专题04 三角函数与解三角形（期末真题汇编，浙江专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 高中数学三角函数与解三角形期末试题汇编，精选浙江多地期末真题，覆盖三角函数运算、性质与图象、解三角形及综合应用四大高频考点，注重基础巩固与综合能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|选择15+填空5+解答14|三角函数运算（同角关系）、性质（单调性）、解三角形（正弦定理）、综合（向量结合）|融入人脸识别情境，设多选与开放题，梯度分布基础题（简单运算）、能力题（零点问题）、创新题（面积最值）|

专题04 三角函数与解三角形 高频考点概览 考点01三角函数的运算 考点02三角函数的性质与图象 考点03定义、命题、定理 考点04 三角函数与解三角形综合 ( 考点01 三角函数的运算 ) 1．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由两角和的余弦公式得. 2．(24-25高二下·浙江舟山·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，故.故选：B. 3．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则.故选：D. 4．(24-25高二下·浙江宁波·期末)已知对于恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，其中，， .故选：B. 5．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由和差公式得.故选：B 6．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)若，，则___ 【答案】2 【详解】若 ，，则. 故答案为：2. 7．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)已知角，满足，，则的值等于（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即，又，两式联立可得：，所以，故选：A 8．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为， 所以， 两式相加得：，即，化简得， 所以，故选：A 9．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，两边同乘以， 可得， 因为， 可得， 即， 即， 可得，即. 故选：A. ( 考点0 2 三角函数的性质与图象 ) 1．(24-25高二下·浙江台州·期末)已知函数，满足，实数可以为______．（写出满足条件的一个即可） 【答案】2（答案不唯一：均可） 【详解】因为， 所以. 所以. 所以，解得.当时，.故答案为：2. 2．(24-25高二下·浙江舟山·期末)已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，因为，当时，，因为函数在上单调递减，所以，即，解得，由可得，又因为，，故，则. 因此，实数的取值范围是.故选：B. 3．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知函数的图象过点，若在内有4个零点，则a的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由题意知，函数的图象过点，所以，解得，因为，所以，所以，当时，可得，因为在内有4个零点，结合正弦函数的性质可得，所以，即实数a的取值范围是． 故答案为：． 4．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)已知函数在区间内不存在零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【详解】因为. 由题意：，即.由. 因为在区间内不存在零点，结合的图象， 可得：或，解得：或.故答案为：. 5．(24-25高二下·浙江宁波·期末)（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是周期函数 D．在上是减函数 【答案】BCD 【详解】函数的定义域为， 对于A，因为，所以不是偶函数，故A错误； 对于B，，设函数，其定义域为， 则，所以是奇函数，故B正确； 对于C，因为，所以是周期为的周期函数，故C正确； 对于D，求导可得，时，，则， 所以在上是减函数，故D正确. 故选：BCD. 6．(24-25高二下·浙江宁波·期末)已知函数的部分图象如图所示，则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据图象，，，所以，则， 则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为.故选：C 7．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)（多选）已知的部分图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为π B．满足 C．在区间的值域为 D．在区间上有3个极值点 【答案】AD 【详解】由图象可知，，所以，故A正确；又因为，所以，而且，所以，所以函数解析式为. 所以，故B错误； 对于C，当时，，所以，所以的值域为，故C错误；对于D，当时，，当取得时，取得极值，所以在上有3个极值点，故D正确.故选：AD. 8．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)（多选）已知函数的部分图象如图，则（    ） A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．函数的零点个数为11个 D．在上的零点之和为 【答案】ACD 【详解】由题意得，由图象可知，解得，所以，解得，所以，图象经过点，且在处递增趋势，可得，解得，因为，所以， 可得，当时，，所以是函数图象的对称轴，所以A正确；当时，，可知在此区间上不单调，所以B错误； 令，即，可知，最小正周期为，，当时，，当时，，解得，易知单调递增，所以在上单调递增，因为，所以可得大致图象：，由图可知，曲线与有11个交点，所以C正确.令，则，解得，当时，可知或0，则有两个零点，，零点之和为，所以D正确；故选：ACD. 9．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)已知为函数和图象的三个连续交点，若的面积为，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：因为，所以，所以， 因为为连续三个交点，故不妨设，此时， 即，所以，点到的距离， 所以，所以，解得 所以，所以时，符合题意. 方法二：如图①所示，分析图象可知，，且轴，，点到的距离为， 因为的面积为，所以，所以． ①当时，如图②所示，图象由图象向右平移了个单位， 故； ②当时，如图③所示，图象由图象向右平移了个单位， 故． 综上，或．故选：C．\ 10．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若存在，使得函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，要使函数与图象的对称中心完全相同， 则需为奇函数，所以，，即解得，因为， 当时，，当时，，所以满足题意的的个数为2个.故选： 11．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)已知函数． (1)求的单调递增区间；(2)若函数的零点为，求． 【详解】（1）， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）由（1）得， 因为函数的零点为，所以. 12．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)已知函数. (1)求的最小正周期和值域； (2)先将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到的图象，求的单调递增区间. 【详解】（1）因为.（） 所以的最小正周期为：；值域：. （2）先向左平移个单位得到，再将横坐标缩小到原来的得到.（），由或，. 得或，. 所以函数的单调递增区间为：和， 13．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中. (1)若，，求之间的余弦距离； (2)已知，，，，若，， ①求之间的余弦距离； ②求的值． 【详解】（1）由题意得，∴之间余弦距离为； （2）①由题意得 ∵，∴，∴， ∵， ∴，∵，∴ ∴，之间的余弦距离为. ②由①可得，，∴，∴ ∴ ( 考点0 3 解三角形 ) 1．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)在中，满足，则（ ） A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120° 【答案】D 【详解】，又，故.故选：D 2．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)已知的外接圆的半径为5，a是角A的对边，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，，，，，又的外接圆的半径为5，，.故选：B. 3．(24-25高二下·浙江台州·期末)在中，内角、、所对的边分别为、、，若的面积为，则三个内角中最小的角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由三角形面积公式得，整理得，即，又因为，则，当且仅当时，即当时，等号成立，此时，由勾股定理可得，故为最小内角，且.因此，三个内角中最小的角的正弦值为.故选：C. 4．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)已知的面积为，且所对的边记为，满足，则的最大值为__________. 【答案】/ 【详解】根据余弦定理，，即，则的面积为，所以，.又由，可得，当且仅当时等号成立，所以，，则为锐角，所以，所以的最大值为.故答案为：. 5．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)某平面四边形中，，，，设，.当的面积取得最大值时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由余弦定理得， 所以，因为，，所以，所以,在由正弦定理得，，所以，因为，所以 ，因为所以所以当即时， 此时的面积取得最大值.故选：B. 6．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)如图两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意有，在中由正弦定理有，又，所以为等边三角形，所以，又因为，在中，由余弦定理有：，所以，故选：B. 7．(24-25高二下·浙江舟山·期末)在中，、、分别为的内角、、的对边，满足，为的中点. (1)求角的大小； (2)若，，求线段的长度. 【详解】（1）因为，即， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）因为为的中点，所以，即， 所以 ，故. 8．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)在中，角的对边分别为，，，已知，. (1)求角的大小. (2)若. （i）求的值. （ii）求的面积. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 而，则，故，即，解得. （2）（i）由题意得，， 由余弦定理得，解得或（舍去）. （ii）由三角形面积公式得. 9．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知的内角的对边分别为. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 可得， 即， 因为，可得，所以，即， 所以 （2）由（1）知，因为的面积为， 可得，即，解得， 又因为，由余弦定理得 ， 整理得，解得， 所以，所以的周长为. 10．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)已知的角，，所对的边分别为，，，且. (1)若，求外接圆的半径； (2)设的面积为，若，求角的大小. 【详解】（1）在中，∵， ∴由正弦定理可得，即， ∴由余弦定理可得. ∵，∴，∴，∴外接圆的半径为1. （2）（2）解法1：由（1）知. ∵，∴由正弦定理可得， 即，∴， ∴， 即，即. ∵，∴，∴或，∴或. 解法2：由（1）知. ∵，∴由正弦定理可得，即. ∵，得， ∴. ∵，∴，∴或. 又，联立解得或. 解法3：由（1）知. ∵，∴由正弦定理可得， 即，即. ∵，∴，∴. ∵，∴，∴或. 又，联立解得或. 11．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求A； (2)如果且的面积为，求角B的大小． 【详解】（1）由两角和差公式，          由正弦定理，又在中，， 则 进而   因为，所以，即． 因为，所以，即． （2）方法一：根据正弦定理，, 所以的面积为 ．                               由,可得,，                     因为，所以或，所以或．        方法二：根据三角形面积公式，，可得, 结合, 可得或者．        当时，，所以；        当时，，所以；        因此或． 12．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)已知，，分别为角，，的对边，. (1)求； (2)若，，点在边上，且是的角平分线，求. 【详解】（1）. 可化为. 所以 由正弦定理可得，由余弦定理可得：，所以：. （2）三角形如图所示. 由是的角平分线得， 法一：，又， 所以. 法二：因为，所以. . 13．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)如图，在中，，且，点与分别在直线的两侧，且. (1)求的大小； (2)求的最大值. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 所以， 又， 所以， 所以， 所以， 由已知，，所以， 又，所以， 则或， 所以或（舍）. 又，即. 由正弦定理得，得， 所以，则. （2）由（1）得是直角三角形，设， 因为，则. 在中，由余弦定理得 ， 当，即时，，所以长度的最大值为. 14．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【详解】（1）由余弦定理，， 结合题意得，即. （2）由题意，为锐角三角形，,则，. 由正弦定理得，即， .. 15．(24-25高二下·浙江宁波·期末)在中，角，，的对边分别是，，.请在以下三个条件中任选一个进行解答（若选多个条件分别解答，则按第一个解答过程给分）： ①；②；③. (1)求； (2)若，， （ⅰ）求的面积； （ⅱ）若，为边上的两点，且为的角平分线，为边上的中线，求的值. 【详解】（1）选①：由，得， 所以，因为，解得， 又因为，所以. 选②：由，得. 所以，即，解得， 又因为，所以. 选③：由，得， 所以，所以， 即，因为，解得， 又因为，所以. （2）由，得， 因为，所以， 根据正弦定理，得. （ⅰ）. （ⅱ）由余弦定理得，所以，所以. 由，得，所以. 因为，所以，解得，所以. ( 考点0 4 三角函数与解三角形综合 ) 1．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)已知向量，，， (1)求的单调递增区间； (2)设的内角，，的对边分别为，，，，且的内切圆半径为1，求的面积. 【详解】（1）由向量，， 所以， 所以，，解得：，， 所以的单调递增区间. （2）由可得：，又因为， 所以，解得：. 余弦定理可得：，则， 由等面积法可得，则， 联立得，所以的面积, 故的面积为. 2．(24-25高二下·浙江台州·期末)已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)在中，内角所对的边分别为，且，求外接圆的面积． 【详解】（1）由题意得，， ∴函数的最小正周期， 由得， ∴的单调递增区间为． （2）由得，故， ∵，∴，∴，解得. 设外接圆的半径为，由正弦定理得，故， 所以外接圆的面积为． 3．(24-25高二下·浙江舟山·期末)函数的定义域为； ①若对，都有成立，则称在上为凹函数（当且仅当时，等号成立），且凹函数有以下性质：对都有（当且仅当时，等号成立）. ②若对，都有成立，则称在上为凸函数（当且仅当时，等号成立），且凸函数有以下性质：对都有（当且仅当时，等号成立）. (1)判断函数在上是否具有凹凸性，并用上述定义法证明你的结论. (2)设为的周长，为的面积； （i）求：的取值范围； （ii）证明：. 【详解】（1）在为凹函数． 证明如下：，设， ∵， ∴，即在为凹函数. （2）（ⅰ）∵在为凹函数， 在中，， ∵时，，，∴，∴. （ⅱ）令，设， ∵ ∵， ∴，即在为凸函数． 要证：，即证． ∵，∴，只需证：（*）， 而在中有， 则（*）等价于：． 只需证：，只需证：， 又在为凸函数，，证毕. 另解：的证明，也可以用以下两种证法： ①基本不等式：∵， ∴， ②权方和不等式：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角函数与解三角形 高频考点概览 考点01三角函数的运算 考点02三角函数的性质与图象 考点03定义、命题、定理 考点04 三角函数与解三角形综合 ( 考点01 三角函数的运算 ) 1．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)计算：（     ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·浙江舟山·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·浙江宁波·期末)已知对于恒成立，则（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)化简：（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)若，，则___ 7．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)已知角，满足，，则的值等于（   ） A．1 B． C．0 D． 8．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)若，则（   ） A． B． C． D． ( 考点0 2 三角函数的性质与图象 ) 1．(24-25高二下·浙江台州·期末)已知函数，满足，实数可以为______．（写出满足条件的一个即可） 2．(24-25高二下·浙江舟山·期末)已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知函数的图象过点，若在内有4个零点，则a的取值范围为__________． 4．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)已知函数在区间内不存在零点，则的取值范围是_____. 5．(24-25高二下·浙江宁波·期末)（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是周期函数 D．在上是减函数 6．(24-25高二下·浙江宁波·期末)已知函数的部分图象如图所示，则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为（   ）   A． B． C． D． 7．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)（多选）已知的部分图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为π B．满足 C．在区间的值域为 D．在区间上有3个极值点 8．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)（多选）已知函数的部分图象如图，则（    ） A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．函数的零点个数为11个 D．在上的零点之和为 9．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)已知为函数和图象的三个连续交点，若的面积为，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若存在，使得函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（    ） A． B． C． D． 11．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若函数的零点为，求． 12．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)已知函数. (1)求的最小正周期和值域； (2)先将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到的图象，求的单调递增区间. 13．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中. (1)若，，求之间的余弦距离； (2)已知，，，，若，， ①求之间的余弦距离； ②求的值． ( 考点0 3 解三角形 ) 1．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)在中，满足，则（ ） A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120° 2．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)已知的外接圆的半径为5，a是角A的对边，，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·浙江台州·期末)在中，内角、、所对的边分别为、、，若的面积为，则三个内角中最小的角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)已知的面积为，且所对的边记为，满足，则的最大值为__________. 5．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)某平面四边形中，，，，设，.当的面积取得最大值时，的值为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)如图两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·浙江舟山·期末)在中，、、分别为的内角、、的对边，满足，为的中点. (1)求角的大小； (2)若，，求线段的长度. 8．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)在中，角的对边分别为，，，已知，. (1)求角的大小. (2)若. （i）求的值. （ii）求的面积. 9．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知的内角的对边分别为. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 10．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)已知的角，，所对的边分别为，，，且. (1)若，求外接圆的半径； (2)设的面积为，若，求角的大小. 11．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求A； (2)如果且的面积为，求角B的大小． 12．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)已知，，分别为角，，的对边，. (1)求； (2)若，，点在边上，且是的角平分线，求. 13．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)如图，在中，，且，点与分别在直线的两侧，且. (1)求的大小； (2)求的最大值. 14．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 15．(24-25高二下·浙江宁波·期末)在中，角，，的对边分别是，，.请在以下三个条件中任选一个进行解答（若选多个条件分别解答，则按第一个解答过程给分）： ①；②；③. (1)求； (2)若，， （ⅰ）求的面积； （ⅱ）若，为边上的两点，且为的角平分线，为边上的中线，求的值. ( 考点0 4 三角函数与解三角形综合 ) 1．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)已知向量，，， (1)求的单调递增区间； (2)设的内角，，的对边分别为，，，，且的内切圆半径为1，求的面积. 2．(24-25高二下·浙江台州·期末)已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)在中，内角所对的边分别为，且，求外接圆的面积． 3．(24-25高二下·浙江舟山·期末)函数的定义域为； ①若对，都有成立，则称在上为凹函数（当且仅当时，等号成立），且凹函数有以下性质：对都有（当且仅当时，等号成立）. ②若对，都有成立，则称在上为凸函数（当且仅当时，等号成立），且凸函数有以下性质：对都有（当且仅当时，等号成立）. (1)判断函数在上是否具有凹凸性，并用上述定义法证明你的结论. (2)设为的周长，为的面积； （i）求：的取值范围； （ii）证明：. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $