专题05 二元一次方程组（期末复习知识清单，5常考题型7易错归因6方法技巧）六年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题05 二元一次方程组 考点1：二元一次方程（组）的概念 1. 二元一次方程：含__________未知数，含未知数的项的__________都是1的__________方程；一般形式：__________（，）。 2. 二元一次方程的解：使方程左右两边相等的__________；二元一次方程有__________组解。 3. 二元一次方程组：由__________组成，且共含__________未知数的方程组。 4. 二元一次方程组的解：同时满足__________的一对未知数的值；解的三种情况：__________、__________、__________。 考点2：二元一次方程组的解法 解题核心思想：__________，化__________为__________。 （1）代入消元法 适用条件：某未知数系数为__________，或方程易变形为单未知数表达式。 解题步骤：①__________ ②__________ ③__________ ④__________ ⑤__________ （2）加减消元法 适用条件：同一未知数系数__________或__________，或可通过乘常数统一系数。 解题步骤：①__________ ②__________ ③求解→回代→写解 考点3：二元一次方程组的应用 1. 完整解题步骤：审题→__________→__________→求解→__________→作答。 2. 五大高频题型：__________、__________、__________、__________、__________。 考点4：含参数二元一次方程组 1. 已知解求参数：将解__________方程组，转化为__________求解。 2. 解的判定公式： 唯一解：__________；无数解：__________；无解：__________。 3. 看错系数问题：错误的解满足__________，代入可求__________。 考点5： 简单的三元一次方程组 三元一次方程（组）核心概念 1. 三元一次方程：含有______未知数，且含未知数的项的次数都是______的______方程。 一般形式：__________（）。 2. 三元一次方程组：由______一次方程组成，整体共含______未知数的方程组。 3. 方程组的解：能使方程组中______方程都成立的______未知数的值。 解法核心思想与标准步骤 1. 解题核心思想：__________，转化思路：三元→______→______。 2. 两种核心解法：__________、__________。 3. 解题四步骤： ① 消元：消去______未知数，得到__________； ② 解二元：求出______未知数的值； ③ 回代：代入最简方程求出__________； ④ 写解：__________。 三类必考方程组题型及解题技巧 1. 含直接未知数表达式：适用__________法； 2. 缺元对称方程组：适用__________技巧； 3. 未知数系数相同/相反：适用__________法。 三元一次方程组实际应用 1. 解题六步法：______→______→______→______→______→______。 2. 常见应用题型：__________、__________、__________、__________。 高频易错点默写 1. 三元一次方程组判定三要素：__________、__________、__________； 2. 消元解题时需避免__________、__________两类错误； 3. 回代求值优先选择__________的方程。 题型1：二元一次方程（组）概念辨析 例1．（24-25六年级下·上海青浦·期末）下列方程中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）若是方程的解，则______． 例3．（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知是关于、的二元一次方程，则________． 变式1．（24-25六年级下·上海·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．8 B．5 C．11 D． 变式2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列叙述中错误的是（   ）． A．只含有两个未知数且含未知数的项的次数是一次的方程组叫做二元一次方程组 B．两个二元一次方程不一定能组成一个二元一次方程组 C．二元一次方程组可以由两个一元一次方程组成 D．任意一对数都是二元一次方程的一组解 变式3．（24-25六年级下·上海·期末）写出二元一次方程的正整数解______． 变式4．（24-25六年级下·上海宝山·期末）若是关于、的二元一次方程，则的值为__________． 变式5．（24-25六年级下·上海·期末）是关于的二元一次方程，则实数________． 题型2：二元一次方程组基础解法 例4．（22-23六年级下·上海宝山·期末）将方程变形为用含的式子表示，那么正确的是（    ） A． B． C． D． 例5．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）已知，则______． 例6．（24-25六年级下·上海金山·期末）解方程组： 例7．（24-25六年级下·上海虹口·期末）解方程组由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单．，得，所以③，，得④，，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请运用上述方法解方程组：； (2)请直接写出关于、的方程组（，是常数，）的解：______． 变式1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列二元一次方程组中，方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（23-24六年级下·上海虹口·期末）将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 变式3．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如果将方程变形为用含x的式子表示y，那么_______________． 变式4．（23-24六年级下·上海崇明·期末）解方程组： 变式5．（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 变式6．（24-25六年级下·上海宝山·期末）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为， 解得，即，解得． 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③， 把方程①代入③得，，则； 把代入①得，，所以方程组的解为：． 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于a，b的方程组：的解； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 题型3：二元一次方程组实际应用 例8．（25-26六年级上·上海崇明·期末）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，下列四个方程：①；②；③；④其中符合题意的是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 例9．（24-25六年级下·上海闵行·期末）某眼镜厂有工人25人，每人每天平均生产镜架72个或镜片96片，为了使每天生产的镜架和镜片刚好配套，安排人生产镜架，人生产镜片．根据题意，可列方程组为__________． 例10．（24-25六年级下·上海·期末）原购买3件甲商品和2件乙商品共需100元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调整后两种商品的单价和比原来的单价和提高了，则原购买1件甲商品和1件乙商品共需______元． 例11．（23-24六年级下·上海虹口·期末）虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 例12．（24-25六年级下·上海青浦·期末）某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品零售单价之和是元． 信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品件共需支付元． (1)根据情境中的信息，求出甲、乙两种商品的单价． (2)恰逢“”活动，乙商品降价销售，已知乙商品的成本为元，求此时的盈利率． 变式1．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）利用两块形状和大小完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按如图①所示的方式放置，再将两块木块按如图②所示的方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是______ ． 变式3．（22-23六年级下·上海宝山·期末）某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子，帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的，问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 变式4．（22-23六年级下·上海长宁·期末）课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分．    变式5．（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 变式6．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买型和型机器人各几台？ 变式7．（24-25六年级下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 题型4：含参数二元一次方程组重难点 例13．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）满足，且，则___________． 例14．（2024六年级下·上海·期末）整数为__________时，方程组有正整数解． 变式1．（24-25六年级下·上海·期末）关于的方程组有无数组解，则________． 变式2．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值为______． 变式3．（24-25六年级下·上海宝山·期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于的二元一次方程组中，求的取值范围． 分析：在关于的二元一次方程组中，利用含参数的代数式表示，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得因为．所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题：已知，且，求的取值范围． 题型5:简单的三元一次方程组 例15．（24-25六年级下·上海·期末）已知方程组，则的值_____． 例16．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）三元一次方程组的解为________． 例17．（24-25六年级下·上海青浦·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 例18．（24-25六年级下·上海金山·期末）（1）已知，，求（结果写成最简整数比）． （2）解方程组．                 （3）解方程组：． 变式1．（22-23六年级下·上海·期末）如果三元一次方程组为，那么x+y+z＝______． 变式2．（23-24六年级下·上海虹口·期末）解方程组： 变式3．（24-25六年级下·上海闵行·期末）解方程组 变式4．（24-25六年级下·上海宝山·期末）（1）解方程组： （2） 解方程组： 变式5．（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组： (1)； (2)解方程． 变式6．（24-25六年级下·上海宝山·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值. (1)小川的方法：整理可得：； 整理可得：；∴ 小渝的方法：：______________________；∴. (2)已知，试求解的值. = 易错点1：混淆二元一次方程与方程组的解 核心易错原因：误以为二元一次方程只有唯一一组解（二元一次方程有无数组解）；忽略方程组的解必须同时满足方程组内所有方程。 1．方程组的解（    ）方程的解． A．一定是 B．一定不是 C．不一定是 D．以上都不对 易错点2：代入消元法漏括号、符号出错 核心易错原因：代入含加减的多项式时，遗漏括号，导致后续符号、乘法分配律计算错误，是最常见的计算失误点。 2．用代入法解方程组，下列最合适的变形是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 易错点3：加减消元法系数配平、漏项错误 核心易错原因：未统一未知数系数就直接加减；方程同乘常数时，漏乘常数项；正负号混淆，导致消元失败。 3．用加减消元法解方程组，消去后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 易错点4：去分母、去括号计算失误 核心易错原因：解含分母的方程组时，去分母漏乘无分母的常数项；去括号时，括号前是负号，内部项未全部变号。 4．解方程时，去分母、去括号后，正确的结果是（     ） A．15x＋3－2x－1＝1 B．15x＋3－2x＋1＝6 C．15x＋3－2x＋1＝1 D．15x＋1－2x-1＝6 易错点5：看错系数类参数求解问题 核心易错原因：不会利用题型核心逻辑：看错某一系数，仅对应方程出错，所得解满足未看错的完整方程，无法逆向求参数。 5．解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么、、的值是_______． 易错点6：方程组解的情况判断失误 核心易错公式：对于方程组 1. ：方程组有唯一解； 2. ：方程组有无数组解； 3. ：方程组无解。 6．若关于x，y方程组无解，则m＝__________． 7．关于，的方程组有无数多个解，则___． 易错点7：二元一次方程组应用题建模错误 核心易错原因：设两个未知数却只列一个方程；单位不统一；求解后未检验解是否符合实际意义（人数、价格等不能为负数、小数）。 8． 用二元一次方程组解应用题：用若干节火车车厢运送一批货物．如果每节装35吨，还剩17吨装不下；如果每节多装5吨，则还可再装28吨．问共有几节火车车厢？这批货物共有多少吨？ 技巧一：代入消元法（基础必考） 适用场景：方程组中某个未知数系数为±1，变形简单，计算不易出错。 解题核心：将其中一个方程变形为“单未知数表达式”，代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解，最后回代求另一个未知数。 1．用代入消元法解方程组，将①代入②可得（    ） A． B． C． D． 技巧二：加减消元法（通用核心） 适用场景：相同未知数系数相同、互为相反数，或可快速化为同系数/反系数的方程组。 解题核心：系数相同用减法，系数相反用加法；系数不等时，方程同乘合适数字，统一未知数系数后再加减消元。 2．解方程组①②，比较简便的方法是（　　　） A．均用代入消元法 B．均用加减消元法 C．①用代入消元法，②用加减消元法 D．①用加减消元法，②用代入消元法 技巧三：系数化整消元法（分数系数专用） 适用场景：方程组含分数、小数系数，直接计算繁琐易出错。 解题核心：先给方程两边同乘分母最小公倍数，去分母化为整数系数方程组，再用代入/加减消元法求解。 3．解方程组：． 技巧四：整体换元法（复杂结构专用） 适用场景：方程组中出现重复的多项式整体，展开计算繁琐。 解题核心：将重复整体设为新未知数，简化方程组求解，最后回代还原原未知数。 4．阅读列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可转化为，运用以上知识解决下列问题： (1)解方程组； (2)关于x，y的二元一次方程组解为，求方程组的解． 技巧五：同解重组法（含参数同解题型） 适用场景：两个二元一次方程组有相同解，求参数的值。 解题核心：先联立无参数的两个方程求出公共解，再将解代入含参数方程组，求解参数。 5．已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求方程组相同的解； (2)求的值． 技巧六：方程组应用题设元列解（必考大题） 适用场景：和差倍分、配套、盈亏、行程等二元应用题。 解题核心：题目有两个未知量，设两个未知数；找准两组独立等量关系，列二元一次方程组，求解后检验作答。 6．某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二元一次方程组 考点1：二元一次方程（组）的概念 1. 二元一次方程定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：（，，为常数）。 易错警示：① 分母含未知数（分式方程，非整式）；② 未知数次数为2；③ 仅含一个未知数，均不属于二元一次方程。 2. 二元一次方程的解：使方程左右两边相等的一对未知数的值；二元一次方程有无数组解。 3. 二元一次方程组定义：由两个一次方程组成，且整体共含两个未知数的方程组。 标准形式：（不同时为0，不同时为0）。 4. 二元一次方程组的解：同时满足方程组中所有方程的一对未知数的值。 解的三种情况：唯一解、无数解、无解。 考点2：二元一次方程组的解法 核心思想：消元，将二元方程转化为一元一次方程求解。 （1）代入消元法 适用场景：某未知数系数为±1，或其中一个方程极易变形为单未知数表达式。 解题五步走： 1. 变形：选取系数简单的方程，用一个未知数表示另一个未知数； 2. 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数； 3. 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 4. 回代：将求出的值代入变形式，求另一个未知数； 5. 写解：联立结果，规范写出方程组的解。 （2）加减消元法 适用场景：同一未知数系数相等或互为相反数，或可通过乘常数化为相等/相反关系。 解题三步核心： 1. 化同：方程两边同乘合适常数，统一某未知数系数； 2. 加减：系数相反相加、系数相等相减，消元得一元一次方程； 3. 求解、回代、规范写解。 考点3：二元一次方程组的实际应用 核心思路：找出题目中两个独立的等量关系，设双未知数列方程求解。 标准解题六步骤：审题→设元→列方程组→求解→检验→作答。 高频必考题型：和差倍分问题、鸡兔同笼问题、行程问题、工程问题、利润折扣问题。 易错点：解出结果后必须检验是否符合实际生活意义（人数、路程、数量不能为负数、小数）。 考点4：含参数二元一次方程组（重难点+易错点） 1. 已知方程组的解，求参数 方法：将已知解代入原方程组，转化为关于参数的一元一次/二元一次方程，解方程求出参数值。 2. 方程组解的判定（比值法） 对于方程组 ： ① 唯一解：； ② 无数解：； ③ 无解：。 3. 看错系数题型 核心规律：看错某一个系数，所得的解满足未看错的完整方程，代入无误方程即可求出正确参数。 考点5： 简单的三元一次方程组 三元一次方程（组）核心概念 1. 三元一次方程：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。 标准一般形式：（其中不同时为0）。 2. 三元一次方程组：由三个一次整式方程组成，整体共含有三个未知数的方程组。 ⚠️ 关键说明：方程组中每个方程不一定都包含三个未知数，只要整体满足“三方程、三未知数、次数为1、整式方程”即可。 3. 方程组的解：同时使方程组中每一个方程左右两边相等的三个未知数的值，解的形式为。 解法核心思想与标准步骤 1. 核心思想：消元转化 通过代入或加减消元，将复杂的三元一次方程组，逐步转化为熟悉的二元一次方程组，最终转化为一元一次方程求解，即：三元 → 二元 → 一元。 2. 两大常用解法：代入消元法、加减消元法（初中阶段优先使用加减消元法，计算更简便、出错率更低）。 3. 标准解题四步骤 ① 消元：观察方程组特征，消去其中一个未知数，得到二元一次方程组； ② 解二元：求解新得到的二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③ 回代：将求出的两个未知数的值，代入最简原方程，求出第三个未知数； ④ 写解：联立三个未知数的值，写出方程组的完整解。 三类必考方程组题型及解题技巧 1. 直接代换型（适用代入消元法） 题型特征：方程组中有某个未知数直接用其他未知数表示（如），直接整体代入其余方程，快速消元。 2. 缺元对称型（整体求和法） 题型特征：方程组每个方程均缺少一个未知数，两两组合对称，可将所有方程相加，求出三个未知数的和，再分别作差快速求解。 3. 系数互补型（适用加减消元法） 题型特征：同一未知数的系数互为相反数或相等，直接通过两式相加/相减消去该未知数，简化方程组。 三元一次方程组实际应用 1. 解题六步骤：审题（找等量关系）→设元（设三个未知数）→列方程（列三元一次方程组）→解方程→检验（代入验证）→作答。 2.高频应用场景：和差倍分问题、数字问题、年龄问题、购物总价问题、配套比例问题。 高频易错点警示 1. 概念误区：三元一次方程组必须同时满足：3个未知数、所有含未知数项次数为1、均为整式方程，三者缺一不可； 2. 消元误区：多次消元时，所有方程必须交替参与运算，不可固定使用两个方程，导致漏条件、错解； 3. 计算误区：加减消元注意符号变化，回代求值优先选择系数最简单的方程，降低计算错误率； 4. 结果误区：方程组的解是一组数值，不可单独书写单个未知数的值，必须联立书写。 题型1：二元一次方程（组）概念辨析 例1．（24-25六年级下·上海青浦·期末）下列方程中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，属于基础题，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，含有两个未知数且所有未知数的项的次数都是1，可直接选出正确选项． 【详解】解：A选项中的方程组有三个未知数，故不符合题意； B选项中的方程组属于二元一次方程组，故符合题意； C选项中的方程组中的不是一次方程，故不符合题意； D选项中的方程中的第一个方程的分母含未知数，不是整式方程，故不符合题意． 故选：B． 例2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）若是方程的解，则______． 【答案】3 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式求值，解题的关键是利用方程的解得到的值，再对所求代数式变形． 先把方程的解代入方程，得出，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为是方程的解， 把代入方程中，可得． ， 所以， 故答案为3． 例3．（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知是关于、的二元一次方程，则________． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程的概念， 二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，据此作答即可． 【详解】解：∵是关于、的二元一次方程， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 变式1．（24-25六年级下·上海·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．8 B．5 C．11 D． 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，将代入方程，可得，再将所求代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴， ∴ ， 故选：C． 变式2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列叙述中错误的是（   ）． A．只含有两个未知数且含未知数的项的次数是一次的方程组叫做二元一次方程组 B．两个二元一次方程不一定能组成一个二元一次方程组 C．二元一次方程组可以由两个一元一次方程组成 D．任意一对数都是二元一次方程的一组解 【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义、二元一次方程的解 【详解】解：A． 只含有两个未知数且未知数的次数是一次的方程组叫做二元一次方程组，该选项正确，不符合题意； B．两个不同未知数的二元一次方程不能组成一个二元一次方程组，两个相同未知数的二元一次方程能组成一个二元一次方程组，即两个二元一次方程不一定能组成一个二元一次方程组，该选项正确，不符合题意； C．二元一次方程组可以由两个一元一次方程组成，该选项正确，不符合题意； D．任意一对数不一定是二元一次方程的一组解，该选项错误，符合题意； 故选D． 变式3．（24-25六年级下·上海·期末）写出二元一次方程的正整数解______． 【答案】或． 【知识点】二元一次方程的解 【分析】此题主要考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看做已知数求出x．把y看做已知数求出x，即可确定出正整数解． 【详解】解：方程， 变形得：， 当时，； 当时，； 则方程的正整数解为，． 故答案为：或． 变式4．（24-25六年级下·上海宝山·期末）若是关于、的二元一次方程，则的值为__________． 【答案】1 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据关于，的方程是二元一次方程，得到， 解答即可． 本题考查了二元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：由关于，的方程是二元一次方程， 故， ， 解得，且， 故， 故答案为：1． 变式5．（24-25六年级下·上海·期末）是关于的二元一次方程，则实数________． 【答案】1 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟知概念是关键； 根据二元一次方程的定义：只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程求解即可． 【详解】解：因为是关于的二元一次方程， 所以， 解得； 故答案为：1． 题型2：二元一次方程组基础解法 例4．（22-23六年级下·上海宝山·期末）将方程变形为用含的式子表示，那么正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】代入消元法 【分析】把看作已知数求出即可． 【详解】解： ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 例5．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）已知，则______． 【答案】4 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组．将方程组的两个方程加起来，得到，进而得到． 【详解】解：由题意得， 将，得：， 则：． 故答案为：4． 例6．（24-25六年级下·上海金山·期末）解方程组： 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查利用代入消元法解二元一次方程组． 解题思路是先从一个方程中用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再代入另一个方程，实现消元，进而求解方程组． 【详解】解：由方程，通过移项可得到， 将代入方程中：得到． 化简得到． 得． 把代入， 可得． 综上，方程组的解为． 例7．（24-25六年级下·上海虹口·期末）解方程组由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单．，得，所以③，，得④，，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请运用上述方法解方程组：； (2)请直接写出关于、的方程组（，是常数，）的解：______． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了加减法解一些系数较大的二元一次方程组，熟练掌握加减法是解题的关键； （1），所得方程两边都除以 4 ，得：，再与方程①利用加减法求解即可；（2）所得方程两边都除以，得：，再与方程①利用加减法求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 两边除以 4 ，得：③， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． （2）解：， 得：， 两边除以，得：③， 得：， 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． 故答案为：． 变式1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列二元一次方程组中，方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法是解题的关键． 逐一利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】A.， ①+②，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为； B.， ②①，得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为； C.， ①+②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为； D.， ①+②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 故选：B． 变式2．（23-24六年级下·上海虹口·期末）将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数，把当作常数，解关于的方程，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 变式3．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如果将方程变形为用含x的式子表示y，那么_______________． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查了二元一次方程，先把含的项移到方程的右边，再两边同时除以4即可． 【详解】将方程变形为用含的式子表示， 则， 即， 故答案为： ． 变式4．（23-24六年级下·上海崇明·期末）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法．解二元一次方程组应根据题目特点，灵活选用加减消元法或代入消元法． 先将方程组变形，再利用加减消元法求解． 【详解】解：方程组变形为 ，得：， 解得， 将代入，得：， 解得， 故该方程组的解为． 变式5．（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入②，得， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ， ∵， ， 解得； （3）解：∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ， 解得：． 变式6．（24-25六年级下·上海宝山·期末）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为， 解得，即，解得． 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③， 把方程①代入③得，，则； 把代入①得，，所以方程组的解为：． 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于a，b的方程组：的解； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原方程的解． （1）用换元法替换和，解方程组即可； （2）用换元法替换和，根据已知条件解方程组即可； 【详解】（1）解：∵， 设，， ∴原方程可以化为， 用得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴方程组的解为，即， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵， 设， ∴原方程化为：， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 解得； 题型3：二元一次方程组实际应用 例8．（25-26六年级上·上海崇明·期末）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，下列四个方程：①；②；③；④其中符合题意的是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程，关键是理解两种乘车方式下车数与人数的关系，从而建立等式． 【详解】解：设共有人，辆车． 对于“每3人坐一辆车，有2辆空车”：实际使用的车辆数为，因此人数； 对于“每2人坐一辆车，有9人步行”：实际乘车人数为，因此车辆数，即， 所以，故①正确，②错误． “每3人坐一辆车，有2辆空车”：总车数；“每2人坐一辆车，有9人步行”：总车数， 所以，故③正确，④错误． 综上，符合题意的是①③， 故选：A． 例9．（24-25六年级下·上海闵行·期末）某眼镜厂有工人25人，每人每天平均生产镜架72个或镜片96片，为了使每天生产的镜架和镜片刚好配套，安排人生产镜架，人生产镜片．根据题意，可列方程组为__________． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 设名工人生产镜架，名工人生产镜片，可得，又根据2个镜片和1个镜架恰好配一套，列方程即可． 【详解】解：设名工人生产镜架，名工人生产镜片， 根据题意得：， 故答案为：． 例10．（24-25六年级下·上海·期末）原购买3件甲商品和2件乙商品共需100元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调整后两种商品的单价和比原来的单价和提高了，则原购买1件甲商品和1件乙商品共需______元． 【答案】45 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设原购买1件甲商品需元，原购买1件乙商品需元，根据题意建立方程组，解方程组可得的值，由此即可得． 【详解】解：设原购买1件甲商品需元，原购买1件乙商品需元， 由题意得：， 整理得：， 解得， 则， 即原购买1件甲商品和1件乙商品共需45元， 故答案为：45． 例11．（23-24六年级下·上海虹口·期末）虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)、根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． （1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：小泓和小智两位同学提出的解题思路如下： ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： 故答案为：①；②． （2）若选择① 则， 解得 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道160米． 若选择② 则， 解得 甲整治的河道长度：米；乙整治的河道长度：米． 例12．（24-25六年级下·上海青浦·期末）某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品零售单价之和是元． 信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品件共需支付元． (1)根据情境中的信息，求出甲、乙两种商品的单价． (2)恰逢“”活动，乙商品降价销售，已知乙商品的成本为元，求此时的盈利率． 【答案】(1)甲商品的单价为元，乙商品的单价为元； (2)此时的盈利率为． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系． （1）设甲商品的单价为元，乙商品的单价为元，根据信息1和信息2中的等量关系，列方程组，求解即可； （2）根据题意，可得乙商品的售价，从而可得乙商品的利润，代入盈利率公式计算即可． 【详解】（1）解：设甲商品的单价为元，乙商品的单价为元， 根据题意可得，， 解得，， 答：甲商品的单价为元，乙商品的单价为元． （2）解：设盈利率为， 根据题意可得，， 解得，， 答：此时的盈利率为． 变式1．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出方程组即可，解题关键是观察图形中正方形边长的拼接关系，找出等量关系列出方程组． 【详解】解：水平方向，观察图形可知，存在由两个边长为的部分组成的水平线段，其长度等于边长为的正方形边长加最小正方形边长，即 ； 垂直方向，从垂直边的拼接关系看，边长为的正方形边长加，等于边长为的正方形边长减，即； 综上，符合条件的二元一次方程组为， 故选：． 变式2．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）利用两块形状和大小完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按如图①所示的方式放置，再将两块木块按如图②所示的方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是______ ． 【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设桌子的高度为，长方体的长为，宽为，根据图中两种测量方式测出的数据，可列出二元一次方程组，再利用消元法解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子的高度为，长方体的长为，宽为， 根据题意得：， 得：， ∴桌子的高度为 故答案为：． 变式3．（22-23六年级下·上海宝山·期末）某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子，帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的，问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 【答案】男生人、女生人 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设该兴趣小组有男生人、女生人，根据题意的两个等量关系得出方程组，解出即可得出答案． 【详解】解：设该兴趣小组有男生人、女生人， 根据题意得：解这个方程组得： 经检验符合实际， 答：该兴趣小组有男生人、女生人． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是仔细审题，得出方程组． 变式4．（22-23六年级下·上海长宁·期末）课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分．    【答案】小丽的5次飞镖总分为37分 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】设A区域每次中镖得分，B区域每次中镖得分，根据图示列二元一次方程组，解之即可. 【详解】解：设A区域每次中镖得分，B区域每次中镖得分． 依题意得， 解得， 小丽：（分） 答：小丽的5次飞镖总分为37分． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 变式5．（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹 (2)快递车的总配送路程是千米 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键； （1）设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得， 解得： 答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹； （2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得 解得： 答：快递车的总配送路程是千米 变式6．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买型和型机器人各几台？ 【答案】(1)种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元 (2)该企业要购买型机器人5台，型机器人5台 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设种型号智能机器人的单价为万元，种型号智能机器人的单价为万元，根据买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业要购买型机器人台，型机器人台，根据该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设种型号智能机器人的单价为万元，种型号智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业要购买型机器人台，型机器人台， 由题意得， 解得， 答：该企业要购买型机器人5台，型机器人5台． 变式7．（24-25六年级下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)或或，补全幻方见解析 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、数字问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意并列出方程是解题的关键． （1）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，即可； （2）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程组，即可； （3）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，再结合m，a为正整数，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得： ， 解得：； （3）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ∵m，a为正整数， ∴或或， 当时， 第三行的三个数从左到右依次为13，8，15，第三列三个数从上到下依次为11，10，15， 每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都36，如图 9 16 11 14 12 10 13 8 15 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下 21 4 11 2 12 22 13 20 3 题型4：含参数二元一次方程组重难点 例13．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）满足，且，则___________． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了根据方程组的解的情况求参数，先解方程求出方程的解，再根据建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把滴入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 例14．（2024六年级下·上海·期末）整数为__________时，方程组有正整数解． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】先求出方程组的解，再根据方程组有正整数解，求出的值． 【详解】解：， ①②2，得 ， ， 将代入②式，得： ， 又方程组是正整数解， 12时满足x、y均为正整数， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 变式1．（24-25六年级下·上海·期末）关于的方程组有无数组解，则________． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，得，然后根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可．掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 变式2．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值为______． 【答案】-1 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】方程组两方程相减表示出x+y，代入已知方程计算即可求出m的值． 【详解】， ①－②得：， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：-1. 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，运用了整体代入的思想． 变式3．（24-25六年级下·上海宝山·期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于的二元一次方程组中，求的取值范围． 分析：在关于的二元一次方程组中，利用含参数的代数式表示，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得因为．所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题：已知，且，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【知识点】求不等式组的解集、加减消元法 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （2）仿照例子即可求出的取值范围． 【详解】解：（1）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则； （2）解：设与构成方程组， 解得：， ∵， ， ， ∴． 题型5:简单的三元一次方程组 例15．（24-25六年级下·上海·期末）已知方程组，则的值_____． 【答案】5 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组，利用整体思想解题是关键．利用加减消元法可得，再整体代入方程组求解即可． 【详解】解：， 由得：， 将③代入①得：， 则， 故答案为：5． 例16．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）三元一次方程组的解为________． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】利用代入消元法和加减消元法求解即可． 【详解】， 把代入，得：， ，得：， ， 把代入得：， 把代入得：， ∴原方程组的解是． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解法，解题的基本思路是消元，通过加减消元和代入消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组来求解． 例17．（24-25六年级下·上海青浦·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【知识点】加减消元法、代入消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查解三元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为； （2）， 得：④， 得：⑤， 得：， 解得：， 将代入⑤得：， 解得：， 将，代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为． 例18．（24-25六年级下·上海金山·期末）（1）已知，，求（结果写成最简整数比）． （2）解方程组．                 （3）解方程组：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】 比的化简、三元一次方程组的定义及解、加减消元法 【分析】本题考查了比例化简，解二元一次方程组，三元一次方程组，解题的关键是： （1）由比例性质得，，即可求解； （2）根据加减消元法求解； （3）根据加减消元法求解． 【详解】（1）解：因为； ， 所以． （2）解：， 由得③， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组解为． （3）解： 得，解得： 得④ 将代入④得，解得：， 将，代入①得，解得：， ∴原方程组的解为． 变式1．（22-23六年级下·上海·期末）如果三元一次方程组为，那么x+y+z＝______． 【答案】9 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】三个方程相加可得结论． 【详解】解：将三元一次方程组中的三个方程相加得2x+2y+2z＝18， ∴x+y+z＝9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查三元一次方程组，解题的关键是学会用整体思想解决问题，属于中考常考题型． 变式2．（23-24六年级下·上海虹口·期末）解方程组： 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法求解． 【详解】解：由得：， 解得：， 由得： ④， 将代入④得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 变式3．（24-25六年级下·上海闵行·期末）解方程组 【答案】 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组是解题的关键； 通过加减消元法，消去，联立，解方程得，再将解代入含的方程求解即可． 【详解】解：由题知，， 得，， 得，， 联立，解得， 把，代入中，可得，解得， 原方程组的解为． 变式4．（24-25六年级下·上海宝山·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 【答案】（1）（2） 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】此题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，用到的知识点是消元法解方程组，关键是根据方程组的特点运用加减法进行消元． （1）先把，再利用加减消元法即可解答； （2）先用得，再用得，解得，然后把分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）， ，得， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为； （2） 得：， 得：， ∴ 把分别代入得 解得 ∴方程组的解为 变式5．（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组： (1)； (2)解方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解、代入消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，解题的关键是根据方程组的特点选择合适的消元方法（代入消元或加减消元）． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 由②式，移项可得③， 把③代入①式中，得到． 解得， 把代入③式，得． 所以，方程组解为； （2）解： ①＋②：， 去括号得， 合并同类项后，解得． ①＋③：， 去括号得， 合并同类项后④， 把代入④式，即，解得． 把代入①式，即，解得． 所以，方程组的解为． 变式6．（24-25六年级下·上海宝山·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值. (1)小川的方法：整理可得：； 整理可得：；∴ 小渝的方法：：______________________；∴. (2)已知，试求解的值. 【答案】(1)；； (2)3 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握方程组的解法和应用是解题关键． （1）根据等式的性质求解即可得； （2）参照小川的方法，利用等式的性质和消元法求解即可得； 【详解】（1）解：依题意，小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ， 故答案为：；；． （2）解：， 由得：， 整理得：， 由得：， 整理得：， 则． 易错点1：混淆二元一次方程与方程组的解 核心易错原因：误以为二元一次方程只有唯一一组解（二元一次方程有无数组解）；忽略方程组的解必须同时满足方程组内所有方程。 1．方程组的解（    ）方程的解． A．一定是 B．一定不是 C．不一定是 D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：对于方程组， ∵方程组的解是能使方程组中两个方程同时成立的未知数的值， ∴方程组的解一定满足其中的每一个方程， 而是方程组中的第一个方程， ∴方程组的解一定是方程的解． 故选：A ． 易错点2：代入消元法漏括号、符号出错 核心易错原因：代入含加减的多项式时，遗漏括号，导致后续符号、乘法分配律计算错误，是最常见的计算失误点。 2．用代入法解方程组，下列最合适的变形是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题考查了代入法解方程组．代入法解方程组时，优先选择系数为的未知数进行变形，可避免分数运算，简化计算．观察方程组，方程②中的系数为，最适合变形． 【详解】解：∵方程②中，的系数为，变形时无需引入分数，计算简便， ∴由②移项得，此变形最合适， 对比其他选项，A、B、C变形后均含有分数，计算相对繁琐， 故选：D． 易错点3：加减消元法系数配平、漏项错误 核心易错原因：未统一未知数系数就直接加减；方程同乘常数时，漏乘常数项；正负号混淆，导致消元失败。 3．用加减消元法解方程组，消去后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个方程中的系数相同，可直接两式相减消去． 【详解】解：原方程组为， 消去，可得． 易错点4：去分母、去括号计算失误 核心易错原因：解含分母的方程组时，去分母漏乘无分母的常数项；去括号时，括号前是负号，内部项未全部变号。 4．解方程时，去分母、去括号后，正确的结果是（     ） A．15x＋3－2x－1＝1 B．15x＋3－2x＋1＝6 C．15x＋3－2x＋1＝1 D．15x＋1－2x-1＝6 【答案】B 【分析】方程去分母，去括号得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， 去分母得：3（5x+1）-（2x-1）=6， 去括号得：15x+3-2x+1=6． 故选B． 易错点5：看错系数类参数求解问题 核心易错原因：不会利用题型核心逻辑：看错某一系数，仅对应方程出错，所得解满足未看错的完整方程，无法逆向求参数。 5．解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么、、的值是_______． 【答案】，， 【分析】根据已知条件得出方程组，计算即可得到a，b； 【详解】将代入方程组， 可得， 化简得， 由题意得为错解； 将代入方程组， 可得， 化简得， 所以，解方程组， 得， 将代入①式， 解得． 综上，，，． 故答案是，，． 易错点6：方程组解的情况判断失误 核心易错公式：对于方程组 1. ：方程组有唯一解； 2. ：方程组有无数组解； 3. ：方程组无解。 6．若关于x，y方程组无解，则m＝__________． 【答案】 【分析】根据第二个方程得到，代入中，得到，当时即可得解； 【详解】由得， 代入得， 整理得：， 当时，即时，无解， ∴当时，原方程组无解． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确理解无解的情况是解题的关键． 7．关于，的方程组有无数多个解，则___． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，方程组中的两个方程相同，据此可得 解方程组，得 所以，． 易错点7：二元一次方程组应用题建模错误 核心易错原因：设两个未知数却只列一个方程；单位不统一；求解后未检验解是否符合实际意义（人数、价格等不能为负数、小数）。 8．用二元一次方程组解应用题：用若干节火车车厢运送一批货物．如果每节装35吨，还剩17吨装不下；如果每节多装5吨，则还可再装28吨．问共有几节火车车厢？这批货物共有多少吨？ 【答案】共有节火车车厢，这批货物共有吨， 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设共有节火车车厢，这批货物共有吨，根据货物的总量为定值，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设共有节火车车厢，这批货物共有吨，由题意，得： ，解得：； 答：共有节火车车厢，这批货物共有吨． 技巧一：代入消元法（基础必考） 适用场景：方程组中某个未知数系数为±1，变形简单，计算不易出错。 解题核心：将其中一个方程变形为“单未知数表达式”，代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解，最后回代求另一个未知数。 1．用代入消元法解方程组，将①代入②可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 把①代入②得：， 即， 故选：A. 技巧二：加减消元法（通用核心） 适用场景：相同未知数系数相同、互为相反数，或可快速化为同系数/反系数的方程组。 解题核心：系数相同用减法，系数相反用加法；系数不等时，方程同乘合适数字，统一未知数系数后再加减消元。 2．解方程组①②，比较简便的方法是（　　　） A．均用代入消元法 B．均用加减消元法 C．①用代入消元法，②用加减消元法 D．①用加减消元法，②用代入消元法 【答案】C 【分析】根据方程组的特点，选择加减法或代入法即可． 【详解】解：方程组①有用x表示y的方程，适合用代入法；方程组②未知数x的系数相同，y的系数互为相反数，适合用加减消元法， 故选C． 技巧三：系数化整消元法（分数系数专用） 适用场景：方程组含分数、小数系数，直接计算繁琐易出错。 解题核心：先给方程两边同乘分母最小公倍数，去分母化为整数系数方程组，再用代入/加减消元法求解。 3．解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 化简，得， ，得⑤， ，得， 解得， 把代入③， 得， 解得． ∴原方程组的解为． 技巧四：整体换元法（复杂结构专用） 适用场景：方程组中出现重复的多项式整体，展开计算繁琐。 解题核心：将重复整体设为新未知数，简化方程组求解，最后回代还原原未知数。 4．阅读列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可转化为，运用以上知识解决下列问题： (1)解方程组； (2)关于x，y的二元一次方程组解为，求方程组的解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查换元法解分式方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的，熟练掌握解方程及方程组的方法是解题的关键． （1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案. 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：∵关于x，y二元一次方程组的解为， ，解得：. 技巧五：同解重组法（含参数同解题型） 适用场景：两个二元一次方程组有相同解，求参数的值。 解题核心：先联立无参数的两个方程求出公共解，再将解代入含参数方程组，求解参数。 5．已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求方程组相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个方程组的解相同，得出新的方程组，求出解，然后根据方程组的解求出参数； （2）代入求值即可． 【详解】（1）解：∵两方程组的解相同， ∴x，y满足， 解得， ∴方程组相同的解为， 将代入，得， 解得； （2）解：由（1）得，代入得，． 技巧六：方程组应用题设元列解（必考大题） 适用场景：和差倍分、配套、盈亏、行程等二元应用题。 解题核心：题目有两个未知量，设两个未知数；找准两组独立等量关系，列二元一次方程组，求解后检验作答。 6．某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元 (2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有4种购进方案：①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台 【分析】（1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解； （2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解； ②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或或， 有4种购进方案： ①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $