精品解析：吉林长春市榆树市部分学校2025-2026学年度第二学期期中测试九年级数学

2025-2026学年度第二学期期中测试 九年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在下列各数中，比小的数是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的比较大小，熟练掌握有理数比较大小的法则是解题的关键． 根据0比所有的负数大，比所有的正数小以及负数绝对值大的反而小即可解答． 【详解】解：∵负数正数， ∴， ∴比小的数是． 故选D． 2. 风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有兆瓦，将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方逐个判断，即可得出答案． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等知识，熟练掌握这些运算法则是解决问题的关键． 4. 将一个含 角的直角三角板 如图所示放置， °，点 为 延长线上的点．若射线 与直角边 垂直，则 的度数是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由内错角相等两直线平行可得,根据两直线平行同位角相等可得 的度数. 【详解】解： 与直角边 垂直， . 故选C 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，综合应用平行线的判定和性质是解题的关键. 5. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，若，，则为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由与关于原点O位似，，可得与面积之比为，从而可得答案． 【详解】解：∵与关于原点O位似，， ∴与的相似比为， ∴与的面积之比为， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似图形的性质，熟记位似图形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键． 6. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知，平分，，根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可证明，即可判断选项A；利用“”证明，结合全等三角形的性质可得，即可判断选项B；结合 “直角三角形两锐角互余”可证明，即可判断选项C；由已知条件无法证明，故选项D错误，符合题意． 【详解】解：由作图可知，平分，， ∵， ∴，故选项A正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； 由已知条件无法证明，故选项D错误，符合题意． 7. 在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠1，那么钢管AB的长为（　　） A. B. C. m•cos∠1 D. m•sin∠1 【答案】A 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的正弦定义解题即可． 【详解】解：在Rt△ABC中， sin∠1＝， ， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及正弦，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B、C两点若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，则的值为（ ） A. B. C. 或0 D. 或4 【答案】C 【解析】 【分析】求出点A坐标，然后分两种情况，分别画出相应的图形，根据三角形的面积比和相似三角形进行解答即可． 【详解】解：∵点A（3，m）在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴m4， ∴A（3，4）， 分两种情况进行解答， （1）如图1，过点A作AM⊥y轴，垂足为M， ∵S△AOB＝2S△BOC， ∴S△AOC＝S△BOC， ∴BC＝AC， 又∵∠ACM＝∠BCO，∠BOC＝∠AMC＝90° ∴△ACM≌△BCO （AAS）， ∴OB＝AM＝3， ∴B（﹣3，0）， 把A（3，4），B（﹣3，0）代入y＝kx+b得， ， 解得k，b＝2， ∴k+b2； （2）如图2，过点A作AN⊥x轴，垂足为N， ∵S△AOB＝2S△BOC， ∴， ∵∠BOC＝∠ANB＝90°，∠OBC＝∠NBA， ∴△BOC∽△BNA， ∴， 即， ∴OC＝2， ∴C（0，﹣2）， 把A（3，4），C（0，﹣2）代入y＝kx+b得， ， 解得，k＝2，b＝﹣2， ∴k+b＝2﹣2＝0， 因此k+b的值为或0， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法，掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： 10. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是跟的判别式．根据关于的方程有两个不相等的实数根，则△，据此即可得出结果． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， △， 即， 解得：， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，对于的每一个值，一次函数的值都大于函数的值，那么m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据题意得出一次函数的图象与函数的图象互相平行即可求解． 【详解】解：∵对于的每一个值，一次函数的值都大于函数的值， ∴一次函数的图象与函数的图象互相平行， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，根据三角形内角和得出，根据旋转的性质得出，，，再求出，进而，根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 根据旋转可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为，将该三角形沿轴向右平移得到，此时点的坐标为，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为______. 【答案】4 【解析】 【详解】分析：利用平移的性质得出AA′的长，根据等腰直角三角形的性质得到AA′对应的高，再结合平行四边形面积公式求出即可． 详解：∵点B的坐标为（0，2），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（2，2）， ∴AA′=BB′=2， ∵△OAB是等腰直角三角形， ∴A（，）， ∴AA′对应的高， ∴线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2×=4． 故答案为4． 点睛：此题主要考查了平移变换、等腰直角三角形的性质以及平行四边面积求法，利用平移规律得出对应点坐标是解题关键． 14. 如图，三点在一条直线上，和均为正三角形，与交于点与交于点，与交于点，连接，以下结论正确的序号是__________． ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①是等边三角形，由可知，根据可证明，得到，又，可知是等边三角形，得到，由，得到，所以；②根据面积关系判断，③过点作于，于，由面积法可证，由面积关系可得，④可证，可得，由直角三角形的性质可得，由线段的和差关系可证，即可求解． 【详解】与都是等边三角形， ，，， ， ，， 即． 在和中， ， ． ． 在和中 ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，故①正确； 过点作于，于，如图， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ， ， ， ， ， ，故④正确； ， ， 不是的角平分线， 到的距离不相等， ， ，故②不正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，先根据完全平方公式、单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：原式， 当时， 原式 ． 16. 为中华人民共和国成立70周年献礼，某灯具厂计划加工6000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量. 【答案】原计划每天加工400套 【解析】 【分析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，由题意列出方程即可求解． 【详解】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.5x套， 由题意得： 解得：x＝400， 经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意； 答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为400套． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，根据题意列出方程是解题的关键． 17. 一个不透明的布袋里装有3个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，小明先从布袋中随机摸出一个乒乓球，不放回去，再从剩下的2个球中随机摸出第二个乒乓球，请用树状图或列表的方法求两次摸出的乒乓球球面上数字之积为偶数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两个乒乓球上的数字之积为偶数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：列表得： 1 2 3 1 （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，3） 3 （3，1） （3，2） 则列表可得：两次摸出的乒乓球球面上数字之积为：2、3、2、6、3、6，共有6种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上数字之积为偶数的有4种，则两次摸出的乒乓球球面上数字之积为偶数的概率是． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示出所有等可能的结果数，再从中选出符合所求事件的结果数目，然后利用概率的公式计算出所求事件的概率；掌握列表法与树状图法是解题的关键． 18. 如图，已知中，，平分交于点，边上一点，经过点、，与交于点，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，则的半径长为________． 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）如下图，连接OB，证OB∥EC，从而得出OB⊥AE，故而得证； （2）证△OAB∽△CAE，从而得出用x表示AE的长，利用AE=8解得x即可． 【详解】（1）连结 在中，， ． 平分， ． ． ， ． ． 是的切线． （2）如下图 ∵ ∴设AB=4x，则AO=5x ∴在Rt△OAB中，OB=3x ∴OC=3x，AC=8x ∵∠OBA=∠CEA=90°，∠A=∠A ∴△OAB∽△CAE ∴，解得：AE= ∴，解得：x= ∴圆的半径r=3x= 【点睛】本题考查证圆的切线、利用相似求解，还用到了三角函数的知识，解题关键是证明出OB⊥AE． 19. 某中学组织七、八年级开展了以“学法明理、守法立身”为主题的普法知识竞赛，为了解学生掌握普法知识的情况，分别从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩（满分：100分）进行整理、描述和分析，给出以下部分信息： a．八年级50名学生竞赛成绩的频数分布直方图： （数据分成5组：，，，，．） b．八年级50名学生竞赛成绩在一组的具体成绩为： 80，80，81，83，84，84，85，85，85，85，86，86，87，88，88，89． c．七、八年级各随机抽取的50名学生的竞赛成绩的统计数据如下表所示： 年级 平均数 中位数 方差 七年级 82.7 83 86.30 八年级 82.7 m 124.70 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全八年级50名学生竞赛成绩的频数分布直方图． （2）在表中，m的值为______． （3）在这次竞赛中，竞赛成绩更好的是______年级，理由是______． （4）若竞赛成绩不低于85分记为优秀，根据统计结果，估计八年级650名学生中有多少名学生的竞赛成绩为优秀． 【答案】（1）见解析 （2） （3）七；七、八年级各随机抽取的50名学生的竞赛成绩的平均水平相同，七年级比八年级更稳定 （4）286 【解析】 【分析】（1）八年级50名学生竞赛成绩在一组16人，补全八年级50名学生竞赛成绩的频数分布直方图即可； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）根据平均数和方差的意义判断并说明理由即可； （4）将650乘以竞赛成绩不低于85分所占比即可估计八年级650名学生中有多少名学生的竞赛成绩为优秀． 【小问1详解】 解：八年级50名学生竞赛成绩在一组16人，补全八年级50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：八年级抽取的50名学生的竞赛成绩的中位数是成绩由小到大排列，第25、第26个成绩的平均数， 前3组有数据：个数据， 第25、第26个数据是一组的第3个，第4个数据，即81，83， ， 故答案为：82； 【小问3详解】 解：在这次竞赛中，竞赛成绩更好的是七年级， 理由如下：七年级成绩的平均数八年级成绩的平均数，七年级成绩的方差八年级成绩的方差124.70， 七、八年级各抽取的50名学生的竞赛成绩的平均水平相同，但七年级比八年级成绩更稳定， 故答案为：七；七、八年级各抽取的50名学生的竞赛成绩的平均水平相同，但七年级比八年级成绩更稳定； 【小问4详解】 解：八年级50名学生竞赛成绩不低于85分有：（名， （名， 答：估计八年级650名学生中有286名学生的竞赛成绩为优秀． 【点睛】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数，方差，用样本估计总体，掌握平均数，中位数，方差的意义是解题的关键． 20. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法． （1）在图①中画，使，且面积为； （2）在图②中画，使是轴对称图形； （3）在图③中画，使边上的高将分成面积比为1：2的两部分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用数形结合的思想画出三角形即可． （2）利用勾股定理结合数形结合的思想解决问题即可（答案不唯一）． （3）取格点E，连接AE，BE即可． 【小问1详解】 如图①中，△ABC即为所求． 【小问2详解】 如图②中，△ABD即为所求（答案不唯一）． 【小问3详解】 如图③中，△ABE即为所求（答案不唯一）． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 21. 已知A 市到B市的路程为，甲车从 A市前往B市运送物资，行驶2h在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M地后又经过修好甲车，随后乙车以原速原路返回A市，同时甲车以原来1.5 倍的速度前往 B市，如图是两车距 A 市的路程y（单位：）与甲车所用时间x（单位：h）之间的函数图象． （1）甲车提速后的速度是 ； （2）求乙车返回时y 关于x 的函数解析式； （3）乙车返回A市后，甲车又经过了多长时间到达B市？ 【答案】（1）60 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）先求出甲车的原速，进而求出提速后的速度即可； （2）根据乙车来回速度相同，得到两段时间相同，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出甲车从地到达地所用时间，再减去乙从地返回地所用时间即可． 【小问1详解】 解：甲提速前的速度为：； ∴提速后的速度为：； 故答案为：60； 【小问2详解】 ∵乙车来回速度相同， 故来回所用时间相同为：， ∴点的横坐标为：， ∴， 设乙车返回时y 关于x 的函数解析式为，把，代入，得： ，解得：， ∴； 【小问3详解】 提速后甲从地到达地所用时间为， 由（2）知：乙车返回地所用时间为； ∴乙车返回A市后，甲车又经过了到达B市． 22. 四边形中，，，，，，动点从到沿运动，点运动的路程为． （1）的最小值是__________； （2）线段绕点顺时针方向旋转，得到线段． ①若点恰好落在边上，求的值； ②连接，若，求的值； （3）连接，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）6 （2）①8；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，当时，取最小值，此时证明四边形为矩形，进而解得，的值，然后由勾股定理求解即可； （2）①当点恰好落在边上时，过点作于点，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，即可获得答案；②过点作于点，过点作于点，易得，易得，，再证明，由相似三角形的性质可解得，证明为等腰直角三角形，可解得，的值，然后根据正切的定义求解即可； （3）过点作于点，过点作，交延长线于点，过点作于点，证明，由全等三角形的性质可得，，设，则，，进而可得，，在中，由勾股定理可得，故当时，取最小值，并确定答案． 【小问1详解】 解：根据题意，当时，取最小值，如下图， ∵，，， ∴， 当时，可有， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴的最小值是6． 故答案为：6； 【小问2详解】 ①当点恰好落在边上时，过点作于点，如下图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知，此时，， ∴， ∴， 即的值为8； ②过点作于点，过点作于点，如下图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵在中，，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如下图，过点作于点，过点作，交延长线于点，过点作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，， 在中，可得， ∴当时，取最小值，最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角函数等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 23. （1）观察猜想： 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____． （2）类比探究： 如图3，当，时，请求出的值及的度数． （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离． 【答案】（1），45°；（2），30°；（3）2 【解析】 【分析】（1）由题意得△ABC和△ADE为等腰直角三角形，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，进而得出∠BFC=∠BAC=45°； （2）由直角三角形的性质得DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，证出∠BFC=∠BAC=30°； （3）以AD为斜边在AD右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，由等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠DAM=45°，，证△BAD∽△CAM，得∠ABD=∠ACM，，则CM=3，证出∠DCM=90°，由勾股定理得DM=，则AD= DM=2． 【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE， ∴∆ABC和∆ADE为等腰直角三角形， ∴， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∆BAD~∆CAE， ∴，∠ABD=∠ACE， 又∵∠AGB=∠FGC， ∴∠BFC=∠BAC=45°， 故答案是：，45°； （2）∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°， ∴DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC， ∴， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∆BAD~∆CAE， ∴，∠ABD=∠ACE， 又∵∠AGB=∠FGC， ∴∠BFC=∠BAC=30°； （3）以AD为斜边，在AD的右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，如图， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∆ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠DAM=45°，， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC，即∠BAD=∠CAM， ∴∆BAD~∆CAM， ∴∠ABD=∠ACM，， 又∵BD=6， ∴CM==3， ∵四边形ABDC的内角和为360°，∠BDC=45°，∠BAC=45°，∠ACB=90° ∴∠ABD+∠BCD=180°， ∴∠ACM+∠BCD=180°， ∴∠DCM=90°， ∴DM=， ∴AD=DM=2， 即A，D两点之间的距离是2． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，第（3）小题，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（，为常数）经过点，与轴交于点，点，均在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点与点重合时，求点的坐标； （3）当时，求的值； （4）以线段，为邻边构造平行四边形，当边与抛物线有交点时，设这个交点为，直线将平行四边形分成两部分，这两部分图形的面积分别记作，，设，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）的值为或 （4）且或 【解析】 【分析】（1）把，分别代入函数表达式即可求解； （2）首先根据点与点重合求出m的值，然后代入函数的表达式即可求得点的坐标； （3）首先表示出、的坐标，然后根据列方程求解即可； （4）结合已知条件和函数图象，首先把面积之间的数量关系转化为坐标之间的关系，然后分别求出临界位置时m的值，进而可以确定的取值范围． 【小问1详解】 解：将 、 代入 ，得 解得 抛物线的表达式 为 ； 【小问2详解】 解： 点 、 均在抛物线上，且点的横坐标为，点的横坐标为. 当点与点重合时，，即 ． 将 代入 ，得 ， ； 【小问3详解】 解： 点 、均在抛物线上，且点的横坐标为 ，点的横坐标为． 点的纵坐标为， 点的纵坐标为． ， ， 解得 ，， 的值为或； 【小问4详解】 解：且或， 理由如下： 由（3）已知点 ， 点， 设，因为，，则由点平移时点的坐标变化规律可知， ，． ， 当时，． ， ． 设， ①当时，有， 如图1，分别过点作轴，轴，垂足分别为． 在和中， ， ， ，． 把点 代入抛物线的表达式，得 ， 解得 ，． ②当时，有，同理，由图2可知 ，． 把点 代入抛物线的表达式，得 ， 解得 ，． 如图3，当 、、 三点共线时平行四边形不存在，此时m的值不满足条件． 设直线的表达式为 ，将点 、 坐标代入，得 ①－②，整理得． 把代入①，得 . 综上可知，当时，的取值范围为且或． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象及性质，除了熟练掌握基础知识外，能够运用转化思想把问题进行简化，熟悉解决函数典型问题的一般步骤和方法是解题的关键，同时解题动态函数图象问题时，一定要注意对于某些特殊位置的思考和取舍． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中测试 九年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在下列各数中，比小的数是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 2. 风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有兆瓦，将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一个含 角的直角三角板 如图所示放置， °，点 为 延长线上的点．若射线 与直角边 垂直，则 的度数是 A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，若，，则为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 6. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠1，那么钢管AB的长为（　　） A. B. C. m•cos∠1 D. m•sin∠1 8. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B、C两点若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，则的值为（ ） A. B. C. 或0 D. 或4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：______． 10. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为______． 11. 在平面直角坐标系中，对于的每一个值，一次函数的值都大于函数的值，那么m的值是______． 12. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数是______． 13. 如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为，将该三角形沿轴向右平移得到，此时点的坐标为，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为______. 14. 如图，三点在一条直线上，和均为正三角形，与交于点与交于点，与交于点，连接，以下结论正确的序号是__________． ①；②；③；④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 为中华人民共和国成立70周年献礼，某灯具厂计划加工6000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量. 17. 一个不透明的布袋里装有3个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，小明先从布袋中随机摸出一个乒乓球，不放回去，再从剩下的2个球中随机摸出第二个乒乓球，请用树状图或列表的方法求两次摸出的乒乓球球面上数字之积为偶数的概率． 18. 如图，已知中，，平分交于点，边上一点，经过点、，与交于点，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，则的半径长为________． 19. 某中学组织七、八年级开展了以“学法明理、守法立身”为主题的普法知识竞赛，为了解学生掌握普法知识的情况，分别从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩（满分：100分）进行整理、描述和分析，给出以下部分信息： a．八年级50名学生竞赛成绩的频数分布直方图： （数据分成5组：，，，，．） b．八年级50名学生竞赛成绩在一组的具体成绩为： 80，80，81，83，84，84，85，85，85，85，86，86，87，88，88，89． c．七、八年级各随机抽取的50名学生的竞赛成绩的统计数据如下表所示： 年级 平均数 中位数 方差 七年级 82.7 83 86.30 八年级 82.7 m 124.70 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全八年级50名学生竞赛成绩的频数分布直方图． （2）在表中，m的值为______． （3）在这次竞赛中，竞赛成绩更好的是______年级，理由是______． （4）若竞赛成绩不低于85分记为优秀，根据统计结果，估计八年级650名学生中有多少名学生的竞赛成绩为优秀． 20. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法． （1）在图①中画，使，且面积为； （2）在图②中画，使是轴对称图形； （3）在图③中画，使边上的高将分成面积比为1：2的两部分． 21. 已知A 市到B市的路程为，甲车从 A市前往B市运送物资，行驶2h在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M地后又经过修好甲车，随后乙车以原速原路返回A市，同时甲车以原来1.5 倍的速度前往 B市，如图是两车距 A 市的路程y（单位：）与甲车所用时间x（单位：h）之间的函数图象． （1）甲车提速后的速度是 ； （2）求乙车返回时y 关于x 的函数解析式； （3）乙车返回A市后，甲车又经过了多长时间到达B市？ 22. 四边形中，，，，，，动点从到沿运动，点运动的路程为． （1）的最小值是__________； （2）线段绕点顺时针方向旋转，得到线段． ①若点恰好落在边上，求的值； ②连接，若，求的值； （3）连接，直接写出线段的最小值． 23. （1）观察猜想： 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____． （2）类比探究： 如图3，当，时，请求出的值及的度数． （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（，为常数）经过点，与轴交于点，点，均在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点与点重合时，求点的坐标； （3）当时，求的值； （4）以线段，为邻边构造平行四边形，当边与抛物线有交点时，设这个交点为，直线将平行四边形分成两部分，这两部分图形的面积分别记作，，设，当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $