要使最小，即要使直线的截距最小， 同时直线需与反比例函数有交点，才能围成矩形． ∵当直线与反比例函数图象相切（只有1个交点）时，截距最小，此时取得最小值； 若有2个交点，说明直线还可以继续向上平移，此时的值增大； 若没有交点，则无法围成矩形． ∴当直线与反比例函数的图象有1个交点时，的值最小． ②解：∵直线与反比例函数只有1个交点， ∴联立方程，得： 整理，得： ∵方程有唯一解， ∴判别式，即： 化简，得： 解得：，． ∵篱笆长度， ∴． ∴最少需要用米的篱笆． 二次函数的图象、性质及应用 考点05 1．（2026·山西阳泉·二模）已知二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： ... ... ... ... 下列结论正确的是（   ） A．函数图象开口向上 B． C．当时，随的增大而减小 D．关于的一元二次方程（a，b，c是常数，）有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查二次函数基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 根据抛物线的增减性，对称轴，抛物线与x轴的交点等解答即可． 【详解】解：根据题意，得和是对称点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 故B选项错误； ∵对称轴直线的右边即时，y随x的增大而减小， ∴函数图象开口向下， 故A选项错误； ∵， ∴随的增大而减小， 故C选项正确； 根据题意，抛物线的顶点坐标为，函数图象开口向下， ∴抛物线的最大值为， ∴抛物线与x轴无交点， ∴关于的一元二次方程（a，b，c是常数，）无实数根 故D选项错误． 故选：C． 2．（2026·山西阳泉·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，由点，，，得，根据图象性质即可求解，熟练掌握函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，，， ∴， ∴这个函数图象可能是反比例函数， 故选：． 3．（2026·山西吕梁·二模）综合与实践 问题情境：水火箭是校园科技活动中深受学生喜爱的科普装置，其发射后的运动轨迹可看作抛物线．某校科技社团在一次水火箭发射实验中，将水火箭从地面发射，当水火箭在空中与发射点的水平距离为米时达到最高，高度为米． 数学建模：如图1，将水火箭的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，水火箭在地面的发射点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； 问题解决：已知水火箭发射后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． (2)如图1，为保障观测安全，在发射点正前方，处放置两根高度相等的测量标杆，标杆顶端分别装有摄像头，，两个摄像头距地面的高度均为米，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，水火箭距离摄像头的竖直高度均为米，求两个测量标杆之间的水平距离； (3)在此次实验中，水火箭不能落在着落区域，其中点到发射点的距离为米，点到发射点的距离为米．如图，若在点处放置一个高度为米的发射架，从发射架顶端点发射水火箭时，水火箭正好落在着落区域（包含，两点），请直接写出发射架的高度的取值范围． 【答案】(1)（） (2)两个测量标杆之间的水平距离为米 (3) 【分析】（1）依题意，设抛物线的函数表达式为， 代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，它距离地面的高度为9米， 把代入，解方程即可求解； （3）依题意，，，分别代入，求得的值，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设抛物线的函数表达式为， ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为（）． （2）解：∵两个摄像头距地面的高度均为2米，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，水火箭距离摄像头的竖直高度均为7米， ∴当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，它距离地面的高度为9米， 把代入中，得， 解得，， ∴两个测量标杆之间的水平距离为（米）． 答：两个测量标杆之间的水平距离为米． （3）解：依题意，，， 新抛物线的解析式为， 将，代入解析式得，， 解得：； 将，代入解析式得， 解得：； ∴水火箭正好落在着落区域（包含，两点），发射架的高度的取值范围为． 4．（2026·山西大同·二模）综合与实践 问题情境：“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据：已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，的距离为6米，桥拱最高点到水面的距离为米． 数学建模：如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； 问题解决： (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米． ①若在桥拱最高点处有一个星形灯饰（大小忽略不计），求灯饰与其水中倒影之间的距离； ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为米，另外2盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出3盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 【答案】(1) (2)①灯饰与其水中倒影之间的距离为米； ②甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由题意得出点的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）①由抛物线的对称性得，然后把其代入解析式求解点的纵坐标，即可求出灯饰与其水中倒影之间的距离； ②先求出甲型灯笼到的距离，再由点与之间的距离即可得到甲型灯笼的悬挂点即为点；接着求出2盏乙型灯笼到的距离，再求出它们到的距离，代入解析式即可求解乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离． 【详解】（1）解：轴垂直平分，， ，， 由题意得， 设该抛物线的函数表达式为，将，，代入， 得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：①由抛物线的对称性得， 当时，， ∴灯饰与其水中倒影之间的距离为（米）； ②解：由题意可得，甲型灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 由①得，点与之间的距离为（米）， 甲型灯笼的悬挂点即为点， 甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米； 由题意可得，乙型灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 由①得，与之间的距离为米， 该悬挂点到的距离为（米）， 令，解得或， 乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 综上，甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 5．（2026·山西阳泉·二模）综合与实践 问题情境： 为给九年级学子加油鼓劲，某学校举办了中考百日誓师活动，特意搭建了一座如图1所示的充气“成功门”，充气“成功门”的形状可近似看作抛物线，“成功门”内对称竖立着两根同样高的竖直充气红柱，上面分别写有“全力以赴”“中考必胜”的励志标语． 数学建模： 如图2，已知充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面．以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式． 问题解决： (2)若充气“成功门”内两立柱，间的水平距离为，求立柱的高度． (3)活动最后一项为各班同学排成列纵队依次通过“成功门”（纵队居中行走），且相邻两列纵队之间的水平间距保持，第一排靠近立柱的同学高举本班班旗．为了安全通过该“成功门”，请直接写出班旗旗顶到地面垂直距离的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出顶点坐标为，设该抛物线的函数表达式为，把代入，求出的值即可得答案； （2）根据，间的水平距离为，得出点的横坐标为，把代入（1）中所求解析式，求出的值即可； （3）先求出列纵队的宽度为，可得第一排靠近立柱的同学的位置与点的水平距离为，把代入（1）中所求解析式，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面，点为坐标原点， ∴抛物线顶点为，其坐标为， 设该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式为． 把代入，得， 解得， ∴该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式为． （2）解：∵两根同样高立柱，间的水平距离为，， ∴点的横坐标为， 当时，． 答：立柱的高度为． （3）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵各班同学排成列纵队依次通过“成功门”，且相邻两列纵队之间的水平间距保持， ∴列纵队的宽度为， ∴通过“成功门”时，第一排靠近立柱的同学的位置与点的水平距离为， ∵当时，． ∴班旗旗顶到地面垂直距离的最大值为． 6．（2026·山西临汾·二模）综合与实践 问题情境：踢足球是很多同学喜欢的一项运动．体育课上，一次精彩的任意球射门引发了同学们的数学思考，某数学兴趣小组借助仪器开展了一次数学实践活动． 实验数据：已知在水平地面上，足球从O点被踢出，O点到球门线A点的水平距离为13米．足球距地面的竖直高度y（米）与距原点O的水平距离x（米）之间满足二次函数关系（足球大小忽略不计），数据如下： x（米） 0 4 6 8 12 … y（米） 0 3 3.75 4 3 … (1)数学建模：根据表格中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数图象并求其函数表达式； (2)问题初探：守门员站在球门线A点处，其手掌能达到的最大高度为2.3米，若只从拦截高度考虑，他能否挡住这次射门？请说明理由； (3)问题拓展：在计算机软件模拟环节中，保持足球的运动轨迹形状不变，即抛物线的形状不变．小组成员提出若将球门横梁的高度降为1.44米，只沿x轴负方向移动踢球点的位置，设移动距离为m米，最终要使足球飞落进降低高度后的球门内（球落在横梁、球门线A点处均不算进球），请直接写出足球踢出点移动距离m的取值范围． 【答案】(1)图见解析， (2)守门员挡不住这次射门，理由见解析 (3)足球踢出点移动距离m的取值范围为 【分析】（1）描点、连线即可作图；再设出顶点式，然后代入即可求解函数表达式； （2）由题意得，点的坐标为，将代入求解函数值与比较即可； （3）由题意得，平移后的函数表达式为，由题意得，当时，，再解不等式即可． 【详解】（1）解：函数图象如图所示： 由题意得，抛物线的顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得，，解得， ∴函数表达式为； （2）解：守门员挡不住这次射门，理由如下： 由题意得，点的坐标为， 将代入得， ∴守门员挡不住这次射门； （3）解：由题意得，平移后的函数表达式为， 由题意得，当时， ， 利用二次函数图象与不等式的关系，解得 7．（2026·山西阳泉·二模）综合与实践 问题情境：旧城区改造是提升居民生活品质的重要工程．如图①是某改造小区，该小区大门轮廓形状可视为抛物线型，因通行安全性和美观性不足，计划将其改造为“矩形+近似抛物线型”的组合型门，其截面图如图②所示． 数据收集；改造后组合型门宽为8米，矩形部分的高为2米，抛物线部分的顶点到地面的距离为6米． 数学建模：如图②，以所在直线为轴，线段的中垂线为轴（抛物线的对称轴），建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求改造后抛物线部分的函数表达式； (2)为保障通行安全，需在距离地面高米的门上安装两个摄像头，用于监控拱门通行情况，求两个摄像头之间的水平距离； (3)已知门正中间设有隔离带（关于轴对称），为了安全起见，改造后的大门必须保证消防车等应急车辆能正常通行，若消防车的宽为米，高为米，要保证消防车均可从大门两通道处通过，请直接写出隔离带的宽的最大值（消防车与隔离带的间距忽略不计）． 【答案】(1) (2)米 (3)0.8米 【分析】（1）设抛物线所对应的函数表达式为，将点代入所设解析式求出a的值即可得出函数解析式； （2）将代入解析式求出x的值，将所求x的值，再相减可得答案； （3）求出时，求出x的值，再减去，进而可得答案． 【详解】（1）解：连接， 由题意可知，四边形是矩形， ∵门宽为8米，矩形部分的高为2米，抛物线部分的顶点到地面的距离为6米， ∴，，， ∴， 由题意，设抛物线所对应的函数表达式为， 将点代入，得，解得， 该抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：∵需在距离地面高米的门上安装两个摄像头， ∴将代入抛物线，得， 解得：， ∴两个摄像头之间的水平距离为：（米）； （3）解：∵消防车的宽为米，高为米， ∴将代入抛物线，得， 解得：， ∵消防车的宽为米， ∴（米）， ∴隔离带的宽的最大值为（米）． 8．（2026·山西晋中·二模）综合与实践 问题情境：儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图①）．公园为了增强其观赏性，计划将该喷泉进行改造升级．为了有更多的改造方案，该公园广泛征集大家的改造想法．某校的综合实践小组给出了以下的优化设计方案． 收集数据： 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：已知喷水口为点，抛物线的最高点距离地面4米，且距离喷水口的水平距离为3米，水流落地点为． 建立模型： 以出水点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)根据上述分析，在图②中建立平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； 优化设计： 实践小组给出如下两种优化方案： 方案一：在现有的喷泉内部增加喷水口，建造双喷泉景观，新的喷水口在点右侧地面1米处，并且新的抛物线形状与原抛物线形状相同，在离新喷水口水平距离2米处达到最高，最高点距离地面3米． 方案二：为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道，其截面图如图③所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽为1米． 问题解决： (2)试判断方案一是否可行，并说明理由； (3)直接写出方案二中隧道顶端到地面的最大高度． 【答案】(1)坐标系见解析，； (2)方案一不可行．见解析； (3)米． 【分析】（1）根据点M的坐标可得出该抛物线为，结合点O的坐标即可求得答案； （2）由题意可知，此新抛物线的表达式为，令，可得x的值，进而即可得到答案； （3）根据（1）中求得的解析式，求出当时，对应的y的值，进而即可解答． 【详解】（1）解：如图所示建立平面直角坐标系， 由题意可设二次函数表达式为，把代入解析式得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：方案一不可行，理由如下： ∵新的抛物线形状与原抛物线形状相同， ∴设新抛物线的表达式为， ∵新的喷水口在点右侧地面1米处，离新喷水口水平距离2米处达到最高，最高点距离地面3米，即顶点坐标为, ∴新抛物线的表达式为， 令,则，解得：， ∴与新的喷水口在点右侧地面1米处不相符，方案一不可行； （3）解：∵隧道宽为1米，抛物线的对称轴为直线； ∴， 把代入函数解析式得， ∴隧道顶端到地面的最大高度为：（米） 9．（2026·山西晋中·二模）综合与实践 问题情境：科研人员为了研究某弹射器的性能，进行了如下的实验：在水平地面上放置一个弹射器（高度不计），通过弹射器竖直向上弹射一颗小球（忽略空气阻力），利用无人机测量小球竖直向上运动的相关数据． 数据整理：经过实验，科研人员得到小球距离水平地面的高度与运动时间的几组数据，如下表，并发现是的二次函数： 0 1 2 4 5 6 0 25 40 40 25 0 建立模型： (1)根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接，并求出h关于t的函数关系式； (2)问题解决：小球在运动过程中，从一开始经过多长时间可以达到最大高度，最大高度是多少米？ (3)问题解决：若该弹射器先发射出一颗小球，后立即发射出第二颗小球，经过一段时间后，两颗小球可在空中完成碰撞，请直接写出此时第二颗小球的运动时间． 【答案】(1)见解析， (2)小球在运动过程中，从一开始经过可以达到最大高度，最大高度是 (3)此时第二颗小球的运动时间为 【分析】（1）根据表格中的数据在坐标系中正确描点，用平滑的曲线连接可得抛物线的图象，再用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）求出抛物线的对称轴方程即可解决问题； （3）分别求出两颗小球运动高度关于运动时间t的函数关系式，根据“两个小球可在空中完成碰撞，即两颗小球的运动高度相同”列方程求解即可． 【详解】（1）解：描点并用平滑的曲线连接，如图， 根据表格数据，设h关于t的函数关系式为， 将代入，得， 解得，                     关于t的函数关系式为； （2）解：由表可知，当和时，h的值相同， ∴对称轴为直线，                 当时，，                         ∴小球在运动过程中，从一开始经过可以达到最大高度，最大高度是； （3）解：由题意知第一颗小球的运动高度h关于运动时间t的函数关系式为， 第二颗小球的运动高度关于运动时间t的函数关系式为， ∵两个小球可在空中完成碰撞，即两颗小球的运动高度相同， ∴令， 解得， ∴此时第二颗小球的运动时间为． 10．（2026·山西运城·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，虚线所示的宽为、高为的矩形区域是室内客厅墙面的一块空白装饰区，设计师计划在矩形区域上方用装饰线条围出抛物线造型，点分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，两点到矩形上侧的边的距离均为，抛物线的顶点恰好落在矩形上侧的边的中点处．以矩形下侧的边所在直线为轴，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 【问题解决】 (1)请在图1中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式． (2)在（1）的条件下，设计师对抛物线下方的墙面区域，设计了以下两种装修方案：方案一：如图2，在矩形下方区域围出两条完全相同的新抛物线造型装饰线条，它们的开口方向与（1）中的抛物线相反，但开口大小（二次项系数的绝对值）相同，这两条抛物线的顶点都在矩形下侧的边上．点分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，且在同一条水平线上．方案二：如图3，利用与矩形下侧的边垂直的两条等长装饰线条和，将抛物线下方区域分割为三个装饰区块，其中点均在矩形下侧的边上，且整个装饰图形关于轴对称． ①方案一中，设计师助理认为图2中点到矩形下侧的边的距离与点到矩形上侧的边的距离的比值为，请通过计算验证该说法是否正确． ②方案二中，若到矩形右侧边的水平距离等于点在竖直方向到抛物线的距离的5倍，当两条装饰线条的总长度（）最大时，请直接写出的长度． 【答案】(1)，图见详解 (2)①设计师助理的说法不正确，见解析 ② 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数表达式； （2）①确定抛物线的顶点坐标和二次项系数，利用待定系数法求出函数表达式，然后求解即可； ②设，根据函数表达式求出相关距离，然后列出的函数表达式，利用二次函数的图象和性质求出最值即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如下： 由题意得，，抛物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：①设计师助理的说法不正确，理由如下： 由题意得，过点的抛物线和过点的抛物线的二次项系数都为， ∵过点的抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴过点的抛物线的函数表达式为 当时，， ∵点到矩形上侧的边的距离为，， ∴设计师助理的说法不正确； ②设， 则到矩形右侧边的水平距离为， 点在竖直方向到抛物线的距离为， ∴， 整理得， ∴当时，的长度最大， 根据对称性可得，，即当时，的长度最大， ∴． 11．（2026·山西阳泉·二模）综合与实践 问题情境：从地面竖直向上发射的物体离地面的高度)满足关系式，其中)是物体运动的时间，为定值，是物体被发射时的速度．科学实验小组用某种发球器从水平地面竖直向上发射一个小球(记作甲)，并借助无人机探究小球甲离地面的高度)与该小球的运动时间)之间的关系，得到如下数据： 时间/ 高度/ 注：经科研人员检验，上述实验数据均满足 (1)建立模型：根据实验数据，求小球甲离地面的高度)与它运动时间)的关系式()； (2)问题解决：已知小球甲发射前，无人机悬停在的空中．在小球甲发射的同时，无人机以的速度沿竖直方向匀速下降． ①无人机下降过程中离地面的高度为______(用含的代数式表示)； ②当小球甲与无人机在空中离地面的高度恰好相等时，求的值； (3)当时，地面上另一个发球器竖直向上发射小球乙．已知小球乙被发射时的速度与小球甲被发射时的速度相同，当小球甲与小球乙同时在空中，且离地面的高度差为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或4 (3)的值为或 【分析】（1）依据题意，结合表格数据，利用待定系数法计算可以得解； （2）①依据题意，由初始高度，匀速下降速度，则无人机下降过程中离地面的高度为：，从而可以得解； ②依据题意，得，则从而可以得解； （3）依据题意，由甲速度，小球乙在时发射，乙运动时间：，分别求得甲、乙的解析式，结合高度差，从而列出方程计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，将，和，分别代入关系式， 得 ∴ ∴与的关系式为； （2）①由题意，∵初始高度，匀速下降速度， ∴无人机下降过程中离地面的高度为： ②由题意，得， 解得： 答：当小球甲与无人机在空中离地面的高度恰好相等时，的值为或4 （3）由题意，∵甲速度，小球乙在时发射，乙运动时间：， ， 或 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网 www.zxxk. 专题03 考点01 平面直角坐标系 1.A 2.D 3.D 4.B 5.C 6.（-3,2) 7.（-1,-4） 8.(1,-2 考点02 函数及函数图象的分析与判断 1.D 2.B 3.D 4.B 5.B 6.2 7.3 考点03 一次函数的图象、性质及应用 1.B 2.D 3.A 4.B 5.B 6.B 3/3 com 让教 函数 学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教 7.B 8.A 9.75 10.2 11.(1)一次函数，y=54t; (2)s=-3t-6)2+3800,见解析： (3)5小时. 12.(1)一次，v=4t+2 (2)96m (3)该运动员能顺利完成 5t*2.6 1 13.(1)h4c= (②)①甲选择不接球是不正确的；②甲在前进的过程中能接到球 考点04 反比例函数的图象、性质及应用 1.C 2.B 3.D 4.C 5.D 6.0.4 7.3</y1>y 9.100 10.1.5 11.()反比例函数的表达式为y=-3 (2)S△40B=4 12.(0)y=)x+4,2=-6 2 2/3 与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)8 13.(①y=6;m的值为6 X (2)点D的坐标为(4,0) 14.(1)144: (3①1；②20. 考点05 二次函数的图像、性质及应用 1.C 2.C 8.①y-20+16(0≤rs40》 (2)两个测量标杆之间的水平距离为10√7米 41 84 325≤m 25 4.(1y=-x2+号(-3≤x≤3) (20灯饰C与其水中倒影C之间的距离为三米： ②甲型灯笼与桥拱最高点C的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点C的水平距离均为？米。 1 5.(①y=-5x-5列+5 (2)2.55m (3)4.2m A/米 6.(1)3 16x-8)2+4 ，y= 1 A 1234567891011121314x/米 (2)守门员挡不住这次射门，理由见解析 (3)足球踢出点移动距离m的取值范围为1.4<m<3 7.0=+4sxs4 3/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 285米 5 (3)0.8米 珠 M 8.(1) 74 0 (2)方案一不可行. 是 h(m) 60 50 40 9.(1)30 ，h=-5t2+30t 20 10 1234567t(s) (2)小球在运动过程中，从一开始经过3s可以达到最大高度，最大高度是45m (3)此时第二颗小球的运动时间为2.5s y H A 10.(1)y=- x2+2, 15 答图 (2)①设计师助理的说法不正确②1.5m 11.(1)y=-5x2+30x(0≤x≤6) 2)①50-2.5r:②x的值为或4 2 同的值为是或 41 2/3