高中数学破题致胜微方法（函数的周期性）：中心对称与周期函数的关系

http://shitibao.zxxk.com/weikan/t5310001051?weikanid=gs1051 对称性和周期性都是函数的重要性质，而这两种性质之间，有没有什么关联呢？今天我们就来通过几个例子，研究中心对称与周期性之间的关系。 先看例题： 例：f(x)是定义在R上的函数，且y=f(x)的图象关于点(a,0)和(b,0)对称，证明f(x)是周期函数 由已知，函数关于(a,0)和(b,0)对称有： 设函数上的点 ，有 关于(a,0)对称 对称点为 ，在函数上 所以有 即 所以有 所以可知： 同理： 即 得 所以原函数是周期函数 一般规律： 若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称， 则函数f(x)必为周期函数，2|a-b|是它的一个周期； 再看一个例题加深印象： 练：已知函数f(x-1)为奇函数,函数f(x+3)为奇函数,f(0)=1,则f(8)=( ). 由已知 因为 ，所以函数其中一个对称中心为(-1,0) 同理可知， 函数有两个对称中心，分别为(-1,0),(3,0) 所以函数为周期函数，且 所以 总结： 1.如果一个函数含有两个不同的对称中心，那么它一定是周期函数。 2. 周期T=2|a-b| 练习： 1.．设函数 的定义域为R，若 与 都是关于 的奇函数，则函数 在区间 上至少有 个零点. 2. 定义域为R，对于任意x都有 且 问 是否是周期函数？如是则周期是多少？ 答案：f(2k-1)=0，k∈Z. 又可作一个函数 满足问题中的条件， 且 的一个零点恰为 ，k∈Z. 所以至少有50个零点. 解：如图可知M（1，0），N（4，0）是对称中心， 设 为 的任意一点， 它的关于M的对称点是 则： 设 与 关于N点对称则4– = –4， 由题意 即对于任意 EMBED Equation.DSMT4 都有 是周期函数，周期为6. 2 $$