专题1.1 正数与负数（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦正数与负数及有理数核心知识点，先明确正数负数定义与0的分界意义，再延伸至相反意义量的表示，最后系统梳理有理数的定义、分类及各类数的含义，构建从具体识别到抽象分类的知识支架。 资料设计11类典型题型，含例题及变式训练，结合海拔、商品偏差等生活情境，通过实际问题培养数感与应用意识，借助分类填表等题型提升抽象能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题1.1 正数与负数（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 识别正负数】 2 【题型2 判断相反意义量】 3 【题型3 解释正负数意义】 5 【题型4 用正负数表示量】 7 【题型5 实际情境辨正负】 8 【题型6 用正负数表示允许偏差】 11 【题型7 正负数范围归类填空】 13 【题型8 有理数的定义判断】 15 【题型9 写出有理数的个数】 17 【题型10 有理数的类别归属】 18 【题型11 有理数分类填表】 20 知识点1 正数和负数的概念考点1 正数和负数 1. 正数和负数的定义： 定义 示例 补充 正数 大于0的数叫做正数．有时，为了明确表达意义，在正数的前面也加上符号“+”（读作“正”） 3，1.8%，3.5，都是正数 正数前的“+”可以省略不写 负数 在正数前加上符号“”的数叫作负数 3，2.7%，，4.5都是负数 负数前的“”不能省略 2. 注意：0既不是正数，也不是负数． 3. 0的意义 （1）0是正负数的分界； （2）0可以表示“没有”； （3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示． 知识点2 具有相反意义的量 1. 定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量． 2. 表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m,记作+8 848.86 m． 【题型1 识别正负数】 【例1】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】根据正数、负数、自然数的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：根据定义，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不大于0也不小于0， ∴0不是正数，也不是负数， 故选项A、B不符合题意，选项D符合题意； ∵初中教材规定，0是自然数， ∴选项C不符合题意． 【变式1-1】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）我国是最早认识和使用负数的国家，早在东汉时期就提出了正数和负数的概念； 下列各数中：，2，，0，负数的个数为_______． 【答案】 【分析】本题考查负数的概念，根据负数是指小于零的数，通常带有负号，逐个判断即可． 【详解】解：，，，， 即负数有，，个数为， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·月考），，0，，3这几个数中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题根据正数的定义进行判断，大于0的数是正数，0既不是正数也不是负数，逐个判断给定的数，统计正数的个数即可得到结果． 【详解】解：∵正数的定义为大于0的数，0既不是正数也不是负数 给定的数分别为，，0，，3， 其中大于0的数为，，，共3个 ∴正数有3个． 【变式1-3】（25-26七年级上·北京·期末）算筹是我国古代广泛应用的一种运算工具，摆放方式分“纵式”摆放和“横式”摆放，图案与数字的对应关系如下表，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式……，这样从右到左，纵横相间，以此类推．算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹． 如：数字823所对应的图案为“”，则“”所表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，结合题干的条件，进行逐个查找，又因为算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹，进行分析，即可作答． 【详解】 解：依题意，观察表格的信息，得“”所表示的数是， 故答案为： 【题型2 判断相反意义量】 【例2】（25-26七年级上·河北唐山·月考）如图有两张卡片，上面各标有四组词语． Ⅰ．前进20米； ①收入300元； Ⅱ．运出250吨； ②后退50米； Ⅲ．上升； ③运进800吨； Ⅳ．支出100元． ④下降． (1)将具有相反意义的量配对，直接在横线上填序号： Ⅰ—②，Ⅱ—______，Ⅲ—______，Ⅳ—______； (2)若“”表示增加，则“”表示______． 【答案】(1)③，④，① (2)减少 【分析】本题考查了相反意义的量，解题的关键是理解相反意义的量的定义，即两个量的意义相反，并且数量可以用正负数表示． （1）根据相反意义的量的定义，找出与各组词语意义相反的量； （2）根据正负数表示相反意义的量的规则，分析“”的意义． 【详解】（1）解：相反意义的量配对 II“运出250吨”，相反意义的量是“运进”，所以II－③， III“上升”，相反意义的量是“下降”，所以III—④， IV“支出100元”，相反意义的量是“收入”，所以IV－① 故答案为：③，④，①； （2）解：因为“＂表示增加， 所以“”表示与“增加”相反的意义，即“减少”，因此“”表示减少． 故答案为：减少． 【变式2-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．“黑色”和“白色”是具有相反意义的量 B．“快”和“慢”是具有相反意义的量 C．“向北走4.5米”和“向南走8米”是具有相反意义的量 D．“+15米”就表示向东走了15米 【答案】C 【分析】本题考查相反意义的量的概念．根据相反意义的量判断即可． 【详解】本题AB选项中只具备意义相反的词，而不是量，说法不正确，不符合题意； C、中明确了两个相反的量，即“向北走4.5米”和“向南走8米”，说法正确，符合题意； D、中没有明确具体的方向，所以”米”不能代表向哪个方向走，说法不正确，不符合题意． 故答案为：C 【变式2-2】（25-26九年级下·河北廊坊·期中）《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思：有两数若其意义相反，则分别叫作正数和负数．下列可以用来表示一个问题中具有相反意义的量的是（   ） A．1和2 B．和 C．1和 D．0和1 【答案】C 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．根据正负数表示具有相反意义的量，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、1和2都是正数，不能表示具有相反意义的量，不符合题意； B、和都是负数，不能表示具有相反意义的量，不符合题意； C、1是正数，是负数，能表示具有相反意义的量，符合题意； D、0既不是正数也不是负数，1是正数，不能表示具有相反意义的量，不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）写出与下列各量具有相反意义的量： （1）零上；（2）盈利200元；（3）运进3吨； （4）支出1000元；（5）低于海平面155米； （6）股票上涨． 【答案】（1）零下；（2）亏损200元；（3）运出3吨；（4）收入1000元；（5）高于海平面155米；（6）股票下跌 【分析】此题考查了对正负数概念的理解，正数和负数是用来表示具有相反意义的量；依据正数和负数的认识，结合相反数意义的量找出与零上相反的量是零下，同理解答其他小题． 【详解】解：（1）零上，则相反意义的量为：零下； （2）盈利200元，则相反意义的量为：亏损200元； （3）运进3吨，则相反意义的量为：运出3吨； （4）支出1000元，则相反意义的量为：收入1000元； （5）低于海平面155米，则相反意义的量为：高于海平面155米； （6）股票上涨，则相反意义的量为：股票下跌． 【题型3 解释正负数意义】 【例3】（25-26七年级上·河南许昌·期中）我国古代数学著作《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果某仓库运进面粉7吨，记为吨，那么“吨”表示的意义为______． 【答案】运出面粉10吨 【分析】本题主要考查了正负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：如果某仓库运进面粉7吨，记为吨，那么“吨”表示的意义为运出面粉10吨． 故答案为：运出面粉10吨． 【变式3-1】（25-26七年级上·江苏镇江·期中）《孙子算经》中提到“今有两数意义相反，当以正负别之”，意思是：有两个数如果它们的意义相反，就用正数和负数来区分．若海拔高于海平面米记作 米，则 米表示海拔为（ ） A．高于海平面米 B．低于海平面米 C．高于海平面米 D．低于海平面米 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正数表示高于海平面，负数表示低于海平面解答即可． 【详解】解：∵高于海平面米记作米， ∴低于海平面应用负数表示， ∴米表示低于海平面米． 故选：B． 【变式3-2】（25-26七年级上·云南文山·期末）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向西走5米记作米，则米表示（    ） A．向东走2米 B．向南走2米 C．向西走2米 D．向北走2米 【答案】A 【分析】此题考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 根据相反意义的量，向西记为负，则向东记为正． 【详解】解：∵向西走5米记作米， ∴相反方向向东记为正， ∴米表示向东走2米 故选A． 【变式3-3】（25-26七年级上·云南·单元测试）生产劳动情境·商品生产某方便面厂生产的袋装方便面外包装上印有的字样． (1)请问：“”表示什么意义？ (2)某同学购买一袋这样的方便面，称了一下发现只有，问该厂家在重量上有无欺诈行为？说明理由． 【答案】(1)表示比标准质量多或少都是合格产品 (2)无欺诈行为．理由见解析 【分析】本题考查了正负数的意义，理解正和负的相对性、明确什么是一对具有相反意义的量是解题的关键． （1）根据正负数的意义解答； （2）求出合格产品的质量范围，然后判断即可． 【详解】（1）表示比标准质量多或少都是合格产品； （2）无欺诈行为．理由如下： ， ∴合格产品的质量的取值范围为：， ∵在此范围内，所以该厂家在重量上无欺诈行为． 【题型4 用正负数表示量】 【例4】（25-26九年级下·河南信阳·阶段检测）如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵水位升高时水位变化记作，即规定升高记为正，下降记为负， ∴水位下降时水位变化记作． 【变式4-1】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面3000m的山峰，在等高线上标注为，若某盆地低于海平面200m，在等高线上标注为（    ） A． B．0m C．200m D． 【答案】A 【详解】解：∵高于海平面标注为，即把海平面记作基准，高于海平面记为正， ∴低于海平面记为负， ∵该盆地低于海平面， ∴标注为. 【变式4-2】（25-26九年级下·福建福州·期中）如果公元前121年记作年，那么公元2026年应记作______年． 【答案】 【详解】解:根据题意得，公元2026年记作年． 【变式4-3】（25-26七年级上·湖南永州·期末）微信账单上，收入的钱用正数表示，支出的钱用负数表示．如果收入元记作元，则李叔叔今日购买苹果使用微信支出元记作_________元． 【答案】 【分析】本题考查正负数的实际意义，关键是理解“正”和“负”的相对性，明确一对具有相反意义的量的表示规则． 【详解】解：∵题目明确收入的钱用正数表示，支出的钱用负数表示， ∴李叔叔今日购买苹果使用微信支出元记作元； 故答案为：． 【题型5 实际情境辨正负】 【例5】（25-26七年级上·福建福州·期末）体育课上，学校对某班的学生进行跳绳测试，在一定时间内，以能跳160次为达到标准，超过标准的次数用正数来表示，不足标准的次数用负数来表示，其中10名男同学成绩如下：5，，，7，0，9，0，12，，1． (1)求这10名同学的达标率为多少？ (2)求这10名同学共跳绳多少次？ 【答案】(1) (2)1624次 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用达标人数除以10计算即可； （2）根据有理数的乘法的应用解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，达标人数为7人， 故这10名同学的达标率为：． （2）解：根据题意，得这10名同学共跳绳： （次）． 【变式5-1】（25-26七年级上·云南曲靖·期末）在一次环境检测任务中，一架无人机起飞后对某区域进行大气数据采集．无人机起飞后的高度变化如下表： 高度变化 记作 上升3.1千米 千米 下降2.2千米 千米 上升4.5千米 千米 下降1.7千米 千米 请解答下列问题： (1)此时这架无人机比起飞点高了多少千米？ (2)如果无人机每上升或下降1千米需消耗的电量为0.3度，那么这架无人机在完成上述检测任务后共消耗多少电量？ 【答案】(1)3.7千米 (2)3.45度 【分析】本题主要考查了有理数的加减法的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意列出算式求解是解题的关键． （1）把4次飞行的数据进行相加，若结果为正则比起点高，若结果为负，则比起点低； （2）求出4次飞行的总路程，再用路程乘以每千米的耗电量即可得到答案． 【详解】（1）解：（千米）， 答：此时这架无人机比起飞点高了3.7千米； （2）解：（度）， 答：这架无人机在完成上述检测任务后共消耗3.45度电． 【变式5-2】（25-26七年级上·河北唐山·期末）南湖公园，全称南湖城市中央生态公园，是唐山市国家4A级景区，是集自然生态、历史文化和现代文化为一体的大型城市中央生态公园．某星期日，南湖公园共接待游客约1.7万人，接下来的一星期中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数变化（万人） (1)星期三的人数为________万人； (2)这一星期内，游客人数最多的是星期________，是________万人； (3)请求出这一星期内南湖公园一共接待了多少名游客． 【答案】(1)1.2 (2)六，2.7 (3)这一星期内南湖公园一共接待了11.7万名游客 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键： （1）用上周日的人数加上表格中前三个数据，求和即可； （2）求出每天的人数，比较大小即可； （3）（2）中每天的数据求和即可． 【详解】（1）解：（万人）； 故答案为：1.2； （2）解：星期一人数为（万人）； 星期二人数为（万人）； 星期三人数为（万人）； 星期四人数为（万人）； 星期五人数为（万人）； 星期六人数为（万人）； 星期日人数为（万人）； 故人数最多的是星期六，有2.7万人； 故答案为：六，2.7 （3）解：（万人）； 答：这一星期内南湖公园一共接待了11.7万名游客． 【变式5-3】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）直播助农已成为乡村振兴的重要抓手，衢州“红小播”团队在某次公益助农中售卖刚上市的猕猴桃，计划每天销售100千克，实际每天销售量超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是该团队一周的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量偏差（千克） (1)这周实际销售猕猴桃的总量是多少千克？ (2)若猕猴桃售价为元/千克，则这一周销售收入共多少元？ 【答案】(1)千克 (2)元 【分析】本题考查正数和负数以及有理数的混合运算的应用； （1）根据一周实际销售猕猴桃的数量相加计算即可； （2）将总数量乘以每千克的收入解答即可． 【详解】（1）解：（千克） （千克） 答：这周实际销售猕猴桃的总量是720千克． （2）解：（元） 答：这一周销售收入共5760元． 【题型6 用正负数表示允许偏差】 【例6】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）智能手表标注“续航：小时”，最长续航___________小时． 【答案】76 【详解】解：智能手表标注“续航：小时”，最长续航（小时）． 【变式6-1】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）一种巧克力的质量标识为“克”，表示其标准重量为克，上下偏差不超过克就符合标准，则下列巧克力符合标准的是（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】D 【分析】此题考查了正负数的实际应用，根据巧克力的质量标识为“克”，求出合格质量范围的取值范围，进而即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵标准重量克，偏差克， ∴（克），（克）， ∴合格范围为克合格质量 克， 、，不符合； 、，不符合； 、，不符合； 、，符合； 故选：． 【变式6-2】（25-26七年级上·陕西安康·期末）某种牛奶的包装盒上的净含量标识为：“”，表示其标准质量为，上下偏差不超过就符合要求，则生产符合要求的这种牛奶的净含量最小是______________． 【答案】 【分析】此题考查了正负数的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键．根据净含量标识为“”，符合要求的净含量范围是标准净含量减去偏差到加上偏差，求出符合要求的净含量范围即可求解． 【详解】解：由题意，标准净含量为，允许偏差为， ，， 符合要求的净含量范围为标准净含量， 生产符合要求的牛奶的最小净含量是， 故答案为：． 【变式6-3】（2025·湖北·三模）生活中经常能看到用正负数表示允许偏差的情形．某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，则下列乒乓球直径不合格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的加减运算的实际应用，理解正负数是具有相反意义的量成为解题的关键． 根据题意可知：合格乒乓球的直径范围是，即到之间（含端点），然后再结合各选项判断即可． 【详解】解：∵合格乒乓球的直径范围是， ∴合格乒乓球的直径范围是至． ∴A、B、C选项在该范围内，乒乓球合格；D选项不在该范围，乒乓球不合格，符合题意． 故选D． 【题型7 正负数范围归类填空】 【例7】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数，哪些是整数但不是正数，哪些是分数但不是负数？ 2，，0，，，，． 【答案】0，是整数但不是正数；，是分数但不是负数 【分析】本题考查整数、正数、分数、负数的定义，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．先从给定数中筛选出符合条件的整数，再筛选出符合条件的分数，注意区分整数和分数的定义，以及正负数的判断标准． 【详解】解：是整数但不是正数的有：0，； 是分数但不是负数的有：，． 【变式7-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）请任意写出3个正数与3个负数： 正数：{                                  …}． 负数：{                                  …}． 【答案】正数：（答案不唯一）；负数：（答案不唯一） 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0的数是正数、小于0的数是负数解答即可得． 【详解】解：正数：； 负数：． 【变式7-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）请把下列各数分别填入相应的圈内： ，，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0的数是正数、小于0的数是负数解答即可得． 【详解】解：把各数分别填入相应的圈内如下： ． 【变式7-3】（25-26七年级上·云南昆明·期中）把下列各数填入相应的大括号内，，，，，，，． 负数集合{                   }；整数集合{                 }． 分数集合{                   }；非负数集合{                   }． 【答案】 负数集合：； 整数集合：； 分数集合：； 非负数集合：． 【分析】本题考查了有理数的分类，关键是根据定义准确区分； 根据负数、整数、分数、非负数的定义进行填写． 【详解】解：负数是小于零的数； 整数包括正整数、负整数、零； 分数包括正分数、负分数； 非负数包括零和正数； 故答案为：负数集合：； 整数集合：； 分数集合：； 非负数集合：． 考点2 有理数的概念 知识点3 有理数 1. 定义：能够写成分数（a,b是整数，a>0)的数叫作有理数. 2. 2. 说明：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数．可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数.整数和分数统称为有理数.有理数也可以分为正有理数、零和负有理数，正有理数和零属于非负数. 3. 有理数的分类： 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 分数 整数 正整数 0 负整数 正分数 有理数 负分数 有理数 正有理数 0 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 可以写成正分数形式的数 可以写成负分数形式的数 3. 各类数的含义： 名称 描述 名称 描述 正整数 大于0的整数 负整数 小于0的整数 正分数 大于0的分数 负分数 小于0的分数 非负数 正数和0 非正数 负数和0 非正整数 负整数和0 非负整数 正整数和0 【题型8 有理数的定义判断】 【例8】（25-26六年级上·上海崇明·期末）下列关于有理数的说法，错误的是（      ） A．0是整数 B．负分数是有理数 C．有理数包括正有理数和负有理数 D．1 是最小的正整数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的概念，有理数包括正有理数，负有理数和0，有理数是分数和整数的统称，0也是整数，1是最小的正整数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，原说法正确，不符合题意； B、负分数是有理数，原说法正确，不符合题意； C、有理数包括正有理数、负有理数和0，原说法错误，符合题意； D、1 是最小的正整数，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式8-1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列对“0”的说法正确的个数是________ ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 【答案】2 【分析】本题考查了正数和负数、0的意义等知识点，掌握零的意义是解题的关键． 根据0的意义逐项判断即可解答． 【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个． 故答案为：2． 【变式8-2】有下列说法： （1）既是负数、分数，也是有理数； （2）正整数和负整数统称为整数； （3）0是非正数； （4）7既是正数也是整数，但不是有理数． 其中正确的是__________________（填写序号）． 【答案】（1）（3） 【分析】根据有理数的分类， 即可解答． 【详解】解：（1）既是负数、 分数， 也是有理数， 正确； （2）正整数、负整数和0统称为整数，原说法错误； （3）0是非正数，正确； （4）7既是正数也是整数，也是有理数，原说法错误． 故答案为：（1）（3）． 【点睛】本题是关于有理数分类的题目，掌握有理数的定义与分类方法是关键． 【变式8-3】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）下列说法中，错误的有（    ） 是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥ 3.14不是有理数． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的基本概念，包括负分数、整数、非负有理数、有理数的定义以及有理数的大小．根据定义逐一判断各说法的正误． 【详解】解：① 是负分数，正确； ② 不是整数，正确； ③ 非负有理数包括，故原说法错误； ④ 有理数是整数和分数的统称，而整数包括正整数、负整数和，故原说法错误； ⑤ 没有最小的有理数，故原说法错误； ⑥ 是有限小数，是有理数，故原说法错误． ∴ 错误的有③、④、⑤、⑥，共个； 故选B 【题型9 写出有理数的个数】 【例9】（25-26七年级上·四川南充·期末）在中，有理数的个数有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的识别，有理数是分数和整数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在中，有理数有，共4个， 故选：C． 【变式9-1】（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）在，，0，23，中，非负整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先明确非负整数的定义，即大于等于0的整数，再逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负分数，不符合要求； 是分数，不符合要求； 是非负整数，符合要求； 是非负整数，符合要求； 是负整数，不符合要求； ∴符合条件的非负整数共个． 【变式9-2】（24-25七年级上·浙江温州·月考）在，，，，，这六个数中，分数有_____个． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类，根据分数的定义即可得出答案，掌握分数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，，，，这六个数中，是分数的是：，，，共个， 故答案为：． 【变式9-3】（25-26七年级上·河北衡水·期末）在这些数中，有理数有个，整数有个，负数有个，则的值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，有理数的分类，根据有理数的分类方法分别求出有理数、整数、负数的个数，进而代值计算即可得到答案． 【详解】解：在中， 所有数均为有理数，故； 整数有：，，，，共个，故； 负数有：，，，，共个，故； ∴． 故选：A． 【题型10 有理数的类别归属】 【例10】（25-26七年级上·河北石家庄·月考）对于数，下列说法判断正确的个数为（   ） ①是分数但不是有理数；②是负小数也是负分数；③是负数但不是有理数 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数和正数、负数的知识点．是负数，是分数，也是有理数，据此选择正确答案即可． 【详解】解：是有限小数，是负数也是分数，还是有理数． 综上，②是正确的， 故选：A． 【变式10-1】（25-26七年级上·江苏常州·月考）下列各数：其中属于非整数有理数的有___________个． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的分类，根据分数的定义，有限小数和循环小数都属于分数，因此对所有给出的数进行判断即可． 【详解】解：是有限小数，可化为分数； 是分数； 0.27是有限小数，可化为分数； 2025是整数； 0是整数； 是循环小数，可化为分数． 所以，其中属于非整数有理数共有4个． 故答案为：4． 【变式10-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（    ） A．既是负数，也是分数，还是有理数 B．0既不是正数，也不是负数，但是整数 C．既是负数，也是整数，但不是有理数 D．0是非正数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类．有理数包括整数和分数，据此逐项分析即可． 【详解】解：A. 既是负数，也是分数，还是有理数，说法正确，不符合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，但是整数，说法正确，不符合题意； C. 既是负数，也是整数，也是有理数，原说法错误，符合题意； D. 0是非正数，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式10-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请按要求填出相应的2个有理数： （1）既是正数也是分数：__________________； （2）既不是负数也不是分数：__________________； （3）既不是分数，也不是非负数：__________________． 【答案】 、（答案不唯一） 1、2（答案不唯一） 、（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解此题的关键． （1）根据正数和分数的定义求解即可； （2）根据不是负数也不是分数的有理数的定义求解即可； （3）根据不是分数，也不是非负数的有理数的定义求解即可． 【详解】（1）既是正数也是分数：、； 故答案为：、（答案不唯一）； （2）既不是负数也不是分数：1、2； 故答案为：1、2（答案不唯一）； （3）既不是分数，也不是非负数：、． 故答案为：、（答案不唯一）． 【题型11 有理数分类填表】 【例11】（25-26七年级上·广西防城港·期末）把下列有理数填在相应的集合内： 正有理数集合： 负有理数集合：． 整数集合：． 【答案】；； 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握正有理数、负有理数、整数的定义，根据正有理数、负有理数、整数的定义即可求解． 【详解】解：正有理数集合：； 负有理数集合：； 整数集合：， 故答案为：；；． 【变式11-1】（25-26七年级上·河南三门峡·期末）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合：{   …}； 分数集合：{   …}； 非负整数集合：{   …}． 【答案】正数集合：{①⑤…} 分数集合：{③④⑤⑦…} 非负整数集合：{①⑥…} 【分析】本题考查有理数的分类，需明确正数、分数、非负整数的定义，逐一判断各数所属类别后完成归类，即可求解． 【详解】解：正数是大于的数和都大于所以正数集合：{①⑤…} 分数包含正分数、负分数，有限小数与百分数也属于分数范畴、、、都满足分数的定义所以分数集合：{③④⑤⑦…} 非负整数是正整数和0，是正整数，属于非负整数所以非负整数集合：{①⑥…} 【变式11-2】（25-26七年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）将下列各数填入相应的大括号里． 正分数集合：{                                     }； 非正整数集合：{                                     }； 正数集合：{                                     }； 有理数集合：{                                     }． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数分类．根据题意利用有理数分类逐一对每个数进行分类即可得到本题答案． 【详解】解：∵ ∴正分数集合{ }， 非正整数集合{} 正数集合{} 有理数集合{} 【变式11-3】（25-26七年级上·重庆·期末）把下列各有理数填入相应的集合内： ，，0.6，，0，，． 负有理数集合：{                         …}； 整数集合：{                             …}； 负分数集合：{                           …}； 非负有理数集合：{                       …}． 【答案】；；； 【分析】本题考查了有理数的分类，根据负有理数、整数、负分数及非负有理数的定义将各有理数进行分类即可． 【详解】解：，， 负有理数集合：是负整数，属于负有理数；是负分数，属于负有理数；是负分数，属于负有理数；是负无限循环小数，属于负有理数， ∴负有理数集合为； 整数集合：是负整数，属于整数；0是整数；是正整数，属于整数， ∴整数集合为； 负分数集合：是负分数；是负分数；是负无限循环小数，可化为负分数，属于负分数， ∴负分数集合为； 非负有理数集合：0.6是正分数，属于非负有理数；0是非负有理数；是正整数，属于非负有理数， ∴非负有理数集合为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 正数与负数（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 识别正负数】 2 【题型2 判断相反意义量】 2 【题型3 解释正负数意义】 3 【题型4 用正负数表示量】 4 【题型5 实际情境辨正负】 4 【题型6 用正负数表示允许偏差】 6 【题型7 正负数范围归类填空】 6 【题型8 有理数的定义判断】 8 【题型9 写出有理数的个数】 8 【题型10 有理数的类别归属】 9 【题型11 有理数分类填表】 9 知识点1 正数和负数的概念考点1 正数和负数 1. 正数和负数的定义： 定义 示例 补充 正数 大于0的数叫做正数．有时，为了明确表达意义，在正数的前面也加上符号“+”（读作“正”） 3，1.8%，3.5，都是正数 正数前的“+”可以省略不写 负数 在正数前加上符号“”的数叫作负数 3，2.7%，，4.5都是负数 负数前的“”不能省略 2. 注意：0既不是正数，也不是负数． 3. 0的意义 （1）0是正负数的分界； （2）0可以表示“没有”； （3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示． 知识点2 具有相反意义的量 1. 定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量． 2. 表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m,记作+8 848.86 m． 【题型1 识别正负数】 【例1】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 【变式1-1】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）我国是最早认识和使用负数的国家，早在东汉时期就提出了正数和负数的概念； 下列各数中：，2，，0，负数的个数为_______． 【变式1-2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·月考），，0，，3这几个数中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（25-26七年级上·北京·期末）算筹是我国古代广泛应用的一种运算工具，摆放方式分“纵式”摆放和“横式”摆放，图案与数字的对应关系如下表，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式……，这样从右到左，纵横相间，以此类推．算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹． 如：数字823所对应的图案为“”，则“”所表示的数是______． 【题型2 判断相反意义量】 【例2】（25-26七年级上·河北唐山·月考）如图有两张卡片，上面各标有四组词语． Ⅰ．前进20米； ①收入300元； Ⅱ．运出250吨； ②后退50米； Ⅲ．上升； ③运进800吨； Ⅳ．支出100元． ④下降． (1)将具有相反意义的量配对，直接在横线上填序号： Ⅰ—②，Ⅱ—______，Ⅲ—______，Ⅳ—______； (2)若“”表示增加，则“”表示______． 【变式2-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．“黑色”和“白色”是具有相反意义的量 B．“快”和“慢”是具有相反意义的量 C．“向北走4.5米”和“向南走8米”是具有相反意义的量 D．“+15米”就表示向东走了15米 【变式2-2】（25-26九年级下·河北廊坊·期中）《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思：有两数若其意义相反，则分别叫作正数和负数．下列可以用来表示一个问题中具有相反意义的量的是（   ） A．1和2 B．和 C．1和 D．0和1 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）写出与下列各量具有相反意义的量： （1）零上；（2）盈利200元；（3）运进3吨； （4）支出1000元；（5）低于海平面155米； （6）股票上涨． 【题型3 解释正负数意义】 【例3】（25-26七年级上·河南许昌·期中）我国古代数学著作《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果某仓库运进面粉7吨，记为吨，那么“吨”表示的意义为______． 【变式3-1】（25-26七年级上·江苏镇江·期中）《孙子算经》中提到“今有两数意义相反，当以正负别之”，意思是：有两个数如果它们的意义相反，就用正数和负数来区分．若海拔高于海平面米记作 米，则 米表示海拔为（ ） A．高于海平面米 B．低于海平面米 C．高于海平面米 D．低于海平面米 【变式3-2】（25-26七年级上·云南文山·期末）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向西走5米记作米，则米表示（    ） A．向东走2米 B．向南走2米 C．向西走2米 D．向北走2米 【变式3-3】（25-26七年级上·云南·单元测试）生产劳动情境·商品生产某方便面厂生产的袋装方便面外包装上印有的字样． (1)请问：“”表示什么意义？ (2)某同学购买一袋这样的方便面，称了一下发现只有，问该厂家在重量上有无欺诈行为？说明理由． 【题型4 用正负数表示量】 【例4】（25-26九年级下·河南信阳·阶段检测）如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面3000m的山峰，在等高线上标注为，若某盆地低于海平面200m，在等高线上标注为（    ） A． B．0m C．200m D． 【变式4-2】（25-26九年级下·福建福州·期中）如果公元前121年记作年，那么公元2026年应记作______年． 【变式4-3】（25-26七年级上·湖南永州·期末）微信账单上，收入的钱用正数表示，支出的钱用负数表示．如果收入元记作元，则李叔叔今日购买苹果使用微信支出元记作_________元． 【题型5 实际情境辨正负】 【例5】（25-26七年级上·福建福州·期末）体育课上，学校对某班的学生进行跳绳测试，在一定时间内，以能跳160次为达到标准，超过标准的次数用正数来表示，不足标准的次数用负数来表示，其中10名男同学成绩如下：5，，，7，0，9，0，12，，1． (1)求这10名同学的达标率为多少？ (2)求这10名同学共跳绳多少次？ 【变式5-1】（25-26七年级上·云南曲靖·期末）在一次环境检测任务中，一架无人机起飞后对某区域进行大气数据采集．无人机起飞后的高度变化如下表： 高度变化 记作 上升3.1千米 千米 下降2.2千米 千米 上升4.5千米 千米 下降1.7千米 千米 请解答下列问题： (1)此时这架无人机比起飞点高了多少千米？ (2)如果无人机每上升或下降1千米需消耗的电量为0.3度，那么这架无人机在完成上述检测任务后共消耗多少电量？ 【变式5-2】（25-26七年级上·河北唐山·期末）南湖公园，全称南湖城市中央生态公园，是唐山市国家4A级景区，是集自然生态、历史文化和现代文化为一体的大型城市中央生态公园．某星期日，南湖公园共接待游客约1.7万人，接下来的一星期中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数变化（万人） (1)星期三的人数为________万人； (2)这一星期内，游客人数最多的是星期________，是________万人； (3)请求出这一星期内南湖公园一共接待了多少名游客． 【变式5-3】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）直播助农已成为乡村振兴的重要抓手，衢州“红小播”团队在某次公益助农中售卖刚上市的猕猴桃，计划每天销售100千克，实际每天销售量超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是该团队一周的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量偏差（千克） (1)这周实际销售猕猴桃的总量是多少千克？ (2)若猕猴桃售价为元/千克，则这一周销售收入共多少元？ 【题型6 用正负数表示允许偏差】 【例6】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）智能手表标注“续航：小时”，最长续航___________小时． 【变式6-1】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）一种巧克力的质量标识为“克”，表示其标准重量为克，上下偏差不超过克就符合标准，则下列巧克力符合标准的是（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【变式6-2】（25-26七年级上·陕西安康·期末）某种牛奶的包装盒上的净含量标识为：“”，表示其标准质量为，上下偏差不超过就符合要求，则生产符合要求的这种牛奶的净含量最小是______________． 【变式6-3】（2025·湖北·三模）生活中经常能看到用正负数表示允许偏差的情形．某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，则下列乒乓球直径不合格的是（    ） A． B． C． D． 【题型7 正负数范围归类填空】 【例7】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数，哪些是整数但不是正数，哪些是分数但不是负数？ 2，，0，，，，． 【变式7-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）请任意写出3个正数与3个负数： 正数：{                                  …}． 负数：{                                  …}． 【变式7-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）请把下列各数分别填入相应的圈内： ，，，，，． 【变式7-3】（25-26七年级上·云南昆明·期中）把下列各数填入相应的大括号内，，，，，，，． 负数集合{                   }；整数集合{                 }． 分数集合{                   }；非负数集合{                   }． 考点2 有理数的概念 知识点3 有理数 1. 定义：能够写成分数（a,b是整数，a>0)的数叫作有理数. 2. 2. 说明：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数．可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数.整数和分数统称为有理数.有理数也可以分为正有理数、零和负有理数，正有理数和零属于非负数. 3. 有理数的分类： 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 分数 整数 正整数 0 负整数 正分数 有理数 负分数 有理数 正有理数 0 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 可以写成正分数形式的数 可以写成负分数形式的数 3. 各类数的含义： 名称 描述 名称 描述 正整数 大于0的整数 负整数 小于0的整数 正分数 大于0的分数 负分数 小于0的分数 非负数 正数和0 非正数 负数和0 非正整数 负整数和0 非负整数 正整数和0 【题型8 有理数的定义判断】 【例8】（25-26六年级上·上海崇明·期末）下列关于有理数的说法，错误的是（      ） A．0是整数 B．负分数是有理数 C．有理数包括正有理数和负有理数 D．1 是最小的正整数 【变式8-1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列对“0”的说法正确的个数是________ ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 【变式8-2】有下列说法： （1）既是负数、分数，也是有理数； （2）正整数和负整数统称为整数； （3）0是非正数； （4）7既是正数也是整数，但不是有理数． 其中正确的是__________________（填写序号）． 【变式8-3】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）下列说法中，错误的有（    ） 是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥ 3.14不是有理数． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型9 写出有理数的个数】 【例9】（25-26七年级上·四川南充·期末）在中，有理数的个数有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式9-1】（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）在，，0，23，中，非负整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式9-2】（24-25七年级上·浙江温州·月考）在，，，，，这六个数中，分数有_____个． 【变式9-3】（25-26七年级上·河北衡水·期末）在这些数中，有理数有个，整数有个，负数有个，则的值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型10 有理数的类别归属】 【例10】（25-26七年级上·河北石家庄·月考）对于数，下列说法判断正确的个数为（   ） ①是分数但不是有理数；②是负小数也是负分数；③是负数但不是有理数 A．1 B．2 C．3 D．0 【变式10-1】（25-26七年级上·江苏常州·月考）下列各数：其中属于非整数有理数的有___________个． 【变式10-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（    ） A．既是负数，也是分数，还是有理数 B．0既不是正数，也不是负数，但是整数 C．既是负数，也是整数，但不是有理数 D．0是非正数 【变式10-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请按要求填出相应的2个有理数： （1）既是正数也是分数：__________________； （2）既不是负数也不是分数：__________________； （3）既不是分数，也不是非负数：__________________． 【题型11 有理数分类填表】 【例11】（25-26七年级上·广西防城港·期末）把下列有理数填在相应的集合内： 正有理数集合： 负有理数集合：． 整数集合：． 【变式11-1】（25-26七年级上·河南三门峡·期末）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合：{   …}； 分数集合：{   …}； 非负整数集合：{   …}． 【变式11-2】（25-26七年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）将下列各数填入相应的大括号里． 正分数集合：{                                     }； 非正整数集合：{                                     }； 正数集合：{                                     }； 有理数集合：{                                     }． 【变式11-3】（25-26七年级上·重庆·期末）把下列各有理数填入相应的集合内： ，，0.6，，0，，． 负有理数集合：{                         …}； 整数集合：{                             …}； 负分数集合：{                           …}； 非负有理数集合：{                       …}． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $