四川省宜宾市南溪第一中学校2026届高三基地班数学试题（一）

**基本信息** 聚焦函数、数列、立体几何等核心知识，通过食品保鲜时间计算（指数函数模型）、布娃娃促销概率决策（数据观念）、抛物线综合题（逻辑推理）等设计，考查数学抽象与模型构建能力，适配高三基地班模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、三角函数图像|第6题以食品保鲜时间为情境，考查指数函数应用| |多选|3/18|函数性质、二项式定理|第11题结合函数奇偶性与周期性，深化逻辑推理| |填空|3/15|向量投影、导数切线|第14题通过切线垂直关系，考查数学抽象| |解答|5/77|概率统计、立体几何、圆锥曲线|第15题以促销活动为背景，培养数据观念；第19题圆锥曲线综合，呼应高考命题趋势|

四川省宜宾市南溪第一中学校高2023级基地班数学高三试题（一） 班级 姓名 成绩 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C． D． 2．已知复数是虚部为正数的纯虚数，且满足，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 3. 已知，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 4. 已知，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间单位：小时与储存温度单位：满足函数关系为自然对数的底数，k，b为常数，若该食品在时的保鲜时间为120小时，在时的保鲜时间为15小时，则该食品在时的保鲜时间为　　 A. 30小时 B. 40小时 C. 50小时 D. 80小时 7. 若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（ ） A. 2或3 B. 2 C. 3 D. 4 8.若，数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 76 B. 38 C. 19 D. 0 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 是奇函数 C. 的最小正周期是 D. 图像的对称中心是 10.已知二项式的展开式中（       ） A．含项的系数为28 B．所有项的系数和为1 C．二项式系数最大的项是第五项 D．系数最大的项是第六项 11. 定义在上的函数满足，，为奇函数，函数满足，若与恰有2025个交点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 2为的一个周期 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 向量在上的投影向量是___________（用坐标表示）． 13. 已知，，若成立，则实数的取值范围是 . 14．已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 15. 某品牌布娃娃做促销活动：已知有50个布娃娃，其中一些布娃娃里面有奖品，参与者可以先在50个布娃娃中购买5个，看完5个布娃娃里面的结果再决定是否将剩下的布娃娃全部购买，设每个布娃娃有奖品的概率为，且各个布娃娃是否有奖品相互独立. （1）记5个布娃娃中有1个有奖品的概率为，当时，的最大值，求； （2）假如这5个布娃娃中恰有1个有奖品，以上问中的作为p的值.已知每次购买布娃娃需要2元，若有中奖，则中奖者每次可得奖金15元.以最终奖金的期望作为决策依据，是否该买下剩下所有的45个布娃娃； 16. 如图，在斜四棱柱，底面是边长为2的菱形，，且. （1）证明：平面. （2）若，，且平面与平面夹角的余弦值为，求. 17. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角C的值； （2）若AB边上的中线CD长为，求的面积； （3）求的取值范围． 18. 设为非零实数，数列满足，． （1）令数列． （i）证明：是等比数列； （ii）求数列的前项和； （2）若，记数列的前项和为，证明：． 19. 已知抛物线及抛物线，过的焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，.过的两条直线，与交于，，，四点，其中，在第一象限，若直线与轴的交点为. （1）求的方程； （2）若，求直线与轴的交点的坐标； （3）是否存在点，使得，，，四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 四川省宜宾市南溪第一中学校高2023级基地班数学高三试题（一）答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A A B C B A A B BCD BC ABD 12 13 14 2 8【答案】B 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以函数的图象关于点成中心对称， 所以，若，则. 由，得当时，， 两式相减得，整理得，即， 因为，，所以，即， 所以对任意正整数，都有， 所以数列常数列，故，即， 由得数列是等差数列， 所以， 故， 所以. 故选：B. 14 【答案】2 【详解】设函数在点和处的两条切线互相垂直， 如图，可得的零点为1，故不妨设，， 则，， 当时，，， 当时，，， 则，． 所以，即． 因为：，即， ：，即， 则，，因为，且， 故.故答案为：2. 15.【详解】（1）由题意可得， ， 令得.当时, ；当时, 的最大值点为,因此当时,取最大值. （2）由(1)可知， 设剩下45个布娃娃中有Y个奖品，获利为X元， 则，又. 因此 因此买下剩下所有的45个布娃娃 16.【小问1详解】 连接，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面， 同理可证，平面， 又，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 连接，交于点，底面是边长为2的菱形，，故为等边三角形，， 则，， 又因为，，所以≌，故， 所以⊥，又，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由勾股定理得，设， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令得，故， 又平面的一个法向量为，则， 17.【小问1详解】 因为，所以， 整理得. 因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，解得. 【小问2详解】已知，是边上的中线，所以， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得（1）. 由正弦定理，， 所以，又，所以， 所以， 所以， 将代入（1）整理得， 因为，所以，所以, 解得，又，所以， 所以是等边三角形， 【小问3详解】 由（2）， 所以. 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 即的取值范围为. 18【小问1详解】 证明：（i），， 由可得， 所以，则（常数）， 故数列为首项是，公比为等比数列． （ii）由（i）可知，于是． 若，则． 若，则 ． 两式相减可得： ， 上式两边同时除以得 ． 综上所述， 若，则； 若，则． 【小问2详解】 由（1）可知，故． 因为， 则令，， 则． 令， 则． 故在上递减，则． 故在上递减，则． 因此． 19.【小问1详解】 依题意可得，设，，则，， 设直线的方程为，由，得， 显然，所以，， 因为，所以， 即，所以，解得或（舍去）， 所以的方程为； 【小问2详解】 由（1）可得，因为过点，由条件可得的斜率不为， 设直线的方程为，，， 由，得，所以，所以， 设，，同理可得， 因为直线过点， 所以，由，，即，所以， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 令，得，即， 即，解得， 所以直线与轴的交点为. 【小问3详解】 由（2）可得，， 若，，，四点共圆，则有， 即， 即，所以，整理得， 因为，所以，由，即， 即，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $