精品解析：四川省宜宾市南溪第一中学校2026届高三下学期冲刺关门卷数学

四川省宜宾市南溪第一中学校高2023级高三冲刺关门卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，则集合为（ ） A. B. C. D. 2. 在复数范围内，方程的两个根为和，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知实数，下列关系式：①；②；③；④.其中成立的关系式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 函数的部分图象如图所示，则（    ） A. 1 B. C. 3 D. 6. 已知，则被10除的余数为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 7. 已知抛物线的焦点为，过点 的直线与抛物线交于 两点，与抛物线的准线交于点（点 在轴上方）．若 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知两个变量与对应关系如下表： 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 样本数据的第60百分数为 D. 各组数据的残差和为 10. 在中，角的对边分别为，且，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，面积的最大值为1 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 11. 如图，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 若平面平面ABCD，则 B. 四棱锥的体积最大值为 C. 点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线是曲线的一条切线，则__________． 13. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______． 14. 已知椭圆与双曲线有相同焦点，记为，，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）讨论函数的极值； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围. 16. 下图是某校高三学生“运动与健康”评价结果的频率分布直方图，评分在区间，上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级；原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，假设每名学生复评结果相互独立． （1）若初评中甲获得C等级，乙、丙获得D等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为C等级的人数为，求的分布列和数学期望； （2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是B等级的概率． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱和棱上，且，． （1）设为中点，求证：面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到直线的距离． 18. 已知数列和满足：，，且． （1）求和的通项公式； （2）（i）求数列的前项和； （ii）试比较与的大小． 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，直线交于，两点，． （1）求的方程； （2）点在线段上，直线分别交于两点，直线交于点． （i）证明：； （ii）判断轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省宜宾市南溪第一中学校高2023级高三冲刺关门卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，则集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，根据补集运算的定义，即可得答案. 【详解】由题意得，且全集， 所以集合. 2. 在复数范围内，方程的两个根为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合一元二次方程的解可得方程的两根为，利用复数相等的定义求解即可. 【详解】由题知，，解得，所以两根为，化简为，所以，解得. 3. 已知向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量夹角公式及向量夹角的范围，求出与的夹角为锐角的充要条件，再结合条件，即可求解. 【详解】因为， 则， 由与的夹角为锐角，可得，解得且， 则“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件． 4. 已知实数，下列关系式：①；②；③；④.其中成立的关系式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】，故①正确；，故②正确； 由换底公式可得，，所以.又因为，所以，故③正确； ，故④错误. 所以成立的关系式有3个. 5. 函数的部分图象如图所示，则（    ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正切函数图像上零点与相邻渐近线的水平距离，利用公式求出，再结合图像过点与零点，利用正切函数零点满足，结合确定值，最后将和函数值及代入解析式，求得即可. 【详解】由图知，得到， 又由图知， 由，得到， 又，所以即， 由，得，所以. 6. 已知，则被10除的余数为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理化简原式，将问题转化为求除以10所得的余数，即可得. 【详解】， 由 ， 由于最后一项为，所以被10除的余数为9. 7. 已知抛物线的焦点为，过点 的直线与抛物线交于 两点，与抛物线的准线交于点（点 在轴上方）．若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】抛物线，由抛物线的标准形式，得，，故焦点，准线方程为． 设准线与轴的交点是，过点作垂直于直线于， 则，，由可得，所以，从而， 设直线的倾斜角为，由于点在 轴下方，则，所以． 所以，由抛物线的弦长公式， 故：． 8. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为与半圆的交点，结合图象求得和. 【详解】由解得，所以的定义域是. 由两边平方并化简得， 即，所以表示以为圆心，半径为的半圆. 由得， 的零点，也即与半圆的交点的横坐标， 与半圆的图象都关于直线对称， 画出与半圆的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有个交点，且两两关于直线对称， 所以的零点和为. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知两个变量与对应关系如下表： 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 样本数据的第60百分数为 D. 各组数据的残差和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A，根据样本中心点在回归方程上可判定B，利用百分位数的计算可判定C，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D. 【详解】对于A，由回归直线方程知：，所以y与x正相关，故A正确； 对于B，由表格数据及回归方程易知，故B正确； 对于C，，所以样本数据y的第60百分位数为，故C错误； 对于D，由回归直线方程知时对应的预测值分别为， 故对应残差分别为，显然残差之和为0，故D正确. 故选：ABD 10. 在中，角的对边分别为，且，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，面积的最大值为1 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A，通过正弦定理将角化为边的关系，结合余弦定理即可；对于选项B，将代入余弦定理可得，再次通过余弦定理即可求出；对于选项C，利用三角形面积公式结合基本不等式即可；对于选项D，通过正弦定理将表示为关于的三角函数，结合三角函数的性质即可求解； 【详解】对于A选项，由正弦定理，，是的外接圆的半径， 代入条件得，由余弦定理，， 又，故，故A正确； 对于B选项，将代入，得， 由余弦定理，，故，B错误； 对于C选项，若，由基本不等式可得 的面积， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为，C错误； 对于D选项，由， 得， 由，得，又为锐角三角形，所以， 所以，所以，故.D正确. 11. 如图，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 若平面平面ABCD，则 B. 四棱锥的体积最大值为 C. 点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A：因为平面平面，平面平面， 因为是中点，，所以， 所以，所以，平面， 所以平面，平面，所以，故A正确； 对于B：由已知梯形的面积为， ，直角斜边上的高为， 当平面平面时，四棱锥的体积取最大值，故B错误； 对于C：如图1，取的中点，则，平行且相等，四边形是平行四边形， 所以点的轨迹与点的轨迹形状完全相同，过点作的垂线，垂足为，， 点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆弧，从而的中点的轨迹长度为，故C错误； 对于D：如图2，的外接圆的半径为，是的中点，外接圆的半径为2， 是圆与圆的公共弦，，设三棱锥外接球心为O，半径为， 则， 因为，所以，所以的最小值为2， 所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，故D正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线是曲线的一条切线，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】曲线的导数为，设切点坐标为，则该点处切线斜率， 切线方程为，即， 对比已知切线方程得， 则，故，解得， 则． 13. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求，再由两角差的正切公式即可求解. 【详解】由题可知，则． 14. 已知椭圆与双曲线有相同焦点，记为，，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的性质，利用焦点相同构造相等关系，利用换元法，结合离心率的定义列出代数式，构造函数并求导，分析函数单调性及最小值点，进而求出最小值． 【详解】已知椭圆，则， 双曲线，则， 故，设，则， ， ， 令，求导得， 令，解得（舍去）或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故是极小值点，即为最小值点，， 故的最小值为3． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）讨论函数的极值； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合，讨论函数单调性，利用极值的定义即可求解； （2）通过分离参数，构造函数令，求导确定单调性，求得最值，即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，恒成立， 即函数在上单调递增，所以函数无极值； 当时，由得；由得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，无极小值， 综上：当时，函数无极值； 当时，函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 依题可知：不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则， 所以函数在上单调递减，则， 即函数在上单调递减，所以， 所以， 即实数的取值范围是. 16. 下图是某校高三学生“运动与健康”评价结果的频率分布直方图，评分在区间，上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级；原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，假设每名学生复评结果相互独立． （1）若初评中甲获得C等级，乙、丙获得D等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为C等级的人数为，求的分布列和数学期望； （2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是B等级的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）先判断的所有可能取值为0，1，2，3，然后利用独立和互斥事件概率公式，结合独立重复试验概率公式得到分布列，然后根据期望定义计算期望值；（2）利用条件概率公式，全概率公式和贝叶斯公式计算. 【小问1详解】 的所有可能取值为0，1，2，3， ， ∴的分布列如下： 0 1 2 3 P . 【小问2详解】 记“该学生复评晋级”，“该学生初评是B”，“该学生初评是C”，“该学生初评是D”， 则，且两两互斥， 根据题意得：， ， 由全概率公式可得： 所以. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱和棱上，且，． （1）设为中点，求证：面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到直线的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取BE的中点为G，连接，根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法，即可求得答案； （3）利用空间距离的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 取BE的中点为G，连接， 因为为中点，所以， 而，，则，，故， 所以，则四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 在直三棱柱中，，故两两垂直， 以所在直线为轴建立空间直坐标系， 由于， 故， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 , 故点到直线的距离为. 18. 已知数列和满足：，，且． （1）求和的通项公式； （2）（i）求数列的前项和； （ii）试比较与的大小． 【答案】（1）， （2）（i）；（ii）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用累加法求的通项公式，利用作商的方法求的通项公式； （2）（i）由于，利用裂项相加法求和； （ii）当时，，适当放缩可得证. 【小问1详解】 由， 得，，，，． 相加得， 解得． 又满足上式，因此有． 故，则，相除得， 又满足上式，因此有． 【小问2详解】 （i）由得， ， . （ii）因为，，所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 当时，．下面证明， ． 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，直线交于，两点，． （1）求的方程； （2）点在线段上，直线分别交于两点，直线交于点． （i）证明：； （ii）判断轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（i） 设，， 设直线，， 由可得：，解得， 同理联立和椭圆方程，可得， 所以直线的斜率为， 所以直线， 同理可得的斜率为，所以直线， 由可得， 又，所以； （ii）假设存在点，使得为定值， 即， 所以恒成立， 则，解得， 所以存在点，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）由条件得到在椭圆上，代入椭圆方程，结合即可求解； （2）（i）分别设，，，，通过联立椭圆方程，得到坐标，确定方程，进而得到坐标，即可求证，（ii）设，通过，得到恒成立，进而可求解. 【小问1详解】 依题意， 所以， 由直线交于，两点，， 可知点在椭圆上， 所以，解得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $