命题大赛 贵州省2025-2026学年高二下学期期末测试数学试题

**基本信息** 高二下学期期末数学试卷，涵盖函数、几何、统计等模块，通过新定义“理想数”、密码推理等创新题，结合解三角形、导数应用等综合题，实现基础巩固与能力提升的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选+多选）|11题/58分|集合、向量、统计（上四分位数）、数列、三角函数|统计题考查数据处理能力，复数题强化逻辑推理| |填空题|3题/15分|二项式定理、逻辑推理（密码）、双曲线离心率|密码题通过条件分析培养数学思维，双曲线题突出几何直观| |解答题|5题/77分|解三角形、导数切线与零点、立体几何二面角、椭圆定点、新定义证明|新定义“理想数”证明发展创新意识，椭圆题综合运算能力与模型观念|

高二下学期期末试卷 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合，，则=（ ） A. B． C． D． 2.已知向量，若,则（ ） A. B． C． D． 3.学校在高三第三次月考中，抽取某班9名学生的英语听力成绩样本数据为18，24，15，13.5，21，30，12，27，28.5的上四分位数为（ ） A. 15 B. 18 C. 24 D. 27 4.已知等差数列前项和为，且满足，则数列的公差为（ ） A. 4 B.3 C.2 D.1 5.函数的最小正周期为，为了得到的图象，只需将函数的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 6.函数是奇函数，则的值是（ ） A. -1 B.0 C.1 D.2 7.四棱台中，菱形且与底面成角，则该四棱台的体积为（ ） 8.直线与直线的交点为,是抛物线上的动点，则的最小值为（ ） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知复数均不为0，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 10.下列结论正确的是（ ） 11.函数 和对有函数为偶函数，则（ ） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.二项式的展开式中的常数项是 . 13.高三数学组办公室门设有不同数字的三位数密码锁，现有3名同学来猜密码，甲同学猜125，乙同学猜138，丙猜591，老师回答学生：甲同学猜对1个且位置正确，乙同学猜对1个且位置不正确，丙同学猜对2个且位置均不正确，则密码锁的密码是 . 14.已知双曲线的焦点分别为，, 过的直线与的左支交于两点．若，则双曲线的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.在中，内角的对边分别为已知． （1）求的值； （2）若，，求的面积. 16.已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）设函数，若函数有且仅有一个零点时，求的值. 17.如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且. （1）求证:； （2）若二面角的余弦值为，求的值. 18.椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 19.把一类特殊的自然数N的所有正因数的和等于它自身的两倍记为“理想数”，寻找“理想数”用表示正因数的和．（例如，6为理想数） （1）判断28是否为“理想数”，并说明理由; （2）求和; （3）已知，若为质数，证明：为理想数. 学科网（北京）股份有限公司 $高二下学期期末（数学）参考答案 2 3 4 5 6 7 8 B D A D 9 10 11 BC ABC AC √21 12.45 13.985 14.3 cos A-2cosC 2c-a 2sinC-sin A 15题：解：(1)由题可知 cosB b sinB,所以 (2 分) cos Asin B-2cosCsin B=2sinCcosB-sin AcosB, (4 分) =2 所以sinC=2sinA,.c=2a,所以a (6 分) 1 cosB= sinB=V15 (2)因为 4,所以B为锐角， (8 分) a2+c2-b2_1 C=2 且 2ac 4,又a,所以a=1,c=2」 (11 分) 所以 2acsinB=15 1 4 (13 分) 16题：解：(1)由题可知，当a=-1时，f()=(x2-2)血x-x+2,定义域为 (0,+00) 所以f'(x)=(2x-2)nx-x-2,k=f()=-3 又f0)=1,所以fx)在，f》处的切线方程为：3x+y-4=0. (6 分) (2)根据题意，g()=(r2-2x)血x+ar'-x,定义域为(0，+o), =1-(x-2)Inx 令8(w)=0,有 (7 分) )=1-(x-2)Inx)==x-2x+1 设 ,则 x2 (9 分) 设m(x)=-x-2lnx+1,x∈(0，+o) m'()=-1-2 0. 所以m()在(0，+o0)上单调递减，又m①=0 所以x∈(0，D时m()>0,x∈(1，+0)时m()<0,如右图： (11 分) 所以x∈(0,1D时N'(x)>0,h(x)在(0,1D上单调递增， xE(1,+o)时'()<0，h(x)在(1，+o)上单调递减， 所以h()≤h)=1 (13 分) 当x→+0时，h(x)→-o0, 当x→0时，h(x)→-o 因为函数8()有且仅有一个零点， 所以y=a与y=h)的图像只有一个交点， 所以a=1 (15分) 17题：(1)证明：设AD中点为O,连接PO,C0,AC 因为△APD是等边三角形，所以PO⊥AD (2 分) 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD, POC平面PAD 所以PO⊥平面ABCD, 又ADC平面ABCD,所以PO⊥AD① (3 分) 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，所以△MDC是等边三角形， 所以CO⊥AD② (5 分) C0∩P0=0③ 所以AD⊥平面PCO,又PCC平面PCO,所以AD⊥PC 又AD∥BC,所以BC⊥PC. (7 分) (2)由(1)知，OC,OD,OP两两垂直以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AD=2,所以A(0,-1,0),D(01,0),C(V3,0,0)P(0,0,√3)」 因为PM=PC,所以PM=PC,即M(3,0V3-√3) (10 分) 因为OC⊥平面PAD,所以0C=(V50,0)是平面PAD的法向量， 设平面ADM的法向量为n=(x,y,2),则 0 (n.AD=0 2y=0 ·4M=0,所以V3+y+(W5-5)z=0 令x=元-1，则y=0,2=九，所以n=(⑦-1,0，) (13 分) 25 因为二面角P-AD-M的余弦值为5， n.0c2√5 √3(-1D 以o同 25 ,即3V(1-D2+2 = 有九=1（舍），或3， 1 =。 所以3 (15 分) a 2 a=2 4h=1→b=V5 a2=b2+c2 c=1 18题：解： (4 分) x2 所以椭圆C的标准方程为：4 3 =1 (5 分) (2)设4(，少)，B(:,少），A,B不是椭圆左右顶点，椭圆左顶点E(-2,0),而以B为 直径的圆过点E, 则4E1BE分A正1B距台AE-B距=0台(-2-x(-2-x)+(←y)(-)=0, (7 分) 即有4+2(+)+x5+=0 (8 分) y=kx+m 由任+了1消去整层等： (3+4K2）x2+8kx+4m2-12=0' (9 分) -8k7m 6=64m643m≥0，即+3m>0则x+3+是，① 分) 而=(+m),+m)=x5+km(6+无)+m2-3m2-12k 3+4k2, (12 分) 则4架是，2-0，化筒解16+70心解得烟2或a-子，满足 4k2+3-m2>0 (14 分) 当m=2水时，直线方程=红+m化为'=(x+2）,该直线恒过点20， 与已知矛盾，舍去， (15 分) 当m=号时，直线方程y=红+m化为y=x+弓，该直线恒过定点←气，， 所以直线过定点（号0 (17 分) 19题：解：(1)28的所有正因数为1,2,4,7,14,28， 因为1+2+4+7+14+28=56=2×28，所以28为“理想数”. (4分) (2) 20的正因数为2°，2,2，，210 (5 分) ÷S2°)=2°+2+22+2++2°=1-0-2")-2"-1=2027 1-2 (7 分) 10”=2”·5”的正因数为25°，2°5,252，.，25”，25°，215， 252,,25”,,2"5°，2"5,2"52，，2”5” (8 分) S10”)=(1+2+22+23+..+2")1+5+52+53+..+5") 所以 =(21-1061-1) (9 4 分) 8)2(2-前因藏为2°，2.22，，2.29(21-0. 2(21-1,2(21-1,2”(21-1) (11分) S(2"(2m1-1)=(1+2+22+.+2"”)(2m1-1+1) _1-0-2)x21=(21-1)×2 1-2 =2×2"(2m+1-1) 所以2”(21-1)为“理想数” (17 分)高一上数学期末试题细目表 高二下学期期末（数学）试卷试题细目表 题型题型 题号 分值 考查知识点 能力层级 难度预估 核心素养 单项选择题（8题，共40分） 1 5 集合的交集运算 理解 0.9 数学运算 2 5 平面向量垂直的坐标运算 理解 0.85 数学运算、直观想象 3 5 上四分位数计算 掌握 0.68 数据分析 4 5 等差数列通项与前n项和、公差求解 掌握 0.65 数学运算、逻辑推理 5 5 三角函数周期与图像平移变换 掌握 0.7 直观想象、数学运算 6 5 奇函数的性质应用 理解 0.62 逻辑推理、数学运算 7 5 四棱台体积、线面角、菱形性质 综合运用 0.6 直观想象、数学运算 8 5 直线交点、抛物线性质、距离最值 综合运用 0.4 直观想象、数学运算 多项选择题（3题，共18分） 9 6 复数的运算与性质 理解 0.78 数学运算、逻辑推理 10 6 函数、不等式、数列等综合结论判断 综合运用 0.72 逻辑推理、数学运算 11 6 函数奇偶性、对称性、周期性综合 综合运用 0.3 逻辑推理、直观想象 填空题（3题，共15分） 12 5 二项式展开式常数项求解 掌握 0.89 数学运算、逻辑推理 13 5 逻辑推理与数字密码推理 综合运用 0.67 逻辑推理、数学建模 14 5 双曲线定义、几何性质、离心率求解 综合运用 0.5 直观想象、数学运算 解答题（5题，共77分） 15 13 解三角形：三角恒等变换、正余弦定理、三角形面积 综合运用 0.85 数学运算、逻辑推理 16 15 导数的几何意义、函数零点问题 综合运用 0.7 数学运算、逻辑推理 17 15 空间线线垂直证明、二面角求解、空间向量应用 综合运用 0.64 直观想象、逻辑推理 18 17 椭圆标准方程、直线与椭圆位置关系、定点问题 综合运用 0.4 直观想象、数学运算 19 17 新定义“理想数”、正因数和、质数性质证明 综合运用 0.2 逻辑推理、数学抽象 $