数学试卷-2025-2026学年高一5月过程性素质评价（山西专用）

高一5月份过程性素质评价 数 学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 :: 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 .: 体· 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第九章。 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 : 题目要求的， 1.若复数=(1一i)(a一i)(a∈R)为纯虚数，则a A.-√2 B.-1 C.0 D.1 2.有下列一组数据：2,17,33,15,11,42,34,13,22，则这组数据的上四分位数是 簧 A.11 B.13 C.22 D.33 3.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2，则异面直线AB与B1C 所成角的余弦值是 童 A 2 B 12 C.4 D.0 已知向量a,b满足a=(停，-），b=(3,1),则向量a在向量b上的投影向量为 4 茶 A. B.b D.b 5.已知正三角形ABC的边长为6，点D,E满足AD=2DB,AE=2EC,P是线段DE上的动点 (含端点)，则PB·PC的取值范围是 A.[12,16] B.[2,6] C.[-16,12] D.[-6,-2] 【高一5月份过程性素质评价·数学第1页（共4页）】 6.已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形A'B'CD', y 如图所示，则该平面图形的面积是 D A.1 B.√2 C.2 D.2√2 7.某公司为了解用户对其产品的满意度，从使用该产品的用户中随机调查了100个用户，根据 用户对产品的满意度评分，得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意 度评分的中位数、众数、平均数的估计值分别为α，b,c,则 频率/组距 0.025 A.a<b< 0.020 B.b<a<c 0.015 0.010 C.a<c<b D.b<c<a 0405060708090100满意度评分 8.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为42，PA=4√5，则四棱锥P-ABCD外接球的表面 积为 A109 B.50π C.100π D.100x 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9.已知a,B是空间中的两个不同的平面，l,,n是三条不同的直线，则下列命题正确的是 A.若∥a,a∥B,则L∥B B.若m⊥a,m∥n,nCB,则a⊥3 C.若m⊥n,m⊥a,n∥B,则a⊥3 D.若m⊥a,n⊥B,a∥B,则m∥n 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C=于，c=2,则下列结论正确的有 A.△ABC面积的最大值为√3 B.b cosA+a cosB=√2 C.△ABC周长的最大值为6 D若A≠受，则8的取值范围为(-∞，号)U(3,十∞）) 11.如图，已知正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2，点P在正方形 D ABCD内运动（含边界），则 A.存在点P,使得DP⊥BC B.若D1P=√5，则BP的最小值为2√2一1 C.若D1P⊥B1D,则P点运动轨迹的长度为2 D若A.PLBD,.则直线AP与直线BD,所成角的余弦值的最大值为号 【高一5月份过程性素质评价·数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知复数z=(m一1)十(m十1)i的模等于2，则实数m的值为 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD. 若PA=AB,则直线PB与平面PCD所成的角的大小为 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，且 2S=d-。-0,则的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分，除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(本小题满分13分) 已知a=√2，|b|=1,a与b的夹角为45°. (1)求向量a在向量b上的投影向量； (2)求a+2b1的值； (3)若向量(2a一λb)与(a一3b)平行且方向相同，求实数λ的值. 16.(本小题满分15分) 用分层随机抽样从某校高一年级1000名学生的数学成绩（满分为100分）中抽取一个样本 容量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本 数据分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，绘制得到如图所示 的频率分布直方图， 个频率/组距 0.030 (1)由频率分布直方图，求出图中t的值； 0.025 (2)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和 0.010 187.75,女生成绩样本数据的平均数和方差分别为660.005 和40，求总样本的平均数和方差。 405060708090100成绩/分 【高一5月份过程性素质评价·数学第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=号 （1)若6=2，c-3.求证：aA十B√@， b (2)若D为边BC的中点，且△ABC的面积为6√3，求AD长的最小值. 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAD⊥平面PCD,△PAD是边长 为2的正三角形，PC=2√3，E是PC的中点，过点A,B,E的平面与PD交于点F. (1)求证：AB∥EF; (2)求证：AF⊥AB; (3)求二面角F-PC-A的正切值， 19.(本小题满分17分) 如图，已知△ABC中，AC=4,∠BCA=90°，∠BAC=60°，M,N为线段AB上两点（其中点 N在线段MB上)，且∠MCN=30°. (1)若CM⊥AB,求CM·CB的值； (2)设∠ACM=0,试将△MCN的面积S表示为0的函数，并求其最 大值； (3)若BN=Y⑤AM,求cos∠ACM的值. 【高一5月份过程性素质评价·数学第4页（共4页）】 高一5月份过程性素质评价·数学 参考答案、解析及评分细则 1.D因为(1-i)(a-i)=a-1一(1十a)i为纯虚数，所以a-1=0,且a+1≠0，解得a=1.故选D. 2.D已知一组数据：2,17,33,15,11,42,34,13,22，则从小到大排列为2,11,13,15,17,22,33,34,42，共有9个 数据，由题意且9×0.75=6.75，则这组数据的上四分位数是从小到大排列的第7个数，即33.故D正确.故 选D. 3.C连接AB,交A1B于点M,取AC中点N,连接MN,BN,则∠BMN就是所求角或其A 补角.由已知可得BM=MN=√E,BN=3,所以由余弦定理得cos∠BMN=2+2-3 2X√2X√2 =},所以异面直线AB与B,C所成角的余弦值是4.故选C M 4A因为a=(停，-），b=(5,1),所以a·b=9×,5+(-合)×1=1，b1= √3)P+F=2,所以向量a在向量b上的投影向量为品=子6放选A 5.D取线段BC的中点O,连接AO,则BC⊥OA,以点O为坐标原点，OC,OA所在直线分别为x,y轴建立如 图所示的平面直角坐标系， 因为正三角形ABC的边长为6，所以A0-9×6=35,放B(-3,0),C(3,0, A(0,3√3)，又AD=2DB,AE=2Ed,所以D(-2wW3),E(2,W3).设P(aW3),则-2≤ a≤2，所以PB=(-3-a,-√3)，PC=(3-a,-√3)，故PB·PC=a2-9十3=a2-6∈ [-6,-2].故选D. 6.DA'D'=1=A'B',所以OD'=√2，还原如图所示： y B x 则OD=2OD'=2√2，AB=1,所以平面图形ABCD的面积S=|AB|·|OD|=1X2√2=2W2.故选D. 7.B由频率分布直方图可知众数为65，即b=65,由图可知，组距为10，所以平均数为45×0.15十55×0.2十 65×0.25+75×0.2+85×0.1十95×0.1=67，故c=67,记中位数为x,则有10×0.015+10×0.02+ (x-60)×0.025=0.5,解得x=66,即a=66,所以b<a<c.故选B. 8.C设底面中心为E,连接PE,CE,如图所示，由题意得PE=8,记正四棱锥的外 接球球心为O,设外接球半径为R,则OP=OA=OB=OC=OD=R,在Rt△OEC 中，OC=OE+EC,且EC=4,所以R2=16+(8-R)2,解得R=5,即OP=5,所 以外接球的表面积S=4πR2=100π.故选C 9.BD若α∥B,L∥a,此时l有可能在平面B内，并不一定l∥B,故A错误；若m∥n, m⊥a,则n⊥a,又nCB,所以a⊥B,故B正确；若m⊥n,m⊥a,则n∥a或nCa,又n ∥B,则两平面相交或平行，故C错误；因为nLB,a∥B,根据一条直线垂直于两个 平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，可得n⊥a.又因为m⊥a,垂 直于同一个平面的两条直线平行，所以m∥n,故D正确.故选BD. 10,AC对于A,由余弦定理得cosC==合，则公2+=ab十4，由基本不等式得a+=b+4位 2ab 2ab,当且仅当a=b时，等号成立，所以ab<4,故Sc=7 alsin C</5,A正确；对于B,6cosA十asB=- b.形十正十a·十龙_琴=6-2，B错误对于C由余孩定理得casC-点4=合，则心+ 2bc 2ac 2c 2ab :=b叶4，所以a+b2=3ab+4≤3×(2告）+4，当且仅当a=6时，等号成立，所以a+6≤4，所以 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第1页（共4页）】 △ABC的周长l=a十b什c≤4+2=6，即△ABC周长的最大值为6，C正确，对于D,osB= -cos(A+5） cos A cos A cos A 8mA为Ao爱加(，所gAE (0,十o),所以号anA-∈(-0，-2U(-十e∞)，D错误.故选AC 11.BD对于A选项：作点P在平面BB1C1C内的射影M,所以PM⊥BC1,连接PM,CM,则P,M,C,D四 点共面；假设D1P⊥BC1,则BC⊥平面DPMC,则CM⊥BC1,与已知矛盾，故错误； D D D A 图1 图2 图3 图4 对于B选项：如图，若DP=√5，连接DP,则点P在以D为圆心，DP为半径的圆上，此时点P的轨迹 为FPE, 又.D1P=√5，DD1=2,.DP=√DP2-DD=√5-4=1， ∴.BPm=BD-DP=2√2一1.故正确； 对于C选项：如图，连接AD1,AC,BD,CD1,BD,四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD,又DD⊥平面 ABCD,ACC平面ABCD,.AC⊥DD1,BD∩DD=D,BD,DDC平面BDDB1,∴.AC⊥平面BDDB, B1DC平面BDD1B1,∴.AC⊥B1D,同理可证AD⊥BD,又AC∩AD=A,AC,ADC平面ACD1,.B1D ⊥平面ACD,平面ACD∩平面ABCD=AC,故点P在正方体底面ABCD内的运动轨迹是线段AC,又正 方体ABCD-A1BCD的棱长为2，∴.AC=2√2，故错误； 对于D选项：如图所示，在正方体ABCD-A1BCD外补一相同正方体AHEB-A1FGB,连接AE,A1E, EP,则∠EA1P就是所求角或其补角，设AP=x,x∈[0,2√2]，则EP=√8+x,AP=√4+x,A1E= 2,所以os∠EAP=AE十AP-EP=12+(4+2)-(8+)= 2A1E·A1P 2√12·√/4十x2 212·√4+元，当x=0时， cos∠EA1P有最大值，最大值为令，所以正确，故选BD, 12.士1，复数的模等于2，故√(m-1)+(m+1)产=2，故m2=1,解得m=士1. 13.石如图所示：将四棱锥P-ABCD放入正方体内.不妨设AB=a,连接BC,BC相 交于M,易知BC⊥BC,BC⊥CD,故BC⊥平面CDPB,故∠BPM为直线PB与 平面PCD所成的角，R△BPM中，BP=-Ea,BM=号a,放∠BPM=吾 14[2,普)在△ABC中，由余弦定理得a2=+2-2 osA,且△ABC的面积为S -号-esinA,由2S=d2-（(6-c)3,得6 sin A=-2kc-2kosA,化简得sinA+2cosA B =2,又A∈(0，受)，sirA十cos2A=1,联立得5si证A-4sinA=0,解得sinA=号或sinA=0(舍去)，所以 点-盘是-血a9_血AcsC陆A血C-mC+号，因为△ABC为领角三角形，所以0<C< c sin C sin C sin C 吾，B=x-A-C<登，所以受-AKC<受所以mC>m(受-A)=A是，所以cE(o,号)， 所以之（停，号》设兰=其中：E(停，号），所以“长-色+后=十片，曲对勾隔数单润性知y一 +在（号，1）上单调递减，在(1，号)上单调递增，当=1时y=2:当1=时，y=普当=号时，y= 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第2页（共4页）】 治，所以∈[2)，即“的取值范图是[2). 15.解：(1)：|a=√2，b=1,a与b的夹角为45， aws45…合-厄×号×合=-b, 向量a在向量b上的投影向量为b.…4分 (2).|a+2b|2=|a2+4|a|·|b|cos45°+4|b|2=2+4+4=10, |a十2b|=√10.… 8分 (3).(2a-b)与(a-3b)平行， .(2a-b)=以(a-3b),…9分 =6 ÷侣解 6 3'或=一 3’ …10分 λ=√ =-√6， -3'时，2a-66-5(6a一3b),此时方向相同； …11分 λ=√6 兮时，2a十5b=-5（一6a一3b),此时方向相反，故舍去.… 3 12分 λ=-√6 λ=√6.…13分 16.解：(1)由图形可得10(0.01十2t+0.03十0.025十0.005)=1，…3分 獬得=0.015。…5分 (2)设男生成绩样本平均数为元=71，方差为s2=187.75, 女生成绩样本平均数=66，方差为5=40，总样本的平均数为，方差为2， 2=0%+0=0.4X71+0.6X66=68. …9分 子=0[+元-)]+0[号+灯-)门 =0187.75+(71-68)2]+0[40+(6-68)]=105.1 所以总样本的平均数和方差分别为68和105.1.… 15分 17.(1)证明：A=号，6=2，c=3, 由余弦定理可得a2=+c2-2 bccos A-=4+9-2X2X3X2=7,∴a=√7. …4分 …7分 tan'sin5' 2 (2)解：由5Ac=csinA-只c=6v5可得k=24. 10分 :D为边BC的中点，则DB+DC=0, ..AB+AC-(AD+DB)+(AD+DC)-2AD, 所以4A:=(Ai+AC)2=A+AC+2Ai.A花-2++2bcos号 =+c2+bc>2bc+bc=3bc=72,即|AD|≥3V2,… …13分 当且仅当b=c=2√时，等号成立，故AD长的最小值为3√2. …15分 18.(1)证明：因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD, …1分 因为AB中平面PCD,CDC平面PCD, 所以AB∥平面PCD,…3分 因为平面PCD∩平面ABEF=EF,ABC平面ABEF, 所以AB/∥EF。…5分 (2)证明：由(1)知AB∥EF,AB∥CD,所以EF∥CD, 因为E是PC中点，所以F是PD中点，…6分 因为△PAD是正三角形，所以AF⊥PD,…7分 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第3页（共4页）】 因为平面PAD⊥平面PCD, 平面PAD∩平面PCD=PD,AFC平面PAD, 所以AF⊥平面PCD,…9分 因为EFC平面PCD,所以AF⊥EF, 因为AB∥EF,所以AF⊥AB. …10分 (3)解：过F作FH⊥PC于H,连接AH, 由(2)知AF⊥平面PCD, 又因为PCC平面PCD,FHC平面PCD, 所以AF⊥PC,AF⊥FH, 因为AF∩FH=F,AFC平面AFH,FHC平面AFH, 所以PCL平面AFH, 12分 因为AHC平面AFH,所以PC⊥AH, 所以∠AHF就是二面角F-PC-A的平面角.… 14分 在正三角形PAD中，AF=√3，PF=1, 在△PCD中，PD=CD=2,PC=2√3，所以∠DPC=30°， 在R△PFH中，FH=PF=合， 在R△MFH中，AHF部-25， 所以二面角F-PC-A的正切值为2√3。…17分 19.解：(1)△CAM中，AC=4,CM⊥AB,∠MAC=∠BAC=60°， 所以CM=AC·sin60°=2√3. 所以CM.C第=1CM·1CB1·cos∠BCM=|CM·1CM=12. 4分 (2)在△ACM中，∠ACM=0(0°≤60)，AC=4,∠MAC=60°， 由正弦定理得0--D即CM=m AC 2w3 6分 在△ACN中，∠ACN=0+30°，AC=4,∠NAC=60°， 所u0=S所以cN--2怎， =23 …8分 所以Saw=2CMCN·sin30-sn(980)cos0 2 sin dcos 13 2cos2 6 12 …10分 sin20+W3cos20+32sin(20+60°)+3 2 2 2 因为0°≤0≤60°，所以60°≤20+60°≤180°， 所以当且仅当20叶60°=10°，即0=60°时，△CMN的面积取最大值为45.…12分 (③当BN=5AM时，Sa-gSc, 即号BC.CN·s∠BCN=S×AC·CM:sinACM,, 8 因为BC=√5AC,所以8CN·sin∠BCN=√2CM·sin∠ACM, 设∠ACM=0且ore<6,由e得Gtn2o,cN-=2品且∠Cv=60-a, 所以4W2sin(60°-0)sin(60°+0)=sin0cos0,…14分 所以42[（〈停os0)-(合sn0)]=in6, 即√/2sin20+sin0cos0-3√2cos20=0, 两边同除以cos20,得2tan0+tan0-3√2=0， 解得an0=区或am6=-号（合去. 16分 此时cos∠ACM= ............... 3 …17分 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第4页（共4页）】高一5月份过程性素质评价 数 学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 圜 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第九章。 如 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 p的。.--、、7 题目要求的， 长 1.若复数z=(1一i)(a一i)(a∈R)为纯虚数，则a= A.-√2 B.-1 C.0 D.1 2.有下列一组数据：2,17,33,15,11,42,34,13,22，则这组数据的上四分位数是 毁 A.11 B.13 C.22 D.33 3.如图，已知正三棱柱ABC-A1BC1的棱长均为2，则异面直线A1B与B1C 所成角的余弦值是 A. 12 C. D.0 4.已知向量a,b满足a=(9，-号)，b=(3,1),则向量a在向量b上的投影向量为 茶 A. B.2b D.b 5.已知正三角形ABC的边长为6，点D,E满足AD=2DB,AE=2EC,P是线段DE上的动点 (含端点)，则PB·PC的取值范围是 A.[12,16] B.[2,6] C.[-16,-12] D.[-6,-2] 【高一5月份过程性素质评价·数学第1页（共4页）】 6.已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形AB'CD', 如图所示，则该平面图形的面积是 D A.1 B.√2 C.2 D.2√2 7.某公司为了解用户对其产品的满意度，从使用该产品的用户中随机调查了100个用户，根据 用户对产品的满意度评分，得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意 度评分的中位数、众数、平均数的估计值分别为a,b,c,则 个频率/组距 0.025 A.a<< 0.020 B.b<a<c 0.015 0.010 C.a<c<b D.b<c<a 0405060708090100满意度评分 8.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4√2，PA=4√5，则四棱锥P-ABCD外接球的表面 积为 A19 B.50π C.100π D.100x 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9.已知a,3是空间中的两个不同的平面，l,m,n是三条不同的直线，则下列命题正确的是 A.若l∥a,a∥3，则l∥B B.若m⊥a,m∥n,nCB,则a⊥3 C.若mLn,m⊥a,n∥g,则a⊥3 D.若m⊥a,n⊥B,a∥B,则m∥n 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且C-牙，c=2,则下列结论正确的有 A.△ABC面积的最大值为√3 B.b cosA+a cosB=√2 C.△ABC周长的最大值为6 D若A≠受，则8月的取值范围为(-ce,)U(5,十e∞） 11.如图，已知正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为2，点P在正方形 D ABCD内运动（含边界），则 A.存在点P,使得DP⊥BC B.若D1P=√5，则BP的最小值为2√2一1 C.若D1P⊥B1D,则P点运动轨迹的长度为2 D,若A,PLBD,则直线A1P与直线BD,所成角的余弦值的最大值为S 【高一5月份过程性素质评价·数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知复数z=(m一1)十(m十1)i的模等于2，则实数m的值为 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD. 若PA=AB,则直线PB与平面PCD所成的角的大小为 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，且 2S=d--0,则5的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分，除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(本小题满分13分) 已知a=√2，b=1,a与b的夹角为45°. (1)求向量a在向量b上的投影向量； (2)求a+2b|的值； (3)若向量(2a一b)与(a一3b)平行且方向相同，求实数λ的值. 16.(本小题满分15分) 用分层随机抽样从某校高一年级1000名学生的数学成绩（满分为100分）中抽取一个样本 容量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本 数据分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，绘制得到如图所示 的频率分布直方图。 频率/组距 0.030 (1)由频率分布直方图，求出图中t的值； 0.025 (2)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和 0.010 187.75,女生成绩样本数据的平均数和方差分别为66 0.005 和40，求总样本的平均数和方差. 405060708090100成绩/分 【高一5月份过程性素质评价·数学第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A- （1)若6=2，c=3求证a品十品B-=√； b (2)若D为边BC的中点，且△ABC的面积为63，求AD长的最小值， 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAD⊥平面PCD,△PAD是边长 圜 为2的正三角形，PC=2√3，E是PC的中点，过点A,B,E的平面与PD交于点F. (1)求证：AB∥EF; (2)求证：AF⊥AB; (3)求二面角F-PC-A的正切值. 19.(本小题满分17分) 如图，已知△ABC中，AC=4,∠BCA=90°，∠BAC=60°，M,N为线段AB上两点（其中点 N在线段MB上)，且∠MCN=30°. (1)若CMLAB,求CM·CB的值； (2)设∠ACM=B,试将△MCN的面积S表示为0的函数，并求其最 大值； (3)若BN=AM,求cos∠ACM的值. 【高一5月份过程性素质评价·数学第4页（共4页）】高一5月份过程性素质评价·数学 参考答案、解析及评分细则 1.D因为(1-iD(a一i)=a-1一(1十a)i为纯虚数，所以a-1=0,且a+1≠0，解得a=1.故选D. 2.D已知一组数据：2,17,33,15,11,42,34,13,22，则从小到大排列为2,11,13,15,17,22,33,34,42，共有9个 数据，由题意且9×0.75=6.75，则这组数据的上四分位数是从小到大排列的第7个数，即33.故D正确.故 选D. 3.C连接AB,交A1B于点M,取AC中点N,连接MN,BN,则∠BMN就是所求角或其A 补角.由已知可得BM=MN=√2，BN=√3，所以由余弦定理得cos∠BMN= 2+2-3 2X√2X√2 =},所以异面直线AB与B,C所成角的余弦值是4.故选C 4A因为a=(停，-），b=3,1),所以a·b=号×5+(-合)×1=1，b= √+1卫-2，所以向量a在向量b上的投影向量为6=6故选A 5.D取线段BC的中点O,连接AO,则BC LOA,以点O为坐标原点，OC,OA所在直线分别为x,y轴建立如 图所示的平面直角坐标系， 因为正三角形ABC的边长为6，所以A0-号×6=35，放B(-3,0),C(3,0), A(0,3√3)，又AD=2Di,AE=2EC,所以D(-2N3),E(2,√3).设P(aW3),则-2≤ a≤2，所以PB=(-3-a,-√3)，PC=(3-a,-√3)，故PB·P℃=a2-9十3=a2-6∈ [-6,-2].故选D. 6.DA'D'=1=A'B',所以OD'=√E,还原如图所示： B T 则OD=2OD'=2√2，AB=1,所以平面图形ABCD的面积S=|AB引·OD1=1×2√2=2√2.故选D. 7.B由频率分布直方图可知众数为65，即b=65,由图可知，组距为10，所以平均数为45×0.15十550.2十 65×0.25+75×0.2+85×0.1十95×0.1=67，故c=67,记中位数为x,则有10×0.015+10×0.02+ (x-60)×0.025=0.5,解得x=66,即a=66,所以b<a<c.故选B. 8.C设底面中心为E,连接PE,CE,如图所示，由题意得PE=8,记正四棱锥的外 接球球心为O,设外接球半径为R,则OP=OA=OB=OC=OD=R,在Rt△OEC 中，OC=OE+EC,且EC=4,所以R2=16+(8-R)2,解得R=5,即OP=5,所 以外接球的表面积S=4πR2=100π.故选C. 9.BD若α∥B,l∥a,此时l有可能在平面B内，并不一定l∥B,故A错误；若m∥n, m⊥a,则n⊥a,又nCB,所以a⊥B,故B正确；若m⊥n,m⊥a,则n∥a或nCa,又n ∥B,则两平面相交或平行，故C错误；因为nLB,a∥B,根据一条直线垂直于两个 平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，可得n⊥a.又因为m⊥a,垂 B 直于同一个平面的两条直线平行，所以m∥n,故D正确.故选BD. 0.AC对于A,由余弦定理得cosC二@-4=，则ac2+=ab十4，由基本不等式得a2+P=ab+4≥ 2ab 2ab,当且仅当a=b时，等号成立，所以ab<4,故5c=之alsin C<3,A正确；对于B,bcsA十acsB=- b.+c+a·。2士世-2二=6=2，B错误：对于C,由余弦定理得osC-《4-号，则ad2+ 2bc 2c 2ab =ab+4,所以a+bP=3ab+4≤3×(2生)°+4，当且仅当a=b时，等号成立，所以a十≤4，所以 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第1页（共4页）】 △ABC的周长l=a十b十≤4+2=6，即△ABC周长的最大值为6，C正确对于D,9osB- -cos(A+) cos A cos A cos A A号进A因为AeOU所mAc (0,+o),所以号1amA-号∈(-∞，-2U(-合，+∞)，D错误故选AC 11.BD对于A选项：作点P在平面BB1C1C内的射影M,所以PM⊥BC1,连接PM,CM,则P,M,C,D1四 点共面；假设DP⊥BC,则BC⊥平面DPMC,则CM⊥BC,与已知矛盾，故错误； D D D 图1 图2 图3 图4 对于B选项：如图，若DP=√5，连接DP,则点P在以D为圆心，DP为半径的圆上，此时点P的轨迹 为FPE, 又.D1P=√5，DD1=2,∴.DP=√D1P2-DD=√5-4=1， ∴.BPm=BD-DP=22-1.故正确； 对于C选项：如图，连接AD,AC,BD,CD,BD,,四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD,又DD⊥平面 ABCD,ACC平面ABCD,∴.AC⊥DD1,BD∩DD=D,BD,DDC平面BDDB1,∴.AC⊥平面BDDB, BDC平面BDD1B1,∴.AC⊥B1D,同理可证AD1⊥BD,又AC∩AD=A,AC,ADC平面ACD,.BD ⊥平面ACD,平面ACD∩平面ABCD=AC,故点P在正方体底面ABCD内的运动轨迹是线段AC,又正 方体ABCD-A1B1CD1的棱长为2，∴.AC=22,故错误； 对于D选项：如图所示，在正方体ABCD-A1BC1D1外补一相同正方体AHEB-A1FGB1,连接AE,A1E, EP,则∠EAP就是所求角或其补角，设AP=x,x∈[0,2√2]，则EP=√8+x,AP=√4+x,AE= √厘，所以cos∠EAP=A+AP-EP=12+(4+x)-(8+2)= 8 2A1E·A1P 2/12·√/4+x2 22,4+元，当x=0时， cos∠EAP有最大值，最大值为号，所以正确.故选BD 12.士1，复数的模等于2，故√(m-1)2+(m+1)=2,故m2=1,解得m=士1. 13.如图所示：将四棱锥P-ABCD放入正方体内.不妨设AB=a,连接BC,BC相 交于M,易知BC⊥BC,BC⊥CD,故BC⊥平面CDPB,故∠BPM为直线PB与 B 平面PCD所成的角，R△BPM中，BP-Ba,BM=号a,放∠BPM=吾 4[2,) 在△ABC中，由余弦定理得a2=b+c2-2 bccos A,且△ABC的面积为S -26 sinA,由2S=a-（6-c),得tcsin A=2c次-2 sA,化简得sinA+2cosA B =2,又A∈(o,受)，simA十cos2A=1,联立得5sim2A-4sinA=0,解得sinA=号或sinA=0(舍去)，所以 点-盘是-m9_血As血C-C+号，图为△Ac为锐角三角形，所以0C< c sin C sin C sin C 多，B=A-C<登，所以受-AC<受，所以mCam(受-A)-A=是所以dC∈(o,告)， 所以2（停，号》设兰=英中（停号），所以生-2+后=十，山对勾话数单阔作知)= +在（号，1）上单调递减，在(1，号)上单调递增，当1=1时，y=2当1=号时=酷：当=号时，y= 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第2页（共4页）】 器所以y[2),即“失的取值范围是[2，器)。 15.解：(1)：|a=√2，|b=1,a与b的夹角为45°， alms45·合-E×号×合=b, .向量a在向量b上的投影向量为b.…4分 (2).|a+2b2=|a|2+4|a|·|b|cos45°+4|b|2=2+4+4=10, .a十2b=√10.……8分 (3).(2a-b)与(a-3b)平行， .(2ab)=以(a一3b),…9分 √6 3'或= 3 10分 λ=√6 λ=-√6， 一号‘时，2a一6b=(6a-36),此时方向相同： …11分 =√6 当6 时，2a十66=-写（一6a一3b),此时方向相反，放舍去.… 12分 λ=-√6 ∴λ=√6. 13分 16.解：(1)由图形可得10(0.01十2t十0.03十0.025十0.005)=1，…3分 獬得=0.015。…5分 (2)设男生成绩样本平均数为元=71，方差为s=187.75, 女生成绩样本平均数=66，方差为s号=40，总样本的平均数为z,方差为s2, =0+0=0.4X71+0.6X6=68… …9分 =0[+云一列门+0[+-门 0[187.75+(71-68)]+80[40+(6-68)]=105.1 所以总样本的平均数和方差分别为68和105.1.… 15分 17.(1)证明：A=号，6=2，c=3, 由余弦定理可得a2=+2-26c0sA=4什9-2X2X3X7=7,a=7.…4分 7分 2 2)解：由56Ac=csinA=c=6v月可得k=24. 10分 :D为边BC的中点，则DB+DC=0, ..AB+AC-(AD+DB)+(AD+DC)=2AD, 所以4Ad:-(A+AC)2-A亦+A衣+2A迹·AC=2+B+2bcos号 =+c2+bc≥2bc+bc=3bc=72,即|Ad|≥3V2,… …13分 当且仅当b=c=2√时，等号成立，故AD长的最小值为3√2. 15分 18.（1)证明：因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD,… …1分 因为AB中平面PCD,CDC平面PCD, 所以AB∥平面PCD,…3分 因为平面PCD∩平面ABEF=EF,ABC平面ABEF, 所以AB∥EF.…5分 (2)证明：由(1)知AB∥EF,AB∥CD,所以EF∥CD, 因为E是PC中点，所以F是PD中点，…6分 因为△PAD是正三角形，所以AF⊥PD,…7分 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第3页（共4页）】 因为平面PAD⊥平面PCD, 平面PAD∩平面PCD=PD,AFC平面PAD, 所以AF⊥平面PCD,… 9分 因为EFC平面PCD,所以AF⊥EF, 因为AB∥EF,所以AF⊥AB.… 10分 (3)解：过F作FH⊥PC于H,连接AH, 由(2)知AF⊥平面PCD, 又因为PCC平面PCD,FHC平面PCD, 所以AF⊥PC,AF⊥FH, 因为AF∩FH=F,AFC平面AFH,FHC平面AFH, 所以PC⊥平面AFH,… 12分 因为AHC平面AFH,所以PC⊥AH, 所以∠AHF就是二面角F-PC-A的平面角.… 14分 在正三角形PAD中，AF=√3，PF=1, 在△PCD中，PD=CD=2,PC=2√3，所以∠DPC=30°， 在R△PFH中，FH=PF-号， 在R△MFH中，aAHF-铝-25， 所以二面角F-PC-A的正切值为2√.…17分 19.解：(1)△CAM中，AC=4,CM⊥AB,∠MAC=∠BAC=60°， 所以CM=AC·sin60°=2√3. 所以Ci.CB=|CM·ICB1·cos∠BCM=1CM·CM=12. 4分 (2)在△ACM中，∠ACM=0(0°≤0≤60°)，AC=4,∠MAC=60°， 由正弦定理得0-如C+D即C4=n源 AC 23 6分 在△ACN中，∠ACN=0+30°，AC=4,∠NAC=60°， 所u0=a+所以cNn源o- 2w3 =23 8分 心 所以Ssam,=2CM,CN·5sn30-sn0叶00)os0 3 2sin6os0+ 2 cos20 6 12 sin20+3cos20+V32sin(20+60°)+5' 10分 2 2 2 因为0°≤060°，所以60°≤20+60°≤180°， 所以当且仅当20+60°=180°，即0=60时，△CMN的面积取最大值为4√5. …… 12分 )当BN-9AM时，Sax-誓sau, 即ZBC.CN,Sn∠BCN-誓×AC.CM,sinACM,. 8 因为BC=3AC,所以8CN·sin∠BCN=√2CM·sin∠ACM, 设∠ACM=0且0r<6,曲e得aM=n2o,cN-2品且∠Cv=60-g, 所以4V2sin(60°-0)sin(60°+0)=sin0cos0,…14分 所以4E[(停os)°-（分n)]-sncs0, 即/2sin0+sin0cos0-3√2cos20=0, 两边同除以cos20,得2tan0+tan0-3√2=0， 解得m0=巨或am=-3号（合去）， 16分 此时cos∠ACM= 3 17分 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第4页（共4页）】高一5月份过程性素质评价 数 学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 圜 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第九章。 如 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 p的。.--、、7 题目要求的， 长 1.若复数z=(1一i)(a一i)(a∈R)为纯虚数，则a= A.-√2 B.-1 C.0 D.1 2.有下列一组数据：2,17,33,15,11,42,34,13,22，则这组数据的上四分位数是 毁 A.11 B.13 C.22 D.33 3.如图，已知正三棱柱ABC-A1BC1的棱长均为2，则异面直线A1B与B1C 所成角的余弦值是 A. 12 C. D.0 4.已知向量a,b满足a=(9，-号)，b=(3,1),则向量a在向量b上的投影向量为 茶 A. B.2b D.b 5.已知正三角形ABC的边长为6，点D,E满足AD=2DB,AE=2EC,P是线段DE上的动点 (含端点)，则PB·PC的取值范围是 A.[12,16] B.[2,6] C.[-16,-12] D.[-6,-2] 【高一5月份过程性素质评价·数学第1页（共4页）】 6.已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形AB'CD', 如图所示，则该平面图形的面积是 D A.1 B.√2 C.2 D.2√2 7.某公司为了解用户对其产品的满意度，从使用该产品的用户中随机调查了100个用户，根据 用户对产品的满意度评分，得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意 度评分的中位数、众数、平均数的估计值分别为a,b,c,则 个频率/组距 0.025 A.a<< 0.020 B.b<a<c 0.015 0.010 C.a<c<b D.b<c<a 0405060708090100满意度评分 8.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4√2，PA=4√5，则四棱锥P-ABCD外接球的表面 积为 A19 B.50π C.100π D.100x 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9.已知a,3是空间中的两个不同的平面，l,m,n是三条不同的直线，则下列命题正确的是 A.若l∥a,a∥3，则l∥B B.若m⊥a,m∥n,nCB,则a⊥3 C.若mLn,m⊥a,n∥g,则a⊥3 D.若m⊥a,n⊥B,a∥B,则m∥n 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且C-牙，c=2,则下列结论正确的有 A.△ABC面积的最大值为√3 B.b cosA+a cosB=√2 C.△ABC周长的最大值为6 D若A≠受，则8月的取值范围为(-ce,)U(5,十e∞） 11.如图，已知正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为2，点P在正方形 D ABCD内运动（含边界），则 A.存在点P,使得DP⊥BC B.若D1P=√5，则BP的最小值为2√2一1 C.若D1P⊥B1D,则P点运动轨迹的长度为2 D,若A,PLBD,则直线A1P与直线BD,所成角的余弦值的最大值为S 【高一5月份过程性素质评价·数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知复数z=(m一1)十(m十1)i的模等于2，则实数m的值为 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD. 若PA=AB,则直线PB与平面PCD所成的角的大小为 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，且 2S=d--0,则5的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分，除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(本小题满分13分) 已知a=√2，b=1,a与b的夹角为45°. (1)求向量a在向量b上的投影向量； (2)求a+2b|的值； (3)若向量(2a一b)与(a一3b)平行且方向相同，求实数λ的值. 16.(本小题满分15分) 用分层随机抽样从某校高一年级1000名学生的数学成绩（满分为100分）中抽取一个样本 容量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本 数据分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，绘制得到如图所示 的频率分布直方图。 频率/组距 0.030 (1)由频率分布直方图，求出图中t的值； 0.025 (2)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和 0.010 187.75,女生成绩样本数据的平均数和方差分别为66 0.005 和40，求总样本的平均数和方差. 405060708090100成绩/分 【高一5月份过程性素质评价·数学第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A- （1)若6=2，c=3求证a品十品B-=√； b (2)若D为边BC的中点，且△ABC的面积为63，求AD长的最小值， 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAD⊥平面PCD,△PAD是边长 圜 为2的正三角形，PC=2√3，E是PC的中点，过点A,B,E的平面与PD交于点F. (1)求证：AB∥EF; (2)求证：AF⊥AB; (3)求二面角F-PC-A的正切值. 19.(本小题满分17分) 如图，已知△ABC中，AC=4,∠BCA=90°，∠BAC=60°，M,N为线段AB上两点（其中点 N在线段MB上)，且∠MCN=30°. (1)若CMLAB,求CM·CB的值； (2)设∠ACM=B,试将△MCN的面积S表示为0的函数，并求其最 大值； (3)若BN=AM,求cos∠ACM的值. 【高一5月份过程性素质评价·数学第4页（共4页）】 高一5月份过程性素质评价·数学 参考答案、解析及评分细则 1.D因为(1-iD(a一i)=a-1一(1十a)i为纯虚数，所以a-1=0,且a+1≠0，解得a=1.故选D. 2.D已知一组数据：2,17,33,15,11,42,34,13,22，则从小到大排列为2,11,13,15,17,22,33,34,42，共有9个 数据，由题意且9×0.75=6.75，则这组数据的上四分位数是从小到大排列的第7个数，即33.故D正确.故 选D. 3.C连接AB,交A1B于点M,取AC中点N,连接MN,BN,则∠BMN就是所求角或其A 补角.由已知可得BM=MN=√2，BN=√3，所以由余弦定理得cos∠BMN= 2+2-3 2X√2X√2 =},所以异面直线AB与B,C所成角的余弦值是4.故选C 4A因为a=(停，-），b=3,1),所以a·b=号×5+(-合)×1=1，b= √+1卫-2，所以向量a在向量b上的投影向量为6=6故选A 5.D取线段BC的中点O,连接AO,则BC LOA,以点O为坐标原点，OC,OA所在直线分别为x,y轴建立如 图所示的平面直角坐标系， 因为正三角形ABC的边长为6，所以A0-号×6=35，放B(-3,0),C(3,0), A(0,3√3)，又AD=2Di,AE=2EC,所以D(-2N3),E(2,√3).设P(aW3),则-2≤ a≤2，所以PB=(-3-a,-√3)，PC=(3-a,-√3)，故PB·P℃=a2-9十3=a2-6∈ [-6,-2].故选D. 6.DA'D'=1=A'B',所以OD'=√E,还原如图所示： B T 则OD=2OD'=2√2，AB=1,所以平面图形ABCD的面积S=|AB引·OD1=1×2√2=2√2.故选D. 7.B由频率分布直方图可知众数为65，即b=65,由图可知，组距为10，所以平均数为45×0.15十550.2十 65×0.25+75×0.2+85×0.1十95×0.1=67，故c=67,记中位数为x,则有10×0.015+10×0.02+ (x-60)×0.025=0.5,解得x=66,即a=66,所以b<a<c.故选B. 8.C设底面中心为E,连接PE,CE,如图所示，由题意得PE=8,记正四棱锥的外 接球球心为O,设外接球半径为R,则OP=OA=OB=OC=OD=R,在Rt△OEC 中，OC=OE+EC,且EC=4,所以R2=16+(8-R)2,解得R=5,即OP=5,所 以外接球的表面积S=4πR2=100π.故选C. 9.BD若α∥B,l∥a,此时l有可能在平面B内，并不一定l∥B,故A错误；若m∥n, m⊥a,则n⊥a,又nCB,所以a⊥B,故B正确；若m⊥n,m⊥a,则n∥a或nCa,又n ∥B,则两平面相交或平行，故C错误；因为nLB,a∥B,根据一条直线垂直于两个 平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，可得n⊥a.又因为m⊥a,垂 B 直于同一个平面的两条直线平行，所以m∥n,故D正确.故选BD. 0.AC对于A,由余弦定理得cosC二@-4=，则ac2+=ab十4，由基本不等式得a2+P=ab+4≥ 2ab 2ab,当且仅当a=b时，等号成立，所以ab<4,故5c=之alsin C<3,A正确；对于B,bcsA十acsB=- b.+c+a·。2士世-2二=6=2，B错误：对于C,由余弦定理得osC-《4-号，则ad2+ 2bc 2c 2ab =ab+4,所以a+bP=3ab+4≤3×(2生)°+4，当且仅当a=b时，等号成立，所以a十≤4，所以 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第1页（共4页）】 △ABC的周长l=a十b十≤4+2=6，即△ABC周长的最大值为6，C正确对于D,9osB- -cos(A+) cos A cos A cos A A号进A因为AeOU所mAc (0,+o),所以号1amA-号∈(-∞，-2U(-合，+∞)，D错误故选AC 11.BD对于A选项：作点P在平面BB1C1C内的射影M,所以PM⊥BC1,连接PM,CM,则P,M,C,D1四 点共面；假设DP⊥BC,则BC⊥平面DPMC,则CM⊥BC,与已知矛盾，故错误； D D D 图1 图2 图3 图4 对于B选项：如图，若DP=√5，连接DP,则点P在以D为圆心，DP为半径的圆上，此时点P的轨迹 为FPE, 又.D1P=√5，DD1=2,∴.DP=√D1P2-DD=√5-4=1， ∴.BPm=BD-DP=22-1.故正确； 对于C选项：如图，连接AD,AC,BD,CD,BD,,四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD,又DD⊥平面 ABCD,ACC平面ABCD,∴.AC⊥DD1,BD∩DD=D,BD,DDC平面BDDB1,∴.AC⊥平面BDDB, BDC平面BDD1B1,∴.AC⊥B1D,同理可证AD1⊥BD,又AC∩AD=A,AC,ADC平面ACD,.BD ⊥平面ACD,平面ACD∩平面ABCD=AC,故点P在正方体底面ABCD内的运动轨迹是线段AC,又正 方体ABCD-A1B1CD1的棱长为2，∴.AC=22,故错误； 对于D选项：如图所示，在正方体ABCD-A1BC1D1外补一相同正方体AHEB-A1FGB1,连接AE,A1E, EP,则∠EAP就是所求角或其补角，设AP=x,x∈[0,2√2]，则EP=√8+x,AP=√4+x,AE= √厘，所以cos∠EAP=A+AP-EP=12+(4+x)-(8+2)= 8 2A1E·A1P 2/12·√/4+x2 22,4+元，当x=0时， cos∠EAP有最大值，最大值为号，所以正确.故选BD 12.士1，复数的模等于2，故√(m-1)2+(m+1)=2,故m2=1,解得m=士1. 13.如图所示：将四棱锥P-ABCD放入正方体内.不妨设AB=a,连接BC,BC相 交于M,易知BC⊥BC,BC⊥CD,故BC⊥平面CDPB,故∠BPM为直线PB与 B 平面PCD所成的角，R△BPM中，BP-Ba,BM=号a,放∠BPM=吾 4[2,) 在△ABC中，由余弦定理得a2=b+c2-2 bccos A,且△ABC的面积为S -26 sinA,由2S=a-（6-c),得tcsin A=2c次-2 sA,化简得sinA+2cosA B =2,又A∈(o,受)，simA十cos2A=1,联立得5sim2A-4sinA=0,解得sinA=号或sinA=0(舍去)，所以 点-盘是-m9_血As血C-C+号，图为△Ac为锐角三角形，所以0C< c sin C sin C sin C 多，B=A-C<登，所以受-AC<受，所以mCam(受-A)-A=是所以dC∈(o,告)， 所以2（停，号》设兰=英中（停号），所以生-2+后=十，山对勾话数单阔作知)= +在（号，1）上单调递减，在(1，号)上单调递增，当1=1时，y=2当1=号时=酷：当=号时，y= 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第2页（共4页）】 器所以y[2),即“失的取值范围是[2，器)。 15.解：(1)：|a=√2，|b=1,a与b的夹角为45°， alms45·合-E×号×合=b, .向量a在向量b上的投影向量为b.…4分 (2).|a+2b2=|a|2+4|a|·|b|cos45°+4|b|2=2+4+4=10, .a十2b=√10.……8分 (3).(2a-b)与(a-3b)平行， .(2ab)=以(a一3b),…9分 √6 3'或= 3 10分 λ=√6 λ=-√6， 一号‘时，2a一6b=(6a-36),此时方向相同： …11分 =√6 当6 时，2a十66=-写（一6a一3b),此时方向相反，放舍去.… 12分 λ=-√6 ∴λ=√6. 13分 16.解：(1)由图形可得10(0.01十2t十0.03十0.025十0.005)=1，…3分 獬得=0.015。…5分 (2)设男生成绩样本平均数为元=71，方差为s=187.75, 女生成绩样本平均数=66，方差为s号=40，总样本的平均数为z,方差为s2, =0+0=0.4X71+0.6X6=68… …9分 =0[+云一列门+0[+-门 0[187.75+(71-68)]+80[40+(6-68)]=105.1 所以总样本的平均数和方差分别为68和105.1.… 15分 17.(1)证明：A=号，6=2，c=3, 由余弦定理可得a2=+2-26c0sA=4什9-2X2X3X7=7,a=7.…4分 7分 2 2)解：由56Ac=csinA=c=6v月可得k=24. 10分 :D为边BC的中点，则DB+DC=0, ..AB+AC-(AD+DB)+(AD+DC)=2AD, 所以4Ad:-(A+AC)2-A亦+A衣+2A迹·AC=2+B+2bcos号 =+c2+bc≥2bc+bc=3bc=72,即|Ad|≥3V2,… …13分 当且仅当b=c=2√时，等号成立，故AD长的最小值为3√2. 15分 18.（1)证明：因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD,… …1分 因为AB中平面PCD,CDC平面PCD, 所以AB∥平面PCD,…3分 因为平面PCD∩平面ABEF=EF,ABC平面ABEF, 所以AB∥EF.…5分 (2)证明：由(1)知AB∥EF,AB∥CD,所以EF∥CD, 因为E是PC中点，所以F是PD中点，…6分 因为△PAD是正三角形，所以AF⊥PD,…7分 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第3页（共4页）】 因为平面PAD⊥平面PCD, 平面PAD∩平面PCD=PD,AFC平面PAD, 所以AF⊥平面PCD,… 9分 因为EFC平面PCD,所以AF⊥EF, 因为AB∥EF,所以AF⊥AB.… 10分 (3)解：过F作FH⊥PC于H,连接AH, 由(2)知AF⊥平面PCD, 又因为PCC平面PCD,FHC平面PCD, 所以AF⊥PC,AF⊥FH, 因为AF∩FH=F,AFC平面AFH,FHC平面AFH, 所以PC⊥平面AFH,… 12分 因为AHC平面AFH,所以PC⊥AH, 所以∠AHF就是二面角F-PC-A的平面角.… 14分 在正三角形PAD中，AF=√3，PF=1, 在△PCD中，PD=CD=2,PC=2√3，所以∠DPC=30°， 在R△PFH中，FH=PF-号， 在R△MFH中，aAHF-铝-25， 所以二面角F-PC-A的正切值为2√.…17分 19.解：(1)△CAM中，AC=4,CM⊥AB,∠MAC=∠BAC=60°， 所以CM=AC·sin60°=2√3. 所以Ci.CB=|CM·ICB1·cos∠BCM=1CM·CM=12. 4分 (2)在△ACM中，∠ACM=0(0°≤0≤60°)，AC=4,∠MAC=60°， 由正弦定理得0-如C+D即C4=n源 AC 23 6分 在△ACN中，∠ACN=0+30°，AC=4,∠NAC=60°， 所u0=a+所以cNn源o- 2w3 =23 8分 心 所以Ssam,=2CM,CN·5sn30-sn0叶00)os0 3 2sin6os0+ 2 cos20 6 12 sin20+3cos20+V32sin(20+60°)+5' 10分 2 2 2 因为0°≤060°，所以60°≤20+60°≤180°， 所以当且仅当20+60°=180°，即0=60时，△CMN的面积取最大值为4√5. …… 12分 )当BN-9AM时，Sax-誓sau, 即ZBC.CN,Sn∠BCN-誓×AC.CM,sinACM,. 8 因为BC=3AC,所以8CN·sin∠BCN=√2CM·sin∠ACM, 设∠ACM=0且0r<6,曲e得aM=n2o,cN-2品且∠Cv=60-g, 所以4V2sin(60°-0)sin(60°+0)=sin0cos0,…14分 所以4E[(停os)°-（分n)]-sncs0, 即/2sin0+sin0cos0-3√2cos20=0, 两边同除以cos20,得2tan0+tan0-3√2=0， 解得m0=巨或am=-3号（合去）， 16分 此时cos∠ACM= 3 17分 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第4页（共4页）】高一5月份过程性素质评价·数学 参考答案、解析及评分细则 1.D因为(1-i)(a-i)=a-1一(1十a)i为纯虚数，所以a-1=0,且a+1≠0，解得a=1.故选D. 2.D已知一组数据：2,17,33,15,11,42,34,13,22，则从小到大排列为2,11,13,15,17,22,33,34,42，共有9个 数据，由题意且9×0.75=6.75，则这组数据的上四分位数是从小到大排列的第7个数，即33.故D正确.故 选D. 3.C连接AB,交A1B于点M,取AC中点N,连接MN,BN,则∠BMN就是所求角或其A 补角.由已知可得BM=MN=√E,BN=3,所以由余弦定理得cos∠BMN=2+2-3 2X√2X√2 =},所以异面直线AB与B,C所成角的余弦值是4.故选C M 4A因为a=(停，-），b=(5,1),所以a·b=9×,5+(-合)×1=1，b1= √3)P+F=2,所以向量a在向量b上的投影向量为品=子6放选A 5.D取线段BC的中点O,连接AO,则BC⊥OA,以点O为坐标原点，OC,OA所在直线分别为x,y轴建立如 图所示的平面直角坐标系， 因为正三角形ABC的边长为6，所以A0-9×6=35,放B(-3,0),C(3,0, A(0,3√3)，又AD=2DB,AE=2Ed,所以D(-2wW3),E(2,W3).设P(aW3),则-2≤ a≤2，所以PB=(-3-a,-√3)，PC=(3-a,-√3)，故PB·PC=a2-9十3=a2-6∈ [-6,-2].故选D. 6.DA'D'=1=A'B',所以OD'=√2，还原如图所示： y B x 则OD=2OD'=2√2，AB=1,所以平面图形ABCD的面积S=|AB|·|OD|=1X2√2=2W2.故选D. 7.B由频率分布直方图可知众数为65，即b=65,由图可知，组距为10，所以平均数为45×0.15十55×0.2十 65×0.25+75×0.2+85×0.1十95×0.1=67，故c=67,记中位数为x,则有10×0.015+10×0.02+ (x-60)×0.025=0.5,解得x=66,即a=66,所以b<a<c.故选B. 8.C设底面中心为E,连接PE,CE,如图所示，由题意得PE=8,记正四棱锥的外 接球球心为O,设外接球半径为R,则OP=OA=OB=OC=OD=R,在Rt△OEC 中，OC=OE+EC,且EC=4,所以R2=16+(8-R)2,解得R=5,即OP=5,所 以外接球的表面积S=4πR2=100π.故选C 9.BD若α∥B,L∥a,此时l有可能在平面B内，并不一定l∥B,故A错误；若m∥n, m⊥a,则n⊥a,又nCB,所以a⊥B,故B正确；若m⊥n,m⊥a,则n∥a或nCa,又n ∥B,则两平面相交或平行，故C错误；因为nLB,a∥B,根据一条直线垂直于两个 平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，可得n⊥a.又因为m⊥a,垂 直于同一个平面的两条直线平行，所以m∥n,故D正确.故选BD. 10,AC对于A,由余弦定理得cosC==合，则公2+=ab十4，由基本不等式得a+=b+4位 2ab 2ab,当且仅当a=b时，等号成立，所以ab<4,故Sc=7 alsin C</5,A正确；对于B,6cosA十asB=- b.形十正十a·十龙_琴=6-2，B错误对于C由余孩定理得casC-点4=合，则心+ 2bc 2ac 2c 2ab :=b叶4，所以a+b2=3ab+4≤3×(2告）+4，当且仅当a=6时，等号成立，所以a+6≤4，所以 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第1页（共4页）】 △ABC的周长l=a十b什c≤4+2=6，即△ABC周长的最大值为6，C正确，对于D,osB= -cos(A+5） cos A cos A cos A 8mA为Ao爱加(，所gAE (0,十o),所以号anA-∈(-0，-2U(-十e∞)，D错误.故选AC 11.BD对于A选项：作点P在平面BB1C1C内的射影M,所以PM⊥BC1,连接PM,CM,则P,M,C,D四 点共面；假设D1P⊥BC1,则BC⊥平面DPMC,则CM⊥BC1,与已知矛盾，故错误； D D D A 图1 图2 图3 图4 对于B选项：如图，若DP=√5，连接DP,则点P在以D为圆心，DP为半径的圆上，此时点P的轨迹 为FPE, 又.D1P=√5，DD1=2,.DP=√DP2-DD=√5-4=1， ∴.BPm=BD-DP=2√2一1.故正确； 对于C选项：如图，连接AD1,AC,BD,CD1,BD,四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD,又DD⊥平面 ABCD,ACC平面ABCD,.AC⊥DD1,BD∩DD=D,BD,DDC平面BDDB1,∴.AC⊥平面BDDB, B1DC平面BDD1B1,∴.AC⊥B1D,同理可证AD⊥BD,又AC∩AD=A,AC,ADC平面ACD1,.B1D ⊥平面ACD,平面ACD∩平面ABCD=AC,故点P在正方体底面ABCD内的运动轨迹是线段AC,又正 方体ABCD-A1BCD的棱长为2，∴.AC=2√2，故错误； 对于D选项：如图所示，在正方体ABCD-A1BCD外补一相同正方体AHEB-A1FGB,连接AE,A1E, EP,则∠EA1P就是所求角或其补角，设AP=x,x∈[0,2√2]，则EP=√8+x,AP=√4+x,A1E= 2,所以os∠EAP=AE十AP-EP=12+(4+2)-(8+)= 2A1E·A1P 2√12·√/4十x2 212·√4+元，当x=0时， cos∠EA1P有最大值，最大值为令，所以正确，故选BD, 12.士1，复数的模等于2，故√(m-1)+(m+1)产=2，故m2=1,解得m=士1. 13.石如图所示：将四棱锥P-ABCD放入正方体内.不妨设AB=a,连接BC,BC相 交于M,易知BC⊥BC,BC⊥CD,故BC⊥平面CDPB,故∠BPM为直线PB与 平面PCD所成的角，R△BPM中，BP=-Ea,BM=号a,放∠BPM=吾 14[2,普)在△ABC中，由余弦定理得a2=+2-2 osA,且△ABC的面积为S -号-esinA,由2S=d2-（(6-c)3,得6 sin A=-2kc-2kosA,化简得sinA+2cosA B =2,又A∈(0，受)，sirA十cos2A=1,联立得5si证A-4sinA=0,解得sinA=号或sinA=0(舍去)，所以 点-盘是-血a9_血AcsC陆A血C-mC+号，因为△ABC为领角三角形，所以0<C< c sin C sin C sin C 吾，B=x-A-C<登，所以受-AKC<受所以mC>m(受-A)=A是，所以cE(o,号)， 所以之（停，号》设兰=其中：E(停，号），所以“长-色+后=十片，曲对勾隔数单润性知y一 +在（号，1）上单调递减，在(1，号)上单调递增，当=1时y=2:当1=时，y=普当=号时，y= 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第2页（共4页）】 治，所以∈[2)，即“的取值范图是[2). 15.解：(1)：|a=√2，b=1,a与b的夹角为45， aws45…合-厄×号×合=-b, 向量a在向量b上的投影向量为b.…4分 (2).|a+2b|2=|a2+4|a|·|b|cos45°+4|b|2=2+4+4=10, |a十2b|=√10.… 8分 (3).(2a-b)与(a-3b)平行， .(2a-b)=以(a-3b),…9分 =6 ÷侣解 6 3'或=一 3’ …10分 λ=√ =-√6， -3'时，2a-66-5(6a一3b),此时方向相同； …11分 λ=√6 兮时，2a十5b=-5（一6a一3b),此时方向相反，故舍去.… 3 12分 λ=-√6 λ=√6.…13分 16.解：(1)由图形可得10(0.01十2t+0.03十0.025十0.005)=1，…3分 獬得=0.015。…5分 (2)设男生成绩样本平均数为元=71，方差为s2=187.75, 女生成绩样本平均数=66，方差为5=40，总样本的平均数为，方差为2， 2=0%+0=0.4X71+0.6X66=68. …9分 子=0[+元-)]+0[号+灯-)门 =0187.75+(71-68)2]+0[40+(6-68)]=105.1 所以总样本的平均数和方差分别为68和105.1.… 15分 17.(1)证明：A=号，6=2，c=3, 由余弦定理可得a2=+c2-2 bccos A-=4+9-2X2X3X2=7,∴a=√7. …4分 …7分 tan'sin5' 2 (2)解：由5Ac=csinA-只c=6v5可得k=24. 10分 :D为边BC的中点，则DB+DC=0, ..AB+AC-(AD+DB)+(AD+DC)-2AD, 所以4A:=(Ai+AC)2=A+AC+2Ai.A花-2++2bcos号 =+c2+bc>2bc+bc=3bc=72,即|AD|≥3V2,… …13分 当且仅当b=c=2√时，等号成立，故AD长的最小值为3√2. …15分 18.(1)证明：因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD, …1分 因为AB中平面PCD,CDC平面PCD, 所以AB∥平面PCD,…3分 因为平面PCD∩平面ABEF=EF,ABC平面ABEF, 所以AB/∥EF。…5分 (2)证明：由(1)知AB∥EF,AB∥CD,所以EF∥CD, 因为E是PC中点，所以F是PD中点，…6分 因为△PAD是正三角形，所以AF⊥PD,…7分 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第3页（共4页）】 因为平面PAD⊥平面PCD, 平面PAD∩平面PCD=PD,AFC平面PAD, 所以AF⊥平面PCD,…9分 因为EFC平面PCD,所以AF⊥EF, 因为AB∥EF,所以AF⊥AB. …10分 (3)解：过F作FH⊥PC于H,连接AH, 由(2)知AF⊥平面PCD, 又因为PCC平面PCD,FHC平面PCD, 所以AF⊥PC,AF⊥FH, 因为AF∩FH=F,AFC平面AFH,FHC平面AFH, 所以PCL平面AFH, 12分 因为AHC平面AFH,所以PC⊥AH, 所以∠AHF就是二面角F-PC-A的平面角.… 14分 在正三角形PAD中，AF=√3，PF=1, 在△PCD中，PD=CD=2,PC=2√3，所以∠DPC=30°， 在R△PFH中，FH=PF=合， 在R△MFH中，AHF部-25， 所以二面角F-PC-A的正切值为2√3。…17分 19.解：(1)△CAM中，AC=4,CM⊥AB,∠MAC=∠BAC=60°， 所以CM=AC·sin60°=2√3. 所以CM.C第=1CM·1CB1·cos∠BCM=|CM·1CM=12. 4分 (2)在△ACM中，∠ACM=0(0°≤60)，AC=4,∠MAC=60°， 由正弦定理得0--D即CM=m AC 2w3 6分 在△ACN中，∠ACN=0+30°，AC=4,∠NAC=60°， 所u0=S所以cN--2怎， =23 …8分 所以Saw=2CMCN·sin30-sn(980)cos0 2 sin dcos 13 2cos2 6 12 …10分 sin20+W3cos20+32sin(20+60°)+3 2 2 2 因为0°≤0≤60°，所以60°≤20+60°≤180°， 所以当且仅当20叶60°=10°，即0=60°时，△CMN的面积取最大值为45.…12分 (③当BN=5AM时，Sa-gSc, 即号BC.CN·s∠BCN=S×AC·CM:sinACM,, 8 因为BC=√5AC,所以8CN·sin∠BCN=√2CM·sin∠ACM, 设∠ACM=0且ore<6,由e得Gtn2o,cN-=2品且∠Cv=60-a, 所以4W2sin(60°-0)sin(60°+0)=sin0cos0,…14分 所以42[（〈停os0)-(合sn0)]=in6, 即√/2sin20+sin0cos0-3√2cos20=0, 两边同除以cos20,得2tan0+tan0-3√2=0， 解得an0=区或am6=-号（合去. 16分 此时cos∠ACM= ............... 3 …17分 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第4页（共4页）】高一5月份过程性素质评价·数学 参考答案、解析及评分细则 1.D因为(1-iD(a一i)=a-1一(1十a)i为纯虚数，所以a-1=0,且a+1≠0，解得a=1.故选D. 2.D已知一组数据：2,17,33,15,11,42,34,13,22，则从小到大排列为2,11,13,15,17,22,33,34,42，共有9个 数据，由题意且9×0.75=6.75，则这组数据的上四分位数是从小到大排列的第7个数，即33.故D正确.故 选D. 3.C连接AB,交A1B于点M,取AC中点N,连接MN,BN,则∠BMN就是所求角或其A 补角.由已知可得BM=MN=√2，BN=√3，所以由余弦定理得cos∠BMN= 2+2-3 2X√2X√2 =},所以异面直线AB与B,C所成角的余弦值是4.故选C 4A因为a=(停，-），b=3,1),所以a·b=号×5+(-合)×1=1，b= √+1卫-2，所以向量a在向量b上的投影向量为6=6故选A 5.D取线段BC的中点O,连接AO,则BC LOA,以点O为坐标原点，OC,OA所在直线分别为x,y轴建立如 图所示的平面直角坐标系， 因为正三角形ABC的边长为6，所以A0-号×6=35，放B(-3,0),C(3,0), A(0,3√3)，又AD=2Di,AE=2EC,所以D(-2N3),E(2,√3).设P(aW3),则-2≤ a≤2，所以PB=(-3-a,-√3)，PC=(3-a,-√3)，故PB·P℃=a2-9十3=a2-6∈ [-6,-2].故选D. 6.DA'D'=1=A'B',所以OD'=√E,还原如图所示： B T 则OD=2OD'=2√2，AB=1,所以平面图形ABCD的面积S=|AB引·OD1=1×2√2=2√2.故选D. 7.B由频率分布直方图可知众数为65，即b=65,由图可知，组距为10，所以平均数为45×0.15十550.2十 65×0.25+75×0.2+85×0.1十95×0.1=67，故c=67,记中位数为x,则有10×0.015+10×0.02+ (x-60)×0.025=0.5,解得x=66,即a=66,所以b<a<c.故选B. 8.C设底面中心为E,连接PE,CE,如图所示，由题意得PE=8,记正四棱锥的外 接球球心为O,设外接球半径为R,则OP=OA=OB=OC=OD=R,在Rt△OEC 中，OC=OE+EC,且EC=4,所以R2=16+(8-R)2,解得R=5,即OP=5,所 以外接球的表面积S=4πR2=100π.故选C. 9.BD若α∥B,l∥a,此时l有可能在平面B内，并不一定l∥B,故A错误；若m∥n, m⊥a,则n⊥a,又nCB,所以a⊥B,故B正确；若m⊥n,m⊥a,则n∥a或nCa,又n ∥B,则两平面相交或平行，故C错误；因为nLB,a∥B,根据一条直线垂直于两个 平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，可得n⊥a.又因为m⊥a,垂 B 直于同一个平面的两条直线平行，所以m∥n,故D正确.故选BD. 0.AC对于A,由余弦定理得cosC二@-4=，则ac2+=ab十4，由基本不等式得a2+P=ab+4≥ 2ab 2ab,当且仅当a=b时，等号成立，所以ab<4,故5c=之alsin C<3,A正确；对于B,bcsA十acsB=- b.+c+a·。2士世-2二=6=2，B错误：对于C,由余弦定理得osC-《4-号，则ad2+ 2bc 2c 2ab =ab+4,所以a+bP=3ab+4≤3×(2生)°+4，当且仅当a=b时，等号成立，所以a十≤4，所以 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第1页（共4页）】 △ABC的周长l=a十b十≤4+2=6，即△ABC周长的最大值为6，C正确对于D,9osB- -cos(A+) cos A cos A cos A A号进A因为AeOU所mAc (0,+o),所以号1amA-号∈(-∞，-2U(-合，+∞)，D错误故选AC 11.BD对于A选项：作点P在平面BB1C1C内的射影M,所以PM⊥BC1,连接PM,CM,则P,M,C,D1四 点共面；假设DP⊥BC,则BC⊥平面DPMC,则CM⊥BC,与已知矛盾，故错误； D D D 图1 图2 图3 图4 对于B选项：如图，若DP=√5，连接DP,则点P在以D为圆心，DP为半径的圆上，此时点P的轨迹 为FPE, 又.D1P=√5，DD1=2,∴.DP=√D1P2-DD=√5-4=1， ∴.BPm=BD-DP=22-1.故正确； 对于C选项：如图，连接AD,AC,BD,CD,BD,,四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD,又DD⊥平面 ABCD,ACC平面ABCD,∴.AC⊥DD1,BD∩DD=D,BD,DDC平面BDDB1,∴.AC⊥平面BDDB, BDC平面BDD1B1,∴.AC⊥B1D,同理可证AD1⊥BD,又AC∩AD=A,AC,ADC平面ACD,.BD ⊥平面ACD,平面ACD∩平面ABCD=AC,故点P在正方体底面ABCD内的运动轨迹是线段AC,又正 方体ABCD-A1B1CD1的棱长为2，∴.AC=22,故错误； 对于D选项：如图所示，在正方体ABCD-A1BC1D1外补一相同正方体AHEB-A1FGB1,连接AE,A1E, EP,则∠EAP就是所求角或其补角，设AP=x,x∈[0,2√2]，则EP=√8+x,AP=√4+x,AE= √厘，所以cos∠EAP=A+AP-EP=12+(4+x)-(8+2)= 8 2A1E·A1P 2/12·√/4+x2 22,4+元，当x=0时， cos∠EAP有最大值，最大值为号，所以正确.故选BD 12.士1，复数的模等于2，故√(m-1)2+(m+1)=2,故m2=1,解得m=士1. 13.如图所示：将四棱锥P-ABCD放入正方体内.不妨设AB=a,连接BC,BC相 交于M,易知BC⊥BC,BC⊥CD,故BC⊥平面CDPB,故∠BPM为直线PB与 B 平面PCD所成的角，R△BPM中，BP-Ba,BM=号a,放∠BPM=吾 4[2,) 在△ABC中，由余弦定理得a2=b+c2-2 bccos A,且△ABC的面积为S -26 sinA,由2S=a-（6-c),得tcsin A=2c次-2 sA,化简得sinA+2cosA B =2,又A∈(o,受)，simA十cos2A=1,联立得5sim2A-4sinA=0,解得sinA=号或sinA=0(舍去)，所以 点-盘是-m9_血As血C-C+号，图为△Ac为锐角三角形，所以0C< c sin C sin C sin C 多，B=A-C<登，所以受-AC<受，所以mCam(受-A)-A=是所以dC∈(o,告)， 所以2（停，号》设兰=英中（停号），所以生-2+后=十，山对勾话数单阔作知)= +在（号，1）上单调递减，在(1，号)上单调递增，当1=1时，y=2当1=号时=酷：当=号时，y= 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第2页（共4页）】 器所以y[2),即“失的取值范围是[2，器)。 15.解：(1)：|a=√2，|b=1,a与b的夹角为45°， alms45·合-E×号×合=b, .向量a在向量b上的投影向量为b.…4分 (2).|a+2b2=|a|2+4|a|·|b|cos45°+4|b|2=2+4+4=10, .a十2b=√10.……8分 (3).(2a-b)与(a-3b)平行， .(2ab)=以(a一3b),…9分 √6 3'或= 3 10分 λ=√6 λ=-√6， 一号‘时，2a一6b=(6a-36),此时方向相同： …11分 =√6 当6 时，2a十66=-写（一6a一3b),此时方向相反，放舍去.… 12分 λ=-√6 ∴λ=√6. 13分 16.解：(1)由图形可得10(0.01十2t十0.03十0.025十0.005)=1，…3分 獬得=0.015。…5分 (2)设男生成绩样本平均数为元=71，方差为s=187.75, 女生成绩样本平均数=66，方差为s号=40，总样本的平均数为z,方差为s2, =0+0=0.4X71+0.6X6=68… …9分 =0[+云一列门+0[+-门 0[187.75+(71-68)]+80[40+(6-68)]=105.1 所以总样本的平均数和方差分别为68和105.1.… 15分 17.(1)证明：A=号，6=2，c=3, 由余弦定理可得a2=+2-26c0sA=4什9-2X2X3X7=7,a=7.…4分 7分 2 2)解：由56Ac=csinA=c=6v月可得k=24. 10分 :D为边BC的中点，则DB+DC=0, ..AB+AC-(AD+DB)+(AD+DC)=2AD, 所以4Ad:-(A+AC)2-A亦+A衣+2A迹·AC=2+B+2bcos号 =+c2+bc≥2bc+bc=3bc=72,即|Ad|≥3V2,… …13分 当且仅当b=c=2√时，等号成立，故AD长的最小值为3√2. 15分 18.（1)证明：因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD,… …1分 因为AB中平面PCD,CDC平面PCD, 所以AB∥平面PCD,…3分 因为平面PCD∩平面ABEF=EF,ABC平面ABEF, 所以AB∥EF.…5分 (2)证明：由(1)知AB∥EF,AB∥CD,所以EF∥CD, 因为E是PC中点，所以F是PD中点，…6分 因为△PAD是正三角形，所以AF⊥PD,…7分 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第3页（共4页）】 因为平面PAD⊥平面PCD, 平面PAD∩平面PCD=PD,AFC平面PAD, 所以AF⊥平面PCD,… 9分 因为EFC平面PCD,所以AF⊥EF, 因为AB∥EF,所以AF⊥AB.… 10分 (3)解：过F作FH⊥PC于H,连接AH, 由(2)知AF⊥平面PCD, 又因为PCC平面PCD,FHC平面PCD, 所以AF⊥PC,AF⊥FH, 因为AF∩FH=F,AFC平面AFH,FHC平面AFH, 所以PC⊥平面AFH,… 12分 因为AHC平面AFH,所以PC⊥AH, 所以∠AHF就是二面角F-PC-A的平面角.… 14分 在正三角形PAD中，AF=√3，PF=1, 在△PCD中，PD=CD=2,PC=2√3，所以∠DPC=30°， 在R△PFH中，FH=PF-号， 在R△MFH中，aAHF-铝-25， 所以二面角F-PC-A的正切值为2√.…17分 19.解：(1)△CAM中，AC=4,CM⊥AB,∠MAC=∠BAC=60°， 所以CM=AC·sin60°=2√3. 所以Ci.CB=|CM·ICB1·cos∠BCM=1CM·CM=12. 4分 (2)在△ACM中，∠ACM=0(0°≤0≤60°)，AC=4,∠MAC=60°， 由正弦定理得0-如C+D即C4=n源 AC 23 6分 在△ACN中，∠ACN=0+30°，AC=4,∠NAC=60°， 所u0=a+所以cNn源o- 2w3 =23 8分 心 所以Ssam,=2CM,CN·5sn30-sn0叶00)os0 3 2sin6os0+ 2 cos20 6 12 sin20+3cos20+V32sin(20+60°)+5' 10分 2 2 2 因为0°≤060°，所以60°≤20+60°≤180°， 所以当且仅当20+60°=180°，即0=60时，△CMN的面积取最大值为4√5. …… 12分 )当BN-9AM时，Sax-誓sau, 即ZBC.CN,Sn∠BCN-誓×AC.CM,sinACM,. 8 因为BC=3AC,所以8CN·sin∠BCN=√2CM·sin∠ACM, 设∠ACM=0且0r<6,曲e得aM=n2o,cN-2品且∠Cv=60-g, 所以4V2sin(60°-0)sin(60°+0)=sin0cos0,…14分 所以4E[(停os)°-（分n)]-sncs0, 即/2sin0+sin0cos0-3√2cos20=0, 两边同除以cos20,得2tan0+tan0-3√2=0， 解得m0=巨或am=-3号（合去）， 16分 此时cos∠ACM= 3 17分 【高一5月份过程性素质评价·数学参考答案第4页（共4页）】■ ■ ■ 高一5月份过程性素质评价 数学答题卡 姓名 贴条形码区 准考 证号 1 答题前，考生务必清楚地将自已的姓名、座位号填写在规定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本 人相符并完全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无效：在草稿纸、试题卷 项 上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 此栏考生禁填 缺考标记☐ 缺考考生，由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂左边的缺考标记。 选择题（用2B铅笔填涂】 二、 1 CA]CB]CC]CD] 5 CA]CB]CC]CD] 9 [A]CB][C][D] 2 [A][B][C]CD] 6[A][B][C][D] 10 CA]CB]CC]CD] 3[A][B][C][D] 7[A]CB][C][D] 11 CA]CB][C][D] 4 [A]CB]CC]CD] 8 CA]CB]CC][D] 非选择题（用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写） 12.(5分)】 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 高一5月份过程性素质评价数学答题卡第1页（共2页） ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答超出答题区域的答案无效 18.(本小题满分17分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 高一5月份过程性素质评价·数学答题卡第2页（共2页） ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(本小题满分17分) ■ ■高一5月份过程性素质评价 数 学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 :: 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 .: 体· 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第九章。 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 : 题目要求的， 1.若复数=(1一i)(a一i)(a∈R)为纯虚数，则a A.-√2 B.-1 C.0 D.1 2.有下列一组数据：2,17,33,15,11,42,34,13,22，则这组数据的上四分位数是 簧 A.11 B.13 C.22 D.33 3.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2，则异面直线AB与B1C 所成角的余弦值是 童 A 2 B 12 C.4 D.0 已知向量a,b满足a=(停，-），b=(3,1),则向量a在向量b上的投影向量为 4 茶 A. B.b D.b 5.已知正三角形ABC的边长为6，点D,E满足AD=2DB,AE=2EC,P是线段DE上的动点 (含端点)，则PB·PC的取值范围是 A.[12,16] B.[2,6] C.[-16,12] D.[-6,-2] 【高一5月份过程性素质评价·数学第1页（共4页）】 6.已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形A'B'CD', y 如图所示，则该平面图形的面积是 D A.1 B.√2 C.2 D.2√2 7.某公司为了解用户对其产品的满意度，从使用该产品的用户中随机调查了100个用户，根据 用户对产品的满意度评分，得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意 度评分的中位数、众数、平均数的估计值分别为α，b,c,则 频率/组距 0.025 A.a<b< 0.020 B.b<a<c 0.015 0.010 C.a<c<b D.b<c<a 0405060708090100满意度评分 8.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为42，PA=4√5，则四棱锥P-ABCD外接球的表面 积为 A109 B.50π C.100π D.100x 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9.已知a,B是空间中的两个不同的平面，l,,n是三条不同的直线，则下列命题正确的是 A.若∥a,a∥B,则L∥B B.若m⊥a,m∥n,nCB,则a⊥3 C.若m⊥n,m⊥a,n∥B,则a⊥3 D.若m⊥a,n⊥B,a∥B,则m∥n 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C=于，c=2,则下列结论正确的有 A.△ABC面积的最大值为√3 B.b cosA+a cosB=√2 C.△ABC周长的最大值为6 D若A≠受，则8的取值范围为(-∞，号)U(3,十∞）) 11.如图，已知正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2，点P在正方形 D ABCD内运动（含边界），则 A.存在点P,使得DP⊥BC B.若D1P=√5，则BP的最小值为2√2一1 C.若D1P⊥B1D,则P点运动轨迹的长度为2 D若A.PLBD,.则直线AP与直线BD,所成角的余弦值的最大值为号 【高一5月份过程性素质评价·数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知复数z=(m一1)十(m十1)i的模等于2，则实数m的值为 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD. 若PA=AB,则直线PB与平面PCD所成的角的大小为 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，且 2S=d-。-0,则的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分，除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(本小题满分13分) 已知a=√2，|b|=1,a与b的夹角为45°. (1)求向量a在向量b上的投影向量； (2)求a+2b1的值； (3)若向量(2a一λb)与(a一3b)平行且方向相同，求实数λ的值. 16.(本小题满分15分) 用分层随机抽样从某校高一年级1000名学生的数学成绩（满分为100分）中抽取一个样本 容量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本 数据分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，绘制得到如图所示 的频率分布直方图， 个频率/组距 0.030 (1)由频率分布直方图，求出图中t的值； 0.025 (2)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和 0.010 187.75,女生成绩样本数据的平均数和方差分别为660.005 和40，求总样本的平均数和方差。 405060708090100成绩/分 【高一5月份过程性素质评价·数学第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=号 （1)若6=2，c-3.求证：aA十B√@， b (2)若D为边BC的中点，且△ABC的面积为6√3，求AD长的最小值. 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAD⊥平面PCD,△PAD是边长 为2的正三角形，PC=2√3，E是PC的中点，过点A,B,E的平面与PD交于点F. (1)求证：AB∥EF; (2)求证：AF⊥AB; (3)求二面角F-PC-A的正切值， 19.(本小题满分17分) 如图，已知△ABC中，AC=4,∠BCA=90°，∠BAC=60°，M,N为线段AB上两点（其中点 N在线段MB上)，且∠MCN=30°. (1)若CM⊥AB,求CM·CB的值； (2)设∠ACM=0,试将△MCN的面积S表示为0的函数，并求其最 大值； (3)若BN=Y⑤AM,求cos∠ACM的值. 【高一5月份过程性素质评价·数学第4页（共4页）】