精品解析：湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

湖北曾都一中2025至2026学年高一下学期5月月考数学试题 考试时间：2026-6-1 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 复数是纯虚数，则实数（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知复数是纯虚数，则实部，解得； 虚部，解得， 综上，． 2. 在正方体中，任意两条面对角线的夹角不可能为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】正方体中，互相平行的面： 当对角线互相平行时，夹角为0；当对角线互相垂直时，夹角为； 互相垂直的面，对角线可构成等边三角形，则夹角为， 综上，任意两条面对角线的夹角不可能为． 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】直观图中，直角中，，又，故 由勾股定理得， 画出原图形，则，，， 故，故原图形的面积为. 4. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论. 【详解】因为是的中点，所以， 因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 5. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（   ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】因为圆台的两个底面周长之比为，所以两底面圆的半径之比也为. 设圆台较大底面的半径为，较小底面的半径为， 则由圆台的侧面积为可得：， 解得. 6. 已知函数，且是偶函数，则实数（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式得到，，从而得到的表达式，根据函数为偶函数得到方程，求出，求出答案. 【详解】，其中， ， 为偶函数，故，解得， 则. 故选：B 7. 在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（    ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作图，根据勾股定理和三角函数关系式计算即可. 【详解】如图，过作于点，在中，km， 作. 在中，，所以. 因为小时，所以受台风影响的时间为4小时. 8. 已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】分析出为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，表达出，求出最小值. 【详解】分别表示与同方向的单位向量， 故为的平分线所在直线， 又，故的平分线所在直线与垂直， 由三线合一可得， 取的中点，则，， ，故， 所以为等腰直角三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为. 二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B正确， 对于C，，所以C错误， 对于D， ，所以D正确. 10. 如图，等边三角形的边长为，边上的高为，沿把三角形折起来，则（   ） A. 在折起的过程中始终有平面 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 当时，点到的距离为 D. 当时，点到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】A. 利用线面垂直的判定定理判断；B.由三棱锥的体积为求解判断；C.设的中点为，连接，，易知，AE为点到的距离判断；D. 易知平面，由CD为点到平面的距离判断. 【详解】A. 因为，所以平面，故正确； B. 因为，当时，， 由选项A知平面，所以AD是三棱锥的高， 所以三棱锥的体积为， 则其最大值为，故错误； C.如图所示： 当时，是等边三角形，设的中点为，连接，， 则，所以点到的距离为，故正确； D. 当时，，且，则平面， 所以点到平面的距离为，故错误； 故选：AC 11. 在三角形中，角的对边分别为，满足，则以下叙述正确的是（    ） A. 三角形一定不是锐角三角形 B. 一定为负值 C. 若角是锐角且，则 D. 若三角形是直角三角形且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用余弦定理得出，A，C中有一个是直角或钝角，可判断A，然后再结合余弦定理判断BC，由C是直角求得B，进而判断D. 【详解】对A，由余弦定理得， 又，所以，即，所以中有一个是直角或钝角，三角形不是锐角三角形，A正确； 对B，由选项A分析知中有一个是直角或钝角，一定是锐角， 所以，B正确； 对C，若角是锐角，则，由选项A知，即，又，所以，， 所以，C正确； 对D，由选项A知中有一个是直角或钝角， 现在是直角三角形，若，又，则，不是，D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【详解】设（，），则， 则 ， 所以，，即． 13. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球表面积为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，由此作出圆锥的外接球的草图，根据勾股定理即可求出外接球半径，然后再根据球的表面积公式，即可求出结果． 【详解】设圆锥的底面半径为， 由于圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为， 所以底面半径，圆锥的高为，所以圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，； 作出圆锥的外接球的草图，如下： 则，设外接球的半径为，则, 在中，，所以，解得， 所以圆锥的外接球表面积为． 故答案为：. 【点睛】本题考查了空间几何体的外接球的表面积求法，考查空间想象能力，属于中档题. 14. 已知，满足，且，则在上的投影向量的模的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的模、数量积等性质建立关于的不等式，进而求解投影向量的模的最小值. 【详解】解法1：已知，则， 又，满足， 则， 则， 又，即， 即，又， 即， 则在上投影向量为， 所以， 即在上投影向量的模的最小值为. 解法2：由， 又，故， 在上投影向量的模为， 由，得， 故投影向量的模为， 当时，在上的投影向量的模最小，最小值为， 所以在上投影向量的模的最小值为. 四、解答题（77分） 15. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 16. 如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， （1）求证：； （2）求证：平面； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定性质推理得证. （2）利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理得证. 【小问1详解】 由正方形，得，又平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 由正方形，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面， 由（1）知，所以平面. 17. 已知，，函数. （1）求的最小正周期； （2）求函数在上的最大值和最小值，以及使取得这些值时的值； （3）将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于点对称，求当取最小值时，不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3），. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标形式和三角变换公式可得，最后根据公式求得周期； （2）利用整体法可求函数的最值及对应的的值； （3）根据平移变换求得的解析式，根据的图象的对称性可求的值，利用整体法可求不等式的解. 【小问1详解】 由已知，， 故， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，故， 故， 当，即时，， 当，即时，. 【小问3详解】 将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数，所以. 又函数的图象关于点对称，所以， 故，即时即时， 当取最小值且时，此时， 此时，即 解得，解得，其中， 即不等式解集为，. 18. 如图，在四棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； （3）若，求锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过构造平行四边形，再结合线面平行的判定定理可得； （2）由面与面的垂直并结合（1）中平行关系可得即为所求角，然后在直角三角形中计算可得； （3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，再结合余弦定理求解可得. 【小问1详解】 取的中点为，连接，则，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为，且平面平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，所以直线与底面所成角即直线与底面所成角， 如图，过作于， 又平面底面，平面底面平面， 则底面， 所以即为直线与底面所成角. 取的中点，连接，因为，则． 因为为的中点，所以为的中点． 又， 则， 在中，， 所以， 即直线与底面所成角的正切值为 【小问3详解】 如图，过作交于，连接， 因为，则即为平面和平面的夹角的平面角. 因为四边形为直角梯形，， 所以，又因为，，所以． 当时，在中，， 由余弦定理得， 在中，， 由余弦定理得． 所以锐二面角的余弦值为 19. 在中，已知，的面积S满足：． （1）求的值； （2）如图所示，O为线段上一点，延长至点D，使得，记 （i）用含的式子分别表示与的面积； （ii）若，求实数的最大值． 【答案】（1） （2）（i）的面积为，的面积为 （ii） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和向量数量积公式，结合已知等式求出，再利用余弦定理求出边长比. （2）（i）先用余弦定理表示出，再结合第一问表示出的面积，利用三角形面积公式及正弦定理、余弦定理表示出的面积. （ii）利用三角形面积之间的关系将转化为关于的函数，最后利用三角函数的性质求最值. 【小问1详解】 因为，所以， 即，得， 所以，而， 在中，由余弦定理可知，, 所以，即. 【小问2详解】 （i）记，的面积分别为，设， 在中，由余弦定理可知，， 则， 即，则， 在中，由正弦定理可知，，即， 所以 ， 故的面积为，的面积为. （ii）记的面积为，则， 由，可得 ， 令，则由，得， 而在上单调递增，故， 所以实数的最大值为，当且仅当，即时等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北曾都一中2025至2026学年高一下学期5月月考数学试题 考试时间：2026-6-1 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 复数是纯虚数，则实数（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2. 在正方体中，任意两条面对角线的夹角不可能为（ ） A. 0 B. C. D. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（   ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知函数，且是偶函数，则实数（ ） A. B. C. D. 2 7. 在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（    ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A. B. 2 C. D. 1 二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形的边长为，边上的高为，沿把三角形折起来，则（   ） A. 在折起的过程中始终有平面 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 当时，点到的距离为 D. 当时，点到平面的距离为 11. 在三角形中，角的对边分别为，满足，则以下叙述正确的是（    ） A. 三角形一定不是锐角三角形 B. 一定为负值 C. 若角是锐角且，则 D. 若三角形是直角三角形且，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数满足，则______． 13. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球表面积为_____________. 14. 已知，满足，且，则在上的投影向量的模的最小值为______. 四、解答题（77分） 15. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 16. 如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， （1）求证：； （2）求证：平面； 17. 已知，，函数. （1）求的最小正周期； （2）求函数在上的最大值和最小值，以及使取得这些值时的值； （3）将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于点对称，求当取最小值时，不等式的解集. 18. 如图，在四棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； （3）若，求锐二面角的余弦值． 19. 在中，已知，的面积S满足：． （1）求的值； （2）如图所示，O为线段上一点，延长至点D，使得，记 （i）用含的式子分别表示与的面积； （ii）若，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $