江苏南京市金陵中学2025-2026学年高二下学期6月阶段性检测数学试卷

2025~2026学年度第二学期高二年级阶段性检测 数学 命题：汤业荣、胡旭东 审题：从品 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是正确的. 1.集合A={1,x2},B={1,4,x},若x∈A是x∈B的充分条件，则x= A.0 B.一2 C.0或-2或1 D.0或±2 【答案】D 【解析】因为x∈A是x∈B的充分条件，所以ACB,则 ①x2=4,解得x=±2； ②x2=x,解得x=0或x=1(舍去)： 综上，x=0或x=士2. 故选：D, 2.(1+x)(1一2x)10的展开式中含x2项的系数为 A.150 B.160 C.170 D.180 【答案】B 【解析】(1+x)(1-2x)10=(1-2x)10+x(1-2x)10, 则展开式中含x2项为C0(-2x)2+xC0(-2x)=160x2, 故(1+x)1一2x)10展开式中含x2项的系数为160. (3a-2)x-4a,x<1, 3.已知x)= log1x,x≥1 是R上的单调函数，则实数a的取值范围是 A.【-2,影 B.(-房 C.（-∞，-2] D.+) 【答案】C 【解析】因为当x≥1时，x)=logx为减函数，且x)在R上为单调函数， 所以x)为R上的单调递减函数. 当x<1时，一次函数fw)=(3a-2)x一4a单调递减， 当x≥1时，对数函数fw)=logx单调递减， 当x=1时，f1)=1og11=0, [3a-2<0, 又因为)在R上为单调递减函数，所以(3a-2）-4a≥logl=0,解得a≤-2， 4.共点P的三条线段PA,PB,PC的长度相等，且每两条线段所在直线的夹角均为90°，那么直 线PC与平面ABC所成角的余弦值是 A.月 B号 c. .9 第1页，共9页 【答案】D 【解析】因为PA,PB,PC是分别以点P为端点的三条相等线段，且两两垂直， 以P为原点，PA,PB,PC分别为x,y,z轴建立如图所示坐标系， 设PA=PB=PC=3,G为△ABC的重心，则PG为平面ABC的法向量，PG =(1,1,1), 又PC=(0,0,①，直线PC与平面ABC所成角的正弦值 sn0=o,p心=n·P心 lal3 P B nPC V3Xa3, 21 所以直线PC与平面ABC所成角的余弦值为√一im9= 3 故选：D 5.已知实数x,y满足x2+2xy=1,则x2+4y2的最小值为 A.1 B.2W2-1 C.2N2-2 D.2W3-1 【答案】C 【解析】因为x+2xy=1,显然x≠0，所以2y=-x, 则x2+4w=x+()=2x+7-2≥21V2x2×7-2=2V2-2, 当且仅当之x即，等号成立，即平的搬小位为-2 故选：C 6.已知x)是定义在R上的奇函数，x十1)是偶函数，则2026= A.0 B.-2 C.2 D.4 【答案】A 【解析】由函数x)是定义在R上的奇函数，可得一)=一fx),且O)=0, 又由x十1)是偶函数，即函数x+1)的图象关于y轴对称， 可得函数y=x)的图象关于x=1对称，即x十2)=一x), 因为一x)=一x),可得x十2)=一x), 即x+4)=一x+2)=x),所以函数x)是以4为周期的周期函数， 可得2026)=4×506+2)=2) 因为一x+1)=x+1),可得2)=-1+1)=0)=0， 所以f2026)=0. 7.函数x)=lg(2+2x-1)的值域为R的一个充分不必要条件是 A.a∈(0，+o)B.a∈[0，+o) C.a∈[-1，+o)D.a∈[-1,0) 【答案】A 【解析】若x)=lg(ax2+2x一1)的值域为R,则t=2+2x一1可以取到(0，十o)内的任一个值， 即(0，十o)为t=ax2+2x一1的取值范围的子集. 当a=0时，x2+2x-1=2x-1,满足题意： 第2页，共9页 Ja>0, 当a≠0时，应有=4+4a≥0，得a>0: 综上，x)的值域为R等价于a∈[0，十o),其充分不必要条件应为0，十o)的真子集，故选 A. 8.已知10m=9,a=11m-10,b=9m-8,则 A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a0 D.b>0>a 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳 华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方， 则下列结论正确的是 A.3人选择的地点均不同的方法总数为60 B.恰有2人选一个地方的方法总数为15 C.恰有1人选泰山的方法总数为48 D.至少1人选泰山的方法总数60 【答案】AC 【解析】对于A,3人选择的地点均不同的方法总数为A=60,A正确： 对于B,恰有2人选一个地方的方法总数为CA3=60,B错误： 对于C,恰有1人选泰山的方法总数为C×42=48,C正确： 对于D,3人选择的方法总数为53，没有人选择泰山的方法数为43，因此至少1人选泰山的方法 总数53-43=61，D错误， 10.己知事件A与B发生的概率分别为P4)=多P()手，则下列说法一定正确的是 A.P心-贵 B.PAB)≥号 C.子≤pBA0≤I D.PM≤ 【答案】BCD 【解析】对于4，由于题干没确定事件A,B是否独立，所以P心AB)=P心4)P8)×号号不一定成 立，故A错误： 对于B,由于P4+B)=P4十P)一P心AB)=+号P4B)≤1，所以P心4B)≥子，故B正确： 3,4 P(AB)5 2 ..2 对于C,PBW=P手故号PBlA)L,故C正确. 5 对于D,因为PAB)≤1，所以PA+B)=P(A+PB)-PAB)=子+号PAB)3,所以PAB PM+B)=1-P4+B)≤亏 第3页，共9页 11.己知x)的导函数为fw),且f'w)=x)十e(lnx-1),e)=0,则 A.f(e)=0 B.23)>32) C.f(x)在(0，+∞)上单调递增 D.+e≤r+是 【答案】ACD 【解析】由/=+x-1>0),可得Y一型_cx=) x2 即rD=(Q-c为数， 设g)型，则8)=c-四， 由于0=0，所以s09=0,则8间=C-0c-1=0, e 解得：C-1,所以g的型-=1-c血r X 所以)=x一e血x(>0),则f)=1-号所以f(©)=1-1=0，故A正确： 对于B,2f3)-3f2)=2(3-eln3)-3(2-eln2)=e(ln8-ln9)<0, 即23)<32)，故B错误： 对于C,fw)=1->0,f在0十)上单调递增，故C正确； 对于D,+e-x是c1-1x}>0), 因为≥1-x=1时取等号)，所以)十e-x0, 所以)十e≤x十我立，故D正确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设X~N(12,o),且PX>16-P(8<X<12)=0.1,则PX≤8)=_▲一- 【答案】0.3 【解析】因为X~N12,o),所以PX≥16=PX≤8)，P(8<X<12)=P12<X<16), 设PX≤8)=a,则PX≥1)=a,又PX<12)=0.5, 所以P(8<X<12)=P(12<X<16)=0.5-a, 因为PX≥16)-P(8<X<12)=0.1,所以a-(0.5-)=0.1, 解得a=0.3,所以P(X≤8)=0.3. 13.若函数fx)=x3-22+3x+1在区间[1,2]上单调递减，则实数a的取值范围为_▲一_ 【答案】 ,十∞) 【解析】f(x)=3x2-4+3, 因为fx)在[1,2]上单调递减，所以f(x)≤0在[1,2]上恒成立， 即：3x2-4m+3≤0，得a≥3+3， 设g)=0+,当x∈[1,2引时，函数=+单调递增， 第4页，共9页 所以Q-号所以有a≥号 15 15 因此实数a的取值范围为号，+∞). 14.平面直角坐标系中，曲线2=2>0上有一系列点C(,),C,.,对Vn∈N, 以Cn为圆心的圆Cn与x轴都相切，且圆Cn与圆Cn+1外切.若n+1<xn,且x1=l,记数列{x+ )的前u项和为s,则使得S<206恒成立的最小正整数m为▲一 【答案】507 【解析】根据题意，曲线x2=2(>0)上的点C(,网满足=2xa: 因为圆Cn与x轴相切，圆心纵坐标为ym,故半径rm=yn=2x: 圆Cn与Cn+1的圆心距d=Vcn一x+1)2+(Gyn一+)，半径之和为hn十rn+1=m十a+1, 因为圆C与C+1外切，所以V(n一xm+1)2+Gym一m+1)2=n十+1，化简得(n一x+1)P=4yn+1, 将%=2x号代入上式，可得(xm一xn+1)2=42x品2xn1=16xm1, 又因为>x+1>0,所以n-1=41,即1上4， Xn+1 Xn 所以数列宁为等差数列，首项：于1，公差d=4: 通项： 1+-)4=-3台= 1 1 1,11 所以wk+1=4n-34n+D）441-31+ 所以8=宫0-为+G为++；】和-” s随n增大递增，极限为S一子即S<对所有n∈N成立； 1- S=4n+14十 1 2026=506.5: 恒成立条件：8<06恒成立，需206即m≥20学 故最小正整数m=507. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 15.己知x)是定义在R上的奇函数，gx)是定义在R上的偶函数，且x)十g(x)=2. (1)求x)和x)的解析式： (2)若x∈R,[f(x]+g(x)十a>0恒成立，求实数a的取值范围， 【解析】(1)因为f)是定义在R上的奇函数，g(w)是定义在R上的偶函数， 所以术一x)=一x),g(一x)=gx). 因为y)十g)=2,所以-x)十g(-x)=2→一)十gx)=2x, 联立解得：2,8的=2 2x-2x 2 …6分 第5页，共9页 (2)因为f(x)]+g(x)+a>0,所以22x+22x+2(2x+2)+4a-2>0对于Vx∈R恒成立. 设t=2x十2x,则22x十2x=t2-2, 设y=t2-2+2t+4a-2=tP+2t-4+4a, 因为t=2"+2≥2√22x=2,当且仅当x=0时等号成立，所以t∈[2，十∞) 由y=t2+2t-4+4a在区间[2，十∞)上单调递增，知mn=4+4a. 所以4十4a>0,即a>一1，故实数a的取值范围是（一1，十∞）.…7分 16已知搭国c器长1ab>0离心率等于9H稀同C络过点5.9， (1)求椭圆C的标准方程： (2)若直线y=x十m与椭圆C交于M,N两点，O为坐标原点，直线OM,ON的斜率之积等 于-号求△ON的面积， 【解行】0白思意得，会9昌+六=1，心=6：-e 得心=4，=2，c2=2,故椭圆C的标准方程为+号=1：4 (2)联立 y=kx+m x2+2y2=4得(2k+1)x2+4x+2m2-4=0, 设Mx1,y),Nx2,y2),则△=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-4)>0, Akm 22-4 x1十x2= 22+1Xx= 2k2+1' …4分 则koM koN= y1y2(1十0)K2十0）k2x1x2+u(1十x2)十2 X1X2 X1X2 234 4km 2k2+i+a(-22+)+m m2-4k21 2m2-4 2m2-4=一2得m2=2+1,…7分 2k2+1 则△oN的面积Sco=号m小k1-g一=号mlV+x-4 1 =m1V-4 m2-4 2(2k2+1)2 k2+1=m 2(4k2-m2+2) (2k2+1)2 (2k2+1)2 即△ON的面积为定值√2.11分 17.高考数学试卷评阅采用“双评十仲裁”的方式，具体规则如下：两名老师独立评分，称为一 评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者 所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评 中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲 裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.高考的第一道大题为基础题，不少同学的结 果正确，但由于书写潦草，步骤不规范等原因，实际得分往往达不到满分，我校为了解学生的答 题书写情况，开展了一次测评，针对这道满分13分的大题，选取了大量“结果正确”的试卷，由 数十名阅卷老师按照高考阅卷规则进行评阅，规定每位老师给出的分数仅在13分、12分、11分 中取值，经统计，各分数对应的比例如下表所示，以频率视为概率，且一、二评与仲裁三位老师 第6页，共9页 评分互不影响、 教师评分 13 12 11 各分数所占比例 1-4 1 1 2 甲同学上交了一道“结果正确”的题参与本次测评. (1)求此题需要仲裁的概率： (2)求此题在一评、二评两位老师给分不同的条件下，最终得了满分的概率： (3)求此题得分X的分布列及数学期望) 【解析】(1)根据规则，只有当一评，二评的分数差绝对值大于1时，才需要仲裁， 所有可能得评分组合中，差的绝对值大于1的情况仅为，一评11，二评13或一评13，二评11， 两种情况的概率之和为：P=P)×P13)+P1)×P)=2×X长 …4分 (2)设事件A为一评，二评给分不同”，事件B为“最终得满分13分”， 11.,13 一评二评给分相同的概率为P=P11)×P11)+P12)×P12)+P13)×P13)=6+4+168: 因此01-P=1专-=2X0x1X0=2×对*×号京 1 321 P(BA)= 520 …5分 8 (3)由题意可得X的可能取值为：11,11.5,12,12.5,13， 则=1n)x2x×好最 0x=1)=2xx号 Px=1四X分 Px=12)=2×X+2x××约=6 Px=13)X+2××好×3= 所以X的分布列为： 11.5 12 12.5 13 3 1 3 32 忌 3 所以0=7×11+X1.5+×12+6×125+×13= 85 32 …6分 18. 已知数列{4}：1,2,2,4,4,4，，其规律为：第一项是2°，接下来的两项是21,21， 再接下来的三项是22,22,22，再后面的四项是23,23,23,23，依此类推.设{a4}的前n项和为 Sn. (1)求66； (2)若存在正整数k使得Sx>400且S,能被3整除，求k的最小值： (3)从集合{x∈N*x≤100}中任选一个元素m,求满足Sm≥12am的概率. 第7页，共9页 【解析】Q将数列a进行分组，第组有k个，则前k组有生个数。 由于66=11x01+1 2 2,所以前11组有66个数， a66恰好就是第11组的最后一个数，即a66=211=1024;…4分 (2)设前n组数之和为T, 则Tm=1×20+2×21+3×22+..+0-1)22+:21, 2Tm=1×21+2×22+..+(01-2)22+(1-1)2m1+r2, 两式相减得：-Tm=20+21+22+..十211-n:21=2n-1-m2=(1-m2n-1, 所以Tm=m-1)2n+1; 前6组数之和T6=321,共有21个数，第7组为7个26=64， 所以使得S>400的最小正整数k为23： 假设存在k∈[23,28]使得S能被3整除，则S=321+(k-21)64, 因为321能被3整除，所以(k一21)64也能被3整除，而64不能被3整除， 所以k-21能被3整除，所以k最小为24；…6分 (3)设前n组与第n+1组的前k个数之和为(n一1)2+1+k2”,其中1≤k≤n+1, 依题意，有0a-1）2+1+k2≥12：2，且4D+k≤10（得出M≤13） 2 即n-1++2≥12，等价于n-1十k≥12，即n叶≥13， 取=13，则k≤9，k=1,2,3,4,5,6,7,8,9, 取n=12,则k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13, 取n=11,则k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 取n=10,则k=3,4,5,6,7,8,9,10,11, 取n=9,则k=4,5,6,7,8,9,10, 取n=8,则k=5,6,7,8,9, 取n=7,则k=6,7,8, 取n=6,则k=7, 所以满足条件的m的取值个数为1+3+..+11+13+9=58， 所以满足品≥12的概率为瓷器…7分 19,已知函数)=一。一2hc (1)若曲线y=x)在点M1,1)》处的切线方程为x+2y一3=0，求实数a,b的值； (2)当b=1时，对于任意x>1,x)>0恒成立，求实数a的取值范围： (3)证明：】 E>h(2+1)a∈N). 4 【解1@r0=片是则0a人=-专测a- 1 …3分 1)=a-b=1, 第8页，共9页 ②当6=1时，依题意有m}2x>0对于任意x>1恒成立，则a心2+是 设m的-2+>1).me)2x-22 x3 h(x)=2x-2xlnx-2,h')=-2Inx, 由x>1得h(x)<0,则hx)在(1，+∞)上单调递减， 且(1)=0，则x)<0在(1，+∞)上恒成立，即m')<0,m(x)在(1，+∞)上单调递减， (1)=1,则(x)<1,则a≥1.…7分 3)2可知，当x>1时，x>2=r2 令x=V,则Ni-2h>), 2+1 2+1 >h21-1 累加得： 高岭 >n(2n十1)(n∈N.…7分 第9页，共9页 2025~2026学年度第二学期高二年级阶段性检测 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1．集合，，若是的充分条件，则 A．0 B． C．0或或1 D．0或 2．的展开式中含项的系数为 A．150 B．160 C．170 D．180 3．已知是上的单调函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 4．共点的三条线段，，的长度相等，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是 A． B． C． D． 5．已知实数，满足，则的最小值为 A．1 B． C． D． 6．已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则 A．0 B． C．2 D．4 7．函数的值域为的一个充分不必要条件是 A． B． C． D． 8．已知，，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山．小明与父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则下列结论正确的是 A．3人选择的地点均不同的方法总数为60 B．恰有2人选一个地方的方法总数为15 C．恰有1人选泰山的方法总数为48 D．至少1人选泰山的方法总数60 10．已知事件与发生的概率分别为，，则下列说法一定正确的是 A． B． C． D． 11．已知的导函数为，且，，则 A． B． C．在上单调递增 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，且，则 ▲ ． 13．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 ▲ ． 14．平面直角坐标系中，曲线（）上有一系列点，，…，对，以为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆外切．若，且，记数列的前项和为，则使得恒成立的最小正整数为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且． （1）求和的解析式； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 16．（本小题15分） 已知椭圆：（）离心率等于且椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积． 17．（本小题15分） 高考数学试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，具体规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分．高考的第一道大题为基础题，不少同学的结果正确，但由于书写潦草，步骤不规范等原因，实际得分往往达不到满分，我校为了解学生的答题书写情况，开展了一次测评，针对这道满分13分的大题，选取了大量“结果正确”的试卷，由数十名阅卷老师按照高考阅卷规则进行评阅，规定每位老师给出的分数仅在13分、12分、11分中取值，经统计，各分数对应的比例如下表所示，以频率视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响． 教师评分 13 12 11 各分数所占比例 甲同学上交了一道“结果正确”的题参与本次测评． （1）求此题需要仲裁的概率； （2）求此题在一评、二评两位老师给分不同的条件下，最终得了满分的概率； （3）求此题得分的分布列及数学期望． 18．（本小题17分） 已知数列：1，2，2，4，4，4，…，其规律为：第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，再后面的四项是，，，，依此类推．设的前项和为． （1）求； （2）若存在正整数使得且能被3整除，求的最小值； （3）从集合中任选一个元素，求满足的概率． 19．（本小题17分） 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数，的值； （2）当时，对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：（）． 学科网（北京）股份有限公司 $