专题02 计数原理与统计案例（5大考点期末真题汇编，黑龙江专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦计数原理与统计案例5大高频考点，汇编黑龙江多校期末试题，基础题型与实际应用情境结合，适配高二期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|约18题|排列组合（有限制排列、分组分配）、二项式定理（系数计算）、回归方程（相关性判断）|结合旅游路线、志愿者选拔等现实情境，基础题占比高| |多选题|约8题|排列组合（相邻不相邻问题）、回归方程（残差分析）|考查概念辨析，如相关系数与决定系数意义| |填空题|约8题|排列组合（男女生选法）、杨辉三角（数字规律）|注重简洁计算，如“男女生都有的选法”直接应用组合公式| |解答题|约11题|回归方程（药物浓度预测）、独立性检验（性别与喜好关联）|强调实际应用，如用回归方程预测第6次药物浓度，独立性检验分析公司准时率|

专题02 计数原理与统计案例 地 城 考点01 排列组合 一、单选题 1．C. 2．B． 3．B 4．B 5．D 6．C 7．D． 8．D. 9．B. 10．D 11．C. 二、多选题 12．AC 13．ACD 三、填空题 14．96 15． 16．24 四、解答题 17．【详解】第一步从4种样式的上衣中取一件，有4种办法； 第二步从3种样式的裤子中取一件，有3种办法； 所以共有种不同的不同样式. 地 城 考点02 二项式定理 一、单选题 1．B. 2．D 3．C. 二、多选题 4．ABD. 5．ABD 6．AC． 三、填空题 7． 8． 9．． 10．12. 四、解答题 11．【详解】（1）因为的二项展开式的各二项式系数之和为32， 则，解得. （2）由（1）知，所以二项式为， 其通项公式为. 令，则. 所以展开式的常数项为1. 地 城 考点03 杨辉三角 一、单选题 1．D 二、填空题 2．. 地 城 考点04 回归方程 一、单选题 1．A 2．C 二、多选题 3．BD 4．BC. 5．BCD． 三、解答题 6．【详解】（1）由题，可得，， ， 所以样本相关系数， 因为样本相关系数的绝对值接近1，所以它们具有较强的线性相关性. （2）由（1）中的数据可得， ， 所以关于的经验回归方程为， 所以当时，. 所以预测第6次测试血液中的药物浓度为. 7．【详解】（1）由题意得，， ， ，， 因此相关系数. 即相关系数近似为，与负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系； （2）由（1）中数据，得，， 所以关于的回归方程为. 8．【详解】（1）由数据，，， 而，， 所以，则， 综上，回归方程为， 当时，，故2016年地区生产总值残差为. （2）根据相关指数越大拟合越好，由于，故模型较好， 因2023年对应，则亿元. （3）由（2）及题设知：该市人均地区生产总值， 令，且，若， 所以， 而且，则，故， 所以在上递增，则在上递增， 所以该市人均地区生产总值逐年递增. 9．【详解】（1）因为每天的出租率为0.2，所以每天闲置的概率为， 所以3天中至少有2天闲置的概率． （2）（i）根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近的图象， 故的拟合效果更好． 依题意，，， 所以， 所以， 所以经验回归方程为． （ii）设旅游淡季民宿租金为，则淡季该民宿的出租率， 所以该民宿在这280天的收益为： ， 所以． 令，得， 所以， 且当时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值． 所以旅游淡季民宿租金定为181元时，该民宿在这280天的收益达到最大． 地 城 考点05 独立性检验 一、单选题 1．C 二、解答题 2．【详解】（1）根据题意，填表如下： 准时到校天数 未准时到校天数 合计 通达 8 2 10 运达 12 8 20 合计 20 10 30 （2）根据表格中的数据求得： . 因为小概率值时对应的临界值未. 因为，所以根据独立性检验，没有充分证据表明校车早上准时到校与校车所属的公司有关. 3．【详解】（1）依题意，从200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的概率为0.6， 则喜欢游泳的有（人），不喜欢游泳的有（人）． 补全列联表如下： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男生 80 60 140 女生 40 20 60 合计 120 80 200 零假设：喜欢游泳与性别无关， 计算得到 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断，不成立， 所以认为成立，即喜欢游泳与性别无关． （2）按分层随机抽样，设女生x名，男生y名，则，解得，， 从不喜欢游泳的学生中抽取女生2名，男生6名，随机变量X的可能取值为0，1，2， ，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望. 4．【详解】（1），所以可以认为购买AI手机与顾客的性别有关. （2）根据题意可能取值为： ； ； ； ； ； 的分布列为 的期望. 5．【详解】（1）由已知得：，，，，， 所以 ， 与的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合与的关系， ，， 故关于的经验回归方程为：． （2）列联表如下所示： 性别 网红景点 总计 喜欢 不喜欢 男 70 30 100 女 40 60 100 总计 110 90 200 零假设为：游客是否喜欢该网红景点与性别无关联， 根据列联表中数据，， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为游客是否喜欢该网红景点与性别有关联． 6．【详解】（1）依题意可得， ， ， ， 所以， 所以， 所以. （2）依题意可得列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男 70 30 100 女 40 60 100 合计 110 90 200 所以， 依据的独立性检验，能认为“顾客是否喜欢该网红螺蛳粉与性别有关”． 7．【详解】（1）因为，且，， 故，故. （2）记事件为 “由AI生成的文本”， 为“由人类撰写的文本”， 为“被检测系统识别为人类撰写的文本”， 由题意知，，，，， 由全概率公式知： ， 即该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率约为. （3）AI生成的篇数为，人类撰写的篇数为， 真实AI生成且被识别为AI生成的篇数， 真实人类撰写且被识别为人类撰写的篇数， 故列联表为： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 29 1 30 真实人类撰写（篇） 6 164 170 总计 35 165 200 零假设为：分类变量相互独立，即“检测结果”与“文本真实性”无差异. 由列联表数据计算得，， 所以依据小概率值的独立性检验，可以判断“检测结果”与“文本真实性”有差异. 8．【详解】（1）， ∴  ∴， 由于n为10的整数倍  ∴样本容量n的最小值为40. （2）甲赢得比赛的概率为， 方案一的分布列为： X 3 P 方案二的分布列为： Y 1 0 P 故；， ∴（）， ∴ ∴单调递增， ∵时 ∴，∴ ∴选择方案一，使得甲获得积分的数学期望更大. （3）由题可知：，， ∴，且，∴为等比数列. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 计数原理与统计案例 5大高频考点概览 考点01排列组合 考点02二项式定理 考点03杨辉三角 考点04回归方程 考点05独立性检验 地 城 考点01 排列组合 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)已知，那么（    ） A．5 B．9 C．10 D．11 2．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)已知，则x的取值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A．243 B．252 C．261 D．279 4．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为 A．35 B．50 C．70 D．100 5．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)若3个班分别从6个风景点中选择一处浏览，则不同选法是（    ）种． A． B． C． D． 6．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)从5名学生中挑选2人，分别担任两个学科的课代表，则不同的安排方案有（    ）种 A．25 B．10 C．20 D．15 7．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（    ） A．20 B．55 C．30 D．25 8．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲､乙､丙､丁这四个景区进行体验式旅游已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线的条数为（    ） A．24 B．18 C．16 D．10 9．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)将标有1，2，3，4的4个不同的小球分给甲、乙、丙3位同学，每位同学至少有1个球，则1号球分给甲的不同分配方式共有（    ）种. A．6 B．12 C．24 D．36 10．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 11．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 二、多选题 12．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)（多选）有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（     ） A．共有种不同的排法 B．当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C．当2名教师不相邻时，共有种不同的排法 D．当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 13．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)（多选）下列命题中，正确的命题是（    ） A．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为 B．在三位数中，形如“ ”的数叫做“对称凹数”，如：，，，则在所有三位数中共有个对称凹数 C．北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有150种 D．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有36个 三、填空题 14．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有______种.（用数字作答） 15．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有________种． 16．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，有________种不同的选法． 四、解答题 17．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)某服装厂为学校设计了4种样式的上衣、3种样式的裤子．若取其中的一件上衣和一条裤子配成校服，则可以配出多少种不同样式的校服？ 地 城 考点02 二项式定理 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)的展开式的第二项的二项式系数为（    ） A．10 B．5 C． D． 2．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)若，则（   ） A．256 B．127 C．128 D．129 3．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)若的展开式中常数项等于，则其展开式各项系数之和为（   ） A．1 B．32 C．0 D．64 二、多选题 4．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)（多选）已知二项式，则其展开式中（   ） A．的系数为84 B．各项系数之和为 C．二项式系数之和为 D．二项式系数最大项是第4或5项 5．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)（多选）已知展开式的所有二项式系数之和为256，若 ，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)（多选）关于的展开式的说法中正确的是（    ） A．各项的系数之和为 B．二项式系数的和为64 C．展开式中无常数项 D．第4项的系数最大 三、填空题 7．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)写出的展开式的是____________. 8．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)若，则______. 9．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)在的展开式中，x的系数为______． 10．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)的展开式中的系数为_____. 四、解答题 11．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)已知的二项展开式的各二项式系数之和为32. (1)求是多少？ (2)求展开式中的常数项为多少？ 地 城 考点03 杨辉三角 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ）． A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 二、填空题 2．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.题图为“杨辉三角”的一部分（如图），记第n行的第i个数为，则______.    地 城 考点04 回归方程 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)通过随机抽样，收集了若干朵鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的回归方程为，根据以上信息，下列命题正确的是（   ） A．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cm B．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8642 C．花瓣长度和花萼长度负相关 D．花瓣长度和花萼长度存在一次函数关系 2．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)（多选）下列说法正确的是（   ） A．决定系数越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 B．经验回归方程相对于点的残差为 C．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“x与y没有关联” D．样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 4．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)（多选）已知变量x，y经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其线性回归方程为，下列说法正确的是（    ） A．若相关系数的值越大，则成对样本数据的线性相关程度超强 B．若相关系数，说明变量x，y线性相关程度较弱 C．相关指数的值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好 D．残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好 5．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)（多选）有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法错误的是（    ） A．残差平方和变小 B．相关系数r变小 C．决定系数变小 D．解释变量x与响应变量y的相关性变弱 三、解答题 6．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)为了解某种中成药的疗效，某研究员统计了患者服药后血液中药物浓度（单位：）与测试次数（单位：次，每次测试间隔时长相等）的对应数据如下表： 测试次数（单位：次） 1 2 3 4 5 药物浓度（单位：） 120 105 90 80 55 (1)计算样本相关系数（保留三位有效数字），判断它们是否具有较强的线性相关性. (2)求关于的经验回归方程，并预测第6次测试血液中的药物浓度. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；样本相关系数. 参考数据：，，. 7．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)某骑行爱好者近段时间在专业人士指导下对骑行情况进行了统计，各次骑行期间的身体综合指标评分与对应用时（单位：小时）如下表： 身体综合指标评分（） 1 2 3 4 5 用时（/小时） 10 8.5 8 7 6.5 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数如以说明； (2)建立关于的回归方程. 参考数据和参考公式：相关系数，，，. 8．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提到，新时代十年我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，我国经济总量稳居世界第二位.建立年份编号为解释变量，地区生产总值为响应变量的一元线性回归模型，现就2012-2016某市的地区生产总值统计如下： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 年份编号 1 2 3 4 5 地区生产总值（亿元） 2.8 3.1 3.9 4.6 5.6 (1)求出回归方程，并计算2016年地区生产总值的残差； (2)随着我国打赢了人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，该市2017-2022的地区生产总值持续增长，现对这11年的数据有三种经验回归模型、、，它们的分别为0.976、0.880和0.985，请根据的数值选择最好的回归模型预测一下2023年该市的地区生产总值； (3)若2012-2022该市的人口数（单位：百万）与年份编号的回归模型为，结合（2）问中的最佳模型，预测一下在2023年以后，该市人均地区生产总值的变化趋势． 参考公式：，； 9．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地．某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率，设民宿租金为（单位：元/日），得到如图的数据散点图． (1)若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的3天中至少有2天闲置的概率． (2)（i）根据散点图判断，与哪个更适合此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求经验回归方程． （ii）若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出的日常支出成本．试用（i）中模型进行分析，旅游淡季民宿租金定为多少元时，该民宿在这280天的收益达到最大． 附：记，，，，， ，，，，，． 地 城 考点05 独立性检验 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 二、解答题 2．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)某市学生校车由“通达”和“运达”两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了两家公司30天校车早上是否准时到校情况，并统计了如下列联表： 准时到校天数 未准时到校天数 合计 通达 8 2 运达 12 8 合计 30 (1)填写上述表格. (2)根据小概率值的独立性检验，判断校车早上准时到校与校车所属的公司是否有关？ 附， 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 3．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)为了调查学生喜欢游泳是否与性别有关，某学校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男生 80 女生 20 合计 已知在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的概率为0.6． (1)请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析喜欢游泳是否与性别有关； (2)从上述不喜欢游泳的学生中用分层随机抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 4．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了100位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表： 购买AI手机 购买不带AI的手机 总计 男性顾客 40 70 110 女性顾客 60 30 90 总计 100 100 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为购买AI手机与顾客的性别有关？ (2)为提升AI手机的销量，该手机商城针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买AI手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.010 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 5．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)文旅部门统计了某网红景点在2024年3月至7月的旅游收入（单位：万元），得到以下数据： 月份 3 4 5 6 7 旅游收入 10 12 11 12 20 (1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的经验回归方程；若不可以，请说明理由；（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则没有很强的线性相关性） (2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 性别 网红景点 总计 喜欢 不喜欢 男 100 女 60 总计 110 参考公式：相关系数，经验回归方程：，其中，，，其中． 参考数据：． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 6．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)某网站统计了某网红螺蛳粉在2022年9月至2023年2月（月份代码为1~6）的销售量y（单位：万份），得到以下数据： 月份代码x 1 2 3 4 5 6 销售量y 6 7 10 11 12 14 (1)由表中所给数据求出关于的经验回归方程； (2)为调查顾客对该网红螺蛳粉的喜欢情况，随机抽查了200名顾客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并判断依据的独立性检验，能否认为“顾客是否喜欢该网红螺蛳粉与性别有关”． 喜欢 不喜欢 合计 男 100 女 60 合计 110 （参考公式：经验回归方程：，其中，） ，其中． 临界值表： 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 7．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）.y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成. (1)求回归系数； (2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）； (3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 真实人类撰写（篇） 总计 200 依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？ 参考公式： 提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 8．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末)为了了解某市高中生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市的高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表： 性别 关注度 合计 关注 不关注 男生 女生 合计 n (1)依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与性别有关，求样本容量n的最小值； (2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注度，举办了一次航天知识闯关比赛，采用三局两胜制，每局2名选手参加比赛，为了增加比赛的趣味性，设置两种积分方案：方案一：最终获胜者得3分，失败者扣除2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分．若每局甲获胜的概率为p，输的概率为，每局比赛结果是相互独立的．请讨论选择哪个方案，使得甲获得积分的数学期望更大； (3)经过比赛后，高中生对航天事业的关注度持续变化，每年关注的比例会按照以下规律变化：每年原本关注的学生中，有会转为不关注；每年原本不关注的学生中，有会转为关注．初始比例关注航天事业的学生比例为，记第n年时，关注航天事业的学生比例为，证明：数列是等比数列． 附： 0.1 0.05 0.0025 2.706 3.841 5.024 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 计数原理与统计案例 5大高频考点概览 考点01排列组合 考点02二项式定理 考点03杨辉三角 考点04回归方程 考点05独立性检验 地 城 考点01 排列组合 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)已知，那么（    ） A．5 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用排列数公式计算可得答案. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：C. 2．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)已知，则x的取值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用组合数的性质求解即可. 【详解】因为， 所以或，解得． 经检验，满足题意. 故选：B． 3．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A．243 B．252 C．261 D．279 【答案】B 【详解】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252． 4．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为 A．35 B．50 C．70 D．100 【答案】B 【详解】分析：排列组合题目，先分配：（42，33），再选排，最后根据加法原理求结果. 详解：若两辆汽车人数分别为4人与2人，则排列数为 若两辆汽车人数分别为3人与3人，则排列数为 因此不同的乘车方法数为选B. 5．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)若3个班分别从6个风景点中选择一处浏览，则不同选法是（    ）种． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】每个班都有6种选法，由分步计数原理可得结果. 【详解】解：由题意可知，每个班都有6种选法，则由乘法原理可得共有种方法 故选：D 6．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)从5名学生中挑选2人，分别担任两个学科的课代表，则不同的安排方案有（    ）种 A．25 B．10 C．20 D．15 【答案】C 【分析】利用排列的知识求解即可. 【详解】从5名学生中挑选2人，分别担任两个学科的课代表， 共有种安排方案. 故选：C 7．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（    ） A．20 B．55 C．30 D．25 【答案】D 【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从2名教师和5名学生中选出3人的选法，再计算其中“入选的3人没有教师”的选法数目，分析可得答案． 【详解】解：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有种选法， 若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有种， 则有种不同的选取方案， 故选：D． 8．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲､乙､丙､丁这四个景区进行体验式旅游已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线的条数为（    ） A．24 B．18 C．16 D．10 【答案】D 【分析】小李可选的旅游路线分两种情况：① 最后去甲景区旅游，可的路线有条；② 不最后去甲景区旅游，可选路线有条. 【详解】解：小李可选的旅游路线分两种情况：① 最后去甲景区旅游，则可选的路线有条；② 不最后去甲景区旅游，则可选的路线有条. 所以小李可选的旅游路线的条数为. 故选：D. 9．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)将标有1，2，3，4的4个不同的小球分给甲、乙、丙3位同学，每位同学至少有1个球，则1号球分给甲的不同分配方式共有（    ）种. A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】B 【分析】先将1号球分给甲，再分情况求解即可. 【详解】由题可先将1号球分给甲，再将情况进行分类： 第一类，甲只有一个球，则另外三个球分给乙和丙两位同学，有种方法， 第二类，甲有两个球，则需要将其余3个球分发给3位同学，方法数有种， 所以共有种分法. 故选：B. 10．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 【答案】D 【分析】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解. 【详解】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2． 当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法． 故不同安排方法有种． 故选：D. 11．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 【答案】C 【分析】结合分类加法和分步乘法计数原理，利用组合数即可求得. 【详解】若恰有1名女生参加，则有种， 若恰有2名女生参加，则有种， 所以共有种不同的选派方式． 故选：C. 二、多选题 12．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)（多选）有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（     ） A．共有种不同的排法 B．当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C．当2名教师不相邻时，共有种不同的排法 D．当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 【答案】AC 【分析】对于选项A，根据全排列的排列数进行求解；对于选项B，利用捆绑法和分步乘法计数原理进行求解；对于选项C，利用插空法和分步乘法计数原理进行求解；对于选项D，利用分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】对于选项A：3名学生和2名教师共5个人进行全排列，有种排法，所以A正确； 对于选项B：将2名老师看成一个整体，与3名学生全排列，有种排法， 2名教师内部有种排法，共有种排法，所以B错误； 对于选项C：3名学生全排列有种排法，形成4个空位，2名教师插入4个空位有种排法， 共有种排法，所以C正确； 对于选项D：从3名学生选2名学生排在两端，有种排法，剩下3人全排列有种排法. 共有种排法，所以D错误. 故选：AC. 13．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)（多选）下列命题中，正确的命题是（    ） A．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为 B．在三位数中，形如“ ”的数叫做“对称凹数”，如：，，，则在所有三位数中共有个对称凹数 C．北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有150种 D．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有36个 【答案】ACD 【分析】设该学校的学生数为，得出该校学生有人近视，有人学生每天玩手机超过1，有人学生每天玩手机不超过1，每天玩手机超过1的近视的学生人数为，可得每天玩手机不超过1的近视的学生为，从而可判断A；利用列举法可判断BD；5名同学分三组有和两种分法再计算每种情况的安排分法可判断C. 【详解】对于A，假设该学校的学生数为，因为该校学生大约40%的人近视，所以该校学生大约有人近视，因为该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，所以该校大约有人学生每天玩手机超过1，所以该校有人学生每天玩手机不超过1，因为每天玩手机超过1的近视率约为50%，所以该校每天玩手机超过1的近视的学生人数为，所以该校每天玩手机不超过1的近视的学生为，所以从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为，故正确； 对于B，当时，，共有9个“对称凹数”， 当时，，共有8个“对称凹数”， 当时，，共有7个“对称凹数”， 当时，，共有6个“对称凹数”， 当时，，共有5个“对称凹数”， 当时，，共有4个“对称凹数”， 当时，，共有3个“对称凹数”， 当时，，共有2个“对称凹数”， 当时，，共有1个“对称凹数”， 则在所有三位数中共有个对称凹数，故错误； 对于C，5名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者有和两种分法， 当为时，有种安排分法，当为时，有种安排分法， 则不同的安排方法共有150种，故正确； 对于D，用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有36个 当千位是1个位数字是3时，中间两个数字随意安排都比1000大，有个， 当千位是2个位数字是1时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个， 当千位是2个位数字是3时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个， 当千位是3个位数字是1时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个， 当千位是4个位数字是1时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个， 当千位是4个位数字是3时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个， 所以共有36个数字，故正确； 故选：ACD. 三、填空题 14．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有______种.（用数字作答） 【答案】96 【分析】分两种情况，结合组合知识进行求解 【详解】当所选3人中男生1人，女生2人，此时有种选择， 当所选3人中男生2人，女生1人，此时有种选择， 故共有种选择. 故答案为：96 15．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有________种． 【答案】 【分析】分甲学校有2名师范生实习和1名师范生实习两种情况求解，结合分类加法计数原理计算即可. 【详解】因为A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习， 所以有一所学校必然有2名师范生实习. 若甲学校有2名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B，C，D共3名师范生平均分配到甲、乙、丙3所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 若甲学校只有1名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B，C，D共3名师范生按照分配到乙、丙2所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 综上，不同的安排方法有种. 故答案为：. 16．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，有________种不同的选法． 【答案】24 【分析】利用分类加法计算原理即可得解. 【详解】第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法； 第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法； 第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法； 由分类加法计数原理可得，共有种不同的选法． 故答案为：24. 四、解答题 17．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)某服装厂为学校设计了4种样式的上衣、3种样式的裤子．若取其中的一件上衣和一条裤子配成校服，则可以配出多少种不同样式的校服？ 【答案】12 【分析】根据分步乘法原理得出结果即可. 【详解】第一步从4种样式的上衣中取一件，有4种办法； 第二步从3种样式的裤子中取一件，有3种办法； 所以共有种不同的不同样式. 地 城 考点02 二项式定理 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)的展开式的第二项的二项式系数为（    ） A．10 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】求出展开式的第二项的二项式系数可得答案. 【详解】的展开式的第二项的二项式系数为. 故选：B. 2．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)若，则（   ） A．256 B．127 C．128 D．129 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用赋值法求解即得. 【详解】令，得， 令，得 ， 相减，得， 令，得， 所以 . 故选：D 3．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)若的展开式中常数项等于，则其展开式各项系数之和为（   ） A．1 B．32 C．0 D．64 【答案】C 【分析】写出二项式的通项，根据展开式中常数项等于，则就出参数，则赋值给即可求出展开式各项系数之和. 【详解】因为的展开式中常数项等于， 所以由， 当， 此时常数项为：， 所以， 令，其展开式各项系数之和为0， 故选：C. 二、多选题 4．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)（多选）已知二项式，则其展开式中（   ） A．的系数为84 B．各项系数之和为 C．二项式系数之和为 D．二项式系数最大项是第4或5项 【答案】ABD 【分析】根据二项展开式的通项公式计算后可判断ACD的正误，利用赋值法可求各项系数之和，故可判断B的正误. 【详解】的展开式的通项为， 对于A，取，则，故的系数为，故A正确； 对于B，因为，令，则各项系数之和为，故B正确； 对于C，二项式系数之和为，故C错误； 对于D，二项式展开后共有8项，所以二项式系数最大项是是第4或5项，D正确； 故选：ABD. 5．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)（多选）已知展开式的所有二项式系数之和为256，若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用二项式系数和公式求出，即可判断选项A；根据二项式的展开式通项可判断选项B；利用赋值法可判断选项C，D. 【详解】由题意知，所以，故选项A正确； 由二项式的展开式通项为，令，得，所以，故选项B正确； 令，得；令，得，所以，故选项C错误； 二项式的展开式通项为，所以的奇数次幂的系数均为负数，偶数次幂的系数均为正数，即为负数，为正数，令，得 ，所以，故选项D正确. 故选：ABD. 6．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)（多选）关于的展开式的说法中正确的是（    ） A．各项的系数之和为 B．二项式系数的和为64 C．展开式中无常数项 D．第4项的系数最大 【答案】AC 【分析】利用二项式展开式公式、二项式系数和以及各项系数的性质逐项验证即可. 【详解】由，令得：， 即各项的系数之和为，故A正确； 由二项式系数的和为：，故B错误； 因为， 所以当时，不符合题意，所以无常数项，故C正确； 在中，当时系数最大，即第5项的系数最大，故D错误． 故选：AC． 三、填空题 7．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)写出的展开式的是____________. 【答案】 【分析】根据二项式定理求出二项式展开式. 【详解】根据二项式定理得 . 故答案为：. 8．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)若，则______. 【答案】 【分析】直接利用赋值法求解即可. 【详解】在中， 令，得. 故答案为： 9．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)在的展开式中，x的系数为______． 【答案】 【分析】分四种情况讨论计算即可. 【详解】解：的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x， 另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则的展开式中， 含x的项为：， 所以x的系数为． 故答案为：． 10．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)的展开式中的系数为_____. 【答案】12 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为12. 故答案为：12. 四、解答题 11．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)已知的二项展开式的各二项式系数之和为32. (1)求是多少？ (2)求展开式中的常数项为多少？ 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据二项式的系数之和可求得的值. （2）根据二项式的通项公式可求出常数项. 【详解】（1）因为的二项展开式的各二项式系数之和为32， 则，解得. （2）由（1）知，所以二项式为， 其通项公式为. 令，则. 所以展开式的常数项为1. 地 城 考点03 杨辉三角 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ）． A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 【答案】D 【分析】由杨辉三角及二项式定理、组合数性质求对应行列数字及相关行的数字之和. 【详解】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A错误； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，则第9行数字之和必大于256，B错误； 第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误； 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，D正确． 故选：D 二、填空题 2．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.题图为“杨辉三角”的一部分（如图），记第n行的第i个数为，则______.    【答案】 【分析】根据二项展开式的性质，得到，结合，即可求解. 【详解】由题意，根据二项展开式的性质，可得， 则. 故答案为：. 地 城 考点04 回归方程 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)通过随机抽样，收集了若干朵鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的回归方程为，根据以上信息，下列命题正确的是（   ） A．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cm B．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8642 C．花瓣长度和花萼长度负相关 D．花瓣长度和花萼长度存在一次函数关系 【答案】A 【分析】根据散点图的特点及回归方程可判断ACD选项，根据相关系数的定义可以判断B选项. 【详解】当时， ，故A正确， 部分数据的相关系数未必和总体相同，故B错误； 从散点图可以看出花瓣长度和花萼长度正相关，故C错误； 花瓣长度和花萼长度之间不存在函数关系，为相关关系，只是用一次函数近似拟合它们的关系， 故D错误． 故选：A. 2．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与负相关可判断AB，将样本中心带入选项检验，即得． 【详解】因为变量与负相关，所以 ，排除AB选项； 因为， 而，故C符合题意， 又，故D错误. 故选：C 二、多选题 3．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)（多选）下列说法正确的是（   ） A．决定系数越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 B．经验回归方程相对于点的残差为 C．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“x与y没有关联” D．样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 【答案】BD 【分析】对于A，由决定系数的定义可作出判断；B选项，，B正确；C选项，零假设为：x与y相互独立，由卡方值大于6.635得到不成立，得到结论；D选项，由相关系数的定义作出判断. 【详解】对于A，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故A不正确. 对于B，残差为，故B正确， 对于C，零假设为：x与y相互独立，即x与y没有关联， 由可知依据的独立性检验， 所以有充分证据推断不成立，可以认为“x与y有关联”，选项C不正确. 对于D，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，选项D正确. 故选：BD 4．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)（多选）已知变量x，y经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其线性回归方程为，下列说法正确的是（    ） A．若相关系数的值越大，则成对样本数据的线性相关程度超强 B．若相关系数，说明变量x，y线性相关程度较弱 C．相关指数的值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好 D．残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好 【答案】BC 【分析】根据相关系数、相关指数以及残差平方和的大小性质，可得答案. 【详解】对于A，相关系数越大，则成对样本数据的线性相关程度超强，故A错误； 对于B，由相关系数，，则变量线性相关程度较弱，故B正确； 对于C，相关指数的值越接近于，则线性回归方程拟合效果越好，故C正确； 对于D，残差平方和越小，表示线性回归方程拟合效果越好，故D错误. 故选：BC. 5．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)（多选）有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法错误的是（    ） A．残差平方和变小 B．相关系数r变小 C．决定系数变小 D．解释变量x与响应变量y的相关性变弱 【答案】BCD 【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况． 【详解】从散点图可分析出，若去掉D点，则解释变量x与响应变量y的线性相关性变强， 且是正相关，所以相关系数r变大，决定系数变大，残差平方和变小， 故选：BCD． 三、解答题 6．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)为了解某种中成药的疗效，某研究员统计了患者服药后血液中药物浓度（单位：）与测试次数（单位：次，每次测试间隔时长相等）的对应数据如下表： 测试次数（单位：次） 1 2 3 4 5 药物浓度（单位：） 120 105 90 80 55 (1)计算样本相关系数（保留三位有效数字），判断它们是否具有较强的线性相关性. (2)求关于的经验回归方程，并预测第6次测试血液中的药物浓度. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；样本相关系数. 参考数据：，，. 【答案】(1)，具有较强的线性相关性. (2)， 【分析】（1）由题，计算，由相关系数的公式运算判断； （2）根据题意，求出，得到回归直线方程，得解. 【详解】（1）由题，可得，， ， 所以样本相关系数， 因为样本相关系数的绝对值接近1，所以它们具有较强的线性相关性. （2）由（1）中的数据可得， ， 所以关于的经验回归方程为， 所以当时，. 所以预测第6次测试血液中的药物浓度为. 7．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)某骑行爱好者近段时间在专业人士指导下对骑行情况进行了统计，各次骑行期间的身体综合指标评分与对应用时（单位：小时）如下表： 身体综合指标评分（） 1 2 3 4 5 用时（/小时） 10 8.5 8 7 6.5 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数如以说明； (2)建立关于的回归方程. 参考数据和参考公式：相关系数，，，. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据表格数据可分别计算出与的平均值，再代入计算可得相关系数近似为，即可知与相关程度较高； （2）根据（1）中的计算结果可得，代入计算可得，即可求得关于的回归方程. 【详解】（1）由题意得，， ， ，， 因此相关系数. 即相关系数近似为，与负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系； （2）由（1）中数据，得，， 所以关于的回归方程为. 8．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提到，新时代十年我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，我国经济总量稳居世界第二位.建立年份编号为解释变量，地区生产总值为响应变量的一元线性回归模型，现就2012-2016某市的地区生产总值统计如下： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 年份编号 1 2 3 4 5 地区生产总值（亿元） 2.8 3.1 3.9 4.6 5.6 (1)求出回归方程，并计算2016年地区生产总值的残差； (2)随着我国打赢了人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，该市2017-2022的地区生产总值持续增长，现对这11年的数据有三种经验回归模型、、，它们的分别为0.976、0.880和0.985，请根据的数值选择最好的回归模型预测一下2023年该市的地区生产总值； (3)若2012-2022该市的人口数（单位：百万）与年份编号的回归模型为，结合（2）问中的最佳模型，预测一下在2023年以后，该市人均地区生产总值的变化趋势． 参考公式：，； 【答案】(1)，残差为 (2)选用更好，17.773亿元 (3)逐年递增 【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线方程即可； （2）由相关指数的大小，结合其的实际意义确定较好模型，进而估计2023年该市的地区生产总值； （3）由题设可得该市人均地区生产总值，利用单调性定义判断其在上的单调性即可. 【详解】（1）由数据，，， 而，， 所以，则， 综上，回归方程为， 当时，，故2016年地区生产总值残差为. （2）根据相关指数越大拟合越好，由于，故模型较好， 因2023年对应，则亿元. （3）由（2）及题设知：该市人均地区生产总值， 令，且，若， 所以， 而且，则，故， 所以在上递增，则在上递增， 所以该市人均地区生产总值逐年递增. 9．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地．某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率，设民宿租金为（单位：元/日），得到如图的数据散点图． (1)若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的3天中至少有2天闲置的概率． (2)（i）根据散点图判断，与哪个更适合此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求经验回归方程． （ii）若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出的日常支出成本．试用（i）中模型进行分析，旅游淡季民宿租金定为多少元时，该民宿在这280天的收益达到最大． 附：记，，，，， ，，，，，． 【答案】(1)0.896； (2)（i）；（ii）181. 【分析】（1）由二项分布的概率公式即可求解； （2）（i）根据所给数据直接代入公式计算出即可得回归方程； （ii）根据题意表示出，然后求导，利用导数即可求解. 【详解】（1）因为每天的出租率为0.2，所以每天闲置的概率为， 所以3天中至少有2天闲置的概率． （2）（i）根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近的图象， 故的拟合效果更好． 依题意，，， 所以， 所以， 所以经验回归方程为． （ii）设旅游淡季民宿租金为，则淡季该民宿的出租率， 所以该民宿在这280天的收益为： ， 所以． 令，得， 所以， 且当时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值． 所以旅游淡季民宿租金定为181元时，该民宿在这280天的收益达到最大． 地 城 考点05 独立性检验 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 【答案】C 【分析】通过对等高堆积条形图的分析，结合所列列联表及不等式性质，逐一对每个选项进行推理判断即可. 【详解】设等高条形图对应列联表如下： 岁及以上 岁以下 总计 男性 女性 总计 根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即； 岁以下男性比岁以下女性多，即． 根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即； 女性中岁及以上的比岁以下的多，即， 对于A，男性人数为，女性人数为， 因为，所以，所以A正确； 对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为， 因为，所以B正确； 对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为， 无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确； 对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为， 因为，所以，所以D正确． 故选：C. 二、解答题 2．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)某市学生校车由“通达”和“运达”两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了两家公司30天校车早上是否准时到校情况，并统计了如下列联表： 准时到校天数 未准时到校天数 合计 通达 8 2 运达 12 8 合计 30 (1)填写上述表格. (2)根据小概率值的独立性检验，判断校车早上准时到校与校车所属的公司是否有关？ 附， 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据数据相加进行求和即可得出结果. （2）根据表格数据计算值，然后与表格中的值作比较，根据独立性检验得出结论. 【详解】（1）根据题意，填表如下： 准时到校天数 未准时到校天数 合计 通达 8 2 10 运达 12 8 20 合计 20 10 30 （2）根据表格中的数据求得： . 因为小概率值时对应的临界值未. 因为，所以根据独立性检验，没有充分证据表明校车早上准时到校与校车所属的公司有关. 3．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)为了调查学生喜欢游泳是否与性别有关，某学校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男生 80 女生 20 合计 已知在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的概率为0.6． (1)请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析喜欢游泳是否与性别有关； (2)从上述不喜欢游泳的学生中用分层随机抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)表格见解析，喜欢游泳与性别无关． (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用给定概率完善列联表，计算的观测值与临界值比对即可. （2）求出X的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）依题意，从200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的概率为0.6， 则喜欢游泳的有（人），不喜欢游泳的有（人）． 补全列联表如下： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男生 80 60 140 女生 40 20 60 合计 120 80 200 零假设：喜欢游泳与性别无关， 计算得到 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断，不成立， 所以认为成立，即喜欢游泳与性别无关． （2）按分层随机抽样，设女生x名，男生y名，则，解得，， 从不喜欢游泳的学生中抽取女生2名，男生6名，随机变量X的可能取值为0，1，2， ，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望. 4．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了100位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表： 购买AI手机 购买不带AI的手机 总计 男性顾客 40 70 110 女性顾客 60 30 90 总计 100 100 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为购买AI手机与顾客的性别有关？ (2)为提升AI手机的销量，该手机商城针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买AI手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.010 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为购买AI手机与顾客的性别有关； (2)答案见解析 【分析】（1）将表格数据代入计算卡方，将卡方的值与10.828比较即可； （2）由题可知根据题意可能取值为：分别求出、 、、、的值，即可列出分布列，再将数值代入期望公式计算即可. 【详解】（1），所以可以认为购买AI手机与顾客的性别有关. （2）根据题意可能取值为： ； ； ； ； ； 的分布列为 的期望. 5．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)文旅部门统计了某网红景点在2024年3月至7月的旅游收入（单位：万元），得到以下数据： 月份 3 4 5 6 7 旅游收入 10 12 11 12 20 (1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的经验回归方程；若不可以，请说明理由；（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则没有很强的线性相关性） (2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 性别 网红景点 总计 喜欢 不喜欢 男 100 女 60 总计 110 参考公式：相关系数，经验回归方程：，其中，，，其中． 参考数据：． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)可用， (2)表格见解析，认为游客是否喜欢该网红景点与性别有关联． 【分析】（1）利用公式求相关系数，确定线性相关，再用公式求参数和即可； （2）利用独立性检验原理来进行求解即可. 【详解】（1）由已知得：，，，，， 所以 ， 与的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合与的关系， ，， 故关于的经验回归方程为：． （2）列联表如下所示： 性别 网红景点 总计 喜欢 不喜欢 男 70 30 100 女 40 60 100 总计 110 90 200 零假设为：游客是否喜欢该网红景点与性别无关联， 根据列联表中数据，， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为游客是否喜欢该网红景点与性别有关联． 6．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)某网站统计了某网红螺蛳粉在2022年9月至2023年2月（月份代码为1~6）的销售量y（单位：万份），得到以下数据： 月份代码x 1 2 3 4 5 6 销售量y 6 7 10 11 12 14 (1)由表中所给数据求出关于的经验回归方程； (2)为调查顾客对该网红螺蛳粉的喜欢情况，随机抽查了200名顾客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并判断依据的独立性检验，能否认为“顾客是否喜欢该网红螺蛳粉与性别有关”． 喜欢 不喜欢 合计 男 100 女 60 合计 110 （参考公式：经验回归方程：，其中，） ，其中． 临界值表： 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)列联表见解析；能认为“顾客是否喜欢该网红螺蛳粉与性别有关” 【分析】（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程. （2）根据已知条件填写列联表，计算的值，由此作出判断. 【详解】（1）依题意可得， ， ， ， 所以， 所以， 所以. （2）依题意可得列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男 70 30 100 女 40 60 100 合计 110 90 200 所以， 依据的独立性检验，能认为“顾客是否喜欢该网红螺蛳粉与性别有关”． 7．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）.y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成. (1)求回归系数； (2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）； (3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 真实人类撰写（篇） 总计 200 依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？ 参考公式： 提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2) (3)判断“检测结果”与“文本真实性”有差异 【分析】（1）利用回归直线过样本中心可求回归系数； （2）利用全概率公式可求概率； （3）完善列联表，再根据公式计算卡方，结合临界值表判断即可. 【详解】（1）因为，且，， 故，故. （2）记事件为 “由AI生成的文本”， 为“由人类撰写的文本”， 为“被检测系统识别为人类撰写的文本”， 由题意知，，，，， 由全概率公式知： ， 即该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率约为. （3）AI生成的篇数为，人类撰写的篇数为， 真实AI生成且被识别为AI生成的篇数， 真实人类撰写且被识别为人类撰写的篇数， 故列联表为： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 29 1 30 真实人类撰写（篇） 6 164 170 总计 35 165 200 零假设为：分类变量相互独立，即“检测结果”与“文本真实性”无差异. 由列联表数据计算得，， 所以依据小概率值的独立性检验，可以判断“检测结果”与“文本真实性”有差异. 8．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末)为了了解某市高中生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市的高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表： 性别 关注度 合计 关注 不关注 男生 女生 合计 n (1)依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与性别有关，求样本容量n的最小值； (2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注度，举办了一次航天知识闯关比赛，采用三局两胜制，每局2名选手参加比赛，为了增加比赛的趣味性，设置两种积分方案：方案一：最终获胜者得3分，失败者扣除2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分．若每局甲获胜的概率为p，输的概率为，每局比赛结果是相互独立的．请讨论选择哪个方案，使得甲获得积分的数学期望更大； (3)经过比赛后，高中生对航天事业的关注度持续变化，每年关注的比例会按照以下规律变化：每年原本关注的学生中，有会转为不关注；每年原本不关注的学生中，有会转为关注．初始比例关注航天事业的学生比例为，记第n年时，关注航天事业的学生比例为，证明：数列是等比数列． 附： 0.1 0.05 0.0025 2.706 3.841 5.024 【答案】(1)40 (2)选择方案一 (3)证明见解析 【分析】（1）依据卡方公式计算即可； （2）计算甲赢得比赛的概率，然后分别列出两个方案得分布列，分别计算出对应的期望，然后作差（），利用导数比较判断； （3）找到，化简变形即可. 【详解】（1）， ∴  ∴， 由于n为10的整数倍  ∴样本容量n的最小值为40. （2）甲赢得比赛的概率为， 方案一的分布列为： X 3 P 方案二的分布列为： Y 1 0 P 故；， ∴（）， ∴ ∴单调递增， ∵时 ∴，∴ ∴选择方案一，使得甲获得积分的数学期望更大. （3）由题可知：，， ∴，且，∴为等比数列. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $