高中数学破题致胜微方法（函数的周期性）：轴对称、中心对称与周期函数的关系

http://shitibao.zxxk.com/weikan/t5310001052?weikanid=gs1052 对称性和周期性都是函数的重要性质，而这两种性质之间，有没有什么关联呢？今天我们就来通过几个例子，轴对称、中心对称与周期性之间的关系。 先看例题 例：f(x)是定义在R上的奇函数， ， 时， ，则f(31)等于（） 根据已知，由函数为奇函数，可以找到一个对称中心， 根据 ，能够找到函数的一条对称轴即x=1 由周期函数的知识，可知： 所以函数是以T=4为周期的函数，所以： 一般规律： 若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x=b对称， 则函数f(x)必为周期函数，4|a-b|是它的一个周期； 整理： 若函数f(x)关于直线x=a和直线x=b对称， 则函数f(x)必为周期函数，2|a-b|是它的一个周期； 若函数f(x)关于点(a,0)和点(b,0)对称， 则函数f(x)必为周期函数，2|a-b|是它的一个周期； 若函数f(x)关于点(a,0)和直线x=b对称， 则函数f(x)必为周期函数，4|a-b|是它的一个周期； 练：f(x)是定义在R上的奇函数， ，当 时， ，则 = 根据已知，由奇函数我们知道，函数有对称中心为(0,0) 又根据 ，函数有一条对称轴为，x=1 所以原函数是一个周期函数，且T=4|1-0|=4 所以 注意：此类周期函数的周期，与轴对称，与中心对称所提到的周期算法不一致！ 总结： 1.如果函数有不同的对称中心和对称轴，那么它一定是周期函数 2.该类函数的周期为T=4|a-b| 练习： 1.定义域为的函数满足，且为偶函数，则 （ ） （A）是周期为4的周期函数 （B）是周期为8的周期函数 （C）是周期为12的周期函数 （D）不是周期函数 2.若函数 在 上是奇函数，且在 上是增函数，且 . ①求 的周期； ②证明 的图象关于点 中心对称;关于直线 轴对称, ; ③讨论 在 上的单调性； 3.已知函数 对任意实数 均有 ，且存在非零常数 （1）求 的值； （2）判断 的奇偶性并证明； （3）求证 是周期函数，并求出 的一个周期. 答案： 1.C 2. 解: ①由已知 ，故周期 . ②设 是图象上任意一点,则 ,且 关于点 对称的点为 .P关于直线 对称的点为 ∵ ,∴点 在图象上