高中数学破题致胜微方法（函数的周期性）：对称性、奇偶性与周期性的关系

http://shitibao.zxxk.com/weikan/t5310001053?weikanid=gs1053 我们已经学过函数轴对称，中心对称都可能与函数周期性有一定的关系，那么奇偶性与周期性是否也有关系呢？今天我们就一起来看看，对称性结合奇偶性，能否与函数周期性产生联系，帮助我们解题。 先看例题： 设f(x)是定义在R上的函数，且满足 EMBED Equation.DSMT4 ，则f(x)是( ) 解： 首先根据 函数是周期函数，所以可以排除BD选项 又因为 ，所以函数有一条对称轴为x=10， 所以可以改写成： 又根据函数的周期性有： 可以得到： 整理： 奇偶性、对称性、周期性之间的关系： 复习： 若奇函数f(x)关于点(a,0) ( )对称， 则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期； 若偶函数f(x)关于直线x=a ( )对称， 则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期； 若奇函数f(x)关于直线x=a ( )对称， 则函数f(x)必为周期函数，4|a|是它的一个周期； 若偶函数f(x)关于点(a,0) ( )对称， 则函数f(x)必为周期函数，4|a|是它的一个周期； 奇函数与周期性： 周期为2a的奇函数f(x)必有对称中心(a,0) 证明： 函数f(x) 的对称中心为(a,0) ，且周期为2a  ，则f(x)为奇函数 证明： 偶函数与周期性： 周期为2a的偶函数f(x)必有对称轴x=a 证明： 函数f(x)的对称轴为x=a ，且周期为2a，则f(x)为偶函数 证明： 练：设f(x)是定义在R上的函数， 则f(x)是( ) 解：由 可知，函数关于x=10对称 由 可知，函数关于(20,0)成中心对称 所以有 所以有 函数为周期函数且 又有 所以函数即是奇函数，又是周期函数。本题选C 总结： 1.熟练掌握函数奇偶性与周期性之间的关系 2.在做具体问题时，要根据题目本身的特征，充分结合对称性，奇偶性，周期性综合求解 3.公式比较多时，不要死记硬背，要理解公式推导的原理。在脑海里先对函数性质有预判，再借助合理推导，证明自己的判断。 练习： 1.设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时， f(x)＝x，则f(7.5)=（ ）。 A．0.5