第05讲 全称量词与存在量词（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第05讲 全称量词与存在量词（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 全称量词与存在量词 我们知道，命题是可以判断真假的陈述句.在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题.但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词.本节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【知识点1 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的真假判断】 1．全称量词命题的真假判断 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. 2．存在量词命题的真假判断 要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【解题思路】由全称量词的定义逐项判断即可． 【解答过程】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 【变式1-1】（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【解题思路】根据存在量词命题的概念判断即可. 【解答过程】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A. 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【答案】B 【解题思路】由存在量词和全称量词的性质逐项判断即可； 【解答过程】选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高一上·安徽亳州·阶段检测）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】C 【解题思路】根据存在量词命题的定义求解即可. 【解答过程】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误； 对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误； 对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确； 对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误. 故选：C. 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例2】（25-26高一上·安徽·阶段检测）下列命题中为真命题的是（    ） A．，使得 B．，使得 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据全称量词与存在量词命题真假的判断方法依次判断即可. 【解答过程】选项A：因为，，所以选项A错误； 选项B：当时，，所以选项B错误； 选项C：，所以选项C正确； 选项D：因为有的无理数的平方仍是无理数，如：，所以选项D错误. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·广西·期中）下列是全称量词命题，且为真命题的是（    ） A． B． C．自然数都大于零 D．分数是有理数 【答案】D 【解题思路】根据全称量词命题的特征，以及真命题判断方法结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A，该命题是全称量词命题，当时，，即该命题是假命题，故A不合题意； 对于B，，其中“”是存在量词，所以该命题是存在量词命题，故B不符合题意； 对于C，该命题是全称量词命题，因0是自然数，但并不大于，即该命题是假命题，故C不符合题意； 对于D，“分数是有理数”可理解为“任意一个分数都是有理数”，是全称量词命题； 因有理数是整数和分数的统称，所以分数一定是有理数，该命题为真命题，即D符合题意. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题为真命题的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．， D．， 【答案】C 【解题思路】由真命题概念逐个判断即可. 【解答过程】对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，比如一个等边三角形和一个等腰直角三角形，故A错误； 对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误； 对于C，因为，，即，故C正确； 对于D，因为，，故D错误． 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一上·广东惠州·阶段检测）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【答案】C 【解题思路】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解. 【解答过程】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意， 选项A：因为，所以命题为假命题； 选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C：，故命题为真命题，故C正确. 故选：C． 【题型3 根据命题的真假求参数】 【例3】（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，再由它们必有一真一假，即可根据真命题，结合判别式大于或等于零求解参数范围. 【解答过程】由是假命题， 则是真命题， 即， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】原命题为真，利用存在性成立列不等式求解即可． 【解答过程】由于“，使得” 是真命题， 可得，使得成立， ，即， 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知集合. (1)若命题是假命题，求的取值范围； (2)若命题是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意得命题的否定为真命题，分集合是否为空集进行讨论，根据集合关系求解即可； （2）由题意得，根据集合关系求解即可. 【解答过程】（1）因为命题是假命题，所以， 所以，解得，则， 若，则只需，即， 综上，m的取值范围为. （2）因为是真命题，所以， 所以，即解得， 此时， 所以只需满足即可，即. 故m的取值范围为. 【变式3-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知命题：，，命题：，. (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，或 【解题思路】（1）根据全称命题的性质，结合存在命题的性质进行求解即可； （2）根据题意，分类讨论进行求解即可. 【解答过程】（1）命题为真命题时，，当时，代数式， 要想，恒成立，只需即可； 命题为真命题时，有，或， 因为两个命题都是真命题， 所以实数应同时满足上述条件，即， 因此实数的取值范围； （2）由（1）可知：当命题为假命题时，， 当命题为假命题时，， 当命题为真命题时，命题为假命题时，有， 当命题为假命题时，命题为真命题时，有，或，解得， 综上所述：实数的取值范围，或. 模块三 全称量词命题与存在量词命题的否定 【知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【题型4 全称量词命题的否定】 【例4】（24-25高一上·贵州遵义·期末）若命题：，，则p的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题分析判断即可. 【解答过程】命题：，的否定为，. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一上·陕西渭南·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可直接写成命题的否定. 【解答过程】由题意得：的否定是：， 故选：A. 【变式4-2】（25-26高一上·湖南·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题得到答案. 【解答过程】命题“”的否定是“”， 故选：B. 【变式4-3】（25-26高一上·广东广州·期中）已知命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由全称量词命题的否定可得出结论. 【解答过程】由题意可知，命题为全称量词命题，该命题的否定为：. 故选：D. 【题型5 存在量词命题的否定】 【例5】（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解答过程】根据存在量词命题否定的结构形式可得正确的选项. 【解题思路】命题：“，”为存在量词命题， 故其否定为：，， 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·天津西青·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可 【解答过程】根据特称命题的否定是全称命题， 命题“，”的否定是：“，”. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据存在量词命题的否定方法，改变量词，否定结论即可. 【解答过程】命题“”的否定是“”． 故选：． 【变式5-3】（2025高一上·福建厦门·专题练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】先将存在量词“”改为全称量词“”，再否定原命题的结论即可. 【解答过程】因为：， 所以命题的否定是：. 故选B. 模块四 命题的否定与原命题的真假 【知识点4 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 【题型6 命题否定的真假判断】 【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题的否定是真命题的为（    ） A．：每一个合数都是偶数 B．：两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C．：全等三角形的周长相等 D．：所有的无理数都是实数 【答案】A 【解题思路】由命题否定的定义及其真假性即可逐一判断. 【解答过程】对于A，存在一个合数9，它不是偶数，故A正确； 对于B，因为：两条平行线被第三条直线所截内错角相等是真命题，故它的否定是假命题，故B错误； 对于C，因为：全等三角形的周长相等是真命题，故它的否定是假命题，故C错误； 对于D，因为：所有的无理数都是实数是真命题，故它的否定是假命题，故D错误. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知命题，命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【解题思路】首先通过取特值判断命题与命题的真假，进而判断选项的正误即可. 【解答过程】对于命题：当时，，因此命题为真命题，从而为假命题； 对于命题：当，时，，，可得：，故命题为假命题，从而为真命题； 综上可得：命题与命题均为真命题. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题的否定为真命题的是（    ） A．，使得方程有整数解 B．， C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．，方程是一元二次方程 【答案】D 【解题思路】根据命题的否定的定义以及真命题的定义逐一判断各个选项即可. 【解答过程】原命题的否定为“，方程9没有整数解”，令，则，此时方程有整数解，即原命题的否定为假命题，A错误； 原命题的否定为“”，，当且仅当时等号成立，即原命题的否定为假命题，B错误； 原命题的否定为“存在一组邻边相等的平行四边形不是菱形”，为假命题，C错误； 原命题的否定为“，方程不是一元二次方程”，当时，原方程为是一元一次方程，即原命题的否定为真命题，D正确． 故选：D. 【变式6-3】（25-26高一上·河北保定·期中）已知命题：，，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解题思路】先分别判断命题和命题的真假，从而得到，的真假，再根据选项求解 【解答过程】当时，显然不成立，所以是假命题，是真命题． 当时，显然成立，所以命题是真命题，是假命题． 故选：B. 【题型7 根据命题否定的真假求参数】 【例7】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】写出命题的否定，即可得到，根据二次函数的性质求出，即可得解. 【解答过程】命题“”的否定为， 因为为真命题，又，当且仅当时取等号， 即，所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高一上·天津·期中）已知，若的否定为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据p为假命题可得为真命题，由此得，求得答案. 【解答过程】由题意命题p:的否定为：为真命题， 即，故 ，即， 故选：D. 【变式7-2】（24-25高一上·安徽淮北·期中）已知命题“，使得”． (1)写出命题p的否定形式； (2)若命题是一个假命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，使得 (2) 【解题思路】（1）根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解； （2）根据题意，转化为即不等式在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【解答过程】（1）由命题“，使得”， 可得命题的否定为：“，使得”， （2）因为命题是一个假命题， 则命题“，使得”为真命题， 即不等式在上恒成立， 当时，不等式恒成立，满足题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数a的取值范围为． 【变式7-3】（24-25高一上·天津东丽·阶段检测）已知命题，，命题，. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意命题为真命题，即在时恒成立，可求实数的取值范围； （2）由为真命题的条件求的范围，结合为真命题时的范围，可求实数的取值范围. 【解答过程】（1）命题为假命题，则命题为真命题，即在时恒成立， 所以，即实数的取值范围是. （2）命题，， 为真命题，则，解得， 又由（1）可知，命题为真命题时，， 所以命题和均为真命题，实数的取值范围为. 【题型8 全称量词、存在量词问题与集合交汇】 【例8】（23-24高一上·陕西西安·阶段检测）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【解答过程】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题， 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 【变式8-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先根据命题的否定得到“，”为真命题，再对选项一一分析即可. 【解答过程】“，”为假命题，则其命题的否定“，”为真命题. 对A，，则，满足“，”； ，则满足“，”，故A正确； 对B，，则其不满足“，”，故B错误； 对C，，举例，此时，不满足“，”，C错误； 对D，，举例，此时，不满足“，”，D错误. 故选：A . 【变式8-2】（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将先求出集合，将题设问题转化为集合A是集合B的真子集，进而根据包含关系求解即可； （2）将题设问题转化为，先求出时的取值范围，进而得到时的取值范围. 【解答过程】（1）由，. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以，解得， 当时，，符合题意， 故的取值范围是. （2）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，解得或. 所以当时，的取值范围是. 【变式8-3】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，求和； (2)若命题“”是假命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2)． 【解题思路】（1）根据交并集的定义计算； （2）由题意得命题“”是真命题，然后按是否为空集分类讨论可得． 【解答过程】（1），，又， 所以，； （2）若命题“”是假命题，则命题“”是真命题， 又或， 若，即，则，满足题意； 若，则，此时，解得，所以， 综上的取值范围是． 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【解题思路】根据全称量词命题的定义即可知选项B不合题意，再判断出ACD选项中命题的真假即可得出结论. 【解答过程】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 故选：C. 2．（2026高三上·天津和平·专题练习）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据存在量词命题否定的定义，先改变量词，再否定结论. 【解答过程】命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 3．（25-26高一上·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据全称量词命题和存在量词命题的概念进行区分，再判断真假即可求出答案. 【解答过程】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意. 故选：B. 4．（25-26高一上·四川成都·期末）若命题p：，，则（   ） A．p是真命题，且为， B．p是真命题，且为， C．p是假命题，且为， D．p是假命题，且为， 【答案】C 【解题思路】根据存在量词命题的否定为全称量词命题并判断真假即可． 【解答过程】由，可得，所以p是假命题， 且为，． 故选：C． 5．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合充分不必要条件的定义即可求解. 【解答过程】由，可得， 因为⫋， 故使“”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：B. 6．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知命题：，；命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用全称量词命题、存在量词命题的真假判断方法确定命题真假即可. 【解答过程】对于命题，取，，是假命题，是真命题， 对于命题，取，，是真命题，是假命题， 因此选项ACD错误，B正确. 故选：B. 7．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【解答过程】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，转化为，利用二次函数的性质，求得，结合充分不必要条件和选项，即可得到答案. 【解答过程】由存在，使得，即， 当，即时，的最小值为，所以， 所以命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件为：集合的真子集， 结合选项可得，选项C符合题意. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·内蒙古包头·期中）下列是全称量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【解题思路】根据全称量词命题的特征可判断. 【解答过程】对于A，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，A正确； 对于B，含有存在量词，不是全称量词命题，B错误； 对于C，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，C正确； 对于D，含有全称量词，是全称量词命题，但不是真命题，例如当时，，这是假命题，D错误. 故选：AC. 10．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）下列各命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【解题思路】利用特殊值法可判断AC选项；分、两种情况讨论，去绝对值，可判断B选项；解方程，可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，取，则，A中的命题为假命题； 对于B选项，当时，；当时，. 综上所述，，，B中的命题为真命题； 对于C选项，取，则，C中的命题为真命题； 对于D选项，若，则，D中的命题为假命题. 故选：AD. 11．（24-25高一上·安徽·期中）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】对进行讨论，求解为真命题的充要条件是，即可根据充分不必要条件的定义求解. 【解答过程】当时，显然，使得； 当时，，. 综上，命题为真命题的充要条件是， 故选：AD. 三、填空题 12．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）命题“，，”的否定是__________. 【答案】， 【解题思路】根据全称命题的否定形式回答即可. 【解答过程】“，”的否定为“，”. 故答案为：，. 13．（25-26高一上·河南信阳·阶段检测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】将原命题转化为“，”为真命题，求出在上的最小值即得. 【解答过程】“，”为假命题，等价于“，”为真命题， 由可得，故有. 故答案为：. 14．（24-25高一上·山东泰安·期中）命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】根据题意，分别求得命题和为真命题时，实数的取值范围，分类讨论，即可求解. 【解答过程】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高一上·江苏南通·专题练习）判断下列命题的真假，并写出它们的否定. (1)，； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解题思路】根据含有存在量词的命题的定义进行真假判断，然后利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可. 【解答过程】（1）因为，所以该命题为真命题，命题的否定为：，. （2）因为方程无解，所以该命题为真命题，命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解. （3）省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，由绝对值的定义可得，正数的绝对值都等于其本身，所以该命题为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身． 16．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) . 【解题思路】（1）先求，分和两种情况讨论，即可求解； （2）先求命题p为真命题时，的范围，再由q是p的必要不充分条件即可求解. 【解答过程】（1）：，， ∵是真命题，∴当时，显然成立； 当时，，∴. 综上所述，实数的取值范围是； （2）若为真命题，则当时，则，显然不成立； 当时，，解得或. ∴p为真命题时，或. ∵q是p的必要不充分条件，∴，且， ∴且，即， ∴实数的取值范围是. 17．（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分和两种情况进行讨论即可； （2）分真假和假真两种情况进行讨论求解，再取并集即可． 【解答过程】（1）因为为真命题， 所以当时，不等式为，在上恒成立，符合题意； 当时，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）若为真命题，即， 则对于． 由于， 所以，解得， 又因为有且只有一个是真命题， 所以当真假时， 解得； 当假真时， 解得． 所以实数的取值范围为． 18．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，是真命题，则，即可求得实数的取值范围； （3）求出当命题、都是真命题时的取值范围，结合补集思想可求得结果. 【解答过程】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 19．（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据已知条件得是的真子集，列不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，讨论和，列不等式组即可求解； （3）讨论和，列不等式组即可求解. 【解答过程】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集， 当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上实数的取值范围为； （3）若， 当时，，得； 当时，或，解得或无解， 综上， 所以实数的取值范围为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 全称量词与存在量词（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 全称量词与存在量词 我们知道，命题是可以判断真假的陈述句.在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题.但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词.本节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【知识点1 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的真假判断】 1．全称量词命题的真假判断 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. 2．存在量词命题的真假判断 要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【变式1-1】（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【变式1-3】（24-25高一上·安徽亳州·阶段检测）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例2】（25-26高一上·安徽·阶段检测）下列命题中为真命题的是（    ） A．，使得 B．，使得 C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·广西·期中）下列是全称量词命题，且为真命题的是（    ） A． B． C．自然数都大于零 D．分数是有理数 【变式2-2】（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题为真命题的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．， D．， 【变式2-3】（24-25高一上·广东惠州·阶段检测）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【题型3 根据命题的真假求参数】 【例3】（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知集合. (1)若命题是假命题，求的取值范围； (2)若命题是真命题，求的取值范围. 【变式3-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知命题：，，命题：，. (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 模块三 全称量词命题与存在量词命题的否定 【知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【题型4 全称量词命题的否定】 【例4】（24-25高一上·贵州遵义·期末）若命题：，，则p的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（25-26高一上·陕西渭南·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】（25-26高一上·湖南·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·广东广州·期中）已知命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【题型5 存在量词命题的否定】 【例5】（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】（25-26高一上·天津西青·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025高一上·福建厦门·专题练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 模块四 命题的否定与原命题的真假 【知识点4 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 【题型6 命题否定的真假判断】 【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题的否定是真命题的为（    ） A．：每一个合数都是偶数 B．：两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C．：全等三角形的周长相等 D．：所有的无理数都是实数 【变式6-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知命题，命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题的否定为真命题的是（    ） A．，使得方程有整数解 B．， C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．，方程是一元二次方程 【变式6-3】（25-26高一上·河北保定·期中）已知命题：，，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【题型7 根据命题否定的真假求参数】 【例7】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·天津·期中）已知，若的否定为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·安徽淮北·期中）已知命题“，使得”． (1)写出命题p的否定形式； (2)若命题是一个假命题，求实数a的取值范围． 【变式7-3】（24-25高一上·天津东丽·阶段检测）已知命题，，命题，. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【题型8 全称量词、存在量词问题与集合交汇】 【例8】（23-24高一上·陕西西安·阶段检测）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【变式8-3】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，求和； (2)若命题“”是假命题，求实数a的取值范围. 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 2．（2026高三上·天津和平·专题练习）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一上·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川成都·期末）若命题p：，，则（   ） A．p是真命题，且为， B．p是真命题，且为， C．p是假命题，且为， D．p是假命题，且为， 5．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知命题：，；命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 7．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·内蒙古包头·期中）下列是全称量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）下列各命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（24-25高一上·安徽·期中）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）命题“，，”的否定是__________. 13．（25-26高一上·河南信阳·阶段检测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为__________. 14．（24-25高一上·山东泰安·期中）命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为____________. 四、解答题 15．（2025高一上·江苏南通·专题练习）判断下列命题的真假，并写出它们的否定. (1)，； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身. 16．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 17．（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 19．（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $