精品解析：2026年湖南省娄底市中考第三次阶段测试数学试题

2026年上期九年级第二次学情调研试题 数学 时量：120分钟 总分：120分 温馨提示：数学试卷分为试题卷和答题卡两部分，本卷为试题卷，请在答题卡上按要求作答，书写在试题卷上的无效．考试结束时，请将试题卷和答题卡一并交回． 一．单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如果温度上升记作，那么温度下降记作（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，对于具有相反意义的量，若规定其中一个为正，另一个就用负表示，据此可直接求解． 【详解】解：∵温度上升记作， ∴温度下降记作． 2. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义即可得． 【详解】解：这个几何体的主视图是， 故选：D． 3. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0． 根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，解得x的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选A． 4. 一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两位数的表示方法：十位数字个位数字，即可解答． 【详解】解：∵一个两位数，它的十位数是，个位数字是， ∴根据两位数的表示方法，这个两位数表示为：． 故选： 【点睛】本题考查了用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式运算法则与二次根式加法运算，根据对应运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能直接合并相加，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意． 6. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设，，，可得，，，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案． 【详解】解：设，，， ∵矩形， ∴，， ∴，，， ∵，而， ∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B； 故选：B． 8. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y随自变量x的增大而增大，故A、C错； 当时，， ∴图象与y轴交于点，故B正确； 当时，， ∵函数值y随自变量x的增大而增大， ∴当时，，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 9. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【详解】解：正六边形每个内角为：， 而六边形的内角和也为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 袋子中装有4个黑球2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同．在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，这个球为白球的概率是___． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此， 随机地从装有4个黑球2个白球的袋子中摸出一个球，这个球为白球的概率是． 13. 某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，王老师每周对各小组合作学习的情况进行综合评分．下表是各小组其中一周的得分情况： 组别 一 二 三 四 五 六 七 八 得分 90 95 90 88 90 92 85 90 这组数据的众数是_____． 【答案】90 【解析】 【分析】根据众数的概念：众数是一组数据中出现次数最多的数可得出答案． 【详解】解：90出现了4次，出现的次数最多，则众数是90； 故答案为90 【点睛】此题考查了众数，注意中位数和众数的区别，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数． 14. 方程的根是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：去分母得， 去括号得， 解得， 经检验，是原方程的解． 15. 如图，在中，，则的度数为___________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 16. 如图．在中，，．按以下步骤作图：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段，于点，；（2）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点；（4）过点画射线，与相交于点．当时，的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本作图得到，则，再利用勾股定理计算出，则，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】解：由作法得， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，． 三．解答题（本大题共8个小题，第17题6分；第18、19题每小题8分；第20、21题每小题9分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，然后计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】题目主要考查绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 18. 解不等式组：． 【答案】． 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 19. 2026年央视总台春晚使用大量智能机器人助力表演．我校计划开展“春晚机器人·科技向未来”主题日研学活动，聘请专家开设五个专题讲座：A．机器人控制；B．人工智能；C．智能算法；D．机械结构；E．生活应用．为了解学生的研学意向，小鸣随机抽取部分学生进行调查（每名学生必选且只能选择其中一项），根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图如下． “春晚机器人·科技向未来”主题日学生研学意向调查结果统计图 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生人数为________人，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“D领域”所对应的扇形的圆心角为________度； （3）学校有800名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场讲座时间为90分钟．由下表可知，A、C、D三场讲座时间与场地已经确定．在确保听取讲座的每名学生都有座位的情况下，请你合理安排B、E两场讲座，在①②处补全此次活动日程表，并通过计算说明理由． “春晚机器人·科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（250座） 2号多功能厅（150座） D A C ②________ ①________ 设备检修暂停使用 【答案】（1）40；补全条形统计图如图： （2）108 （3）补全此次活动日程表如图： “春晚机器人•科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（250座） 2号多功能厅（150座） D A C B E 设备检修暂停使用 B场次安排在2号多功能厅，E安排在1号多功能厅． 【解析】 【分析】（1）根据A的人数及其人数占比求得总人数，进而求出D的人数即可补全条形统计图； （2）利用乘以“D领域”的占比即可求解； （3）分别求出意向B、E的人数，再补全此次活动日程表即可． 【小问1详解】 解：人， ∴本次调查所抽取的学生人数为40人， ∴D的人数为人， 补全统计图如下： ； 【小问2详解】 解：“D领域”所对应的扇形的圆心角为； 【小问3详解】 解：补全此次活动日程表略，计算说明如下： B的学生人数为（人）， E的学生人数为（人）， ，， B场次安排在2号多功能厅，E安排在1号多功能厅． 20. 欢乐话剧团推出，两种票，购买8张种票，6张种票，共需3120元；购买1张种票比1张种票需多付40元．若种票的持票人数与种票的持票人数满足如图的函数图象（其中取正整数）． （1）请写出与之间的关系式； （2）据悉，看一场话剧持种票的有300人，求该场话剧收入的总额． 【答案】（1） （2）该场话剧收入的总额是156000元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）分别设每张种票、种票的价格为未知数，根据题意列方程组并求解；将代入（1）中求得的与之间的关系式，求出对应的值，再根据“该场话剧收入的总额每张种票价格种票的持票人数 + 每张种票价格种票的持票人数”计算即可． 【小问1详解】 解：设与之间的关系式为为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴与之间的关系式为； 【小问2详解】 解：设每张种票价格是元，每张种票价格是元． 根据题意，得， 解得， ∴每张种票价格是 240 元，每张种票价格是 200 元． 当时，，（元）。 答：该场话剧收入的总额是 156000 元． 21. 项目化学习 项目背景：水龙头是日常生活中常见的设备，广泛应用于厨房、浴室等场所，主要用于控制水流的开关与调节．它不仅在家庭中起着基础作用，也在工业、医疗等领域有特定用途．综合实践小组的同学围绕“水龙头中的数学”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 水龙头中的数学问题 驱动问题 如何解决水龙头中的数学 活动内容 利用三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，，，三点共线，是水管，台面．是开关，可整体绕点上下旋转，且，． 数据测量 连接，，，，如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角． 交流展示 …… 请根据上述数据，计算问题 （1）求图2中的长度． （2）求图3中点到台面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦函数的定义求解即可； （2）过点作，垂足为，交于点，在中，利用正弦函数的定义求的长度，据此求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，交于点， ， ， ， ， ， 根据旋转可得， 在中，， ， ． 点到台面的距离为． 22. 如图，在四边形中，，以为直径作交于点，交于点，平分，与相切于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：平分，为的切线， ， ， ， ， ， ； （2）的半径为． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，由切线的性质证明，进一步即可得到结论； （2）连接，得到，进而得出，得到，求得，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的半径为． 23. 如图1，抛物线经过点，对称轴为直线，与轴交于，两点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点，是抛物线上的两个点，．若，求的值； （3）如图2，已知直线与直线交于点，与，轴分别相交于点，，在第二象限内的抛物线上存在一点，使得，求点的坐标． 【答案】（1） （2）的值为或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）结合抛物线经过点，且对称轴为直线，列式求解，即可解题； （2）将点代入抛物线的表达式，并结合表示出，，再根据建立等式求解，即可解题； （3）在轴上取一点，作直线交抛物线于点，使，设直线的表达式为，利用待定系数法求出直线的表达式，导角得到，进而求出，设直线的表达式为，利用待定系数法求出直线的表达式，联立抛物线的表达式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ，即， 对称轴为直线， ，即， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：点是抛物线上的两个点， ， ， ， ， ， ，解得或， 的值为或； 【小问3详解】 解：如图，在轴上取一点，作直线交抛物线于点，使． 直线与轴分别相交于点， 时，， ， 设直线的表达式为， 且经过两点， 则，解得， 直线表达式为． ， ． ， ， 即， ， ，即， 解得， 设直线的表达式为， 且经过两点， 则， 解得， 直线的表达式为， 与抛物线 联立方程得 解得，或， 点在第二象限， 点的坐标为． 24. 定义：四边形一边的中点与它所在边的对边的两个端点的连线所形成的折线，叫做四边形的“中位折线”，“中位折线”与对边组成的三角形叫做四边形的“中位折三角形”，如图1，在四边形中，是边的中点，连接，，则由线段，组成的折线叫做四边形的“中位折线”，叫做四边形的“中位折三角形”． （1）如图2，在矩形中，点为边上一点，连接、，若为等腰三角形，，求证：为矩形的“中位折三角形”； （2）如图3，在平行四边形中，为的中点，，，求： ①的长； ②四边形的面积． （3）如图4，在平行四边形中，为的中点，若，且“中位折线”中的与平行四边形的一条对角线相等，求“中位折线”的长． 【答案】（1）证明：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即点是边的中点， ∴为矩形的“中位折三角形”； （2）①；② （3）折中线的长为或． 【解析】 【分析】（1）利用证明，得到，根据定义即可证明； （2）①作于点，证明，列出比例式，求得； ②证明是等腰直角三角形，设，则，利用勾股定理求出，，再利用平行四边形的面积公式求解即可； （3）当时，过点E作交的延长线于点F，过点B作于点G，利用勾股定理即可解答；当时，过点C作交的延长线于点F，证明，再，求出，即可解答． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：①作于点， ∵在中，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴(负值舍去)； ②∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得(负值舍去)， ∴，， 四边形的面积； 【小问3详解】 解：由已知得“中位折线”中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点E作交的延长线于点F，过点B作于点G， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， 在中，， ∴， 当时，如图，设相交于点，过点C作交的延长线于点F， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，“中位折线”的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上期九年级第二次学情调研试题 数学 时量：120分钟 总分：120分 温馨提示：数学试卷分为试题卷和答题卡两部分，本卷为试题卷，请在答题卡上按要求作答，书写在试题卷上的无效．考试结束时，请将试题卷和答题卡一并交回． 一．单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如果温度上升记作，那么温度下降记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 8. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当时， 9. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 12. 袋子中装有4个黑球2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同．在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，这个球为白球的概率是___． 13. 某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，王老师每周对各小组合作学习的情况进行综合评分．下表是各小组其中一周的得分情况： 组别 一 二 三 四 五 六 七 八 得分 90 95 90 88 90 92 85 90 这组数据的众数是_____． 14. 方程的根是________． 15. 如图，在中，，则的度数为___________． 16. 如图．在中，，．按以下步骤作图：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段，于点，；（2）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点；（4）过点画射线，与相交于点．当时，的长是________． 三．解答题（本大题共8个小题，第17题6分；第18、19题每小题8分；第20、21题每小题9分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 2026年央视总台春晚使用大量智能机器人助力表演．我校计划开展“春晚机器人·科技向未来”主题日研学活动，聘请专家开设五个专题讲座：A．机器人控制；B．人工智能；C．智能算法；D．机械结构；E．生活应用．为了解学生的研学意向，小鸣随机抽取部分学生进行调查（每名学生必选且只能选择其中一项），根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图如下． “春晚机器人·科技向未来”主题日学生研学意向调查结果统计图 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生人数为________人，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“D领域”所对应的扇形的圆心角为________度； （3）学校有800名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场讲座时间为90分钟．由下表可知，A、C、D三场讲座时间与场地已经确定．在确保听取讲座的每名学生都有座位的情况下，请你合理安排B、E两场讲座，在①②处补全此次活动日程表，并通过计算说明理由． “春晚机器人·科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（250座） 2号多功能厅（150座） D A C ②________ ①________ 设备检修暂停使用 20. 欢乐话剧团推出，两种票，购买8张种票，6张种票，共需3120元；购买1张种票比1张种票需多付40元．若种票的持票人数与种票的持票人数满足如图的函数图象（其中取正整数）． （1）请写出与之间的关系式； （2）据悉，看一场话剧持种票的有300人，求该场话剧收入的总额． 21. 项目化学习 项目背景：水龙头是日常生活中常见的设备，广泛应用于厨房、浴室等场所，主要用于控制水流的开关与调节．它不仅在家庭中起着基础作用，也在工业、医疗等领域有特定用途．综合实践小组的同学围绕“水龙头中的数学”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 水龙头中的数学问题 驱动问题 如何解决水龙头中的数学 活动内容 利用三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，，，三点共线，是水管，台面．是开关，可整体绕点上下旋转，且，． 数据测量 连接，，，，如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角． 交流展示 …… 请根据上述数据，计算问题 （1）求图2中的长度． （2）求图3中点到台面的距离． 22. 如图，在四边形中，，以为直径作交于点，交于点，平分，与相切于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 23. 如图1，抛物线经过点，对称轴为直线，与轴交于，两点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点，是抛物线上的两个点，．若，求的值； （3）如图2，已知直线与直线交于点，与，轴分别相交于点，，在第二象限内的抛物线上存在一点，使得，求点的坐标． 24. 定义：四边形一边的中点与它所在边的对边的两个端点的连线所形成的折线，叫做四边形的“中位折线”，“中位折线”与对边组成的三角形叫做四边形的“中位折三角形”，如图1，在四边形中，是边的中点，连接，，则由线段，组成的折线叫做四边形的“中位折线”，叫做四边形的“中位折三角形”． （1）如图2，在矩形中，点为边上一点，连接、，若为等腰三角形，，求证：为矩形的“中位折三角形”； （2）如图3，在平行四边形中，为的中点，，，求： ①的长； ②四边形的面积． （3）如图4，在平行四边形中，为的中点，若，且“中位折线”中的与平行四边形的一条对角线相等，求“中位折线”的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $