广西南宁市第三中学2025-2026学年高二下学期月考（三）数学试题

南宁三中2025~2026学年度下学期高二月考（三) 数学试题 2026.6 命题人、审题人：孙威蓝日更林玲梁竹黄盛 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合A={-4,-2,0,2,4},B={xx2-2x-3>0,则A∩B=() A.{-2,0,2} B.{0,2} C.{4,-2} D.{-4,-2,4} 2.己知ab∈R,则1<a<b”是“a+b>2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数f(x)的定义域为(0,2]，则函数g(x)=f(x-1)n(x-2)的定义域为() A.（2,3) B.(2,3] c.(1,2] D.(1,3] 4.在(2-3x)的展开式中，含x的项的二项式系数为() A.24 B.216 C.6 D.16 5.已知某校高三学生在一次联考中的数学成绩X近似服从正态分布N(90,σ2)，从该校高三学生中任选 1人，其数学成绩不低于60分的概率为0.8，则P(90≤X≤120)=() A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.8 6.已知函数f)=5x+x,正数a,b满足f(@四+fb-1)=0,则上+4的最小值为() a b A.2 B.5 C.8 D.9 7.已知函数f(x)= o-5x1Ca,0a1.青对E宽实签，-，1拒成 logx+x+5a,x>1 X23-X 立，则a的取值范围是() B.(1,+0) e. D. 高二月考（三)数学试题第1页共4页 8.己知f()是定义在R上的奇函数，函数g(x)=(x-1)f(x)的图象关于点(1,0)对称，且满足 26 f)=2,则g(-1)=() A.-4 B.-2 C.2 D.4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若a>b>0,c<d<0,则() A.a-c>b-d B.ad>bc C.ab D.d-l、d c-1 c 10.已知随机事件4，B,C清足P(4)-片，P(®)=号，P(C)},P4U)-},则下列说法正确的 是() A.事件A,B相互独立 B.P(A B)=P(B A) c.若P(aC)=P(aC,则P(aC)=号 D.若P(CA)+PC=子，则P(4C) 11.设函数f(x)=n+x,则() 1-x A.f(x)是奇函数 B.f(x)是增函数 C.f(sin1)+f(1og23-2)<0 D.曲线y=2sinx与曲线y=f(x)有且仅有1个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知定义域为R的函数f(x)满足∫(2x-1)=+x,则f(x)的解析式为 13.两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给 同一个小朋友，则不同的分法共有种. 14.已知焦点为F的抛物线C:y=4x上有两点A和B,且∠AFB=150°，E为A和B的中点，过点E 作C的雅线的垂线，垂足为H,则>的最小值为 高二月考（三)数学试题第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题 17分，第19题17分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.小李和小张大学毕业后到西部创业，投入5千元（包括购买设备、房租、生活费等）建立了一个直播 间，帮助山区人民售卖农产品在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一 定的人气，试播一段时间之后，正式带货他们统计了第一周的带货数据如下： 第x天 1 2 3 5 > 销售额y(万元) 1.5 1.8 2.5 3.2 4.6 (1)求样本(s,y)i=1,2,,7)的相关系数（精确到0.01）： (2)用最小二乘法求出y关于x的回归方程)=bx+à（系数精确到0.01，并用精确后的b的值计算à 的值)，并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）. 2k-g-) 附：①相关系数r= i= E低-)2g- 回回归方程+a中的到率和截距的最小三采街计公试分别为方空4一以可 -,a=-i 列 ③∑(-x)-)=14.9,∑(%-y)'=826,28x826≈15.21.y=2.8 16.已知等比数列{a}的前n项和为Sn,且公比q≠1。数列{ 是公差为1的等差数列，若4=2b, a4-a3=12,S4+2S2=3S3. (1)求数列{a},{b}的通项公式： n （n为奇数)， B,(n+2) (2)设Cm= T为{cn}的前n项和，求Tm 2(为偶数)， 高二月考（三）数学试题第3页共4页 17.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面 PBC,PB=2PC=2,AB=AP,M,N分别为BP,AD的中点，且PC⊥MN. (I)证明：PC⊥AD; (2)若△ABP为等边三角形，求直线MN与平面PAC所成角的正弦值. 18设橘C:普+芳-1a>b0)的左有华点分别为，片，下预友为5，直线以的方程为 x-y-b=0. (1)求椭圆C的离心率： (②设P为椭圆上异于其顶点的一点，P到直线职的距离为、√，且三角形PRR的面积为} (i)求椭圆C的方程： (i)若斜率为k(k>O)的直线l与椭圆C相切，过焦点耳，E,分别作M⊥1，N⊥1，垂足分 别为M,V,四边形M邓的面积为4V ,求直线的方程. 3 19.己知函数fy=-1-ai血x(aeR). (1)若a=4,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程： (2)讨论函数f(x)的单调性： 不等式+月” ≤e对任意neN恒成立，求实数a的取值范围. 高二月考（三）数学试题第4页共4页 南宁三中2025~2026学年度下学期高二月考（三) 数学试题参考答案 1.D【详解】解不等式x2-2x-3>0得x<-1或x>3,.B={xx<-1或x>3}.∴.A∩B={-4,-2,4. 2.A【详解】若b>a>1,则a+b>2,是充分条件，若a+b>2,则推不出b>a>1,比如：a=2,b=0.5 也可以，所以“1<a<b”是“a+b>2的充分不必要条件 0<x-1≤2[1<x≤3 3.B【详解】由函数∫(x)的定义域为(0,2]，所以函数g(x)要有意义则： x-2>0→{>2°，解 得：2<x≤3，所以函数8(x)的定义域为：(2,3]. 4.C【详解】x的项的二项式系数为C=6.故选：C 5.B【详解】因为P(X≥60)=0.8，P(X>90)=0.5,所以P(60≤X≤90)=0.8-0.5=0.3.由对称性可 知P(90≤X≤120)=P(60≤X≤90)=0.3. 6.D【详解】因为函数f(x)=5x3+x的定义域为R,f(-x)=5(x)-x=-(5x3+x-∫)，所以f() 是奇函数：又f(a)+f(b-1)=0,所以f(=-f(b-1)=f1-b),又f'(x)=15x2+1>0,所以f(x) 在R上单调递增，所以a=1-b,即a+b=1:又a,b均为正数，所以 台会侣》a+外是铅2侵车9，当H取当会名，回a=兮时得号 3 成立，故上+4的最小值为9，故D正确。 a乃 7.D【详解】由5≠，不妨假设5<5：则，)-f)1,即f5)∫s)>5-5,即 2- f(x)->f()-5,则函数g(x)=f(x)-x单调递增，g(x)= (3a-2)x+5,x≤1 log。x+5a,x>1 ,(a>0且a≠1)， 3a-2>0 则}a>1 3 ,解得：a≥三.故选：D 3a-2+5≤log1+5a 8.D【详解】因为函数g(x)=(x-1)f(x)的图象关于点(1，O)对称，则g(x)=-8(2-x),即 (x-1)f(x)=(x-1)f(2-x),当x≠1时，则f(x)=f(2-x),且f(1)=f(2-1),可知f(x)=f(2-x) 对任意x∈R恒成立，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，则∫(O)=0,f(x)=-f(-x),可得 高二月考（三）数学答案第1页共8页 f(2-)=-f(-x),即f(2+x)=-(x),则f(4+)=-f(2+x),得f(4+x)=f(x),可知4是f(x) 的一个周期，f(2)=f(2+0)=-f(0)=0,f(x)+f(2+x)=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(3)+f(2)+f(4)=0+0=0,所以 2f@=6[f0)+f(2)+3)+f(4]+f0+f(2)=f0),又因为2f)=2,即f=2,可得 f(-1)=-f)=-2,所以g(-1)=(-1-1)f(-1)=-2×(-2)=4. 9.AD【详解】选项A:由c<d<0,两边同乘-1得0<-d<-c,结合a>b>0,根据不等式性质：若 m>n,卫>q,则m+p>n+q,可得a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d,所以选项A正确.选项B: 取特值a=3,b=1,c=-3,d=-2,则ad=-6,bc=-3,此时ad<bc,所以选项B错误.选项C: 已知a>b>0,c<0,设幂函数y=x,因为c<0,所以幂函数y=x在(0，+o)上单调递减，根据 幂函数的单调性，可得d<,所以选项c错误选项D:对d-l_进行通分： c-1 c d-1dc(d-l)-dc-lcd-c-cd+dd-c,因为c<d<0,所以d-c>0,c<0,c-l<0, c-1cc(c-1) c饣-1)c-1) 期cc-小>0所以品之0，即名0，所以2所以选项D确 c-1 c c-1 c 10,AGD【详解】利用藏车加铁公式：由P1U)=P国+P-P),代入PA)-号P()-号 P4®)得：P()号号品又PdP(e)号后所以算P利P=P, 所以事件A,B相互独立，故A正确；根据条件概率公式计算： 2. P(AB)= 得每-Pg卓号，则Pa8P,黄B:白 3 P(4C)-P(ac.且P(C)-Pac+P(aC).为P(C)-2P(4C.因为P(c)-所以Pac)名 即P(AC)= 成e心4e团-：e手 P(AC)-6=1 P(C) 代入P(-片，p(团)-子，可得3(C4+P(C网-号-18P(CA)+9p(C-4,又因为 P(CA)+P(C)-P(C)},两式消元解得： l8P(CA+9GP(CA)=4⊙9p(C)-1→P(C4),放D正确 高二月考（三）数学答案第2页共8页 山.ABD【详解】由数(-h的定义域：}兰0，(+1x-1<0,得1≤<1，即函数 1-x f的定义城为1对于A)=h到-n作=-h售-1a.满起奇酒数 定义，A正确：对于B:化简f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),因为函数y=h(1+x)在(-1,1)上单调递 增，函数y=ln(1-x)在(-1,1)上单调递减，由函数的性质得函数∫(x)=ln(1+x)-ln(1-x)在(-1,1) 单调递增，故B正确：对于C,由奇函数性质，f(1og23-2)=f(-(2-log23)=-f(2-1og23),所 以不等式fml+f0s,3-2)<0可化为：ml<f2-g).ml>sm名 2e3-2-1@e,5<2-g8=2分，所以m1>2-1e3,又因为f(在(-上单调 递增，得f(sin1)>f(2-log3),故原不等式错误，故C错误：对于D,设 g(x)=2sinx-f(x),x∈(-1,1)，因为y=2sinx,y=f(x)均为奇函数，所以g(x)是奇函数，只需分 析x∈[0,1)：当x=0时，g(0)=0,即x=0是一个交点；当x∈(0,1)时，求导得 g=20---o-7]-2cox72=2oax] 为r∈(0，，所以c0sr<11->≥1，所以g（(四0，所以g(在(0,1)上单调递减，8(8(o)=0, 因此g(x)在(0,1)无零点：因为g(x)是奇函数，所以g(x)在(-1,0)无零点，因此函数g(x)在(-1,1) 有且仅有1零点，故D正确. 12.()-女+【详解1设1=2x-1,则x=生，代入f2-=+,得 3 4 3 13.30【详解】把两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，有 CA=36种分法，其中两本图画书分给同一个小朋友的分法有A=6种，故两 本图画书不分给同一个小朋友的分法有36-6=30种故答案为：30 14.2+√5【详解】设AF=a,BF=b,作AQ垂直抛物线的准线于点2，BP垂 直抛物线的准线于点P.由抛物线的定义，知AF=Ag,BF=BP,根据中位 高二月考（三）数学答案第3页共8页 线定理以及抛物线定义可得BHa+b),由余弦定理得 h=a+6-3co时50a48+=白+bE的，又， a+b矿--月)ba+-2a+b矿-2a+矿，当议当a=6时等号， AB 2+5(a+b h249ao, 4 7的最小值为2+V5. =2+5,即B 15.(1)0.98(2))=0.53x+0.68,4.92万元 【详解】1)由题意，得=1+2+3+4+5+6+74，…1分 7 三飞-=0-4+2-到2+6-4+4-4+6-4+(6-492+(7-4到2=28…3分 6-y-) 14.9 14.9 所以r= 会8可空g时 V28x82615.2098,6分 所以样本(：，y)(i=1,2,7)的相关系数约为0.98.7分 (2)因为∑（年-x(y-)=149,∑：-x)=28, i=1 i-1 防以6.盈0s到 7 14.9 ≈0.53...10分 4-列 28 又=4，=15+18+2+25+32+4+4.628， 7 所以à=-br=2.8-0.53×4=0.68,11分 所以回归方程为少=0.53x+0.68,..12分 当x=8时，=0.53×8+0.68=4.92，所以预测第8天的销售额为4.92万元..13分 16,0-:么=i@2”十引 【详解】(1)设等比数列{an}的公比为9，且q≠1，前n项和为Sn, 由a4-a2=12,S4+2S,=3S,得a1g-aq=12,1分 40-9）+2.40-q）-3.a1-9） 1-q 1-q 1-q 2分 高二月考（三)数学答案第4页共8页 解得4=2，q=2，所以a,=2”.4分 又因为a=2b,=2,所以b=1 是公差为d=1的等差数列， 即有b=1+(n-1)=2,可得6=2.…6分 n n为奇数)， 1 b(n+2) n为奇数， (2)cn= 即为Cn={n(n+2) .8分 2(内偶数)， 2l-",n为偶数 Tm=(G+C3++C2m1)+(C3+c4+…+C2n） 1+1 (2-1)(2n+1) ..12分 1-1 4 如1头)0 15分 17.【答案】(1)证明见详解：（②亏 【详解】(1)证明：如图，连接AM ,AB=AP,M为PB的中点 .AM⊥PB. …1分 又平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=BP,ANC平面PAB, 故AM⊥平PBC.. …2分 .PCC平面PBC, .AM⊥PC. 3分 又.'PC⊥MN,且AM∩MN=M,AM,MNc平面AMD, PC⊥平面AD........4分 而ADC平面AMD .PC⊥AD. .5分 (2)由△ABP为等边三角形，PB=2,得AM=√3， 高二月考（三）数学答案第5页共8页 如图，过C作A的平行线z轴，结合1)知z轴，CB,CP两两垂直，故可建立如图所示的空间 直角坐标系C-2.6分 B0V3,0.7分 C乎=1,00) .8分 设n=(x,y,)为平面PAC的一个法向量， n.CA=0 [13 则 ”,得21 n.CP=0 +5：=0，取y=2,得：=-1，则n=0.2,-》…1分 x=0 因为N为AD的中点，所以成=，而=丽=Q-50。 2 2 则cosN,元= M.i_-234 网i5x5 5，设直线N与平面PAC所成角为日， 2 则sin0CosN列E{14分 4 故直线MN与平面PAC所成角的正弦值为 15分 18.【详解】(1)由已知耳（亿，0），则c=b.--1分 a2=2c2,---2分 e。2,-3分 (2)①设点P6,6）,于是凸治-4-V,…4分 √2 所以-。-3动=0或6-%+b=0,-5分 卡必无锅用到7分 「x-y-3b=0 又因为三角形P明5面积S=分2bx兮0=有所以6=1,8分 1,1 2 于是，椭圆的方程为号+y2=1.-9分 (i)设直线l:y=c+m代入椭圆C的方程x2+2y2=2中，得（2k2+1)x2+4ax+2m2-2=0-10 分 由已知△=0，即m2=22+1--11分 高二月考（三）数学答案第6页共8页 ‖EM-EM ---14分 V1+k2 k 易知四边形Wr为梯形， 2kal。2ml2hul-42T 所以专34K02两1，与号5分 2 解得=√2，-16分 所以k= 旷所以，直线的方是为y号士5.7分 2 19.(1)2x+y-2=0 (2)当a≤2时，函数f(x)的增区间为(0，+o),无减区间； 当a>2时，函数f(x)的减区间为 a-va-4 a+a-4 2 2 增区间 a-va2-4 0,2 ai-i.o品 【详解】(1)当a=4时，f)=-1-4血x=x-4hx1则了0)=1-4h1-1=0,…1分 f()=1-4+,则f四=1-4+1=-2,2分（求导对给这一分） x 所以当a=4时，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-2(x-1), 即2x+y-2=0.--3分 (2)函数f=-1-a血x=r-t的定义域为0，+)， 则f"x)=1-0+1=2-m+1 -4分 x2 当a≤0时，对任意的x>0,f'(x)>0恒成立， 此时函数f(x)的增区间为(0，+o),无减区间： 当a>0时，对于函数y=x2-ax+1,△=a2-4. 若△≤0时，即当0<a≤2时，对任意的x>0,f'(x)≥0， 此时函数f(x)的增区间为(0，+o),无减区间：--6分 高二月考（三）数学答案第7页共8页 若△>0时，即当a>2时，由f'(y)<0可得4--4<x<a+后-4 2 2 由f'()>0可得0<x<0=-4或x>a+®-4 2 2 a-a-4a+a2-4 此时函数∫(x)的减区间为 2 2 a-va2-4 增区间为 atva-4 0, --8分 2 综上所述，当a≤2时，函数f(x)的增区间为(0，+o),无减区间； 当a>2时，函数f(x)的减区间为 a-va-4 a+va-4 2 2 增区间为 8+Nd-4o0-9分 3)因为不等式1+月广se对任意meN恒成立，则-ah1+}1,-10分 1 1 因为nN,则1+1，所以1+>0，则”a a≥n- n +1分 令t=1+1e1,2],所以a2 11 t-1 Int' -12分 }2 o0石1e小周o --13分 令p0=1+}(-2,其中te,2, 勇p0-1片长214分 由(2)知，当a=2时，函数f()=x2hx在(0，+)上为增函数。 因为te(12],则f0)=t-}2nt>f0)=0, 所以w02r小0， 即函数90=1+子（血-2在12]上为增函数，-15分 此时p(④>9)=0，则M(④= t+}-(t)2-2 ->0,16分 所以西数he在2]上单润道增，则h0.-12所以a≥1 1 In2' 故实数a的取值能围是一立+》 -17分 高二月考（三）数学答案第8页共8页