解析几何专项训练-2026届高三数学临门一脚

**基本信息** 聚焦解析几何高频考点，通过选择与解答题结合，以轨迹方程、位置关系、存在性证明为核心，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆|1单选|轨迹圆与直线位置关系|圆周角定理→轨迹方程→距离公式应用| |三角形与圆|1多选|内心、内切圆及外接圆|内心性质→直线方程→外接圆方程推导| |双曲线轨迹|1多选|参数法求轨迹|坐标代换→双曲线方程→对称性与范围分析| |抛物线综合|1多选|焦点、切线及面积|切线方程→几何性质→面积最值计算| |椭圆综合|2解答|方程求解、证明及存在性|离心率→椭圆方程→四点共圆条件推导|

临门一脚——解析几何 1.(单选)己知点0(0,0)，A(2,0),若直线1：x+√3y-m=0(m>0)上存在点P,使 得∠0PA=灭，则正实数m的取值范围为() 6 A.(0,6 B.(0,8] C.[2,6 D.[2,8 2.(多选)在△ABC中，A(-4,1),B(8,5),△ABC的内心(6,1)，下列说法正确的有() A.△ABC的内切圆的半径为3 B,直线AC方程为x+3y+1=0 C.直线BC方程为3x+y-29=0 D.△ABC外接圆的方程为x2+y2-7x+3y-48=0 3.(多选)在平面直角坐标系中，已知P是双曲线E:x2-y2=1上任意一点，射线OP上的 点Q(xo,y)满足：OPOQ=1,记0的轨迹为M.则下列说法正确的是() A.M关于坐标原点(0,0)成中心对称 B.M上的点到原点的距离最大值为1 C.存在点Q∈M,使得点0到点(-2,0)，（V2,0的距离之差大于2 D.VOeM,都有购≤号 4.(多选)己知抛物线C:x2=2pyp>0)的焦点为F,准线：y=-1,过点F的直线1'与抛 物线C交于M,N两点，过M作抛物线C的切线m,点Q(0,yo),G(xG,-1)在m上，过点M 作MP⊥1，垂足为P,则() A.MG.MP>MF B.若I的斜率为3，则MN=40 C.线段MQ,FP互相垂直平分 D.四边形MFGP的面积的最小值为I6 9 试卷第1页，共3页 5.P为圆C号+P-口>上异于顶点前动点，且C的离心丰为5，R分制为C的 左、右焦点，M为C的左顶点，记∠PFF,=a,∠PFF=B. (1)求C的方程： (2)求证： sina 2cosa-3 sinβ 2cosB-3 (3)设点T(,0)(-2<1<0),过点T作一条不与坐标轴垂直的直线1，交椭圆C于A,B两点， 再过点T作一条垂直于x轴的直线分别交直线MA,MB于点D,E.问是否存在t,使得点 O,D,M,E四点共圆(O为坐标原点)？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由 试卷第1页，共3页 已知椭圆E:二+X冷1a>b>0的离心率为，上、下顶点分别为A，B,左 点分别为C,D,BD=万 (1)求E的方程： (2)点列Anxn,yn),Bn（rn,Sn)在E上，且直线AnBn过E的右焦点F,其中n∈N*,x=0, 儿>0，若u=子证明 (i)OAn1∥CAn; （ixxx4…x1y1=V5. 试卷第1页，共3页 《临门一脚一一解析几何》参考答案 1.B【详解】点0(0,0)，4(2,0)，∠0PA=元， :由圆周角定理可知，点P的轨迹是以OA为弦，所对圆周角为工的两段圆弧，对应弧的圆 6 心角为等 设锁迹圆的半径为，由弦长公式01=2Rs加爱代入01=2，得2=2R×了解得R=2。 两段圆弧的圆心均在OA的垂直平分线x=1上，由勾股定理可得坐标分别为(L,√3)和(L,-√3) ，对应圆的方程为(x-1)2+(y-5)2=4、(x-1)2+(y+V5)2=4. 米x-1+03y-4 0(1W3) O A x x+√/3y-m=0 O1,√3/ -1)2+0+√/3)2=4 直线1：x+√3y-m=0(m>0)上存在点P满足条件，等价于直线I与上述两个轨迹圆中符合 ∠0PA=刀的圆弧有公共点. 6 计算圆心到直线1的距离： 对圆(x-)+0-=4,圆心，)到直线1的距离d=1+5x5-m_4-m侧 V12+(W3)22 令d,≤R=2,得|4-m4,结合m>0解得0<m≤8 对圆(r-少+0+V5=4,圆心0，-5)到直线1的距离d,=1+5×⑤)-m_1m+2 2 2 令d2≤R=2,结合m>0,解得0<m≤2. 综上，当0<m≤8时，直线1上存在满足条件的点P,即正实数m的取值范围为(0,8] 2.BCD【详解】直线AB的方程为y-1=。5-1 (x+4),即x-3y+7=0, 8--4) 6-3x1+1=0, 。4BC内心(6)到直线AB的距离为P+-列 答案第1页，共2页 故△ABC的内切圆的半径为10，故A错误； 当直线AC斜率不存在时，直线AC方程为x=-4, 此时(6,1)到直线AC的距离为10，不符合△ABC的内切圆的半径为√10， 当直线AC斜率存在时，设直线AC方程为y-1=kx+4),即kx-y+4k+1=0, 桃而，解=吉政号 则 1 k2+1 其中名时，表示的是直线B,合去， 所议直线4C方程为y-1上x+4,即x+3y+1=0,故B正确 当直线BC斜率不存在时，直线BC方程为x=8, 此时(6,1)到直线BC的距离为2，不符合△ABC的内切圆的半径为√10， 当直线BC斜率存在时，设直线BC方程为y-5=k,x-8),即k,x-y-8k,+5=0, 则，1k+-而，解得=-3或号 2+1 英中：号时，表示的是直线B,舍去， 所以直线BC方程为y-5=-3x-8),即3x+y-29=0,故C正确： x+3y+1=0 x=11 联立 3x+y-29=0'解得 y=-4'所以C(1,-4), 设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 16+1-4D+E+F=0 D=-7 所以{64+25+8D+5E+F=0,解得{E=3, 121+16+11D-4E+F=0 F=-48 所以△ABC外接圆的方程为x2+y2-7x+3y-48=0,故D正确 3.ABD【详解】设Px,y),Q(o,%),因为0P0=1且OP=Vx2+y2=V2y2+1≥1， 所以0<0Q≤1，又Q在射线OP上，所以存在t>0使得0p=t00, 即x=xo,y=yo,又根据OPOQ=1可得0Q外0Q=1, 答案第1页，共2页 即t 0g后+，代入P点坐标得x=。。 1 1 Λ2 12 再把P点坐标代入双曲线E方程有 x后+ 1 整理得Q的轨迹M的方程为(x后+)=x后-后且0<x后+后≤1， 对于A,把x替换为-x,y替换为-y,M的方程及限制条件都不变， 所以M关于原点(0,0)成中心对称，A正确； 对于B,由前述分析可知OQ≤1，当OP=1即P点坐标为±1,0)时， OQ取得最大值1，B正确： 对于C,若Q到点-√2,0和点2,0的距离之差大于2， 则0也在以点(-V2,0和点（√2,0为焦点且半实轴a>1的双曲线上， 该双曲线上的所有点的横坐标的绝对值大于1，而由0<x。+y≤1可知x≤1， 所以Q到点(-√2,0和点（√2,0的距离之差不可能大于2，C错误； 对于D,设u=x+y,则由M的方程可得2=x-y且0<u≤1， 2，D正确 2 2 28 4.BCD【详解】设MN(,小，则P,-,依题意，号=-，则 p=2,C:x2=4y. 对于A,因为MP⊥1，点G在1上，故PG.MP=0, 所以G-Mn-VMP+PGMp=Mp+PG.Mp=MP=MP-MF, 故A错误； 对于B,若'的斜率为3，又F(0,1,则直线的方程为y=3x+1, =4y，得2-12x-4=0,则x+,=12, y=3x+1 联立〈 答案第1页，共2页 故MN=月+y2+2=3x+3x2+4=40,故B正确： 对于由短可如手引》 因为y=x 故c在M处的可线方程为y-手-小，为@0-写引又F0。 所以QF 得QF=PM,又MF=pM, 所以四边形MFQP为菱形，其对角线互相垂直平分，故C正确； 对于D,不妨设x>0,由C可知，△MFG与MPG全等， 以8m2m-wmor中： 8x ::erw-8r- 8x2 令时=0，得=后在0上单调端减。在（后松 上单调递增， 故当x二有对，有最小值，为63，敌D正确， 9 5.【详解】(1)由椭圆方程可知：b2=1, 因为台层-容9解网。-4 所以椭圆c的标准方程为兰+少=1。 答案第1页，共2页 (2)因为e=c=2c=FE5 a 2a PF+PF 2 珠 由正弦定理可得 FE sin∠FPE sin(+B)sina cosB+cosa sinB |PFl+PF sin∠PFE+sin∠PFF sina+sinB sina+sinβ sina cosB+cosa sin B 整理可得sinc-2cosa-V5 sina sin B 2 sinB2cosβ-√3 (3)假设存在，可设直线：x=my+t,A(x,,),B(x2,y2,且m≠0， +y广=1消去x可得(m+列+2m+-40, x=my+t 联立方程x2 则△=4mt-4(m2+4)(-4)>0,可得2<m2+4, 则片+y2=- 2mt t2-4 m2+4’= m2+4 由题意可知：M(-2,0),则直线AM:y=Y,x+2), x,+2 令x=1,可得y=+2到，即D, ,(t+2) x+2 x+2 同理可得E t+2)y2 t, x2+2 若O,D,M,E四点共圆，则TMOT=DTET, 可得 (t+2)t+2)y2 =t+2, x+2x2+2 答案第1页，共2页 且-2<1<0，则0<t+2<2,可得(t+2)yy2=(x+2)(x2+2, 2-4<0, 且x+2>0,+2>0,=m+4 则(t+2)yy2=(x,+2(x2+2=(my1+t+2)(my2+1+2), 整理可得(m1-1-2)y+m(t+2)(y+y2)+(t+2)2=0, 即m1-1-2-到.2m+2++22=0, m2+4 m2+4 则(m21-t-2(t-2)-2m21+t(t+2)m2+4=0, 整理可得3+8+4=0，解得1=号或1=-2（舍去 所以存在1，使得点Q0以，E四点夫国，比时=号 6【详解】G1)已知横国E:等+若=1a>6>0.离心*e=- a 2 所以a=2,又=6+，所以公- 因为顶点坐标A(0,b),B(0,-b),D(a,0),因为BDl=Va2+b2=V7, 解得a=2,b2=3, 所以椭圆的方程为+上=1 43 (2)(i）椭圆的右焦点F(l,O),设直线AnBn的方程为x=y+1,An(xn,yn),Bn（n,Sn), [x=my+1 联立x2y 4*3 整理得：(3m2+4)y2+6my-9=0, 9 少+网Am 6m _3(n+sn】 2ynSn +2k=u 设4，C(-2.0),k8=) 或 =-1ms,+3-m+3-3+s+3-9%.+3, (m+二）=- Xn+1 4 Sn 4 s 4 2yaSn Sn 答案第1页，共2页 2xm-1 ynSn yn+S= 2my Sn= 2x-1s,化简得=2x,-5 3 9yn+3 3yn f代入u=-9+38=- 2x-5_32-x Xn+l 8y Sn 3yn 8ym2x.-5 4yn 因为4低，)在椭圆兰+号=1上，满足3x+4=12, 43 故4=12-3x=34-)=32-2+x小。3到2+x' 则32-=，-k,故0An∥c4 4yn 2+Xn （i)由《1)知，，即本，因为>0，所以2本 三y-x得到 坐标4化以)在椭圆上，满足3x+4y=12代入y=2中无 3x+4 yn xntl =12, 2+x 化简得： 3+ =12,因为4y=3到2-x川2+x,所以+2 12 =12, (2+x 即x=x,+2,已知=0，y>0,点4(0，)在椭圆上， 求得男=5，所以4=5，即=，与=5，为=5 2 2 2 x4…Xn以n=…2十 yn—x1=x2x3x4无2+x=x2x3x4··xmym， 2+,所以化简结束，Xy=y=V5成立 即y.=yal 答案第1页，共2页