专题04 集合、常用逻辑用语、不等式、数列（6大考点期末真题汇编，黑龙江专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 黑龙江多地高二期末数学试题汇编，聚焦集合、逻辑用语、不等式、数列6大高频考点，题型多样，注重基础巩固与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|30+|集合交并补、命题否定、不等式解法、等差等比基本量|基础考点全覆盖，梯度合理| |填空题|8+|集合元素个数、不等式参数范围、基本不等式最值|结合实际情境（如兴趣班人数）| |多选题|8+|不等式性质、数列单调性、基本不等式应用|多角度辨析，考查思维严谨性| |解答题|10+|集合与逻辑用语综合、数列递推证明与求和、不等式含参问题|注重知识交汇（如数列与不等式），强调逻辑推理与运算能力|

专题04 集合、常用逻辑用语、不等式、数列 6大高频考点概览 考点01集合 考点02常用逻辑用语 考点03不等式的性质与解不等式 考点04基本不等式 考点05等差数列、等比数列 考点06数列通项、数列求和 地 城 考点01 集合 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算集合，然后根据交集运算判断即可. 【详解】，所以. 故选：C 2．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)若全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用补集的意义求得，利用并集的意义求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以 . 故选：D. 3．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知集合，则的整数元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，求出集合，再利用并集运算求出，得解. 【详解】由题意得，则， 所以的整数元素为，共6个. 故选：B. 4．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的交运算求即可. 【详解】由题设，集合，， 所以. 故选：B 5．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用交集定义求解即可． 【详解】由题意， 故选：C. 6．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，再结合集合的并集即可求解. 【详解】由 又，所以可得集合，则，故C正确. 故选：C. 二、填空题 7．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)某兴趣班共30人，其中15人喜爱乒乓球运动，10人喜爱羽毛球运动，12人喜爱乒乓球但不喜爱羽毛球运动，则对这两项运动都不喜爱的人数为________ 【答案】8 【分析】根据题意，结合韦恩图，列出算式计算即得. 【详解】设喜爱乒乓球运动的同学，喜欢羽毛球运动的同学， 用表示集合中的元素个数，则，，， 因， 故对这两项运动都不喜爱的人数为. 故答案为：8. 地 城 考点02 常用逻辑用语 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以原命题的否定为“，”． 故选：D. 2．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是：，. 故选：B 3．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 【答案】C 【分析】存在量词的否定为全称量词命题. 【详解】命题“，使”的否定是： ，使. 故选：C 4．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)已知命题，则是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用命题的否定的求法求出即可. 【详解】因为命题是全称命题， 所以是，故D正确. 故选：D. 5．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据基本不等式计算可知充分性成立，取特殊值可得必要性不成立，可得结论. 【详解】因为，，则，解得，即充分性成立； 若，不妨取，则不等于2，即必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：B 6．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用存在量词命题为真求出的范围，进而求出该命题为假时的范围，再利用充分不必要条件求得答案. 【详解】命题“，”为真命题时，或， 解得或，因此，由命题“，”为假命题， 得，则给定选项中是的真子集的是. 故选：A 7．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)若“，”是假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题得，，再对分两种情况讨论得解. 【详解】由题得，， 当时，，符合题意； 当时，，解之得. 综上，. 故选：D 二、解答题 8．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)设集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，化简两个集合，结合交集的概念即可得解； （2）由题意集合是集合的真子集，据此可列出不等式组求解. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以，且等号不同时成立，解得， 所以实数m的取值范围为. 9．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)设集合，函数的定义域为集合. (1)求集合A、. (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）按一元二次不等式的解法，绝对值不等式的计算方法计算即可解出； （2）依题意可知A是集合的真子集，根据（1）的结果计算即可. 【详解】（1）或，所以， 要使函数有意义，则或， 所以. （2）由题意知：集合A是集合的真子集， 所以， 当时，，满足A是集合的真子集，符合题意； 当时，，满足A是集合的真子集，符合题意. 综上，实数的取值范围为. 地 城 考点03 不等式的性质与解不等式 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质先将化成.对于A，B，运用作差比较法即可判断；对于C，利用基本不等式可推得，故可判断C正确；对于D，通过举反例即可判断结论错误. 【详解】由可得. 对于A，因，则，故，即A正确； 对于B，因，由可得，故B正确； 对于C，因，则，故， 当且仅当时等号成立，因，故，则C正确； 对于D，不妨取，显然满足，但，即D错误. 故选：D. 2．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)若，且，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】解：因为，所以，所以，故A选项一定成立； 取，，可判断B选项不一定成立； 取，，可判断C选项不一定成立； 取，则，可判断D选项不一定成立； 故选：A. 3．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式求得集合，进而利用交集的意义求解即可. 【详解】由，得，解得，所以， 又，所以. 故选：C. 4．(24-25高二下·黑龙江大庆东风中学·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出B中不等式的解集，确定出B，找出A与B的交集即可． 【详解】解不等式得：， 故选：C 5．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)设集合，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简集合，再通过补集运算得到，最后通过交集运算算出答案 【详解】解：因为或， 所以， 所以， 故选：C 6．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数解析式分两段得到不等式，分别解两个不等式取并集即可. 【详解】根据题意，由于函数， 那么可知当，则，解得； 当，则，即，解得或， 综上，不等式的解集是. 故选：A. 7．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合后可求它们的交集. 【详解】，，故， 故选：C. 8．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】由题意得，，所以. 故选：D. 9．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末)不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理化简分式不等式，并将其等价转化为整式不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，则，等价于，解得. 故选：B. 二、多选题 10．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)（多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由不等式的性质通过作差法，及幂函数的单调性逐个判断即可. 【详解】因为，则，A错误； 因为，所以，又因为，所以，故B正确. 因为， 所以，故C正确. 因为，所以幂函数在单调递减， 所以，D错误， 故选：BC 11．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)（多选）下列条件中能使成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用赋值法可判断A；利用函数的单调性可判断BD，运用不等式的性质可判断C. 【详解】对于A. 当时不能得到，故A错误； 对于B.因为为上的单调递增函数，由，可得，故B正确； 对于C.，故C正确； 对于D. 因为为上的增函数，所以，故D正确. 故选：BCD. 12．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)（多选）下面说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 因为，且，所以，故选项A正确； 对于选项B： 若，则，故选项B错误； 对于选项C： 因为，所以，又因为，所以，故选项C正确； 对于选项D： 若，则，不等式两边同时除以得，故选项D错误． 故选：AC． 三、填空题 13．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是______. 【答案】 【分析】首先根据韦达定理求的关系，再代入，转化为不含参的一元二次不等式求解. 【详解】由题意可知，，得，， 即，即， 解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)若函数的定义域为，则实数取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意知恒成立，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 15．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知对一切都有意义，则实数m的取值范围为_______. 【答案】 【解析】结合题意分类讨论m=0和m≠0两种情况求解实数m的取值范围即可. 【详解】①当m=0时，其定义域为R . ②当m≠0时，由定义域为R可知， 对—切实数x均成立， 于是有， 解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 16．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)已知关于的不等式的解集为 (1)若且，求实数的取值范围. (2)解已知不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据，，可求的取值范围. （2）原不等式转化为，再分情况讨论不等式的解集. 【详解】（1）； ， 所以 （2） ∴ 当时，，此时 当时，方程的两根为、， ∴       当时，方程的两根为、， ∴  时， 时， 时， 综上：时， 时， 时， 时， 时， 17．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可； （2）由题意可得不等式的解集为，又方程的两个根为和，从而可求解. 【详解】（1）当时，不等式等价于， ∴，解得或. ∴不等式的解集为. （2）不等式等价于， ∴不等式的解集为. ∵方程的两个根为和， ∴或，解得， ∴实数的值为. 地 城 考点04 基本不等式 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】化简得到，再结合基本不等式即可求出. 【详解】因，则， 因x，y为正数，则，得，等号成立时， 则的最小值为. 故选：C 二、多选题 2．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)（多选）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式即可判断A，B，D，特殊值法判断C. 【详解】对于A： ，故，即，当且仅当取等号，故A正确； 对于B：因为， ，当且仅当取等号，故B正确； 对于C：若，令，故C错误； 对于D：，故，当且仅当取等号，故D正确. 故选：ABD. 3．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)（多选）若，，且，则（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为5 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】根据题设等量关系，利用基本不等式求各项目标式最值，注意取值条件即可. 【详解】A：因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，对； B：，当且仅当时，等号成立，对； C： ， 当且仅当，且，即，时，等号成立，对； D：，当且仅当，即，时，等号成立，错. 故选：ABC 4．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)（多选）已知， 则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的最小值为 D．若，则 【答案】AD 【分析】对于AB：利用基本不等式结合对数函数分析判断；对于CD：消元，结合基本不等式以及函数单调性分析判断. 【详解】对于AB：若，， 则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 且，故B错误； 对于选项CD：若，，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即等号不成立，的最小值不为，故C错误； 且， 因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在上单调递增，则， 即，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 5．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)已知正数，满足，则的最大值是______. 【答案】6 【分析】变形得到，求出，从而得到，得到答案. 【详解】， 两边同除以得，即， 故， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 故的最大值为6，此时. 故答案为：6 地 城 考点05 等差数列、等比数列 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 【答案】D 【分析】由等差数列定义逐项判断即可得. 【详解】∵，故排除A； ∵，故排除B； ∵，故排除C， 常数列是等差数列，故D正确. 故选：D． 2．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末)在等差数列中，为其前项的和，若，，则（    ） A．36 B．48 C．72 D．108 【答案】C 【分析】由已知条件列出方程，求出首项和公差代入公式即可求解. 【详解】在等差数列中，， 依题意，，即，， 两式相减解得，代入得， 因此. 故选：C. 3．(24-25高二下·黑龙江大庆东风中学·期末)已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B．58 C．70 D．80 【答案】C 【分析】利用等差数列的前n项和公式以及通项公式即可求出首项与公差，即可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为d，因为，， 所以，，解得，． 所以． 故选：C． 4．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)已知为等比数列，若，公比，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式可求得的值. 【详解】因为为等比数列，，公比，则. 故选：D. 二、多选题 5．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末)（多选）为等比数列的前项和，为的公比（），，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题目条件列出方程，求出等比数列的首项和公比，代入等比数列的通项公式和前项和公式，即可依次判断每个选项的正误. 【详解】对于等比数列，有，依题意，，解得或（舍），，选项A正确； ，选项B错误； 对于等比数列，有，因此，选项C错误； 对于等比数列，有，， 则，，选项D正确. 故选：AD. 6．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)（多选）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列为递减数列 B．当且仅当时，取得最大值 C． D．是等比数列 【答案】ACD 【分析】求出数列的通项公式，再作差可判断A选项；结合二次函数可判断B选项；利用降标作差可判断C选项；利用等比数列的定义可判断D选项. 【详解】由题意可知，，则， 故数列为递减数列，故A正确； 因二次函数的对称轴为，且开口朝下， 则当或时，取得最大值，故B错误； 当时，， 则， 又，符合上式，故，故C正确； 令，则，则是等比数列，故D正确. 故选：ACD 7．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)（多选）已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．当且仅当时，取得最大值 D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式及前项和，再逐项分析、计算即得. 【详解】等差数列中，，解得， ，解得， 于是等差数列的公差，， 前项和， 对于A，显然，为非零常数， 因此数列是等比数列，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，显然等差数列单调递减，前4项均为正数，第5项为0，从第6项起都为负数， 因此当或时，取得最大值，C错误； 对于D，，显然数列是等差数列， 因此，D正确. 故选：AD 三、填空题 8．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)等差数列的前项和为，且，，当 ________时，最大. 【答案】6或7 【解析】由题意利用等差数列的性质，可求得，，所以，再利用二次函数的图像与性质求得当取得最大值时，的值 【详解】解：因为，所以，化简得， 所以， 因为，所以， 所以， 它的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为， 因为，所以当或时，取得最大值， 故答案为：6或7 9．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)设是等比数列，且，则__________. 【答案】32 【分析】根据题意可求得等比数列的公比，再根据，求得，即可求得答案. 【详解】设的公比为，则， 由，得，解得， 所以. 故答案为：32 10．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)记为数列的前项和，且，则__________. 【答案】 【分析】根据得到是首项为-1，公比是2的等比数列，从而求出通项公式. 【详解】①，当时，，解得， 当时，②， ①-②得，， 即，所以， 是首项为-1，公比是2的等比数列，故. 故答案为： 四、解答题 11．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，. (1)若，求； (2)若，且数列为递增数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过已知条件建立等差数列公差与等比数列公比的方程组，解出后计算即可； （2）利用求出公比，结合数列为递增数列，求出公差即可求. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，. 由，得.① 由，得，② 联立①②，解得（舍去），， 因此 （2）由，，得， 解得，或 由于数列为递增数列，所以， 当时，由①得（舍）； 当时，由①得 则. 地 城 考点06 数列通项、数列求和 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知数列满足，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，根据即可求解. 【详解】由，，， 所以数列是以3为周期的周期数列，所以， 故选：C. 2．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)已知数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用裂项相消法求数列的和即可. 【详解】解：， 所以. 故选：C. 二、解答题 3．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依次得，，即可求解； （2）由等差数列求和公式、裂项相消法即可求解. 【详解】（1）由可得， 由可得，，公差， 故. （2）由（1）得， 故 则. 4．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)记数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系式可得数列的递推公式，利用累乘法可求通项公式； （2）由（1）知，所以，利用分组求和法求. 【详解】（1）根据题意，，，则， 两式相减得， 即， 所以， 故的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 故， . 5．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)已知数列满足，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据递推公式，利用等比数列的定义即可得出结论； （2）利用分组求和法和错位相减法计算即可得出答案. 【详解】（1）证明：由，得， 又，所以，故， 故是以为首项，以为公比的等比数列； （2）解：由（1）得，得， 所以，设的前n项和为， 则，① ，② 由①-②，得 ，则， 故. 6．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)若正项数列的前项和为，首项，点在曲线上，数列满足，． (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列和的通项公式； (3)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据等差数列的定义证明数列是等差数列. （2）先根据求数列的通项公式，再结合数列的通项公式探索数列的特点，从而求数列的通项公式. （3）利用错位相减求和法求数列的前项和. 【详解】（1）由点在曲线上，可得. 因为是正项数列，所以，所以两边开方得：， 因为， 所以数列为公差为1，首项为1的等差数列. （2）由数列为公差为1，首项为1的等差数列可得， ，即， 当时，， 由知，上式对也成立，则. 数列满足，且， 可得，故是以1为首项，2为公比的等比数列， 可得. （3）由于， 所以前项和为， 则， 两式相减可得 ， 化简可得． 7．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知数列的前项和为，且. (1)若为等比数列，求公比的值； (2)若， （i）证明：数列为等比数列； （ii）求数列的前项和. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出，再结合通项公式及前n项和公式验证判断. （2）（ⅰ）利用前n项和与第n项的关系及已知可得，再利用等比数列定义推理即得；（ⅱ）由（ⅰ）的结论求得，再分奇偶求出，最后利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）数列中，，由，得， 则，解得或， 当时，，，， 而，显然不恒成立，因此， 当时，，，，符合题意， 所以. （2）（ⅰ）由，得，两式相减得， 则，当时，， 而，，则，即，， 所以数列为等比数列. （ⅱ）由（ⅰ）知等比数列的首项为3，公比为2，则， ，两式相减得， 当时，， 于是，，则； 当时，， 于是，，则， 则， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04集合、常用逻辑用语、不等式、数列 目目 考点01 集合 一、 单选题 1.C 2.D. 3.B 4.B 5.C 6.C 二、填空题 7.8. 目目 考点02 常用逻辑用语 一、单选题 1.D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.A 7.D 二、解答题 8.【详解】(1)当m=2时， A={xlx-5引<2}={X-2<x-5<2}={w3<x<7},B={x1<x<5}, 所以AnB={x3<x<5}: (2)若“x∈A”是“x∈B"的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集， ∫3≥1 所以{7≤2m十1，且等号不同时成立，解得m≥3， 所以实数m的取值范围为[3，十∞) 9.【详解】(1)x2-x-2≥0曰(x+1x-2≥0→x≥2或x≤-1，所以 1/7 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A=(-∞，-1]U[2,+∞)， 要使函数y=V-a-1有意义，则k-d-1≥0→x≥a+1或x≤a-1, 所以B=(-o,a-1]U[a+1,+∞) (2)由题意知：集合A是集合B的真子集， 所以a+1≤2且a-1≥-1→0≤a≤1， 当a=0时，B=(-∞，-1U[1,+∞)，满足A是集合B的真子集，符合题意； 当a=1时，B=(-∞，0]U[2,+∞)，满足A是集合B的真子集，符合题意 综上，实数a的取值范围为[0,1] 目目 考点03 不等式的性质与解不等式 一、单选题 1.D 2.A. 3.C 4.C 5.C 6.A 7.C 8.D 9.B 二、多选题 10.BC 11.BCD 12.AC 三、填空题 13.（2,3) 14.0,8) 15.[0,1] 四、解答题 16.【详解】(1)1eA→a<→a<1: 2/7 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 2EA曰a≥→a≥， 所以号≤a<1 (2)a<<0一(ax-1x+)<0 当a=0时，-(x+1)<0→x>-1,此时A={班>-1} 当a>0时，方程(ax-1x+1)=0的两根为-1、吉，：-1< :A={对-1<x<吉} 当a<0时，方程(ax-1x+1)=0的两根为-1、寺，：吉-(-1)= ·-1<a<0时，吉<-1→A={邮<吉或x>-1} a=-1时，吉=-1→A={k∈R且x≠-1} a<-1时，吉>-1→A={水<-1或>吉} 综上：a=0时，A={>-1} a>0时，A={寸-1<x<吉} -1<a<0时，<-1→A={邮<吉或x>-1} a=-1时，吉=-1→A={xxeR且x≠-1} a<-1时，吉>-1→A={邮<-1或x>贵} 17.【详解】(1)当a=-4时，不等式f(x)≥0等价于x2-4x+3≥0， :(x-1)(x-3)≥0，解得x≤1或x≥3 .不等式f(x)≥0的解集为(-∞，1]U[3,+∞) (2)不等式f(x)≤6a2+3等价于x2+ax-6a2≤0， .不等式x2+ax-6a2≤0的解集为[a-4,a2-4]。 :方程x2+ax一6a2=0的两个根为-3a和2a, 1-3a=a2-4 2a=a2-4 2a=a-4 -3a=a-4 ,解得a=一4， a<0 a>0 实数a的值为一4 目目 考点04 基本不等式 一、单选题 3/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.C 二、多选题 2.ABD 3.ABC 4.AD 三、填空题 5.6 目目 考点05 等差数列、等比数列 一、单选题 1.D 2.C 3.C 4.D 二、多选题 5.AD 6.ACD 7.AD 三、填空题 8.6或7 9.32 10.-21 四、解答题 1l.【详解】(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为9，则an=-1+(n-1)d,bn=qr-1 由a2+b2=2,得d+q=3.① 由a3+b3=5,得2d+q2=6,② (d=3 (d=1 联立①②，解得g=0 (舍去)， (q=2, 因此T5=号=31 (2)由b1=1,T3=21,得q2+9-20=0, 解得q=-5,或q=4 4/7 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由于数列{an}为递增数列，所以d>0, 当q=4时，由①得d=一1（舍)： 当q=-5时，由①得d=8 则Sn=n×(-1)+×8=4n2-5n 2 目目 考点06 数列通项、数列求和 一、单选题 1.C. 2.C. 二、解答题 3.【详解】(1)由S6=25=a=5g可得a3=5, 由a2+a5=a3+a4=12可得，a4=7,公差d=2, 故an=7+2(n-4)=2n-1. (2)由(1)得Sn=+=n2, 2 故bn=点=n六=m西=（点-杂） 则Tn=(1-青+青-青+…十点-)=品 4.【详解】(1)根据题意，a1=1,2Sn=(n+1)am则2Sm-1=nam1 两式相减得2an=(n+1an-nar-1(n≥2，neN), 即最=品(a22neN), 所以n=是器…景a1=片…呈1=n, 故{an}的通项公式为an=n; (2”n为奇数 (2)由(1)知，an=n,所以bn= (n,n为隅数， 故T=b1+b2+b3+…+b2m=(b1+b3+…+b-1)+(b2+b4+…+b2m), =(2+28+…+2m1)+(2+4+…+2m)=华9+2222=学+m2+n 5.【详解】(1)证明：由2a+1=an+1,得2a+1-2=an-1, 又a1-1=-方，所以an-1≠0，故号=支， 5/7 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故{an-1}是以-寺为首项，以专为公比的等比数列： (2)解：由(1)得n-1=-()”,得an=1-()”, 所以nan=n-n(告)”，设{n()”}的前n项和为Pn 则Pn=1×克+2×(3)2+…+n()”,① Pn=1×()2+2×(3)3+…+n(传)1，② 0②，得Pn=+(3)2+(3)+…+(3)”-n(3)1 =-n()=1-()-(3)*1,则Pa=2-(n+2)()丹 1- 故Tn=1+2+3+…+n-Pn=学-Pn=4+学 6.【详解】1)由P(Sa,S*1)点在曲线y=(x+1)2上，可得Sn+1=(1+VSa)月 因为{an}是正项数列，所以Sn>0,所以两边开方得：VS陆1=Sn+1, 因为a1=1→VS1=1, 所以数列{Sn}为公差为1，首项为1的等差数列 (2)由数列{VSn}为公差为1，首项为1的等差数列可得， V5n=V51+n-1=1+n-1=a,即Sn=n2, 当n≥2时，an=Sn-Sm-1=n2-(n-12=2n-1, 由a1=1知，上式对n=1也成立，则an=2n-1. 数列{bn}满足b1=1,且abn十bn=b+1→(2n-1bn十bn=nbt1' 可得b+1=2ba,故{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列， 可得bn=2r1 3)由于c=装=()1， 所以前n项和为Tn=1+2+3()++a~(传)1， 则哈7n=支+2子+3()+…+(u-1)()+()”, 两式相减可得Tn=1+专+()2+…十（生）1-n()” 6/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =容-()”-=2-(+2小()”， 化简可得Tn=4-（红+2小()”1 7.【详解】(1)数列{an}中，a1=1,由aH2=2Sn十2，得a3=2S1+2=2a1+2=4, 则g2=4,解得g=-2或q=2, q=-2=(-sa器-g,28+2-4g 而a42=(-2)*1,显然a#2=2Sn+2不恒成立，因此q≠-2， 当g=2时，an=2-1,Sn=号=2”-1,2Sn十2=2*1=aH2符合题意， 所以q=2 (2)（i)由am2=2Sn+2,得at3=2SH1+2,两式相减得aH3-a+2=2(S+1-S=2+1, 则aH3十aH2=2(aH2十aH,当n≥2时，aH2十aH1=2(a+1+an, 而a3=4,a2=2,则a3+a2=6=2(a2+a),即n∈N,aH2+aH1=2(a+1+an, 所以数列{a#1十an}为等比数列. （i)由（i)知等比数列{ar1+an}的首项为3，公比为2，则a#1十an=3·21, aH2十a+1=3·2,两式相减得a42-an=3·21, 当n=2k-1,keN时，a2k+1-a2k-1=3,22k-2-34k-1, 于是2k+1-a1=∑(a2+1-a2-=3:其=4-1,2k+1=4=22+1,则an=21 当n=2kkeN时，a2k+2-a2x=3·22k-1=64-1, 于是2x+222=(（222-a2=6其=2：4-2,12+2=24=2+2，则an=2m, 州品阿“-斋-系。 所以T=号-号+学-号十等-苦+…十斋-需=斋- 7/7 专题04 集合、常用逻辑用语、不等式、数列 6大高频考点概览 考点01集合 考点02常用逻辑用语 考点03不等式的性质与解不等式 考点04基本不等式 考点05等差数列、等比数列 考点06数列通项、数列求和 地 城 考点01 集合 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)若全集，，，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知集合，则的整数元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)某兴趣班共30人，其中15人喜爱乒乓球运动，10人喜爱羽毛球运动，12人喜爱乒乓球但不喜爱羽毛球运动，则对这两项运动都不喜爱的人数为________ 地 城 考点02 常用逻辑用语 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 4．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)已知命题，则是（    ）． A． B． C． D． 5．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)若“，”是假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 8．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)设集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 9．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)设集合，函数的定义域为集合. (1)求集合A、. (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 地 城 考点03 不等式的性质与解不等式 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)若，且，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·黑龙江大庆东风中学·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)设集合，，，则（ ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)设集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末)不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)（多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)（多选）下列条件中能使成立的有（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)（多选）下面说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 三、填空题 13．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是______. 14．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)若函数的定义域为，则实数取值范围是______. 15．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知对一切都有意义，则实数m的取值范围为_______. 四、解答题 16．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)已知关于的不等式的解集为 (1)若且，求实数的取值范围. (2)解已知不等式. 17．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 地 城 考点04 基本不等式 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、多选题 2．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)（多选）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)（多选）若，，且，则（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为5 C．的最小值为 D．的最大值为 4．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)（多选）已知， 则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的最小值为 D．若，则 三、填空题 5．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)已知正数，满足，则的最大值是______. 地 城 考点05 等差数列、等比数列 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 2．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末)在等差数列中，为其前项的和，若，，则（    ） A．36 B．48 C．72 D．108 3．(24-25高二下·黑龙江大庆东风中学·期末)已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B．58 C．70 D．80 4．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)已知为等比数列，若，公比，则等于（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末)（多选）为等比数列的前项和，为的公比（），，，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)（多选）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列为递减数列 B．当且仅当时，取得最大值 C． D．是等比数列 7．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)（多选）已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．当且仅当时，取得最大值 D． 三、填空题 8．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)等差数列的前项和为，且，，当 ________时，最大. 9．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)设是等比数列，且，则__________. 10．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)记为数列的前项和，且，则__________. 四、解答题 11．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，. (1)若，求； (2)若，且数列为递增数列，求数列的前项和. 地 城 考点06 数列通项、数列求和 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知数列满足，若，则（   ） A．3 B． C． D． 2．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)已知数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 4．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)记数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和 5．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)已知数列满足，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和. 6．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)若正项数列的前项和为，首项，点在曲线上，数列满足，． (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列和的通项公式； (3)设数列满足，求数列的前项和. 7．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知数列的前项和为，且. (1)若为等比数列，求公比的值； (2)若， （i）证明：数列为等比数列； （ii）求数列的前项和. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $