精品解析：河北承德双滦圣泉高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

2025--2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，解得， 时，，则是的一个对称中心． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由余弦的二倍角公式得：. 3. 在中，角所对的边分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在中，由余弦定理可得：， 因为，所以，则. 4. 与向量同方向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 与同方向的单位向量的坐标为． 5. 已知向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直得到，再根据向量数量积运算得，最后利用投影向量计算公式即可得到答案. 【详解】由于，所以， 即， 又，， 所以. 则向量在向量上的投影向量等于： . 6. 数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，因为，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 所以. 7. 若直线是函数图像的对称轴，且在上无最值，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】通过辅助角公式化简函数解析式，由函数对称轴建立方程求得，然后由在上无最值求得范围，从而求得答案. 【详解】， 由题意可知是方程的一个解， 即，∴， 当时，， 由题意可知，所以， ∴当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，舍去， 所以或 8. 若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定的取值范围，根据余弦函数的单调性列出不等式即可求解. 【详解】令，因为，且，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 因为余弦函数在上单调递减， 则，解得，所以的取值范围为. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列结论恒为零向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：； 选项B：； 选项C：； 选项D：. 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 在中，，，若三角形有唯一解，则或 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据数量积公式，可得，分析可判断A的正误；对B，根据条件，借助图形得到或，即可判断B的正误；对C，根据同角三角函数的关系及正弦、余弦定理，可得，即可判断C的正误；对D，根据正弦定理，可得求出角即可判断D的正误. 【详解】对于A，由向量数量积的定义得， 则，即A为锐角，但不确定B，C是否是锐角， 所以不一定是锐角三角形，故A错误. 对于B，如图，过C作所在直线于，则， 又，且三角形有唯一解，则或，即或，所以B正确， 对于C，因为，所以， 得到， 由正弦定理，得，即. 由余弦定理，得，则为钝角三角形，故C正确. 对于D，因为，且， 则， 所以，所以，，即，故D正确. 11. 潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（，），其中y（单位：m）为港口水深，x（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔为，且中午点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 最高水位为 C. 该港口从上午8点之后开始首次限制船只出入 D. 一天内限制船只出入的时长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质，结合已知条件求出与，判断选项A、B；利用水深限制列不等式，解不等式求出船只限制出入时段及开始时间，进而判断选项C、D． 【详解】因为水位最高点和最低点的时间间隔为， 则，即， 且，可得，故A正确； 又因为中午点的水深为， 则，化简得，解得， 所以最高水位为函数最大值，故B错误； 因为当水深超过时限制船只出入， 令，可得， 则，，解得， 在范围内，有效区间为和， 共8小时，在上午8点之后开始首次限制，故C正确、D正确. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】可知即，移项得， 利用辅助角公式可得，所以，又因为， 所以，得即，则. 13. 已知为锐角，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助同角三角函数基本关系及两角差的正弦公式计算即可得. 【详解】由，为锐角，则， 由为锐角，则，又，故， 则， 故 ， 又为锐角，故. 14. 已知为坐标原点，平面向量，若点满足，且，则实数______． 【答案】 【解析】 【详解】已知，则 设，则 因为，所以（*）， 因为，所以， 将其代入（*），可得，解得 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设向量，，. （1）若与平行，求的值； （2）若与垂直，求的值； （3）求的余弦值； （4）求在上的投影数量. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以， 因为与平行，所以，所以 【小问2详解】 因为，， 所以， 又因为与垂直，故，所以 【小问3详解】 因为，， 所以， 所以 所以的余弦值为 【小问4详解】 因为，，所以 所以 则在上的投影数量为. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理角化边，余弦定理计算； （2）使用正弦定理求解； （3）使用两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为，，由正弦定理可知，，，，由余弦定理，所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 由正弦定理，得； 【小问3详解】 因为，所以，则为锐角，， 则，， 所以. 17. 已知函数. （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，且，求的最小正周期. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换对进行化简，结合正弦型三角函数的性质求解即可. （2）结合在区间上单调递增及正弦型三角函数的性质可得，结合可得，联立可得，进而求周期即可. 【小问1详解】 因为 ， 当时，，则. 令，解得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为，所以 因为在区间上单调递增，且，在区间上单调递增， 所以，解得. 又，在区间上单调递增， 所以曲线关于对称，且点在曲线的递增部分上， 则， 又在处单调递增，所以，解得， 又，所以，则， 所以的最小正周期为. 18. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式及函数单调递增区间； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围； （3）将函数的图象向右平移，再向上平移（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题干图象结合正弦函数的最值、周期可得函数解析式，由正弦函数的单调递增区间可得函数的单调递增区间； （2）求出，化简得出，结合三角函数的值域求出. （3）由图象的平移可得函数的解析式，再将问题转化为当时，恒成立，然后结合正弦函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 由图象可得，，所以， 所以，又， 所以，又，所以， 故. 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由题意得，则， 因为为锐角三角形，所以，则， 则，得， 则， 由，得，则， 则， 故的取值范围为. 【小问3详解】 由题意可得， 因为对于任意的，都有成立， 即当时，恒成立， 由可得，此时， 由可得，此时， 所以，解得， 故实数m的取值范围为. 19. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积，，． （1）求的值； （2）求和的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式得，即可求出； （2）代入余弦定理的公式即可求出和的值； （3）先利用正弦定理求出的值，再利用公式求出，最后利用两角差的余弦公式即可求出. 【小问1详解】 由余弦定理可得：， 将上式代入已知面积条件中，得：， 又因为三角形面积公式为，两式联立可得：， 因为在中，，，所以：， 显然两边同除以得：， 因为，所以角A的大小为：, 【小问2详解】 由余弦定理，将，代入得： ，即，解得， 又由已知得. 【小问3详解】 在中，由正弦定理得：， 由（2）可知，，． ， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（   ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角所对的边分别为，，则（ ） A. B. C. D. 4. 与向量同方向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线是函数图像的对称轴，且在上无最值，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 8. 若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列结论恒为零向量的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 在中，，，若三角形有唯一解，则或 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则 11. 潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（，），其中y（单位：m）为港口水深，x（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔为，且中午点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 最高水位为 C. 该港口从上午8点之后开始首次限制船只出入 D. 一天内限制船只出入的时长为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知，则__________. 13. 已知为锐角，，则__________． 14. 已知为坐标原点，平面向量，若点满足，且，则实数______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设向量，，. （1）若与平行，求的值； （2）若与垂直，求的值； （3）求的余弦值； （4）求在上的投影数量. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 已知函数. （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，且，求的最小正周期. 18. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式及函数单调递增区间； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围； （3）将函数的图象向右平移，再向上平移（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 19. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积，，． （1）求的值； （2）求和的值； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $