精品解析：河北定州中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将复数整理为标准形式即可求解. 【详解】由题意得,故复数z在复平面内对应的点为. 2. 用斜二测画法画一个边长为2的正方形的直观图，则该直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图与原图面积关系计算. 【详解】原正方形边长为，面积， 则直观图的面积. 3. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A选项：若，，此时也有可能，所以A错误； 对于B选项，若，，也可能，所以B错误； 对于C选项，若，，可能，所以C错误； 对于D选项，若，，，则垂直于内的所有直线，垂直于内的所有直线，由于，存在直线且，则，又，，所以，从而，因此D正确. 4. 在中，，，，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，结合图象的几何运算求解即可. 【详解】如图所示：连接, 因为为中点， 所以 5. 如图，在正方体中，E为棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，可得，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，取的中点，在直角中，即可求解. 【详解】在正方体中，连接，，可得， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 即为异面直线与所成角， 不妨设，则，， 取的中点，因为，所以， 在直角中，， 可得. 所以异面直线与所成角的正弦值为. 6. 一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为，向前行驶60米到达处时又测得楼阁屋顶仰角为，继续向前行驶60米到达处时再次测得楼阁屋顶仰角为．则该楼阁的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】设该楼阁的高度米，根据题意得，，，，再结合，根据余弦定理求得即可得答案. 【详解】设该楼阁的高度米， 根据题意，，， 所以，，， 因为， 所以， 因为， ， 所以，即， 整理得，解得米，即该楼阁的高度米. 7. 已知平面向量，，满足，，则以下结论中错误的是（ ） A. B. 在上的投影向量的模是 C. D. 若，则的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量模长公式计算判断选项A；求出在上的投影向量的模判断选项B；根据向量的运算性质判断选项C；利用三角不等式计算判断选项D． 【详解】，故A正确； 在上的投影向量的模为：，故B正确； 向量运算不满足实数的二项式立方展开，故等式不成立，C错误； ，由三角不等式， 又，故，即，故D正确． 8. 已知棱长为的正方体内恰好装入两个相外切的球，，球心，在正方体的体对角线上，其中球的半径为，球的半径为，则该正方体的棱长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出对角线及球心所在的截面，建立对角线与两个球的半径的等量关系式即可求解. 【详解】 如图所示，左图为正方体，两个相外切的内切球，正方体的棱长为，球的半径分别为， 右图为对角线及球心所在的截面， 由于正方体的棱长为，则， 在直角中，， 又因为，，解得，， 因此， 解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（i为虚数单位），则下列命题正确的是（ ） A. z的实部为 B. z的共轭复数为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由复数的四则运算结合复数的概念依次计算选项即可. 【详解】由题意得，实部为，故A正确； 其共轭复数为，故B错误， ，故C正确， 因为，余2，则， 余，则， 则，故D正确. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 当E为中点时，平面平面 C. 直线与平面所成的角的余弦值的最大值为 D. 点E到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由面面平行性质可判断A；由已知条件可判断与平面两条相交线垂直，结合面面垂直的判定即可判断B；根据线面角的定义找出所求角，通过几何关系即可计算余弦的最大值从而判断C；通过等体积法可判断D. 【详解】对A，由已知，平面平面，平面，所以平面，所以A正确； 对B，当E为中点时，因为四边形是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为平面,面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，所以B正确； 对C，因为平面，直线平面，所以直线与平面所成的角为， 设，则，所以， 所以当最大时余弦值最大，当与重合时最大， 因为，，所以最大值为， 所以最大值为，所以C正确； 对D，因为，平面，平面，所以平面，所以点E到平面的距离等于点到平面的距离， 设  到平面  的距离为，利用等体积法， 因为， 到平面的距离就是正方体的棱长2， 所以. 又，，则 所以， 解得 即  到平面  的距离为 ，故选项 D 错误. 11. 定义平面向量的一种新运算．现有平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接根据定义的新运算，向量的加法，数量积，绝对值不等式即可判断选项A，B，C，举反例即可判断选项D． 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，由，故C正确； 对于D，取，，则，而，此时，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，满足，，若，则________． 【答案】1 【解析】 【详解】已知平面向量，满足， ，解得． 13. 如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的侧面积为_________． 【答案】## 【解析】 【详解】把圆锥侧面沿母线展开如图所示的扇形，则为小虫爬行的最短路径. 由题意可知，，， 则在等腰三角形中得，则，， 则弧长为， 设圆锥底面半径为，则，得， 则圆锥的侧面积为 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积满足，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合三角形面积公式及二倍角公式得到，然后利用正弦定理边化角以及角的取值范围即可求解. 【详解】由题意得，锐角的面积， 由于，所以，化简得， 利用二倍角公式，代入得，解得， 则，则， 由正弦定理， 由于，则，解得， 由于在上单调递增， 当时，，则； 当时，，则； 因此的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中． （1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z是纯虚数，求实数m的值； （3）若z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)令虚部为计算即可； (2)令实部为，虚部不为计算即可； (3)实部小于，虚部大于计算即可. 【小问1详解】 由z是实数，得， 解得或． 【小问2详解】 由z是纯虚数，得， 解得． 【小问3详解】 由z在复平面内对应的点在第二象限， 得， 由，解得； 由，解得或， 所以m的取值范围为． 16. 设，是两个不共线的单位向量，，． （1）若，求的值； （2）若，则当为何值时，的值最小？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两向量共线的充要条件得到系数对应相等联立方程组即可求解； （2）先表示出向量模长的平方，结合向量数量积的运算公式，利用配方法转化为二次函数求最值问题即可求得. 【小问1详解】 因为为非零向量，，则存在实数，使得， 即， 所以，解得． 【小问2详解】 由，得， 所以 ， 所以当时，取得最小值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． （1）求证：； （2）若，求二面角的大小． 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 又因为底面为正方形，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理求证； （2）过点B作于点E，得出为二面角的平面角，在中求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 因为，所以，， 过点B作于点E，连接， 在和中，有，，，所以， 所以当时，有，且， 所以为二面角的平面角， 因为底面为正方形，所以， 又由（1）知，所以． 在中，有，得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以二面角的大小为． 18. 如图所示，正四棱台的上、下底面面积之比是，，分别为，的中点，点满足，． （1）当为何值时，平面； （2）在（1）的条件下，求三棱锥与四棱台的体积之比； （3）连接，在线段上取点，且满足平面，求能使成立的的最小值． 【答案】（1） 时，平面 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理得到线线平行，再依据线面平行判定定理证明. （2）先根据相似关系求出的面积，再结合棱台和三棱锥体积公式计算体积比. （3）由线面平行得出，进而确定的取值范围，将不等式能成立问题转化为能成立问题，求出在的最小值，得到的最小值. 【小问1详解】 因为为的中点，所以当点为的中点，即时， 有，又因为平面，平面， 所以平面，所以时，平面 【小问2详解】 由（1）知为的中点，设四棱台上底面的面积为，则下底面的面积为，易得的面积为． 设正四棱台的高为， 则三棱锥的高为． 所以． 【小问3详解】 如图，连接，交于点，连接，由题知平面，平面，所以只要即可． 取正四棱台的对角面，如图， 易得． 因为当点与点重合时，由可得， 此时； 当点与点重合时，由可得，满足题意， 此时． 所以． 而在此条件下，要使能成立， 只需时，能成立． 设，则问题转化为， 因为，所以，所以， 所以，16分 所以，故的最小值为． 19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且 ． （1）求； （2）若，且的面积为，求的值； （3）若为锐角三角形，为所在平面内一点，且满足 ，设，求的取值范围． 【答案】（1） （2）4 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，因化简得的值，结合范围确定大小. （2）先根据范围确定范围，求出，再用公式求，，由面积公式得，进而求. （3）先根据向量垂直推出为外心，再利用向量数量积得到的关系，最后结合锐角三角形条件和不等式求出的最小值. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得， 在中，，则，即， 又，故． 【小问2详解】 因为，则， 因为，所以， 所以， ， 所以， 又面积，其中为外接圆的半径，解得， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以为的外心． 又， 则， 得，即， 从而①； 同理， 可得②． 由①②可得，即有③． 因为为锐角三角形，所以得； 同时由得． 将③化简得，从而有， 得，所以． 而， 令，则， 设，则结合对勾函数性质可知在上单调递减， 所以，当且仅当即时取等号， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 2. 用斜二测画法画一个边长为2的正方形的直观图，则该直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 在中，，，，为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，E为棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为，向前行驶60米到达处时又测得楼阁屋顶仰角为，继续向前行驶60米到达处时再次测得楼阁屋顶仰角为．则该楼阁的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知平面向量，，满足，，则以下结论中错误的是（ ） A. B. 在上的投影向量的模是 C. D. 若，则的取值范围是 8. 已知棱长为的正方体内恰好装入两个相外切的球，，球心，在正方体的体对角线上，其中球的半径为，球的半径为，则该正方体的棱长（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（i为虚数单位），则下列命题正确的是（ ） A. z的实部为 B. z的共轭复数为 C. D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 当E为中点时，平面平面 C. 直线与平面所成的角的余弦值的最大值为 D. 点E到平面的距离为 11. 定义平面向量的一种新运算．现有平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，满足，，若，则________． 13. 如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的侧面积为_________． 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积满足，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中． （1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z是纯虚数，求实数m的值； （3）若z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围． 16. 设，是两个不共线的单位向量，，． （1）若，求的值； （2）若，则当为何值时，的值最小？ 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． （1）求证：； （2）若，求二面角的大小． 18. 如图所示，正四棱台的上、下底面面积之比是，，分别为，的中点，点满足，． （1）当为何值时，平面； （2）在（1）的条件下，求三棱锥与四棱台的体积之比； （3）连接，在线段上取点，且满足平面，求能使成立的的最小值． 19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且 ． （1）求； （2）若，且的面积为，求的值； （3）若为锐角三角形，为所在平面内一点，且满足 ，设，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $