第01讲 从自然数到有理数（暑假预习讲义）新七年级数学新教材浙教版

第01讲 从自然数到有理数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 自然数、整数、分数 题型2 正数、负数的意义 题型3 正负数的实际应用 题型4 有理数的意义 题型5 有理数的分类 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 从自然数到有理数 正负数 有理数 1. 回顾自然数、分数的意义与应用，了解数的发展历程。 2. 理解负数产生的实际背景，掌握正数、负数的概念及表示方法。 3. 能正确用正、负数表示具有相反意义的量，区分 0 的特殊意义。 4. 明确有理数的定义，会对有理数进行分类。 学习重点： · 用正、负数表示具有相反意义的量。 · 有理数的概念及两种分类方法。 学习难点： · 理解负数的实际意义，突破原有自然数的认知局限。 · 理清有理数分类标准，做到分类不重、不漏。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 数的发展 像0、1、2、3、……这种表示计数个数或顺序的数叫作自然数。自然数的产生是源于： （1）计数的需要； （2）测量的需要； （3）标号的需要； （4）排序的需要； 2. 分数、小数 （1）分数和小数的产生是源于：测量、分配的需要； （2）分数与整数的关系 分数可以看作两个整数相除，例如； （3）分数与小数的关系 分数都可以化成有限小数或无限循环小数； 反之，有限小数、无限循环小数都可以化成分数； 【易错提醒】 分数（）可以看作两个整数相除()，其中n和m必须是整数。“”虽有分数的“外形”但因为不是整数，所以 不属于分数。 知识点02 正数、负数 1. 负数的产生 一般地，为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，用大于零的数表示，这样的数叫作正数。正数前面可以放上正号“+”来表示(常省略不写)。 把另一种与之意义相反的量规定为负，在大于零的数前面放上负号“-”来表示，这样的数就叫作负数。 2. 0的意义 0既不是正数，也不是负数。 【易错提醒】 负数是“在大于零的数前面放上负号“-”来表示”，但不是带有“-”的数一定是负数。如“-a”不一定是负数，它表示a的相反数。 知识点03 有理数 1. 有理数的意义 整数和分数统称有理数。 2. 有理数的分类 【易错提醒】 无限不循环小数不能转化为分数，不属于有理数。譬如：“”、“1.010010001……（每两个1之间的0逐次多1个）” 题型1 自然数、整数、分数 【例1】把下列分数化为小数 （1） ； （2） （3） （4） ； （5） （6） 【详解】解： （1）=0.25 ； （2） （3） （4） =0.333……； （5） （6） 【例2】把下列小数化为分数 （1）0.2； （2） （3）0.0125 （4）0. 【详解】解： （1）0.2=； （2） （3）0.0125= （4）0.= 【技巧归纳】 1. 分母只含有因数2和5的分数一定可以化为有限小数，否则只能化为无限循环小数； 分母为n的分数化为循环小数时，循环位数最多是（n-1）位。 2. 有限小数和无限循环小数一定可以化为分数. 【变式练习】 1．身份证号码含有很多个人信息：前6位是地区代码；第位是出生日期；第位是顺序码；第17位奇数表示男性，偶数表示女性；第18位是校验码．下面是小东的爷爷、爸爸、妈妈以及小东四人的身份证号码（*为最后一位隐藏的校验码），你认为小东的妈妈的身份证号码应该是（  ） A．35058219621203001* B．35058219850108001* C．35058219871220804* D．35058220131106003* 【详解】解：∵小东的妈妈是女性． ∴身份证第17位应为偶数． 选项A第17位是1（奇数），为男性，且1962年出生年龄过大，对应爷爷，不符合要求． 选项B第17位是1（奇数），为男性，1985年出生对应爸爸，不符合要求． 选项C第17位是4（偶数），为女性，1987年出生年龄合理，符合妈妈的身份． 选项D第17位是3（奇数），为男性，2013年出生年龄过小，对应小东，不符合要求． ∴小东妈妈的身份证号码是35058219871220804*． 故选：C． 2．四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（    ）个 小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点． 小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读． 小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小． 小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0． A．2 B．3 C．4 【详解】解：小红的表述：0既可以表示没有，也可作为测量的起点（如直尺的0刻度），还是正负数的分界点，该表述正确； 小明的表述：根据整数读数规则，每级末尾的0都不读，该表述正确； 小丽的表述：只有小数末尾的0去掉才不改变数的大小，整数末尾的0去掉会改变数的大小（如10去掉末尾的0变为1，大小改变），故该表述错误； 小刚的表述：除法中除数为0无意义，分数的分母相当于除法的除数，比的后项也相当于除法的除数，因此分数的分母、比的后项都不能为0，该表述正确； 综上，正确的表述共有3个，选项B符合题意． 3．小于10的自然数共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【详解】解：小于10的自然数有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10个． 故选：C． 4．下面的描述中不符合日常生活常识的是（ ） A．六年级学生平均身高约145厘米 B．一枚鸡蛋重约60克 C．一瓶普通的牛奶大约250毫升 D．我校的总面积9807平方千米 【详解】∵六年级学生平均身高约145厘米，符合实际； ∵一枚鸡蛋重约60克，符合实际； ∵一瓶普通的牛奶大约250毫升，符合实际； ∵我校的总面积9807平方千米（相当于大型城市面积），远大于实际学校面积（通常为几万平方米），不符合常识． ∴ 不符合日常生活常识的是D． 故选：D． 5．小明的身份证号码是320804201310010234，身份证号码告诉我们小明是________月出生． 【详解】身份证号码320804201310010234中，第位“10”表示出生月份， 因此小明是10月出生． 故答案为：10． 6．读完下面这段话，回答问题 六年级（2）班的教室长，宽，讲台长，宽，班级有人，占全年级人数的，多数同学都是岁． (1)在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？ (2)你能将这些数字进行分类吗？ (3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明． 【详解】（1）解：老师刚才描述中出现了：2、、、、、、、， 计数的有50，测量的有、、、、13岁、，属于标号与排序的数字2； （2）解：按整数和分数分类：整数有2、、、、，分数有、、． （3）解：仅有整数和分数不够用，例如求圆的周长和面积时，发现圆周率但圆周率的值并不能由两个整数相除而得；又如求边长为的正方形对角线长时，求得的也不是整数和分数． 题型2 正数、负数的意义 【例1】把下列各数填在相应的集合中： 15，，，，，，0， 正数集合 负数集合 整数集合 分数集合 【详解】解：正数集合：； 负数集合：； 整数集合：； 分数集合：. 【例2】（1）如果升降机下降记作，那么上升记作什么？ （2）如果元表示在银行存入40000元，那么元表示什么？ （3）某盐业公司加工的袋装食盐，如果超过标准质量记作，那么低于标准质量记作什么？ 【答案】（1）；（2）在银行取出3000元；（3） 【分析】本题考查了相反意义的量“用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是他们都是数量”，熟记相反意义的量的定义是解题关键．根据相反意义的量的定义求解即可得． （1）根据上升与下降的意义相反解答即可得； （2）根据存入与取出的意义相反解答即可得； （3）根据超过与低于的意义相反解答即可得． 【详解】解：（1）因为上升与下降的意义相反， 所以如果升降机下降记作，那么上升记作． （2）因为存入与取出的意义相反， 所以如果元表示在银行存入40000元，那么元表示在银行取出3000元． （3）因为超过与低于的意义相反， 所以如果超过标准质量记作，那么低于标准质量记作． 【变式练习】 1．在中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了负数的定义，根据负数的定义，判断给出的数中小于0的数，统计个数即可得到答案． 【详解】解：，是负数； 不是负数； ，是正数，不是负数； ，是负数. ∴负数共有2个． 2．某市元旦的最高气温为零上，记为；最低气温为零下，则最低气温记为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，最低气温为零下， 则最低气温记为． 3．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作______． 【答案】元 【详解】解：若盈利元记作元，则亏损元应记作元． 4．请判断下列各数哪些是正数，哪些是负数： ，，19，，0，，，，． 【答案】，19，，，都是正数；，，都是负数 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0的数是正数、小于0的数是负数解答即可得． 【详解】解：在这些数中，正数：，19，，，； 负数：，，． 5．下面哪对量是具有相反意义的量?如何用正负数来表示它们？ (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【详解】（1）∵ 得20分表示分数增加，扣10分表示分数减少， ∴ 它们是具有相反意义，得20分为+20，扣10分记为-10． （2）∵ 蓄水量增加表示水量增加，减少表示水量减少， ∴ 具有相反意义.增加10000m3为+10000m3，减少1200m3记为-1200m3，． （3）∵ 下去10名乘客表示乘客减少，上来8名乘客表示乘客增加， ∴ 具有相反意义．下去10名记为-10名，上来8名记为+8名； （4）∵ 周长是长度量，面积是面积量， ∴ 两者无相反方向含义，故无相反意义． 6．把下列各数分别填入相应的括号内： ，，，0，，，，，，，． (1)正数：{             }． (2)整数：{             }． (3)负分数：{             }． (4)负数：{             }． 【详解】（1）解：正数有： ，，，，，； （2）解：整数有： ，0， ， ； （3）解：负分数有：， ． （4）解：负数：， ， ，． 题型3 正数、负数的实际应用 【例1】某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 【详解】（1）解：用正负数表示百货商店的盈亏情况如下： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 （2）解：根据（1）中的百货商店的盈亏情况表可知，四月的营业状况最好，六月的营业状况最差． 【例2】阅读下列材料并解答问题． 素材 为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年级一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： 筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 重量 2.5 0 1 2 任务1 （1）求这8筐花生的实际重量分别为多少千克？ 任务2 （2）在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元/千克的价格全部售出，已知七年级一班在播种时，以10元/千克的价格购进花生种子15千克，请你帮七年级一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？ 【详解】解：（1）∵每筐以为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数， ∴筐号①的实际重量为：； 筐号②的实际重量为：； 筐号③的实际重量为：； 筐号④的实际重量为：； 筐号⑤的实际重量为：； 筐号⑥的实际重量为：； 筐号⑦的实际重量为：； 筐号⑧的实际重量为：； （2）销售额为：元， 成本为：元， ∴获利元． 【易错点拨】 1. 当一组数据都接近于一个“基数”时，常以这个“基数”为标准，盈余的部分记为正数，不足的部分记为负数。 2. 在求这组数据总和或平均数时，别忘了“基数”。 【变式练习】 1．国庆黄金周到来之际，小明欲到美丽的“兰茂故里”嵩明开启一段美妙旅行！为更好地规划行程，临行前特意查找了该地区一周内（月1日至月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 日平均气温（℃） 0 (1)求这一周内的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？ (2)求这一周内的平均气温是多少摄氏度？ (3)若小明希望气温在以上时进行户外活动，那么这一周中有几天适合户外活动？请说明理由． 【详解】（1）解：由题意得，月5日平均气温最高，当日平均气温为（）， 月7日平均气温最低，当日平均气温为（）， ∴这一周内的最高气温与最低气温相差（）． 故答案为：； （2）解：月1日平均气温为（）， 月2日平均气温为（）， 月3日平均气温为（）， 月4日平均气温为（）， 月5日平均气温为（）， 月6日平均气温为， 月7日平均气温为（）， ∴这一周内的平均气温是（）． 故答案为； （3）解：由（2）可知，10月3日、10月4日和10月5日的气温分别为、和，均在以上，适合户外活动 故这一周中有3天适合户外活动． 2．10袋小麦以每袋为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：． (1)这10袋小麦中质量最大的是多少千克？质量最小的是多少千克？ (2)这10袋小麦总质量是多少千克？ 【详解】（1）解：∵50+4=54，50-5=45 ∴质量最大的是54千克，质量最小的是45千克； （2）解：50×10（千克）， 答：这10袋小麦总质量是500千克． 题型4 有理数的意义 【例1】在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】解：是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是有限小数，是有理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数。 综上，有理数共有个． 【例2】下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 【详解】解：非负数为：，，，，，，共有个． 【技巧归纳】 1. 因为整数和分数统称有理数，所以判断一个数是不是有理数就看它是不是整数，或是不是分数； 2. 有限小数和无限循环小数都可以化成分数，但无限不循环小数不可以化成分数。 【变式练习】 1. 在数中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是无限循环小数，可化为分数，属于有理数； 则有理数共有2个． 2．下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】解：1是整数，不是分数； 是负分数，属于分数； 是有限小数，可化为分数，属于分数； ，是整数，则不属于分数； ，是有限小数，可化为分数，则属于分数； 是无限循环小数，可化为分数，属于分数； 综上，属于分数的数共有个． 3．在，，0，这四个有理数中，非负数有________个． 【详解】解：在，，，这四个有理数中， 非负数有：，0共2个. 题型5 有理数的分类 【例1】把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{ }； 负分数：{ }； 负有理数：{ }． 【详解】解：非正整数：{0，} 负分数：{，，} 负有理数：{，，，} 【易错点拨】 1. 非正整数是指不是正整数的整数，所以是0和负整数； 2. 负分数一定属于负有理数，但负有理数不一定是负分数。 【例2】判断表中各数分别是什么数，在相应的格子内画“√” 【详解】解： √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 【变式练习】 1. 把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 【详解】解：负数集合：{，，，（每相邻两个之间依次多一个）}； 分数集合：{0.3，，，，，2.3%}； 负有理数集合：{，，}； 有理数集合：{0.3，，，，0，，，10，2.3%}． 2．把下列有理数填入相应的数集内： ，，，，，，，， (1)正数集合｛ …｝ (2)负数集合｛ …｝ (3)整数集合｛     …｝ (4)非负有理数集合｛ …｝ 【详解】（1）解：正数集合｛，，，…｝ （2）负数集合｛，，，，，…｝ （3）整数集合｛，，，…｝ （4）非负有理数集合｛，，，，…｝ 一、单选题 1．杭州亚运会将在2023年9月23日开幕，本次赛事将诞生481块金牌．请问下列哪个自然数属于计数和测量的是（　　） A．2023 B．9 C．23 D．481 【答案】D 【分析】本题考查有理数的认识，2023、9、23表示的是时间，481表示的是计数和测量． 【详解】解：481属于计数和测量的自然数， 故选：D． 2．下列分数中不能化成有限小数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据分数化为有限小数的判断规则解题，一个最简分数，如果分母只含有质因数2和5，就能化为有限小数，如果分母含有2和5以外的其他质因数，则不能化为有限小数，先化简分数，再分解分母的质因数即可判断． 【详解】解：是最简分数，，分母只含质因数2，故能化成有限小数． 约分后得，分母只含质因数5，故能化成有限小数． 是最简分数，，分母只含质因数2和5，故能化成有限小数． 是最简分数，，分母含有2和5以外的质因数3，不能化成有限小数． 3．小明的身份证号是，则小明的生日是（   ） A．月日 B．月日 C．月日 D．月日 【答案】D 【分析】本题考查数学常识问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 身份证的第七位到第十四位是身份证所有人的出生年月日，由此即可解答． 【详解】解：∵小明的身份证号是， ∴小明的生日是月日． 故选：D． 4．在，12，，0，5，中，非负数的个数有（    ） A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查非负数的定义，非负数包含正数和0，只需找出题干中属于正数和0的数，统计其个数即可． 【详解】解：∵非负数是指正数和0， ∴在，12，，0，5，中，非负数为12，0，5， ∴非负数的个数为3个． 故答案为：B． 5．下列说法中，正确的是（　　） A．正有理数、负有理数统称为有理数 B．非负数就是正数 C．正有理数、负有理数和零统称为有理数 D．有理数包括小数和分数 【答案】C 【分析】有理数是分数和整数的统称，有理数分为正有理数，负有理数和零，非负数是大于或等于零的数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、正有理数，负有理数和零统称为有理数，原说法错误，故此选项不符合题意； B、非负数是正数或者零，原说法错误，故此选项不符合题意； C、正有理数、负有理数和零统称为有理数，原说法正确，故此选项符合题意； D、有理数包括整数和分数，原说法错误，故此选项不符合题意； 6．祖国大地幅员辽阔，即使同一季节，各地温度差异也很大，下表是2025年我国五个城市冬季平均气温表，其中平均气温为负数的城市有（    ）个． 城市 北京 上海 哈尔滨 广州 长春 冬季平均气温（单位：） 6 15 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据定义找出气温为负数的城市，统计个数即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴气温为负数的城市共3个． 7．下列数中，有理数有（　　）个． A．6 B．5 C．3 D．7 【答案】A 【分析】根据有理数的概念即可得出答案． 【详解】解：有理数有：，共6个． 故选：Ａ. 【点睛】题考查了有理数的概念，整数和分数统称为有理数，注意π不是有理数． 8．下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据有理数分类中分数的定义判断各数，初中数学中有限小数和无限循环小数都属于分数，统计符合条件的数的个数即可得到答案． 【详解】解：1是整数，不是分数； 是负分数，属于分数； 是有限小数，可化为分数，属于分数； ，是整数，则不属于分数； ，是有限小数，可化为分数，则属于分数； 是无限循环小数，可化为分数，属于分数； 综上，属于分数的数共有个． 9．在，，0，23，中，非负整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先明确非负整数的定义，即大于等于0的整数，再逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负分数，不符合要求； 是分数，不符合要求； 是非负整数，符合要求； 是非负整数，符合要求； 是负整数，不符合要求； ∴符合条件的非负整数共个． 10．下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据整数、有理数、非负数的定义逐一判断各说法正误，统计正确结论个数即可． 【详解】解：①整数包含负整数、0、正整数，所有负整数都小于0，原说法错误； ②有理数分为正有理数、0、负有理数，原说法错误； ③非负数就是正数和0，原说法错误； ④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，正确． 综上，正确的结论共有1个． 二、填空题 11．在分数中，不能化成有限小数的分数是___________． 【答案】 【分析】本题考查分数能否化成有限小数的判断方法，核心是先将分数化为最简分数，再看分母的质因数是否只包含2和5． 【详解】解：逐一分析各分数： 化简为，分母，只含质因数2，能化成有限小数； 的分母，只含质因数2和5，能化成有限小数； 的分母，只含质因数2，能化成有限小数； 化为，分母的质因数为，不能化成有限小数（是无限循环小数）． 故答案为：． 12．如果收入用正数表示，支出用负数表示，那么元表示__________． 【答案】支出56元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，理解正负数在应用中的意义是解决本题的关键． 根据正负数在实际应用中的意义即可求解． 【详解】解：如果收入用正数表示，支出用负数表示，那么元表示支出56元． 故答案为：支出56元． 13．在直线下面的□里填整数或小数，上面的□里填分数． 方框里从左到右依次填入________、________、________、________． 【答案】 【分析】本题考查了分数的意义，根据分数的意义，在直线下面的□里填整数或小数，上面的□里填分数．即可求解． 【详解】解：如图 方框里从左到右依次填入，，， 故答案为：，，，． 14．把化成小数，这个小数的小数部分第30位上的数是 __． 【答案】7 【分析】先将分数转化为循环小数，确定循环节的位数，再通过有理数除法运算计算30包含多少个完整循环节，根据余数情况判断小数部分第30位的数字． 【详解】解：，该小数是循环小数，循环节为“142857”，循环节的位数为6， ∵， ∴小数部分第30位是循环节的最后一个数字， 故这个小数的小数部分第30位上的数是7． 15．将下列各数填在相应的横线上． 35，－25，0，＋32.6，－10%，，， 其中，整数有________________，非负整数有________________，正分数有________________，负有理数有________________． 【答案】 35，－25，0 35，0 ＋32.6，， －25，－10%， 【分析】根据有理数的定义及分类依次解答即可． 【详解】解：整数有：35，-25，0； 非负整数有：35，0； 正分数有：＋32.6，，； 负有理数有－25，－10%，； 故答案为：35，-25，0；35，0；＋32.6，，；－25，－10%，． 【点睛】此题考查了有理数的定义及分类，正确掌握有理数的分类是解题的关键． 16．在，，3.14，0，，，、，中，属于非负整数的有_______． 【答案】，0， 【分析】根据有理数的概念，不小于0的整数就是非负整数． 【详解】解：，，，，，， ，是负数，，3.14，0，是非负数，，不是有理数， 故答案为：，0，． 【点睛】此题考查了有理数分类的应用，关键是准确理解非负整数． 三、解答题 17．把下列各数分别填入表示它所在的数集的圈里． ，，0，，，，8，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题关键是熟练掌握正数、负数和整数的定义．分别根据正数、负数和整数的定义，把各数填在相应的数集里即可． 【详解】解：如图： 18．如图所示的是图纸上一个零件的标注（单位：）．    (1)零件合格的直径尺寸范围是多少? (2)若某零件的直径尺寸为，则这个产品合格吗? 【答案】(1)零件的直径 (2)不合格 【分析】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键． （1）根据题意即比标准直径多；即比标准直径少，即可得出合格范围； （2）判断是否在这个范围即可． 【详解】（1）解：因为， ， 所以零件的直径的合格范围是零件的直径； （2）解：因为不在该范围之内， 所以这个产品不合格． 19．某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 【答案】(1)见解析 (2)四月的营业状况最好，六月的营业状况最差 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据正负数表示具有相反意义的两种量，再结合题意即可解答； （2）根据（1）中表格数据可得答案． 【详解】（1）解：用正负数表示百货商店的盈亏情况如下： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 （2）解：根据（1）中的百货商店的盈亏情况表可知，四月的营业状况最好，六月的营业状况最差． 20．某中学七（4）班的同学在体检中测量了自己的身高，并求出了该班同学的平均身高． （1）下表给出了该班5名同学的身高情况（单位：），试完成该表，并求出该班同学的平均身高； 姓名 刘杰 刘涛 李明 张春 刘建 身高 161 ______ ______ 163 156 身高与全班同学平均身高差 0 ______ ______ （2）谁最高？谁最矮？ （3）计算这5名同学的平均身高是多少？ 【答案】（1）；平均身高为；（2），张春最高，刘建最矮；（3） 【分析】（1）根据刘杰的身高及其身高与全班平均身高的差可求出全班的平均身高， （2）根据（1）所求的全班的平均身高可以完成表格； （3）根据平均数的定义可得出这5名同学的平均身高． 【详解】解：（1）该班同学的平均身高为， 从左到右，依次填入表格的是157,158，+5，﹣2，如图所示： 姓名 刘杰 刘涛 李明 张春 刘建 身高 161 157 158 163 156 身高与全班同学平均身高差 0 +5 ﹣2 （2）由题（1）表可知，张春最高，刘建最矮； （3）， 答：这5名同学的平均身高为159厘米． 【点睛】本题考查平均数的知识，难度适中，关键在于准确理解身高及其与全班的平均身高差求出全班的平均身高． 21．阅读与探究： 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ (5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________． 【答案】(1)是 (2) (3)是，过程见解析 (4) (5)，0，，16.2 【详解】解：（1）是             （2）             设，由，得． 可知，，即， 解得：， （3）设，由，     可得：， 等式两边同乘以100，可得，     即：，     化简，得： 解方程，得：．             （4） 由（1）知： 所以． （5）在中，属于非负有理数的是，0，，16.2， 故答案为：，0，，16.2． 8 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 从自然数到有理数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 自然数、整数、分数 题型2 正数、负数的意义 题型3 正负数的实际应用 题型4 有理数的意义 题型5 有理数的分类 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 从自然数到有理数 正负数 有理数 1. 回顾自然数、分数的意义与应用，了解数的发展历程。 2. 理解负数产生的实际背景，掌握正数、负数的概念及表示方法。 3. 能正确用正、负数表示具有相反意义的量，区分 0 的特殊意义。 4. 明确有理数的定义，会对有理数进行分类。 学习重点： · 用正、负数表示具有相反意义的量。 · 有理数的概念及两种分类方法。 学习难点： · 理解负数的实际意义，突破原有自然数的认知局限。 · 理清有理数分类标准，做到分类不重、不漏。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 数的发展 1. 自然数的产生 像0、1、2、3、……这种表示计数个数或顺序的数叫作自然数。自然数的产生是源于： （1）计数的需要； （2）测量的需要； （3）标号的需要； （4）排序的需要； 2. 分数、小数 （1）分数和小数的产生是源于：测量、分配的需要； （2）分数与整数的关系 分数可以看作两个整数相除，例如； （3）分数与小数的关系 分数都可以化成有限小数或无限循环小数； 反之，有限小数、无限循环小数都可以化成分数； 【易错提醒】 分数（）可以看作两个整数相除()，其中n和m必须是整数。“”虽有分数的“外形”但因为不是整数，所以 不属于分数。 知识点02 正数、负数 1. 负数的产生 一般地，为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，用大于零的数表示，这样的数叫作正数。正数前面可以放上正号“+”来表示(常省略不写)。 把另一种与之意义相反的量规定为负，在大于零的数前面放上负号“-”来表示，这样的数就叫作负数。 2. 0的意义 0既不是正数，也不是负数。 【易错提醒】 负数是“在大于零的数前面放上负号“-”来表示”，但不是带有“-”的数一定是负数。如“-a”不一定是负数，它表示a的相反数。 知识点03 有理数 1. 有理数的意义 整数和分数统称有理数。 2. 有理数的分类 【易错提醒】 无限不循环小数不能转化为分数，不属于有理数。譬如：“”、“1.010010001……（每两个1之间的0逐次多1个）” 题型1 自然数、整数、分数 【例1】把下列分数化为小数 （1） ； （2） （3） （4） ； （5） （6） 【例2】把下列小数化为分数 （1）0.2； （2） （3）0.0125 （4）0. 【技巧归纳】 1. 分母只含有因数2和5的分数一定可以化为有限小数，否则只能化为无限循环小数； 分母为n的分数化为循环小数时，循环位数最多是（n-1）位。 2. 有限小数和无限循环小数一定可以化为分数. 【变式练习】 1．身份证号码含有很多个人信息：前6位是地区代码；第位是出生日期；第位是顺序码；第17位奇数表示男性，偶数表示女性；第18位是校验码．下面是小东的爷爷、爸爸、妈妈以及小东四人的身份证号码（*为最后一位隐藏的校验码），你认为小东的妈妈的身份证号码应该是（  ） A．35058219621203001* B．35058219850108001* C．35058219871220804* D．35058220131106003* 2．四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（    ）个 小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点． 小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读． 小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小． 小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0． A．2 B．3 C．4 3．小于10的自然数共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 4．下面的描述中不符合日常生活常识的是（ ） A．六年级学生平均身高约145厘米 B．一枚鸡蛋重约60克 C．一瓶普通的牛奶大约250毫升 D．我校的总面积9807平方千米 5．小明的身份证号码是320804201310010234，身份证号码告诉我们小明是________月出生． 6．读完下面这段话，回答问题 六年级（2）班的教室长，宽，讲台长，宽，班级有人，占全年级人数的，多数同学都是岁． (1)在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？ (2)你能将这些数字进行分类吗？ (3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明． 题型2 正数、负数的意义 【例1】把下列各数填在相应的集合中： 15，，，，，，0， 正数集合 负数集合 整数集合 分数集合 【例2】（1）如果升降机下降记作，那么上升记作什么？ （2）如果元表示在银行存入40000元，那么元表示什么？ （3）某盐业公司加工的袋装食盐，如果超过标准质量记作，那么低于标准质量记作什么？ 【变式练习】 1．在中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．某市元旦的最高气温为零上，记为；最低气温为零下，则最低气温记为__________． 3．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作______． 4．请判断下列各数哪些是正数，哪些是负数： ，，19，，0，，，，． 5．下面哪对量是具有相反意义的量?如何用正负数来表示它们？ (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 6．把下列各数分别填入相应的括号内： ，，，0，，，，，，，． (1)正数：{             }． (2)整数：{             }． (3)负分数：{             }． (4)负数：{             }． 题型3 正数、负数的实际应用 【例1】某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 【例2】阅读下列材料并解答问题． 素材 为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年级一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： 筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 重量 2.5 0 1 2 任务1 （1）求这8筐花生的实际重量分别为多少千克？ 任务2 （2）在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元/千克的价格全部售出，已知七年级一班在播种时，以10元/千克的价格购进花生种子15千克，请你帮七年级一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？ 【易错点拨】 1. 当一组数据都接近于一个“基数”时，常以这个“基数”为标准，盈余的部分记为正数，不足的部分记为负数。 2. 在求这组数据总和或平均数时，别忘了“基数”。 【变式练习】 1．国庆黄金周到来之际，小明欲到美丽的“兰茂故里”嵩明开启一段美妙旅行！为更好地规划行程，临行前特意查找了该地区一周内（月1日至月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 日平均气温（℃） 0 (1)求这一周内的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？ (2)求这一周内的平均气温是多少摄氏度？ (3)若小明希望气温在以上时进行户外活动，那么这一周中有几天适合户外活动？请说明理由． 2．10袋小麦以每袋为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：． (1)这10袋小麦中质量最大的是多少千克？质量最小的是多少千克？ (2)这10袋小麦总质量是多少千克？ 题型4 有理数的意义 【例1】在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 【技巧归纳】 1. 因为整数和分数统称有理数，所以判断一个数是不是有理数就看它是不是整数或分数，或可不可以化为分数； 2. 有限小数和无限循环小数都可以化成分数，但无限不循环小数不可以化成分数。 【变式练习】 1. 在数中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 3．在，，0，这四个有理数中，非负数有________个． 题型5 有理数的分类 【例1】把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{ }； 负分数：{ }； 负有理数：{ }． 【易错点拨】 1. 非正整数是指不是正整数的整数，所以是0和负整数； 2. 负分数一定属于负有理数，但负有理数不一定是负分数。 【例2】判断表中各数分别是什么数，在相应的格子内画“√” 【变式练习】 1. 把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 2．把下列有理数填入相应的数集内： ，，，，，，，， (1)正数集合｛ …｝ (2)负数集合｛ …｝ (3)整数集合｛     …｝ (4)非负有理数集合｛ …｝ 一、单选题 1．杭州亚运会将在2023年9月23日开幕，本次赛事将诞生481块金牌．请问下列哪个自然数属于计数和测量的是（　　） A．2023 B．9 C．23 D．481 2．下列分数中不能化成有限小数的是（   ） A． B． C． D． 3．小明的身份证号是，则小明的生日是（   ） A．月日 B．月日 C．月日 D．月日 4．在，12，，0，5，中，非负数的个数有（    ） A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 5．下列说法中，正确的是（　　） A．正有理数、负有理数统称为有理数 B．非负数就是正数 C．正有理数、负有理数和零统称为有理数 D．有理数包括小数和分数 6．祖国大地幅员辽阔，即使同一季节，各地温度差异也很大，下表是2025年我国五个城市冬季平均气温表，其中平均气温为负数的城市有（    ）个． 城市 北京 上海 哈尔滨 广州 长春 冬季平均气温（单位：） 6 15 A．1 B．2 C．3 D．4 7．下列数中，有理数有（　　）个． A．6 B．5 C．3 D．7 8．下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 9．在，，0，23，中，非负整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．在分数中，不能化成有限小数的分数是___________． 12．如果收入用正数表示，支出用负数表示，那么元表示__________． 13．在直线下面的□里填整数或小数，上面的□里填分数． 方框里从左到右依次填入________、________、________、________． 14．把化成小数，这个小数的小数部分第30位上的数是 __． 15．将下列各数填在相应的横线上． 35，－25，0，＋32.6，－10%，，， 其中，整数有________________，非负整数有________________，正分数有________________，负有理数有________________． 16．在，，3.14，0，，，、，中，属于非负整数的有_______． 三、解答题 17．把下列各数分别填入表示它所在的数集的圈里． ，，0，，，，8，，． 18．如图所示的是图纸上一个零件的标注（单位：）．    (1)零件合格的直径尺寸范围是多少? (2)若某零件的直径尺寸为，则这个产品合格吗? 19．某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 20．某中学七（4）班的同学在体检中测量了自己的身高，并求出了该班同学的平均身高． （1）下表给出了该班5名同学的身高情况（单位：），试完成该表，并求出该班同学的平均身高； 姓名 刘杰 刘涛 李明 张春 刘建 身高 161 ______ ______ 163 156 身高与全班同学平均身高差 0 ______ ______ （2）谁最高？谁最矮？ （3）计算这5名同学的平均身高是多少？ 21．阅读与探究： 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ (5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $