第07讲 玩转外接球、内切球、棱切球（9题型）（讲义）-2025-2026 学年高一下学期数学期末必考重难点题型归纳及检测（人教A版）

第07讲 玩转外接球、内切球、棱切球 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一：正方体、长方体外接球 3 知识点二：正四面体外接球 3 知识点三：对棱相等的三棱锥外接球 3 知识点四：直棱柱外接球 4 知识点五：直棱锥外接球 4 知识点六：正棱锥外接球 5 知识点七：垂面模型 5 知识点八：锥体内切球 6 知识点九：棱切球 6 03 重难点题型 7 题型一：正方体、长方体的外接球求解 7 题型二：正四面体的外接球计算 8 题型三：对棱相等型三棱锥的外接球 11 题型四：直棱柱类几何体的外接球 12 题型五：直棱锥的外接球问题 16 题型六：正棱锥的外接球解法 19 题型七：两个面垂直的垂面模型外接球 21 题型八：各类锥体的内切球半径计算 24 题型九：与各棱都相切的棱切球问题 27 04 过关检测 30 知识点一：正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 知识点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 知识点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 知识点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 知识点六：正棱锥外接球 正棱锥外接球半径： ． 知识点七：垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 知识点八：锥体内切球 方法：等体积法，即 知识点九：棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 题型一：正方体、长方体的外接球求解 例1．（2026·高二·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 例2．（2026·高一·湖南·期中）若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知长方体的对角线长为. 所以外接球半径为， 体积为. 故选：A. 例3．（2026·高二·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 变式1．（2026·高一·新疆·阶段检测）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为平面，， 可将三棱锥补形为长方体， 则长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 则长方体的体对角线即为外接球的直径. 又， 故外接球的表面积为. 题型二：正四面体的外接球计算 例4．（2026·高一·陕西西安·期中）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】正四面体的外接球表面积为， ，解得（负值舍去）， 设四面体的棱长为，取的中点，连接， 设顶点在底面的射影为，则是底面的重心，连接，则外接球的球心在上，设为，连接， 则，， 则， 所以， 在直角中，，即， 即，得，得（舍或. 故选：D 例5．（2026·陕西咸阳·一模）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设外接球半径为，则，解得, 将正四面体恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线， 则正四面体的外接球即为正方体的外接球， 则正方体的体对角线等于外接球的直径， 故，解得，正方体棱长为 ， 故该正四面体的体积为， 故选：A． 例6．（2026·高三·河北石家庄·阶段检测）如图所示，正四面体中,是棱的中点,是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将侧面和沿边展开成平面图形,如图所示,菱形, 在菱形中,连接,交于点,则的长即为的最小值,即, 因为正四面体,所以,所以, 因为是棱的中点,所以， 所以, 设,则, 所以,则,所以, 则正四面体的棱长为, 所以正四面体的外接球半径为, 所以该正四面体外接球的表面积为, 故选：A 变式2．（2026·高一·福建莆田·期中）一个正四面体的棱长为，则它的外接球与内切球表面积之比为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，正四面体的内切球与外接球球心重合，记为， 令正的中心为，连接， 显然点在上，令正四面体的内切球与外接球半径分别为，， 即，， 而， 则， 在中，，解得，， 所以它的外接球与内切球的表面积之比为. 故选：C 题型三：对棱相等型三棱锥的外接球 例7．（2026·高三·吉林长春·阶段检测）已知三棱锥中, ,,.则该三棱锥的外接球表面积为________. 【答案】 【解析】由条件，可将三棱锥放入如图所示的长方体中，设其长宽高分别为，有，得到，所以长方体的体对角线长为，该长方体的外接球也就是三棱锥的外接球半径为，从而其表面积为. 例8．（2025·高一·河南·期中）已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意：将三棱锥嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为，该三棱锥的外接球的半径为，如图： 则有，所以，所以，即， 所以球的体积为， 故选：A. 例9．（2025·高一·四川绵阳·期末）四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为，5.则该四面体的外接球的表面积 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：先将四面体补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为，5，再通过解方程组得长方体的长宽高，最后根据四面体的外接球为长方体的外接球求结果. 因为将四面体补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为，5，所以由得 因为四面体的外接球为长方体的外接球，所以外接球直径为 因此四面体的外接球的表面积为， 选D. 题型四：直棱柱类几何体的外接球 例10．（2026·高三·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 过点作于点，连接， 因为三棱柱为直三棱柱， 平面， 又平面， ， ，平面，且， 平面， 平面， ， 易知，， ，， ， 则， 设外接圆圆心为，外接圆圆心为， 则，即， 且三棱柱外接球球心为中点， 则外接球半径， 表面积为， 故选：. 例11．（2026·高一·重庆九龙坡·阶段检测）如图的多面体中，为矩形，平面，，，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么，添加的三棱锥的体积为______．补形后的直三棱柱的外接球的表面积为______． 【答案】 ； . 【解析】 如图添加的三棱锥为直三棱锥， 可以将该多面体补成一个直三棱柱， 因为平面，，， 所以， 直三棱柱的体积为， 添加的三棱锥的体积为； 如图，分别取的中点，连接交于点，因为四边形 为矩形，所以为的中点，在直三棱柱中，平面， 平面，即，所以上下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点，连接，即为球的半径，因为，，所以，所以外接球的表面积为. 故答案为：①；②. 例12．（2026·高一·湖南常德·期末）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 【答案】 【解析】 在直三棱柱中，因为，， 可得， 则可把这个直三棱柱补形为长方体， 所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即该球的直径为长方体的体对角线， 又，则， 则三棱柱的外接球表面积为， 故答案为： 变式3．（2026·高二·上海徐汇·期中）正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为______． 【答案】 【解析】在正四棱柱中，平面， 则为直线与底面所成的角， 依题意可得，又，所以， 所以正四棱柱的外接球的半径为， 所以正四棱柱的外接球表面积为. 故答案为：. 题型五：直棱锥的外接球问题 例13．（2026·高二·湖北·开学考试）三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球体积等于______. 【答案】 【解析】如图： 将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的. 设长方体外接球半径为，则：，所以 所以三棱锥的外接球体积为：. 故答案为： 例14．（2026·高一·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体， 且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球， 又该长方体的外接球半径为， 则球的体积是. 例15．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球． 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C． 变式4．（2026·高二·陕西咸阳·阶段检测）三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______. 【答案】 【解析】如图： 将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的. 设长方体外接球半径为，则：， 所以，所以外接球的表面积为， 故答案为：. 题型六：正棱锥的外接球解法 例16．（2026·四川雅安·三模）已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为____________. 【答案】 【解析】因为， 显然有，，， 因此两两互相垂直，补成长方体如图所示： 该长方体的对角线长为， 所以该三棱锥的外接球的半径为， 因此该三棱锥的外接球表面积为， 故答案为： 例17．（2026·高二·江苏南通·期中）已知正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则该三棱锥的外接球表面积为_________. 【答案】 【解析】过点作平面，垂足为，连接， 由已知得，， 设外接球的球心为，因为，所以在的延长线上， 设外接球的半径为，则， 由得，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为： 例18．（2025·高一·天津滨海新·期中）已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 变式5．（2025·高一·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】正三棱锥，，，则，即， 因此正三棱锥的侧棱两两垂直， 以线段为棱的正方体的外接球即为正三棱锥的外接球， 该球的直径为，半径， 所以该三棱锥的外接球的体积. 故选：A 题型七：两个面垂直的垂面模型外接球 例19．（2026·全国·模拟预测）三棱锥中，平面平面，，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 设为球心，过作平面，垂足为， 则是的外心，连接，得是等边三角形， 设其边长为，连接，，过点做，垂足为； 因为，故是线段的中点，四边形为矩形， 设，则； 因为，故； 设球的半径为，则， 故三棱锥外接球表面积的最小值为. 例20．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过点在平面内作作，垂足点为， 取线段的中点，连接、，如下图所示： 因为，，则， 所以，三棱锥的外接球的球心为中点， 因为平面平面，平面平面，， 平面，则平面， 设球的半径为，则， 又，，所以，，，， 所以，， 所以，三棱锥的体积为， 解得，因此，球的表面积为. 故选：A. 例21．（2025·高二·陕西西安·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设中点为，连接， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，， 所以，， 过点作， 因为平面平面，平面平面，平面，平面 所以平面，平面， 所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为， 则由得，由得， 又因为， 所以为等腰直角三角形， 设球心为，中点为，连接， 则， 所以， 即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C 题型八：各类锥体的内切球半径计算 例22．（多选题）（2026·高一·浙江·期中）在正四棱台中，，其内切球的半径是2，则下列说法中正确的是（    ） A．球的表面积是 B．直线与直线是异面直线 C．正四棱台的体积是 D．直线与平面的夹角是 【答案】AC 【解析】对于A，由于内切球的半径是2，故球的表面积是，故A选项正确； 对于B，正四棱台的内切球心在上下底面中心的连线上（即棱台的高上），如图，他们均在平面中，故B选项错误； 对于C，如图，分别取的中点， 则四边形是等腰梯形，且是侧面梯形的高， 因为正四棱台中存在内切球， 所以等腰梯形存在内切圆且上下底的切点为对应中点， 根据内切圆与梯形各边都相切，结合切线长定理知：腰长等于上下底之和的一半， 设，则，， 所以，即，解得，即. 所以正四棱台的体积是，故C选项正确； 对于D，结合C得正四棱台的侧棱满足，即， 设直线与平面的夹角为，则，故D选项错误. 例23．（2026·高一·辽宁·期末）如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 【答案】 【解析】连接，如图所示. 根据题意可知，， 所以，因为. 所以. 因为，所以. 所以，所以， 所以圆台的内切球半径为，所以圆台的内切球的表面积为. 故答案为：. 例24．（2026·高二·湖南郴州·学业考试）已知球O内切于一个边长为6的正方体，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正方体的棱长为6，所以其内切球的半径为3， 所以球的表面积为. 故选：C 变式6．（2026·高一·山西·阶段检测）设体积为的正四面体P-ABC的外接球和内切球的半径分别为和，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】B 【解析】如图，设正四面体的下底面中心为，连接，则平面， 连接并延长，交于，设此正四面体的棱长为x，则， ，，即四面体的高． 由，解得. 设四面体外接球的球心为，连接， 则，解得； 四面体内切球半径为,由等体积可得， 即， ∴， 故选：B 题型九：与各棱都相切的棱切球问题 例25．（2026·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中心，连接，则平面，且与棱均相切的球的球心在上. 连接并延长交于，则为的中点，，连接， 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 过作，交于点，设球的半径为， 则，因为，，所以，，， 由勾股定理得， 在中，，所以， 设，则， 因为，从而， 所以（负值已舍去），所以； 故选：D. 例26．（2026·高一·广东佛山·期末）已知正四棱台，半球的球心在底面的中心，且半球与该棱台的各棱均相切，则半球的表面积为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，为下底面， 记上底面的中心为，过作垂直于平面，垂足为， 易知点在上，记半球与分别相切于点， 由正四棱台和球的对称性可知，为的中点， 因为，所以，， 记半球的半径为，则， 所以，， 分别在中，由勾股定理得， ， 因为，所以， 解得或（舍去）， 所以半球的表面积为. 故选：C 例27．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为球与该正三棱锥的各棱均相切， 所以平面截球得到的截面圆与的三边均相切， 所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上， 又因为底面边长为， 所以底面正三角形的内切圆的半径为， 又因为球的半径为1， 所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点，连接PO，即为三棱锥的高， 如图，过球心作的垂线交于，则， 又因为，所以, 又与相似， 所以，则，即. 因为外接圆的半径为，正三棱锥外接球的球心在上， 设半径为，则，即, 解得. 故选：D. 变式7．（2026·高一·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，则， 解得（负值已舍去），所以其棱切球的表面积. 故选：B 1．（2026·高一·广东·期末）把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上､下底面和侧面相切，则该球称为圆柱的内切球；如果一个圆柱的上､下底面圆上的点均在同一个球上，则该球称为圆柱的外接球.若一个圆柱的表面积为，内切球的表面积为，外接球的表面积为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆柱的母线长为，内切球的半径为，外接球的半径为， 则其轴截面如图所示，则，， 则， 所以. 故选：C. 2．（2026·福建龙岩·二模）已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在正四棱台中，，，体积为，高为， 故， 则，， 连接、相交于点，、相交于点， 设外接球的球心为，若在台体外， 设到底面的距离为， 则半径为， 即，解得，所以球心与点重合， 若在台体内，到底面的距离为， 则半径为， 即，解得， 所以球心与点重合， 综上所述，，故，所以. 故选：C. 3．（2026·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球心为，点距离下底面的高度为. 因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，. 设棱台的外接球的半径为，根据勾股定理可得，解得， 则，所以正四棱台的外接球表面积为. 故选：D. 4．（2026·高三·浙江·阶段检测）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，，， 设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知， 又侧棱长为，则，又易知， 设，则，， 故，解得：， 故，所以球的表面积为， 故选：B. 5．（2026·高二·福建漳州·期末）在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示， 连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、， 则由题意知，，为正方形外接圆的圆心， 又因为面面，面面，面， 所以面， 同理面， 设等边的外接圆的圆心为， 过作的平行线交过且与平行的线于点O， 则面，面， 所以O为四棱锥外接球的球心，设球的半径为， 方法1：等边的外接圆半径为 ， 方法2：在等边中由正弦定理得，解得， 又因为， 所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：C. 6．（2026·高一·浙江温州·期中）在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取的外接圆圆心，过点作平面的垂线， 则三棱锥的外接球的球心在该垂线上，且， 在中，，即， 所以， 即（当且仅当时取等号）， 设外接圆半径为，由正弦定理得，即， 所以外接球的半径，则， 故三棱锥的外接球表面积的最小值为. 故选：. 7．（2026·高三·贵州贵阳·阶段检测）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【解析】取圆台轴截面如图所示， 外接球球心在中轴线上． 由勾股定理可知，，设，， 则, 解得． 先设的中点到的距离为， 再用等面积法可得：， 则有：， 此时， 从而可知内切球半径， 所以，该圆台外接球和内切球表面积之比为， 故选：C． 8．（2026·高一·安徽马鞍山·期中）长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】长方体的外接球的半径. 则接球表面积为. 故选：B. 9．（2026·高三·湖北·开学考试）在四面体ABCD中，平面ACD，，，，，该四面体ABCD外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将四面体补形为长方体， 则外接球的直径即为长方体的体对角线长， 即， 因此外接球的半径为，其表面积为 故选：B 10．（2026·高一·江苏盐城·期末）《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，所以， 又为直棱柱，平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 又矩形外接圆的直径为， 设的外接球的半径为，又，， 所以，所以， 所以阳马的外接球的表面积. 故选：C 11．（2026·高一·山东枣庄·阶段检测）已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】三棱锥的所有棱长均为2， 故可把三棱锥放置在正方体中， 如图 设正方体的棱长为a，则，解得， 三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 故球的半径，所以球的表面积. 故选：D 12．（2026·高三·江苏淮安·阶段检测）已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，母线长为，则此圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆台轴截面如下图示，圆为圆台外接球的截面，为圆台上下底面的圆心， 根据已知，圆台的高， 设球体半径为，则，可得，则. 故选：C 13．（2026·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、， 四面体的外接球即为长方体的外接球， 而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为， 故，所以外接球表面积为. 故选：B. 14．（2026·陕西汉中·一模）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径， 设球半径为，则， 球表面积为． 故选：C． 15．（2026·高一·江苏常州·期中）已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知圆锥底面半径，内切球表面积为，设内切球半径为，则 ，解得， 设圆锥的母线长为，高为， 则， ，即，解得或（舍去）， ， 设圆锥表面积为， 则． 16．（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，， 则． 设内切球的球心为O，半径为，则正三棱台的高， 内切球与相切于点M，根据圆的性质可知，． 则， 如图： 所以，即， 所以正三棱台的高为2 17．（2026·高三·浙江·开学考试）已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正三棱柱底面的边长为a，所以内切圆的半径， 因为正三棱柱存在内切球，所以正三棱柱的高． 取中点D，连接，，易证平面，所以为所求角． 在中，，，于是， 所以． 18．（2026·高三·浙江湖州·期末）已知圆台有半径为1的内切球，设上、下底面的面积分别是，，则取到最小值时，圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，画出组合体的轴截面，设圆台的上、下底面圆心分别为， 内切球的球心为，圆台的上、下底面圆的半径为， 可得圆台的母线长为，高为， 在直角中，可得，即， 整理得，即，且， 则圆台的上下底面面积分别为，所以， 因为代入得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以圆台的体积为. 故选：B. 19．（2026·高二·广东广州·期末）已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 正四棱台存在内切球，取,,,的中点，分别为,，,点，上底面与球相切的点为点，由此获得一个含内切圆的等腰梯形截面图，如上图所示，而梯形有内切圆的充要条件：上底下底两腰之和； ，，则，则梯形的高，此时梯形的高即为正四棱台的高，而正四棱台的体积公式：，为上底面的面积，，为下底面的面积，，将其均代入中，可得. 故选：D 20．（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 设，内切球半径为，因为，棱台的高为， ， ，同理， 内切球与平面相切，切点在上， ①， 在等腰梯形中，②， ， 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则， 此棱台的表面积是： ． 21．（2026·高一·福建福州·期末）已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【解析】 在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点， 过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，得对应球的截面大圆，如图： 依题意，，， 令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即， 由，得，， 设球与球相切于点T，则， 设球的半径为，同理可得，则， 所以球与球的表面积之比. 故选：A 22．（2026·高三·甘肃武威·阶段检测）已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知正方体的体积为，则，则， 球为正方体的棱切球， 故其半径， 球的表面积为． 23．（2026·广西崇左·一模）在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接. 若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点. 设，的中点分别为D，E，连接，，，， 则. 因为，所以， 所以正三棱柱外接球的半径为， 故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为. 24．（2026·江西景德镇·模拟预测）已知三棱锥的各条棱都与同一个球面相切，若，则三角形的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【解析】 由已知，设球与棱的切点分别为， 则，设， 因为， 则， 又，所以，解得， 则，， 所以三角形的周长为. 故选：D. 25．（2026·高一·广西南宁·期末）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】取中点，可知在球面上，可得， 所以， 点在球的正方体外部（含正方体表面）运动， 当为直径时，，所以的最大值为. 故选：A. 26．（2026·高二·四川资阳·开学考试）如图，在边长为6的正方形中，B，C分别为、的中点，现将，，分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为______.    【答案】 【解析】根据题意，折叠成的三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直， 将三棱锥补形成长方体如图，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球， 外接球的直径等于以,，为长、宽、高的长方体的对角线长， ，， ， 所以外接球的表面积. 故答案为：. 27．（2026·高三·江苏扬州·期末）某圆台的上下底面半径分别为1和2，若它的外接球表面积为，则该圆台的高为__________. 【答案】 【解析】若外接球半径，则，可得， 由圆台轴截面外接圆为外接球最大截面圆，如下图于， 所以，则该圆台的高. 故答案为： 28．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为______． 【答案】 【解析】 如图，设正三棱柱的外接球的半径为，则，解得， 因三棱柱有内切球，设内切球半径为，则正三棱柱的高为， 连接的中心，则线段的中点即为球心， 依题意，内切圆半径为，得， 则，解得,故三棱柱的体积为 故答案为：． 29．（2026·高二·浙江温州·期中）已知在三棱锥中，，点为三棱锥外接球上一点，则三棱锥的体积最大为______． 【答案】 【解析】在三棱锥中，由且，可得， 取的中点，连接，因为，，可得， 所以点为三棱锥的外接球的球心，其中为外接球的直径， 设外接球的半径为，可得， 当点到平面的距离为时，此时三棱锥的体积最大， 体积的最大值为. 故答案为：. 30．（2026·陕西汉中·二模）已知三棱锥，点到平面的距离是，则三棱锥的外接球表面积为______． 【答案】 【解析】记为的中点，连接， 由题意知，且， 所以外接圆的直径为，且，即半径， 过作平面，因为平面，则， 又点到平面的距离是，即，而， 所以，同理， 又，所以是同一个点，所以平面， 设三棱锥的外接球的半径为， 则， 则三棱锥的外接球表面积为. 故答案为： 31．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）在三棱锥中，、、两两重直，，，，则该三棱锥外接球表面积为______． 【答案】 【解析】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球. 设，长方体的对角线长为， ∴ ∴， 球的直径是，球的半径为， 球的表面积． 故答案为：． 32．（2026·高二·广东肇庆·期中）一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是________． 【答案】 【解析】由题设，正方体的棱长为2，则内切于该正方体的球体半径为1， 所以球体的体积为. 故答案为： 33．（2026·高一·广东东莞·期中）已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为______． 【答案】64 【解析】设正方体的内切球半径为，则该正方体的棱长为， ，可得，则正方体的棱长为4， 这个正方体的体积为. 故答案为：64 34．已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 ______. 【答案】/ 【解析】由于圆台的内切球体积为，设其内切球半径为，所以，则半径， 所以圆台的高度，设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面，为球心，为上下底面圆圆心，如下图： 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得：， 所以，可得， 则该圆台的体积为 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 玩转外接球、内切球、棱切球 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一：正方体、长方体外接球 3 知识点二：正四面体外接球 3 知识点三：对棱相等的三棱锥外接球 3 知识点四：直棱柱外接球 4 知识点五：直棱锥外接球 4 知识点六：正棱锥外接球 5 知识点七：垂面模型 5 知识点八：锥体内切球 6 知识点九：棱切球 6 03 重难点题型 7 题型一：正方体、长方体的外接球求解 7 题型二：正四面体的外接球计算 7 题型三：对棱相等型三棱锥的外接球 8 题型四：直棱柱类几何体的外接球 8 题型五：直棱锥的外接球问题 9 题型六：正棱锥的外接球解法 10 题型七：两个面垂直的垂面模型外接球 10 题型八：各类锥体的内切球半径计算 11 题型九：与各棱都相切的棱切球问题 12 04 过关检测 13 知识点一：正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 知识点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 知识点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 知识点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 知识点六：正棱锥外接球 正棱锥外接球半径： ． 知识点七：垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 知识点八：锥体内切球 方法：等体积法，即 知识点九：棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 题型一：正方体、长方体的外接球求解 例1．（2026·高二·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·高一·湖南·期中）若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·高二·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式1．（2026·高一·新疆·阶段检测）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（     ） A． B． C． D． 题型二：正四面体的外接球计算 例4．（2026·高一·陕西西安·期中）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．2 例5．（2026·陕西咸阳·一模）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 例6．（2026·高三·河北石家庄·阶段检测）如图所示，正四面体中,是棱的中点,是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·高一·福建莆田·期中）一个正四面体的棱长为，则它的外接球与内切球表面积之比为 A． B． C． D． 题型三：对棱相等型三棱锥的外接球 例7．（2026·高三·吉林长春·阶段检测）已知三棱锥中, ,,.则该三棱锥的外接球表面积为________. 例8．（2025·高一·河南·期中）已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 例9．（2025·高一·四川绵阳·期末）四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为，5.则该四面体的外接球的表面积 A． B． C． D． 题型四：直棱柱类几何体的外接球 例10．（2026·高三·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 例11．（2026·高一·重庆九龙坡·阶段检测）如图的多面体中，为矩形，平面，，，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么，添加的三棱锥的体积为______．补形后的直三棱柱的外接球的表面积为______． 例12．（2026·高一·湖南常德·期末）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 变式3．（2026·高二·上海徐汇·期中）正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为______． 题型五：直棱锥的外接球问题 例13．（2026·高二·湖北·开学考试）三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球体积等于______. 【答案】 【解析】如图： 将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的. 设长方体外接球半径为，则：，所以 所以三棱锥的外接球体积为：. 故答案为： 例14．（2026·高一·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 例15．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·高二·陕西咸阳·阶段检测）三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______. 题型六：正棱锥的外接球解法 例16．（2026·四川雅安·三模）已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为____________. 例17．（2026·高二·江苏南通·期中）已知正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则该三棱锥的外接球表面积为_________. 例18．（2025·高一·天津滨海新·期中）已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 变式5．（2025·高一·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 题型七：两个面垂直的垂面模型外接球 例19．（2026·全国·模拟预测）三棱锥中，平面平面，，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为______. 例20．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 例21．（2025·高二·陕西西安·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型八：各类锥体的内切球半径计算 例22．（多选题）（2026·高一·浙江·期中）在正四棱台中，，其内切球的半径是2，则下列说法中正确的是（    ） A．球的表面积是 B．直线与直线是异面直线 C．正四棱台的体积是 D．直线与平面的夹角是 例23．（2026·高一·辽宁·期末）如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 例24．（2026·高二·湖南郴州·学业考试）已知球O内切于一个边长为6的正方体，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 变式6．（2026·高一·山西·阶段检测）设体积为的正四面体P-ABC的外接球和内切球的半径分别为和，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 题型九：与各棱都相切的棱切球问题 例25．（2026·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 例26．（2026·高一·广东佛山·期末）已知正四棱台，半球的球心在底面的中心，且半球与该棱台的各棱均相切，则半球的表面积为（      ） A． B． C． D． 例27．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 变式7．（2026·高一·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 1．（2026·高一·广东·期末）把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上､下底面和侧面相切，则该球称为圆柱的内切球；如果一个圆柱的上､下底面圆上的点均在同一个球上，则该球称为圆柱的外接球.若一个圆柱的表面积为，内切球的表面积为，外接球的表面积为，则为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建龙岩·二模）已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（    ）. A． B． C． D． 3．（2026·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高三·浙江·阶段检测）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·福建漳州·期末）在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·浙江温州·期中）在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高三·贵州贵阳·阶段检测）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（    ） A．2 B． C． D．3 8．（2026·高一·安徽马鞍山·期中）长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·高三·湖北·开学考试）在四面体ABCD中，平面ACD，，，，，该四面体ABCD外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·高一·江苏盐城·期末）《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·高一·山东枣庄·阶段检测）已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·高三·江苏淮安·阶段检测）已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，母线长为，则此圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·陕西汉中·一模）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·高一·江苏常州·期中）已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 16．（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（    ） A．1 B． C． D．2 17．（2026·高三·浙江·开学考试）已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 18．（2026·高三·浙江湖州·期末）已知圆台有半径为1的内切球，设上、下底面的面积分别是，，则取到最小值时，圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 19．（2026·高二·广东广州·期末）已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 21．（2026·高一·福建福州·期末）已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ） A． B．9 C． D． 22．（2026·高三·甘肃武威·阶段检测）已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 23．（2026·广西崇左·一模）在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 24．（2026·江西景德镇·模拟预测）已知三棱锥的各条棱都与同一个球面相切，若，则三角形的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 25．（2026·高一·广西南宁·期末）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 26．（2026·高二·四川资阳·开学考试）如图，在边长为6的正方形中，B，C分别为、的中点，现将，，分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为______.    27．（2026·高三·江苏扬州·期末）某圆台的上下底面半径分别为1和2，若它的外接球表面积为，则该圆台的高为__________. 28．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为______． 29．（2026·高二·浙江温州·期中）已知在三棱锥中，，点为三棱锥外接球上一点，则三棱锥的体积最大为______． 30．（2026·陕西汉中·二模）已知三棱锥，点到平面的距离是，则三棱锥的外接球表面积为______． 31．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）在三棱锥中，、、两两重直，，，，则该三棱锥外接球表面积为______． 32．（2026·高二·广东肇庆·期中）一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是________． 33．（2026·高一·广东东莞·期中）已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为______． 34．已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 ______. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $