专题07 计数原理与概率统计（期末真题汇编，浙江专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 汇集浙江多地期末真题，系统覆盖计数原理与概率统计六大核心考点，注重基础应用与综合创新的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|30+题|排列组合运算、二项式系数、统计图表分析、概率计算|结合班级管理（选班干部）、投篮比赛等现实情境，基础题占比60%| |解答题|15+题|离散型随机变量分布列、概统综合应用|融入“算两次”原理证明、BMI指数分析等创新题型，与高考真题命题趋势契合|

专题07 计数原理与概率统计 高频考点概览 考点01排列组合的运算及实际应用 考点02二项式定理及其应用 考点03统计图表与数字特征 考点04 随机事件与概率计算 考点05 离散型随机变量及其分布列 考点06 概统综合与创新问题 ( 考点01 排列组合的运算及实际应用 ) 1．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)已知，则___________ 【答案】2或7 【详解】由组合数的性质，则有或，解得或.故答案为：2或7. 2．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（   ） A．70 B．80 C．90 D．100 【答案】C 【详解】依题意，不同选法种数是.故选：C 3．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)从甲、乙、丙3人中选2人参加两项活动，有_______种不同的选法． 【答案】6 【详解】从甲、乙、丙3人中选2人参加两项活动有种不同方法，故答案为：6. 4．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（   ）种． A．7 B．10 C．14 D．16 【答案】C 【详解】由题可得，至少有一名女生被选中的不同选法有2种情况，一男一女，两女， 所以共种，故选：C． 5．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（   ） A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 【答案】A 【详解】由题意知，先将2名英语教师分到两个校区，有2种方法，第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法，然后再分到两个校区，共有种方法，第三步只需将其他1人分到人数少的一个校区，根据分布乘法计数原理知不同的分配方案共有.故选：A 6．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)某班级需要从甲、乙、丙三人中选出语文、数学、英语三门科目的课代表，要求每门科目需要一位课代表，且每人最多能担任两门科目的课代表，则一共有______种不同的选法．（用数字作答） 【答案】24 【详解】第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排，则有种; 第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，先选两人出来，有种，再将三门不同科目分为两组，有种情况，再将科目分给学生有种，所以不同的安排方案有种， 综上，不同的安排方案共有种.故答案为：. 7．(24-25高二下·浙江舟山·期末)甲、乙、丙、丁、戊五位同学课间玩“击鼓传花”游戏.第1次由甲传给乙、丙、丁、戊四人中的任意一人，第2次由持花者传给另外四人中的任意一人，往后依此类推，经过4次传花，花仍回到甲手中，则传法总数为（    ） A．36 B．48 C．52 D．64 【答案】C 【详解】5人传花，第1次由甲传给乙、丙、丁、戊四人中的任意一人，第2次由持花者传给另外四人中的任意一人，经过4次传花，花仍回到甲手，∴第1次传花有4种方法，第3次传花分成“花在甲手中”和“花不在甲手中”两类方法，第4次传花只能传到甲手中.∴当第2次传花后花在甲手中时，则第3次传花，花可能在丙或乙或丁或戊手中，共4种方法；当第2次传花后花不在甲手中时，有3种方法，则第3次传花有3种方法.∴经过4次传花，花仍回到甲的传法总数为：，∴花仍回到甲的传法总数为52种，故选：C. 8．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)如图所示的九宫格中共有个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（   ）种.   A．528 B．524 C．520 D．516 【答案】D 【详解】从个点中取个点共有种情况，①四点共线的有种情况，从共线的个点中取个点都不能构成三角形，所以在四点共线的情况下不能构成三角形的取法共有种情况， ②三点共线的共有种情况，所以不能构成三角形的取法共有种情况，所以能够成三角形的取法共有种情况.故选：D. 9．(24-25高二下·浙江宁波·期末)某街区的交通道路如图1实线所示，从处出发，沿道路以最短路径到达处，则选择如图2实线所示的道路到达处的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，图中从处出发到达处的最短路径需要经过两横两纵四段短路，所以最短路径数为种路径，图中从处出发到达处的最短路径有两种情况：第一步走纵，只有纵纵横横一种路径；第一步走横，到达如图所示的处，从处到达处的最短路径需要经过一横两纵三段短路，所以最短路径有种路径，以上两种情况相加共种路径，所以选择如图2实线所示的道路到达处的概率是.故选：C ( 考点02 二项式定理及其应用 ) 1．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)展开式中的系数是（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【详解】由通项公式，，令，得，可得项的系数为.故选：D. 2．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)的展开式中，项的系数是（   ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【详解】，二项式展开式的通项为：，令，所以项的系数是.故选：A. 3．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)的展开式中第4项的系数是（   ） A．20 B．15 C．160 D．120 【答案】C 【详解】的展开式的第4项系数是.故选：C 4．(24-25高二下·浙江舟山·期末)展开式中常数项为（    ） A．48 B． C．24 D． 【答案】C 【详解】由题意，二项式展开式的通项公式为：，令，可得，所以常数项为，故选：C 5．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)若二项式的展开式中常数项为20，则_____． 【答案】 【详解】根据题意得，，当时，为常数项，故常数项为，即,解得.故答案为：. 6．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)的展开式中的系数为__________. 【答案】 【详解】的展开式通项为， 令，可得，因此展开式中的系数为.故答案为：. 7．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)若的展开式中,二项式系数之和与系数之和相等,则展开式中项的系数是______（用数字作答） 【答案】5 【详解】由二项式系数之和与系数之和相等可得，因为 所以令，所以系数是.故答案为：5 8．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)除以8的余数为__________. 【答案】 【详解】由二项式定理可知：， ∴除以8的余数为.故答案为：. 9．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)（多选）在的展开式中，若所有项的二项式系数和为64，则（   ） A． B．展开式中的常数项为240 C．展开式中的第3项和第4项的二项式系数相等 D．展开式中的各项系数之和为1 【答案】ABD 【详解】对于A，由二项式系数和为64得，解得，故A正确；对于B，展开式通项为，令，得，即常数项为，故B正确；对于C，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为，所以展开式中的第3项和第4项的二项式系数不相等，故C错误；对于D，令得，故D正确.故选：ABD 10．(24-25高二下·浙江台州·期末)关于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．第项的二项式系数最大 B．当时，被除的余数为 C．展开式中存在常数项 D．展开式中存在连续三项的系数成等差数列 【答案】D 【详解】对于A选项，的展开式有项，其中第项的二项式系数最大，A错；对于B选项，当时，，因为能被整除，故被整除的余数为，B错；对于C选项，的展开式通项为，由得，故展开式中不存在常数项，C错；对于D选项，由C选项可知，展开式中每一项的系数都为其二项式系数，不妨设、、成等差数列，所以，即，整理得，解得或，合乎题意，D对.故选：D. 11．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 【详解】（1）因为的展开式的通项公式为， 由题知时，，得到，解得， 所以常数项的值为. （2）由（1）知，令，得到， 所以展开式中所有项的系数之和为. 12．(24-25高二下·浙江台州·期末)把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，这就是“算两次”原理．比如“”；一方面问题视为从包含的个不同的元素中取出个元素，共有种方法；另一方面，还可以视为取出的个元素中，一类是不含有，共有种方法，一类是含有，共有种方法，由分类加法计数原理有．“算两次”原理在数学中有广泛的应用． (1)若函数对任意都有恒成立，求的值（e为自然对数的底数，）； (2)在中，角的对边分别为，角的内角平分线交于，证明：； (3)当时，求的值．（结果用含的式子表示） 【详解】（1）一方面，由可得， 另一方面，由可得，所以． （2）证法1：一方面，， 另一方面，， 因为，所以， 化简得，即． 证法2：要证：，只需证：， 即证：， 即证：，即证：， 只需证：，而显然成立， 所以成立． （3）先计算，构造一个组合问题：从名学生中选出若干人组成班干部，并从中选出班长1名及团支书1名（班长和团支书可由1人兼任）． 一方面，若班长和团支书由1人兼任有种方法，其余人有种选法，共有种方法； 若班长和团支书分别由2人担任有种方法，其余人有种选法，共有此时， 故总的方法数为种． 另一方面，从人中选出人组成班干部有种选法，再从中选出班长1人及团支书1人（可由同一人兼任）有种选法，故对每一个有种选法，故总的方法数为，所以； 再计算，在等式两边对求导得 ①， ①式两边对求导得②， 对于①，令，整理得， 对于②，令，整理得，所以， 综上有． ( 考点0 3 统计图表与数字特征 ) 1．(24-25高二下·浙江舟山·期末)有一组数据：、、、、.则其第百分位数为______. 【答案】 【详解】将这组数据由小到大进行排序为：、、、、，共个数据，因为，所以该组数据的第百分位数为.故答案为：. 2．(24-25高二下·浙江台州·期末)某学生最近五次的数学考试成绩分别为125，123，120，133，130，则该学生数学成绩的第30百分位数为______． 【答案】123 【详解】由题意得120，123，125，130，133，由，得第30百分位数是第二个数字，为123. 故答案为：123. 3．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 【答案】A 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为．则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确．②原始平均数，后来平均数，平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确，③，由②易知，C不正确．④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确． 4．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)（多选）设样本数据，若，则（   ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数小于的中位数 C．的极差大于的极差 D．的方差小于的方差 【答案】AC 【详解】对于A中，样本数据的平均数为，样本数据的平均数为，所以的平均数等于的平均数，所以A正确，对于B中，由，可得数据的中位数为，数据的中位数为，此时与不一定相等，所以B不正确；对于C中，样本数据的极差为，样本数据的极差为，因为，可得，所以C正确，对于D中，由于，且数据和的平均数相同，所以，所以D错误.故选：AC. 5．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)已知变量的统计数据如下表： 0 1 2 3 4 10 15 20 30 35 分析表中的数据，发现与之间具有线性相关关系，计算得经验回归直线方程为，据此模型预测：当时，的值为（   ） A．71.5 B．72 C．73.5 D．74 【答案】D 【详解】由数据得，，所以，可得，故，所以，则.故选：D 6．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)（多选）下列四个选项正确的有（    ） A．如果由一组样本数据得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点中的一个 B．一组样本数据47，48，48，49，50，51，52，60，该组数据的第60百分位数为50 C．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D．设两个变量之间的线性相关系数为，则的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上 【答案】BCD 【详解】对于选项A：经验回归直线是由最小二乘法求得的，它不一定经过样本数据中的任何一个点，而是一定经过样本点的中心，所以A错误；对于选项B：因为，所以第60百分位数是第5个数，即50，所以B正确；对于选项C：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，说明预测值与观测值的误差越小，即模型的拟合效果越好，所以C正确；对于选项D：当时，说明两个变量完全线性相关，成对数据构成的点都在经验回归直线上；反之，若成对数据构成的点都在经验回归直线上，则两个变量完全线性相关，，所以的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上，D正确.故选：BCD. 7．(24-25高二下·浙江宁波·期末)某中学高一年级1000名学生中，男生有600名，女生有400名.为调查该校高一年级学生每天的课后学习时间，按照性别进行分层，并通过比例分配的分层随机抽样从中抽取一个容量为200的样本进行调查，得到如图1（男生）、图2（女生）所示的频率分布直方图. (1)求抽取的200名学生中每天的课后学习时间落在区间的男生人数； (2)估计该中学高一年级全体学生每天的平均课后学习时间（注：同一组数据用区间中点值作代表）. 【详解】（1）由题意得，抽取的200名学生中，男生人数为人， 由图1得，所求男生人数为人； （2）设样本中男生每天的平均课后学习时间为，样本中女生每天的平均课后学习时间为，高一年级全体学生每天的平均课后学习时间为， 由图1得的估计值为， 由图2得的估计值为， 因此的估计值为， 即该中学高一年级全体学生每天的平均课后学习时间的估计值为3.28小时. 8．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)2025年3月9日，国家卫生健康委员会在第十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”3年行动.某公司为了响应国家号召，收集了总共100名30-40岁之间员工的BMI指数（BMI=体重÷身高），绘制成如下图的频率分布直方图.若该公司超重的人数占40%.（BMI≥24为超重） (1)求实数s，t的值，并求该公司员工BMI指数的众数； (2)该公司把超重的员工按性别单独做了统计，补全下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析超重是否与性别有关. 性别 正常 超重 合计 男 20 女 20 合计 100 附：列联表参考公式：，其中. 临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)，，众数为23.5 (2)表格见解析，认为性别与超重有关联 【详解】（1）由该公司超重的人数占40%可得，解得， 由频率分布直方图可得，解得， 由频率分布直方图可知BMI指数为时频率最高，则众数为. （2）由（1）可知超重的总人数为，则补全列联表如下： 性别 正常 超重 合计 男 40 20 60 女 20 20 40 合计 60 40 100 零假设为：性别与超重无关联，根据列联表中的数据， 经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与超重有关联. 9．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)电力公司从某小区抽取100户居民用户进行12月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. (1)求的值及这100户的用电量的平均数； (2)力公司拟对用电量超过的家庭的电器进行检测，若恰好为第71百分位数，求. 【详解】（1），解得， 平均数为 （2）在这组数据中对应的频率为， 对应的频率为， 所以这组数据第71百分位数在中， 设第71百分位数为，则，解得. ( 考点0 4 随机事件与概率计算 ) 1．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)事件、互斥，若，，则______. 【答案】 【详解】因为、互斥，所以,解得.故答案为： 2．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)已知、为一次试验中的两个事件，，，则________． 【答案】 【详解】由题意可得. 故答案为：. 3．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)（多选）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误.对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误.对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确.对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误.故选：C. 4．(24-25高二下·浙江台州·期末)（多选）设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．事件两两互斥 B．事件两两独立 C． D． 【答案】BD 【详解】由题意得，且，对于A中，因为，所以事件两两不互斥，所以A错误；对于B中，由，所以事件两两独立，所以B正确； 对于C中，，，可得，所以C错误；对于D中，由条件概率的计算公式，可得，所以D正确.故选：BD. 5．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则恰有一人成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】恰有一人成功破译的概率为.故选：D. 6．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率， 即，解得（舍去负根），有放回的摸球，每次摸到红球的概率为，白球的概率为， 所以3次摸球中，恰好有两次抽出红球的概率.故选：A. 7．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级需派出一位同学参加比赛，最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分．高二（1）班派出甲同学参加投篮比赛，已知甲先投篮6次且均投中，接下去他每次投篮的命中率都为，为了使最终得分不低于7分的概率最大，则该同学继续投篮的次数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为甲先投篮6次均投中，即已得6分，接下来的4次投篮，若要使最终得分不低于7分，则至少得1分，甲继续投篮最终得分不低于7分的情况如下： ①仅投篮1次并投中：， ②投篮2次均投中：， ③投篮3次均投中或仅投中2次：， ④投篮4次均投中或仅投中3次：， 显然甲同学继续投篮3次，得分不低于7分的概率最大.故选：C. 8．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)某同学进行一项投篮测试，持续投篮直至出现连续三次投篮成功（通过测试）或连续两次失败（未通过测试）.已知该同学每次投篮的成功率均为，则该同学通过测试的概率为______. 【答案】 【详解】用表示投篮失败1次的情况下最终通过的概率，用表示连续失败2次的情况下最终通过的概率，用表示投篮成功1次的情况下最终通过的概率，用表示连续成功2次的情况下最终通过的概率， 用表示连续成功3次的情况下最终通过的概率，该同学每次成功的概率为，依题意有，， 以及，，，所以方程组， 解得，，，所以通过概率为， 代入原题数据，得．故答案为： 9．(24-25高二下·浙江台州·期末)一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，则表示从这个球中随机摸个球，表示从个红球中摸出个球，则表示从这个球中随机摸个球，至少有个白球的摸法种数，所以.故选：C. 10．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 【详解】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则，，，，，，由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是乙厂生产的概率为. 11．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)为了推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年4月23日为“世界读书日”.某高中为了促进学生阅读，组织了一场知识竞赛，比赛按照班为单位参与，分为预选赛和决赛.预选赛的规则是每个班在规定的时间内分别答题，答对题目数量最多的前两个班进入决赛.决赛规则是两个班轮流答题，无论是否答对，第一个班答完后第二个班即进入答题. (1)若甲班在预选阶段前面2道题每题答对的概率是，从第3题开始每道题答对的概率是，用表示在前4次答题中答对的题目数量，求. (2)若乙班在预选阶段每道题答对的概率是，用表示在前10次答题中答对的次数，以概率作为判断标准，乙班最有可能答对的题目数量是多少？ (3)为了增加比赛的趣味性，在决赛中增加如下环节：抽签决定先回答问题的班级，第一道题目由主持人给出，第一个班级在答完题目后，选择一个题目给另一个班级作答，然后再抽签决定第二轮首先回答问题的班级，以此类推.当两个班级都答过一次题目后称为一轮比赛，一轮比赛中，如果只有一个班级答对，答对的班级得1分，答错的班级得分；如果两个班级都答对或者都答错，均得0分.用事件分别表示在一轮比赛中甲班和乙班答对题目.已知有如下关系：①；②，从以上两个条件中任选一个判断的关系，并在时计算经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率. 【详解】（1）的所有可能取值为：， ， ， ，， ， . （2），假设最有可能答对题目的数量是次，则， ，即，，解得，又， 所以，即乙班最有可能答对6个题. （3）选择①：， 知 ， 故，即相互独立. 选择②：，由已知等式知， 则，，即相互独立， 用表示“经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同”， ， 经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率为. 12．(24-25高二下·浙江舟山·期末)2025年，某卫视推出了“最强大脑围棋版争霸赛”，堪称围棋界史上最激烈的国际赛事，以“棋艺封神，一站扬名”为口号，致力于推广围棋文化和智力竞技.受此启发，某中学为了让学生亲身体验围棋比赛的精彩和激烈，激发学生的思维活力，特别举办了“校园棋王争霸赛”.根据已报名的学生资料统计，有的学生学过围棋，将频率视为概率. (1)从已报名选手中任取3名学生，记其中学过围棋的学生数为，求的分布列与数学期望； (2)经过海选，最终决定、、、、、、、八位棋手参加棋王争霸赛，比赛分预赛、半决赛和决赛三个阶段，采用淘汰制决出冠军.预赛共有四场，八位棋手赛前抽签确定比赛位置，获胜的四人进入半决赛，依次类推，在决赛中，胜者为冠军，负者为亚军。已知~这7位棋手互相对弈时，获胜概率均为，棋手与其他棋手对弈时，获胜的概率为，每局对弈结果相互独立，无和棋情况.    （ⅰ）求棋手最终夺冠的概率； （ⅱ）求棋手与有过对弈且最终获得亚军的概率. 【详解】（1）由题意得，每位报名选手中学过围棋的概率为，则没有学过围棋的概率为， 随机抽取3人，用随机变量表示3人中学过围棋的学生人数，则可能的取值为0，1，2，3，， ；； ；. 所以，的分布列为 0 1 2 3 ∴. （2）（ⅰ）由题意得：~八名运动员各自夺冠的概率之和为1，~夺冠概率相同， 夺冠的概率为，即最终夺冠的概率为. （ⅱ）记事件“获得亚军”，事件“与对弈过”， 事件“与在第轮对弈”，，则. 不妨设在①号位，则 a.在第1轮能与对弈的位置编号为②，； b.在第2轮能与对弈的位置编号为③或④，； c.在第3轮能与对弈的位置编号为⑤或⑥或⑦或⑧，； 综上所述：. 13．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)在一个抽奖游戏中，有编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子，现随机选择一个箱子放入一件奖品，然后让抽奖人随机选定一个箱子.某次游戏，在抽奖人打开箱子前，主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子，发现是空箱，此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子.记事件为抽奖人第一次选中的是空箱，事件为主持人打开的是空箱. (1)如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子，抽奖人换箱子中奖的概率； (2)如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子，抽奖人不换箱子中奖的概率； (3)如果主持人知道内情的概率为，抽奖人不换箱子中奖的概率. 【详解】（1）如果主持人知道内情，则他必然打开空箱子，，则， ，所以独立， 所以， 说明不换箱子不中奖的概率是，不换箱子中奖的概率是，于是，换箱子中奖的概率是. （2）如果主持人不知道内情，， 于是，， 说明换箱子与不换箱子中奖概率都是. （3）如果主持人知道内情的概率为，事件表示主持人知道内情，则， ， 又，设， ， ， 因此，. 说明不换箱子不中奖的概率. 14．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)一个箱子里有5个小球，分别以标号，（小球除标号外完全相同），现在有放回的抽取，观察抽取小球的标号，记表示在第次抽取后，前次的结果中出现种标号的概率，规定，.记为第次抽取后出现的标号种类数（例如：抽取三次，小球标号分别是，，，则只有“2”“4”两种标号，于是，，） (1)求，，及； (2)求； (3)求的数学期望（用含有的式子表示）. 【详解】（1）：第1次抽取，出现1种标号的概率，因为第一次抽取必然出现1种标号，所以； ：第2次抽取后出现1种标号，即两次抽取标号相同，所以； ：第2次抽取后出现2种标号，即两次抽取标号不同，所以； ：次抽取后出现1种标号，即次抽取标号都相同，所以. （2）设，， 当时，，所以， 设，解得：， 故成等比数列，首项为，公比为， 进而，所以， 所以当时，； 故当时，； （3）方法一： 由待定系数法可得：，又， 从而，故 方法二.（期望递推） 由待定系数法可得：，又， 从而，故. ( 考点0 5 离散型随机变量及其分布列 ) 1．(24-25高二下·浙江台州·期末)已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为随机变量服从正态分布，且，故，的值不确定.故选：D. 2．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)设随机变量的分布列为，则实数______． 【答案】1 【详解】，即，解得.故答案为：1 3．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)若随机变量服从正态分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由随机变量服从正态分布，可得正态分布的对称轴为， 对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A正确； 对于B中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以B不正确； 对于C中，根据正态分布曲线的对称性，可得， 且，其中， 所以，所以C不正确； 对于D中，由，又由， 因为，所以，所以D错误. 故选：A 4．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)（多选）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产已经实现1100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量（分别记为，）均服从正态分布，其中，．如图，已知，，，，两正态密度曲线在直线左侧交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由图可知，故A错误；由图可知，故B正确；∵，，由图可知，，故C正确；，，，，，，根据正态分布曲线的性质，根据原则，应该有，故D不正确.故选：BC. 5．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)（多选）下列命题正确的是（   ） A．若事件A，B相互独立，则 B．若，，，则 C．已知随机变量，且，则 D．线性相关模型中，相关系数越大，两个变量的线性相关程度越强 【答案】AC 【详解】若事件A，B相互独立，则，A选项正确；若，，，则，B选项错误；已知随机变量，且，所以，所以，C选项正确；若变量，的样本相关系数越接近于1，则，的线性相关度越强，D选项错误.故选：AC 6．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)（多选）已知随机变量，定义函数，即表示随机变量的概率，则（   ） A．函数在定义域上单调递减 B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点中心对称 【答案】BD 【详解】根据正态分布的性质，函数定义域上单调递增，A错误；因为随机变量，则，B正确；若函数的图象关于直线对称，则，而，只有当时才成立，C错误；若的图象关于点中心对称，则，因为服从正态分布，所以关于对称， 所以，则， 故D正确.故选：BD 7．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)某工厂生产甲、乙两种产品，为了检测产品质量，现从两种产品中抽取300件产品作为样本进行检测，检测结果如下表： 样品 一等品 二等品 三等品 甲产品 60 30 10 乙产品 100 80 20 (1)依据小概率值的独立性检验，分析产品为一等品与产品种类是否有关？ (2)根据样本估计总体，频率估计概率，现等可能地从甲、乙两种产品中抽取产品. （i）若抽取1件产品，已知该产品是一等品，求它是甲产品的概率； （ii）若抽取3件产品，求抽到一等品的件数的数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）（1）由题列出列联表如下表所示： 一等品 非一等品 总计 甲产品 60 40 100 乙产品 100 100 200 总计 160 140 300 零假设：产品为一等品与产品种类无关联.则. 根据小概率值的独立性检验，没有充足的证据推断不成立，所以认为产品为一等品与产品种类无关. （2）（2）（i）设事件表示抽一件产品时抽到一等品，事件表示抽一件产品时抽到甲产品，则，， 所以. （ii）由（i）知，则，所以. ( 考点0 6 概统综合与创新问题 )1．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)（多选）下列关于概率统计的说法，正确的是（   ） A．若随机变量，则， B．若随机变量；，则 C．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 D．设关于分类变量与的独立性检验的零假设为与无关，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断不成立，即认为与无关. 【答案】ABC 【详解】A.因为随机变量，所以，，A正确.B. 因为随机变量，，所以，所以，B正确.C.因为越接近于1时，成对样本数据的线性相关程度越强，所以当一组样本数据的对应样本点都在直线上时，变量与负线性相关，此时，C正确. D.因为，所以根据的独立性检验，推断不成立，即认为与有关联，此推断犯错误的概率不大于，D错误.故选：ABC. 2．(24-25高二下·浙江舟山·期末)（多选）下列说法正确的是（    ） A．经验回归方程为时，变量与变量成正相关 B．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C．若随机变量，且，则 D．已知随机事件、，若，，则 【答案】BCD 【详解】对于A选项，经验回归方程为时，，变量与变量成负相关，A错； 对于B选项，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，B对； 对于C选项，若随机变量，且，则，C对； 对于D选项，已知随机事件、，若，，由概率的乘法公式可得，D对. 故选：BCD. 3．(24-25高二下·浙江台州·期末)为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔名学生入围复赛（划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围），下图是根据预赛成绩（满分分）整理后绘制成的频率分布直方图． (1)估算本次预赛成绩的平均分以及入围复赛的分数线； (2)从参加预赛的名学生中随机抽取人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为，求； (3)为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的名学生中推荐名学生参加复赛．若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为．在入围复赛的名学生中随机抽取名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率． 【详解】（1）由频率分布直方图可知平均分为：， 因为，前三个矩形面积之和为， 故第百分位数为，即入围分数线估计为分． （2）由题意知，所以. （3）设“在复赛中获奖”，“由推荐入围复赛的学生”，“由预赛入围复赛的学生”， 则，，，， 所以， 因此抽取的学生在复赛中获奖的概率为． 4．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)鱼饼是温州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏小张从事鱼饼生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户，小张把一年采购鱼饼的数量x（单位：箱）在的客户采购的数量制成下图及下表： 采购数x 客户数 10 10 5 20 5 (1)根据表格中的数据求出频率分布直方图中的数据a，b，c，并估计客户采购数的第25百分位数； (2)为感谢新老客户的大力支持，小张要在国庆节开展促销活动．促销活动可以在门店内举行，也可以在门店外举行．已知在门店内的促销活动可以获得利润2千元；门店外的促销活动，如果不遇有雨天气可以获得利润8千元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失3千元．9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是P．从利润期望的角度考虑，小张最终选择了在门店外进行促销活动，求降水概率P的取值范围． 【详解】（1）      第25百分位数落在区间内， 设第25百分位数为x，由，   得． （2）设在门店内促销的利润为X千元， 设在门店内促销的利润为Y千元, Y的分布列为 Y 8 P p                                由题意得，即. 5．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为的且全部由0组成的数码串.传输过程中，每位数码以概率传输记为0，以概率传输记为1，其中，每位数码的传输相互独立，并设事件为“传输结果各位数字之和为偶数”的事件. (1)当时，求； (2)证明：对任意的正整数，有； (3)在传输结果中任取一位数码，记“取到1”的事件为，问：是否存在最大值？若存在，求出使取到最大值的正整数；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）. （2）传输结果各位数字之和为奇数的概率为， 传输结果的数码个数为偶数的概率为，由， . （3） 记， 则 ①当时，， ②当时，，，即单调递增，不存在最大值. ③当时，正负无法确定，当为奇数时，，当为偶数时，， 要使取到最大值，应取偶数，记，，，， 单调递减，， 综上所述：当时，不存在最大值： 当时，恒为常数； 当时，在时取到最大值. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 计数原理与概率统计 高频考点概览 考点01排列组合的运算及实际应用 考点02二项式定理及其应用 考点03统计图表与数字特征 考点04 随机事件与概率计算 考点05 离散型随机变量及其分布列 考点06 概统综合与创新问题 ( 考点01 排列组合的运算及实际应用 ) 1．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)已知，则___________ 2．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（   ） A．70 B．80 C．90 D．100 3．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)从甲、乙、丙3人中选2人参加两项活动，有_______种不同的选法． 4．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（   ）种． A．7 B．10 C．14 D．16 5．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（   ） A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 6．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)某班级需要从甲、乙、丙三人中选出语文、数学、英语三门科目的课代表，要求每门科目需要一位课代表，且每人最多能担任两门科目的课代表，则一共有______种不同的选法．（用数字作答） 7．(24-25高二下·浙江舟山·期末)甲、乙、丙、丁、戊五位同学课间玩“击鼓传花”游戏.第1次由甲传给乙、丙、丁、戊四人中的任意一人，第2次由持花者传给另外四人中的任意一人，往后依此类推，经过4次传花，花仍回到甲手中，则传法总数为（    ） A．36 B．48 C．52 D．64 8．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)如图所示的九宫格中共有个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（   ）种.   A．528 B．524 C．520 D．516 9．(24-25高二下·浙江宁波·期末)某街区的交通道路如图1实线所示，从处出发，沿道路以最短路径到达处，则选择如图2实线所示的道路到达处的概率是（   ） A． B． C． D． ( 考点02 二项式定理及其应用 ) 1．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)展开式中的系数是（   ） A．1 B． C． D．3 2．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)的展开式中，项的系数是（   ） A．5 B． C．10 D． 3．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)的展开式中第4项的系数是（   ） A．20 B．15 C．160 D．120 4．(24-25高二下·浙江舟山·期末)展开式中常数项为（    ） A．48 B． C．24 D． 5．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)若二项式的展开式中常数项为20，则_____． 6．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)的展开式中的系数为__________. 7．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)若的展开式中,二项式系数之和与系数之和相等,则展开式中项的系数是______（用数字作答） 8．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)除以8的余数为__________. 9．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)（多选）在的展开式中，若所有项的二项式系数和为64，则（   ） A． B．展开式中的常数项为240 C．展开式中的第3项和第4项的二项式系数相等 D．展开式中的各项系数之和为1 10．(24-25高二下·浙江台州·期末)关于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．第项的二项式系数最大 B．当时，被除的余数为 C．展开式中存在常数项 D．展开式中存在连续三项的系数成等差数列 11．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 12．(24-25高二下·浙江台州·期末)把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，这就是“算两次”原理．比如“”；一方面问题视为从包含的个不同的元素中取出个元素，共有种方法；另一方面，还可以视为取出的个元素中，一类是不含有，共有种方法，一类是含有，共有种方法，由分类加法计数原理有．“算两次”原理在数学中有广泛的应用． (1)若函数对任意都有恒成立，求的值（e为自然对数的底数，）； (2)在中，角的对边分别为，角的内角平分线交于，证明：； (3)当时，求的值．（结果用含的式子表示） ( 考点0 3 统计图表与数字特征 ) 1．(24-25高二下·浙江舟山·期末)有一组数据：、、、、.则其第百分位数为______. 2．(24-25高二下·浙江台州·期末)某学生最近五次的数学考试成绩分别为125，123，120，133，130，则该学生数学成绩的第30百分位数为______． 3．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 4．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)（多选）设样本数据，若，则（   ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数小于的中位数 C．的极差大于的极差 D．的方差小于的方差 5．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)已知变量的统计数据如下表： 0 1 2 3 4 10 15 20 30 35 6．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)（多选）下列四个选项正确的有（    ） A．如果由一组样本数据得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点中的一个 B．一组样本数据47，48，48，49，50，51，52，60，该组数据的第60百分位数为50 C．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D．设两个变量之间的线性相关系数为，则的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上 7．(24-25高二下·浙江宁波·期末)某中学高一年级1000名学生中，男生有600名，女生有400名.为调查该校高一年级学生每天的课后学习时间，按照性别进行分层，并通过比例分配的分层随机抽样从中抽取一个容量为200的样本进行调查，得到如图1（男生）、图2（女生）所示的频率分布直方图. (1)求抽取的200名学生中每天的课后学习时间落在区间的男生人数； (2)估计该中学高一年级全体学生每天的平均课后学习时间（注：同一组数据用区间中点值作代表）. 8．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)2025年3月9日，国家卫生健康委员会在第十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”3年行动.某公司为了响应国家号召，收集了总共100名30-40岁之间员工的BMI指数（BMI=体重÷身高），绘制成如下图的频率分布直方图.若该公司超重的人数占40%.（BMI≥24为超重） (1)求实数s，t的值，并求该公司员工BMI指数的众数； (2)该公司把超重的员工按性别单独做了统计，补全下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析超重是否与性别有关. 性别 正常 超重 合计 男 20 女 20 合计 100 附：列联表参考公式：，其中. 临界值表： 9．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)电力公司从某小区抽取100户居民用户进行12月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. (1)求的值及这100户的用电量的平均数； (2)力公司拟对用电量超过的家庭的电器进行检测，若恰好为第71百分位数，求. ( 考点0 4 随机事件与概率计算 ) 1．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)事件、互斥，若，，则______. 2．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)已知、为一次试验中的两个事件，，，则________． 3．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)（多选）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 4．(24-25高二下·浙江台州·期末)（多选）设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．事件两两互斥 B．事件两两独立 C． D． 5．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则恰有一人成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级需派出一位同学参加比赛，最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分．高二（1）班派出甲同学参加投篮比赛，已知甲先投篮6次且均投中，接下去他每次投篮的命中率都为，为了使最终得分不低于7分的概率最大，则该同学继续投篮的次数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)某同学进行一项投篮测试，持续投篮直至出现连续三次投篮成功（通过测试）或连续两次失败（未通过测试）.已知该同学每次投篮的成功率均为，则该同学通过测试的概率为______. 9．(24-25高二下·浙江台州·期末)一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 11．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)为了推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年4月23日为“世界读书日”.某高中为了促进学生阅读，组织了一场知识竞赛，比赛按照班为单位参与，分为预选赛和决赛.预选赛的规则是每个班在规定的时间内分别答题，答对题目数量最多的前两个班进入决赛.决赛规则是两个班轮流答题，无论是否答对，第一个班答完后第二个班即进入答题. (1)若甲班在预选阶段前面2道题每题答对的概率是，从第3题开始每道题答对的概率是，用表示在前4次答题中答对的题目数量，求. (2)若乙班在预选阶段每道题答对的概率是，用表示在前10次答题中答对的次数，以概率作为判断标准，乙班最有可能答对的题目数量是多少？ (3)为了增加比赛的趣味性，在决赛中增加如下环节：抽签决定先回答问题的班级，第一道题目由主持人给出，第一个班级在答完题目后，选择一个题目给另一个班级作答，然后再抽签决定第二轮首先回答问题的班级，以此类推.当两个班级都答过一次题目后称为一轮比赛，一轮比赛中，如果只有一个班级答对，答对的班级得1分，答错的班级得分；如果两个班级都答对或者都答错，均得0分.用事件分别表示在一轮比赛中甲班和乙班答对题目.已知有如下关系：①；②，从以上两个条件中任选一个判断的关系，并在时计算经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率. 12．(24-25高二下·浙江舟山·期末)2025年，某卫视推出了“最强大脑围棋版争霸赛”，堪称围棋界史上最激烈的国际赛事，以“棋艺封神，一站扬名”为口号，致力于推广围棋文化和智力竞技.受此启发，某中学为了让学生亲身体验围棋比赛的精彩和激烈，激发学生的思维活力，特别举办了“校园棋王争霸赛”.根据已报名的学生资料统计，有的学生学过围棋，将频率视为概率. (1)从已报名选手中任取3名学生，记其中学过围棋的学生数为，求的分布列与数学期望； (2)经过海选，最终决定、、、、、、、八位棋手参加棋王争霸赛，比赛分预赛、半决赛和决赛三个阶段，采用淘汰制决出冠军.预赛共有四场，八位棋手赛前抽签确定比赛位置，获胜的四人进入半决赛，依次类推，在决赛中，胜者为冠军，负者为亚军。已知~这7位棋手互相对弈时，获胜概率均为，棋手与其他棋手对弈时，获胜的概率为，每局对弈结果相互独立，无和棋情况.    （ⅰ）求棋手最终夺冠的概率； （ⅱ）求棋手与有过对弈且最终获得亚军的概率. 13．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)在一个抽奖游戏中，有编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子，现随机选择一个箱子放入一件奖品，然后让抽奖人随机选定一个箱子.某次游戏，在抽奖人打开箱子前，主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子，发现是空箱，此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子.记事件为抽奖人第一次选中的是空箱，事件为主持人打开的是空箱. (1)如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子，抽奖人换箱子中奖的概率； (2)如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子，抽奖人不换箱子中奖的概率； (3)如果主持人知道内情的概率为，抽奖人不换箱子中奖的概率. 14．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)一个箱子里有5个小球，分别以标号，（小球除标号外完全相同），现在有放回的抽取，观察抽取小球的标号，记表示在第次抽取后，前次的结果中出现种标号的概率，规定，.记为第次抽取后出现的标号种类数（例如：抽取三次，小球标号分别是，，，则只有“2”“4”两种标号，于是，，） (1)求，，及； (2)求； (3)求的数学期望（用含有的式子表示）. ( 考点0 5 离散型随机变量及其分布列 ) 1．(24-25高二下·浙江台州·期末)已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)设随机变量的分布列为，则实数______． 3．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)若随机变量服从正态分布，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)（多选）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产已经实现1100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量（分别记为，）均服从正态分布，其中，．如图，已知，，，，两正态密度曲线在直线左侧交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)（多选）下列命题正确的是（   ） A．若事件A，B相互独立，则 B．若，，，则 C．已知随机变量，且，则 D．线性相关模型中，相关系数越大，两个变量的线性相关程度越强 6．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)（多选）已知随机变量，定义函数，即表示随机变量的概率，则（   ） A．函数在定义域上单调递减 B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点中心对称 7．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)某工厂生产甲、乙两种产品，为了检测产品质量，现从两种产品中抽取300件产品作为样本进行检测，检测结果如下表： 样品 一等品 二等品 三等品 甲产品 60 30 10 乙产品 100 80 20 (1)依据小概率值的独立性检验，分析产品为一等品与产品种类是否有关？ (2)根据样本估计总体，频率估计概率，现等可能地从甲、乙两种产品中抽取产品. （i）若抽取1件产品，已知该产品是一等品，求它是甲产品的概率； （ii）若抽取3件产品，求抽到一等品的件数的数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ( 考点0 6 概统综合与创新问题 )1．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)（多选）下列关于概率统计的说法，正确的是（   ） A．若随机变量，则， B．若随机变量；，则 C．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 D．设关于分类变量与的独立性检验的零假设为与无关，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断不成立，即认为与无关. 2．(24-25高二下·浙江舟山·期末)（多选）下列说法正确的是（    ） A．经验回归方程为时，变量与变量成正相关 B．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C．若随机变量，且，则 D．已知随机事件、，若，，则 3．(24-25高二下·浙江台州·期末)为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔名学生入围复赛（划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围），下图是根据预赛成绩（满分分）整理后绘制成的频率分布直方图． (1)估算本次预赛成绩的平均分以及入围复赛的分数线； (2)从参加预赛的名学生中随机抽取人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为，求； (3)为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的名学生中推荐名学生参加复赛．若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为．在入围复赛的名学生中随机抽取名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率． 4．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)鱼饼是温州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏小张从事鱼饼生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户，小张把一年采购鱼饼的数量x（单位：箱）在的客户采购的数量制成下图及下表： 采购数x 客户数 10 10 5 20 5 (1)根据表格中的数据求出频率分布直方图中的数据a，b，c，并估计客户采购数的第25百分位数； (2)为感谢新老客户的大力支持，小张要在国庆节开展促销活动．促销活动可以在门店内举行，也可以在门店外举行．已知在门店内的促销活动可以获得利润2千元；门店外的促销活动，如果不遇有雨天气可以获得利润8千元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失3千元．9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是P．从利润期望的角度考虑，小张最终选择了在门店外进行促销活动，求降水概率P的取值范围． 5．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为的且全部由0组成的数码串.传输过程中，每位数码以概率传输记为0，以概率传输记为1，其中，每位数码的传输相互独立，并设事件为“传输结果各位数字之和为偶数”的事件. (1)当时，求； (2)证明：对任意的正整数，有； (3)在传输结果中任取一位数码，记“取到1”的事件为，问：是否存在最大值？若存在，求出使取到最大值的正整数；若不存在，请说明理由. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $