精品解析：江西省抚州市临川第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

临川一中2024-2025学年度高一下学期第一次月考考试数学试题 出题人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 把化成度的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 若是第三象限角，则是（ ） A 第一或第二象限角 B. 第一或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角 3. 已知函数是偶函数，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 4. “点在第二象限”是“角为第三象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 12 6. 如图，将含角直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 纳皮尔精确的对数定义来源于一个运动的几何模型：假设有两个沿两平行直线运动的动点C和F，其中点C从线段的端点A向B运动，点F从射线的端点D出发向E运动，其中的长为a，的长无限大．若的长度满足在第t秒时，的长度满足在第t秒时，记，，则x是关于y的一个对数函数．根据以上定义，当时，则（ ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 8. 一个表面被涂上红色的棱长为n cm（n≥3，n∈N*）的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体，从中任取一块，则恰好有两个面是红色的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数的定义域均为，是偶函数，且，若，则（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数最小正周期是__________. 13. 若角的终边逆时针旋转后经过点，则______． 14. 已知，顺次连接函数与图象的任意三个相邻的交点都可以构成一个等边三角形，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 化简求值： （1）已知，计算：． （2）已知，且，求的值． 16. 已知函数为偶函数． （1）求的值； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 17. 如图，玉溪汇龙欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处． （1）已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数解析式及时点距离地面的高度； （2）当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌． 18. 若函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若当时，，求实数t的取值范围． （3）已知，若存在非零常数λ，对任意，有成立，求实数m的取值范围． 19. 如图，成都天府新区的标志性悬索桥——云龙湾大桥，其悬索形态宛如平面几何中的悬链线．历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的一般方程，其中双曲余弦函数尤为特殊．类似的有双曲正弦函数，双曲正切函数．已知函数和满足以下条件：①；②. （1）请基于以上信息求函数和的初等函数表达式． （2）设．证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． （3）关于x不等式对任意恒成立，求实数m取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临川一中2024-2025学年度高一下学期第一次月考考试数学试题 出题人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 把化成度的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧度和角度的转化关系可得正确的选项. 【详解】. 故选：C. 2. 若是第三象限角，则是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第一或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用不等式写出的范围，即可求解. 【详解】由题意可知， 所以， 所以是第二或第四象限角. 故选：C. 3. 已知函数是偶函数，则值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式易得． 【详解】因为函数为偶函数，所以.又，所以，解得，代入检验，得到，显然符合题意. 故选：B. 4. “点在第二象限”是“角为第三象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若点在第二象限，则，则角第三象限角，故充分性成立， 若角为第三象限角，则，则点在第二象限，故必要性成立， ∴“点在第二象限”是“角为第三象限角”的充要条件. 故选：C. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解. 【详解】由可得， 由， 故，故，由于，故， 故选；B 6. 如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，计算，则阴影部分的面积为. 【详解】由题意，扇形圆心角为，且 所以, 所以， 且, 所以阴影部分的面积为. 故选：C. 7. 纳皮尔精确的对数定义来源于一个运动的几何模型：假设有两个沿两平行直线运动的动点C和F，其中点C从线段的端点A向B运动，点F从射线的端点D出发向E运动，其中的长为a，的长无限大．若的长度满足在第t秒时，的长度满足在第t秒时，记，，则x是关于y的一个对数函数．根据以上定义，当时，则（ ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，代入的值，结合指对互换以及对数运算即可求解. 【详解】由题意得，所以当时，，解得. 故选：B. 8. 一个表面被涂上红色的棱长为n cm（n≥3，n∈N*）的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体，从中任取一块，则恰好有两个面是红色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定共分割的块数，以及满足条件的块数，再求概率. 【详解】由条件可知，共有块，两个面的交界处的中间部分是两个面是红色，每一个交界处有块，共有12个交界，则两个面是红色的有块，所以概率. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先判断角终边所在位置，在判断其三角函数的符号，逐项判断即可. 【详解】因为，为第二象限角，故， 得. 故选：BD 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数单调性判断A，根据余弦函数单调性判断B，根据诱导公式及同角三角函数关系判断C，根据诱导公式判断D. 【详解】因为在上不单调，所以，则不成立，故A错误； 因为在上单调递减，所以，则成立，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，， 所以或，即或，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数的定义域均为，是偶函数，且，若，则（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，先得，再利用赋值法求，进一步求，判断A；再推得，，可得对称性和周期性，判断BC；由以上分析可知，再结合周期性判断D. 【详解】因为是偶函数， 所以， 所以． 当时，，又，所以， 所以，所以，故A正确； 由，得， 两式相减得，所以， 又，所以，即， 所以的图象关于点中心对称，故B正确； ，所以是以6为周期的周期函数， 所以，故C正确； 由以上分析可知， ，D不正确． 故选：ABC． 【点睛】方法点睛：（1）涉及抽象函数的求值问题，往往采用赋值法，即令x取特殊值； （2）涉及到抽象函数的奇偶性、对称性以及周期性问题，往往要结合赋值和相应的定义去解决. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期是__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象,根据图象即可判断出最小正周期. 【详解】的图象如下图所示: 由图像可知由是由的图象保留x轴上方部分,并将下方部分翻折到x轴上方得到的 所以其最小正周期也为 故答案为: 【点睛】本题考查了正切函数的图象与性质的应用,正切函数的最小正周期,属于基础题. 13. 若角的终边逆时针旋转后经过点，则______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】由题意，利用三角函数的定义，结合诱导公式，即可求得结果. 【详解】由题意，角的终边逆时针旋转后经过点， 可得， 所以. 故答案为：. 14. 已知，顺次连接函数与图象的任意三个相邻的交点都可以构成一个等边三角形，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取两函数相邻的三个交点、、，计算出等边三角形的边上的高以及，结合锐角三角函数的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由可得或， 如下图所示，取两函数相邻的三个交点、、， 由图可知，等边三角形的边上的高为， 为函数的最小正周期，即，所以，， 所以，，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简求值： （1）已知，计算：． （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件得出，再利用弦化切可求得所求代数式的值； （2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【小问1详解】 因为，则， 所以． 【小问2详解】 因为，则，，则， 所以，， . 16. 已知函数为偶函数． （1）求的值； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质可得出，求出的值，然后验证函数为偶函数即可； （2）利用基本不等式可求出函数的最大值，即可得出关于实数的不等式，解之即可. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，且为偶函数． 则，即，解得，此时，， 则，即函数为偶函数，故. 【小问2详解】 因为， 当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最大值为， 因为恒成立，则，即， 解得或，即实数的取值范围是. 17. 如图，玉溪汇龙欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处． （1）已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数解析式及时点距离地面的高度； （2）当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到振幅，最小正周期，求出，由求出，进而得到函数解析式； （2）结合题意可得从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌，只需让，求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，，， 所以又，，得到， 即， 又摩天轮上的点p的起始位置在最低点处，即， 所以， 即，又，所以， 故， 当时，， 所以时点P距离地面的高度为． 【小问2详解】 因为从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌， 由（1）知， 得到，即， 得到，， 所以在每个周期内，，， 又， 所以游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌． 18. 若函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若当时，，求实数t的取值范围． （3）已知，若存在非零常数λ，对任意，有成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据图象可知，，即可得，再结合最值可得，即可得函数解析式； （2）利用周期得，以为整体，结合正弦函数图象分析求解即可； （3）根据题意结合正项函数值域可得，分类讨论，结合周期性和诱导公式运算求解. 【小问1详解】 设的最小正周期为T，且， 由题图可得，且， 即，则，可得， 又因为，即， 且，则， 可得，即， 所以， 小问2详解】 当时，利用周期等价于，则， 若，即， 则，解得， 所以实数t的取值范围为. 【小问3详解】 由题意可知：， 若存在非零常数λ，对任意，有成立， 因为在R上值域为，则在R上的值域为， 可知，即， 当时，则，可知1为的一个周期， 即1为最小正周期的整数倍， 可得，则（且）， 当时，则， 可得， 由诱导公式可得，可得 综上所述：当时，且； 当时，． 19. 如图，成都天府新区的标志性悬索桥——云龙湾大桥，其悬索形态宛如平面几何中的悬链线．历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的一般方程，其中双曲余弦函数尤为特殊．类似的有双曲正弦函数，双曲正切函数．已知函数和满足以下条件：①；②. （1）请基于以上信息求函数和的初等函数表达式． （2）设．证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． （3）关于x不等式对任意恒成立，求实数m取值范围． 【答案】（1），； （2）证明见解析，； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用双曲正弦函数、双曲余弦函数的定义，结合指数运算即可； （2）化简函数，然后由函数的单调性及零点存在定理确定零点的范围，根据零点满足满足的等式变形，都化为对数函数的形式，然后由对数运算化简函数式.即可. （3）确定函数的奇偶性和单调性，然后化简不等式为，由由函数单调性求出的范围，问题转化为一元二次不等式在某个区间上恒成立，通过分类讨论，求函数的最值，解不等式求范围. 【小问1详解】 根据双曲正弦函数和双曲余弦函数的概念，可得：，解得，； 【小问2详解】 证覭 由（1）知，所以，显然在上为增函数，且，则在上存在唯一的实数，使，所以有唯一的正零点； 由，得，两边同时取对数得， 于是，而在上是增函数，则有，因此，所以 【小问3详解】 因为，该函数的定义域为R，，故函数为奇函数， 又因为，因为内层函数在R上为增函数，且，外层函数在上为增函数， 所以函数在R上为增函数，由，得，即，即，因为函数在R上是增函数，令，则函数在R上是增函数， 当时，，且，则， 于是有，即对任意的恒成立， 令，其中， 当时，即当时，函数在上单调递增， 则，解得，此时，； 当时，即当时，只需， 解得，此时，； 当时，即当时，函数在上单调递减， 则，解得，此时，． 综上所述，实数m的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $