上海市押题卷-【押题卷】2026年初中学业水平考试数学押题卷

**基本信息** 立足上海中考考情，融合天龙三号火箭、南海演习等时代素材，覆盖代数运算、几何推理、统计应用等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6小题|整式运算、一次函数、统计量计算等|基础概念辨析，如第4题考查平均数与方差变换规律| |填空题|12小题|因式分解、抛物线平移、新定义“有趣三角形”等|结合文化（七宝塔测高）与科技（芯片厚度科学记数法）| |解答题|7小题|函数建模（瓜苗生长）、圆的综合、半角模型应用等|25题以南海演习为背景，构建半角模型解决实际距离问题，体现模型意识与创新思维|

上海市押题卷-2026年上海市初中学业水平考试数学押题卷 一．选择题（共6小题） 1．下列计算正确的是（　　） A．2a+a＝2a2 B．3a2﹣2a2＝a2 C．2a+3b＝5ab D．5a﹣3a＝2 2．代数式（4m﹣n）2用文字语言表示为（　　） A．m减去n的4倍的差的平方 B．m的4倍减去n的平方的差 C．m减去n的差的平方的4倍 D．m的4倍减去n的差的平方 3．下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A．y＝1 B． C．y＝3x﹣1 D．y＝x2 4．已知一组数据a1，a2，a3，a4的平均数为4，方差是3，则另一组数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的平均数和方差分别为（　　） A．11和12 B．8和12 C．11和3 D．8和3 5．在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知∠ABC＝60°，半径为1cm的⊙O与边BA、BC均相切，如果⊙O1与∠ABC的两边都相切，且与⊙O相交，那么⊙O1的半径长可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共12小题） 7．因式分解：ab2﹣2ab+a＝　 　 ． 8．不等式组的解集是　 　 ． 9．方程3的解是 　 　 ． 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，那么k的值是　 　 ． 11．将抛物线y＝x2﹣4x+1向上平移2个单位，得到新抛物线的表达式是　 　 ． 12．已知点A（﹣4，m2+1）在反比例函数的图象上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而　 　 ．（填“增大”或“减小”） 13．一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是：8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的标准差为　 　 ． 14．七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，共7层．学校老师组织学生利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数据，测得塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，那么此时无人机距离地面的高度为　 　 米．（结果保留根号） 15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠B＝90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于　 　 ． 16．2026年4月，我国天龙三号大运力火箭成功首飞，推动商业航天快速发展．已知某微型卫星芯片的厚度为0.00000085米，0.00000085用科学记数法表示　 　 ． 17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．如果AO＝3BO，那么的值为　　 ． 18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，直线l经过边AB的中点O，将△ABC沿直线l翻折得到△DEF（点A、B、C分别与点D、E、F对应），若△DEF的重心G在射线CO上，那么D到直线l的距离为　 　 ． 三．解答题（共7小题） 19．计算：． 20．解方程：． 21．某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？ 22．如图，在菱形ABCD中，E是CD上一点，联结BE并延长交AD的延长线于点G，交AC于点F． （1）求证：BE•BF＝BG•EF； （2）若E是CD的中点，且AF•CF＝2BF2，求证：BE⊥CD． 23．如图，已知AB为圆O的直径，C是弧AB上一点，联结BC，过点O作OD⊥BC，垂足为点E，联结AD交BC于点F． （1）求证：； （2）如果AF•AD＝AO2，求∠ABC的正弦值； （3）联结OF，如果△AOF为直角三角形，求的值． 24．已知二次函数的图象经过点（2，﹣4），与x轴交于点（4，0）． （1）求二次函数的表达式． （2）若在m≤x≤5范围内二次函数有最大值为，最小值为，求m的取值范围． （3）若把二次函数的图象沿x轴平移n个单位，在自变量x的值满足2≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为﹣3，求n的值． 25．半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”作辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 （1）如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC和CD上，且∠EAF＝45°（此时，小明为了解决线段EF，BE，DF之间的关系，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG后，如图2，进而证明　 　 ≌△EAF，可得出结论．他的结论应是　 　 ． 【触类旁通】如图3，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【知识应用】2026年4月13日，针对某国军舰在南海的非法巡航及侦察活动，中国人民解放军南部战区在南海某海域组织联合反制演习．演习中，我方055型万吨驱逐舰“延安舰”（代号“蓝刃”）与815A型电子侦察船“天权星舰”（代号“天眼”）协同行动，模拟对“敌”舰队的跟踪与电子压制．如图4，指挥中心设在永暑礁附近的O点．演习开始前，055驱逐舰位于O点北偏西30°的A处，815侦察船位于O点南偏东70°的B处，且OA＝OB（两舰到指挥中心距离相等）．接到“敌舰现身”的紧急指令后：055驱逐舰以30海里/小时的速度向正东方向全速机动，准备前出拦截；815侦察船以20海里/小时的速度沿北偏东50°方向前出，实施电子侦察与信号定位．2小时后，055舰到达C点，815船到达D点．此时，指挥中心通过雷达确认：∠COD＝70°（即两舰与指挥中心连线之间的夹角）．试求此时两舰之间的距离CD（单位：海里）． 上海市押题卷-2026年上海市初中学业水平考试数学押题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．【解答】解：A、2a+a＝3a≠2a2，故A错误； B、3a2﹣2a2＝a2，故B正确； C、2a+3b≠5ab，故C错误； D、5a﹣3a＝2a≠2，故D错误． 故选：B． 2．【解答】解：代数式（4m﹣n）2用文字语言表示为m的4倍减去n的差的平方， 故选：D． 3．【解答】解：A、y＝1不是一次函数，故此选项符合题意； B、y不是一次函数，故此选项不符合题意； C、y＝3x﹣1是一次函数，故此选项符合题意； D、y＝x2不是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．【解答】解：∵当一组数据中的每一个数据发生什么样的变化其平均数就发生什么样的变化， ∴数据a1，a2，a3，a4的平均数为4，那么数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的平均数为2×4+3＝11， ∵当一组数据同时加上一个常数不影响方差，乘以一个常数则其方差变为原来的常数的平方倍， ∴数据a1，a2，a3，a4的方差为3，那么数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的方差为3×22＝12． 故选：A． 5．【解答】解：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点， ∴，，， 故选项ACD正确； ， 故选项B错误； 故选：B． 6．【解答】解：过O点作OE⊥BC于E点，O1D⊥BC于D点，如图， ∵⊙O与边BA、BC均相切， ∴OE＝1，OB平分∠ABC， ∴∠OBC＝30°， ∴BO＝2OE＝2， ∵⊙O1与∠ABC的两边都相切， ∴点O1到∠ABC的两边相等， ∴点O1在射线BO上， ∴BO1＝2r， 当⊙O1与⊙O外切时，设⊙O1的半径为r，则OO1＝BO1﹣BO或OO1＝BO﹣BO1， 即1+r＝2r﹣2或1+r＝2﹣2r， 解得r＝3或r， ∴⊙O1与⊙O相交时，r的取值范围为r＜3且r≠1． 故选：B． 二．填空题（共12小题） 7．【解答】解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2； 故答案为：a（b﹣1）2． 8．【解答】解：， 解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x＞﹣3， 所以不等式组的解集是﹣3＜x＜1． 故答案为：﹣3＜x＜1． 9．【解答】解：平方，得 2x﹣1＝9， 解得x＝5， 故答案为：x＝5． 10．【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＝0， 解得k＝2． 故答案为：2． 11．【解答】解：由题知， 将抛物线y＝x2﹣4x+1向上平移2个单位长度后，得到新抛物线的表达式是y＝x2﹣4x+3． 故答案为：y＝x2﹣4x+3． 12．【解答】解：已知点A（﹣4，m2+1）在反比例函数y上， 则k＝x•y＝﹣4×（m2+1）， ∵m2≥0， ∴m2+1≥1＞0，因此k＝﹣4（m2+1）＜0， 对于反比例函数y，当k＜0时，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大． 故答案为：增大． 13．【解答】解：由题意知：8， 方差S2[（8﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]＝2 ∴标准差是方差的平方根为． 故答案为：． 14．【解答】解：如图所示：设无人机所在位置为点A， 根据题意可知： ∠BAD＝60°，∠DAC＝45°，BC＝47（米）， 设此时无人机距离地面的高度为x米， 则CD＝x，则BD＝47﹣x，AD＝CD＝x， 在Rt△ADB中，tan60°， 即， 解得x（米）． 答：此时无人机距离地面的高度为米． 故答案为：． 15．【解答】解：“有趣中线”有三种情况： 若“有趣中线”为斜边AC上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不合题意； 若“有趣中线”为AB边上的中线，则“有趣中线”为1，不符合题意； 若“有趣中线”为另一直角边BC上的中线，如图所示，AB＝1， 设AD＝2x，则BD＝x， 在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD2＝AB2+BD2，即（2x）2＝12+x2， 解得：x， 则这个三角形“有趣中线”长等于． 故答案为：． 16．【解答】解：0.00000085＝8.5×10﹣7． 故答案为：8.5×10﹣7． 17．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°，AB＝CD，， ∵AO＝3BO， ∴ABBO， ∴， ∴， ∴的值为， 故答案为：． 18．【解答】解：由题知， 因为∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， 所以AB． 因为点O为AB边的中点， 所以CO， 则△ABC的重心在CO上． 因为直线l经过点O且△ABC沿直线l翻折得到△DEF的重心G在射线CO上， 所以直线l垂直于CO． 当点G在CO延长线上时，过点A分别作CO及直线l的垂线，垂足分别为H和Q，如图所示， 因为AQ⊥l，AH⊥CO，CO⊥l， 所以四边形AQOH是矩形， 所以AQ＝HO． 因为， 所以， 解得AH， 所以OH， 所以AQ＝OH； 当点G在线段CO上时， 因为S△AOC＝12， 所以， 则AH， 根据轴对称的性质可知，点D到l的距离与AH相等为， 综上所述，点D到直线l的距离为或． 故答案为：或． 三．解答题（共7小题） 19．【解答】解：原式 ． 20．【解答】解：去分母得：x（x﹣2）+12＝3（x+2）， 去括号得：x2﹣2x+12＝3x+6， 移项，合并同类项得：x2﹣5x+6＝0， 解得：x＝2或x＝3， 检验：（1）把x＝2代入得：x2﹣4＝0， ∴x＝2不是原方程的解． （2）把x＝3代入得：x2﹣4≠0， ∴x＝3是原方程的解． 21．【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0）， 则：20＝15k， 解得k， ∴y； 当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k'≠0）， 则：， 解得， ∴y， ∴； （2）当y＝80时，80，解得x＝33， 33﹣15＝18（天）， ∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果． 22．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AD∥BC，∠BCD＝∠BAD，∠G＝∠EBC， ∴△GAB∽△BCE， ∴， ∵AB∥CD， ∴△ABF∽△CEF， ∴， ∴， ∴BE•BF＝BG•EF； （2）如图所示，连接DF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ACD＝∠ACB，AB＝CD＝BC， 又∵CF＝CF， ∴△CFD≌△CFB（SAS）， ∴DF＝BF， ∵E是CD的中点， ∴， 由（1）得△ABF∽△CEF， ∴， ∴AF＝2CF， ∵AF•CF＝2BF2， ∴2CF•CF＝2BF2， ∴CF＝BF或CF＝﹣BF（舍去）， ∴CF＝DF， 又∵E是CD的中点， ∴EF⊥CD，即BE⊥CD． 23．【解答】（1）证明：如图，连接AC， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ACB＝90°，AO＝BO， ∵OD⊥BC， ∴CE＝BE，∠DEF＝90°， ∴AC＝2OE，∠ACF＝∠DEF， ∵∠AFC＝∠DFE， ∴△AFC∽△DFE， ∴， ∴； （2）解：如图，连接AC，过点F作FT⊥AB于点T，则∠ATF＝90°， ∵AF•AD＝AO2， ∴， ∵∠FAO＝∠OAD， ∴△FAO∽△OAD， ∴∠AOF＝∠D， ∵OD＝OA， ∴∠D＝∠OAD， ∴AF＝OF， ∵FT⊥AB， ∴AT＝OTAOAB， ∵OD⊥BC， ∴， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ACB＝∠ATF＝90°， 在△ACF和△ATF中， ， ∴△ACF≌△ATF（AAS）， ∴AC＝ATAB， ∴sin∠ABC； （3）解：设⊙O的半径为r，当∠AOF＝90°时， ∵AO＝BO，∠AOF＝90°， ∴AF＝BF， ∴∠B＝∠BAD， ∵OD⊥BC， ∴， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠B， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAD+∠CAD+∠B＝90°， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠B＝30°， ∵OD⊥BC，∠AOF＝90°， ∴OE＝OB•sinBr， BE＝OB•cosBr， OF＝OB•tanB＝r•r， BFr， ∴EF＝BF﹣BErrr， ∴S△OFEEF•OErrr2， ∴S△AFB2rrr2， ∴； 当∠AFO＝90°时， ∵∠AFO＝90°， ∴AF＝DF， 由（1）得， ∴2OE＝DE， ∵OE+DE＝r， ∴OEr，DEr， ∵OD⊥BC， ∴CE＝BEr， 在△ACF和△DEF中， ， ∴△ACF≌△DEF（AAS）， ∴EF＝CFCErr，AC＝DEr， ∴S△OFEEF•OEr2， ∴BF＝BE+EF， ∴S△AFBr2， ∴， 综上所述，的值为或． 24．【解答】解：（1）已知二次函数的图象经过点（2，﹣4），与x轴交于点（4，0），将（2，﹣4），（4，0）代入得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）， ∴二次函数的开口向上，顶点坐标为， 当x＝5时，， ∵二次函数的对称轴为直线x＝1， 当x＝5或x＝﹣3时，， ∵在m≤x≤5范围内二次函数有最大值为，最小值为， ∴﹣3≤m≤1； （3）由（2）可得的对称轴为直线x＝1， 且抛物线在2≤x≤3范围内y随x的增大而增大， ∴抛物线在x＝2时有最小值为﹣4， ①向左平移n个单位，即当x＝2时，存在与其对应的函数值y的最小值﹣3， ∴， 将x＝2代入得：n2+2n﹣2＝0， 解得：或， ∵向左平移， ∴n＞0， ∴； ②向右平移n个单位，当平移后对称轴在2左边时，即n≤1，函数在x＝2处取得最小值﹣3， 即， 解得：，，都不符合题意，舍去； 当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值； 当平移后对称轴在3右边时，即n≥2时，函数在x＝3时，存在y的最小值﹣3， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 综上所述，或． 25．【解答】解：（1）由旋转可得GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠BAG+∠BAE＝45°， ∴∠GAE＝∠FAE， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴GE＝EF， ∵GE＝GB+BE＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 故答案为：△EAG；EF＝BE+DF； （2）上述结论仍然成立；理由如下： 如图2，延长FD至点G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF∠BAD， ∴∠DAG+∠DAF∠BAD， 即∠GAF∠BAD， ∴∠EAF＝∠GAF， ∵AE＝AG，AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝GF， ∵GF＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； （3）如图4，延长AC、BD相交于点G， 在四边形AOBG中， ∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠COD＝70°∠AOB， ∵OA＝OB，∠OAG+∠OBG＝60°+120°＝180°符合（2）中的条件． ∴结论CD＝AC+BD成立， 即CD＝AC+BD＝2×（30+20）＝100（海里）， 答：此时两舰之间的距离为100海里． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $