9.2.2 总体百分位数的估计课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦总体百分位数的估计，涵盖定义理解、原始数据计算及频率分布直方图估计方法。通过体育选拔身高门槛、居民用水标准等真实情境导入，类比中位数二分思想自然推广到百分位数多分，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以真实决策情境培养数学眼光，通过“至少p%”定义渗透统计思维严谨性，用线性插值法从直方图估计体现数学语言精确性。采用情境唤经验、概念建构、算法建模的教学方法，结构化小结梳理知识方法思想，助力学生提升数据分析能力，为教师提供可操作的教学案例。

9.2.2 总体百分位数的估计 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 1 学习目标 1.通过类比中位数的定义和意义，能用自己的语言说出百分位数的一般定义，能准确解释“第p百分位数”在具体情境中的实际含义（即至少有p%比例的数据不超过它、至少有（1-p%）比例的数据不低于它）. 2.给定一组原始数据，能独立完成百分位数的计算（排序→计算索引→定位取值）. 3. 给定一幅频率分布直方图，能运用“面积累计法”准确估计指定的百分位数（第25、第50、第75、第80百分位数等），能阐述估计的原理和步骤. 4.通过“制定用水阶梯价格标准”等真实决策情境，理解百分位数作为一种“位置度量”在现实决策中的独特价值. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 2 内容解析 核心问题：如何找到一个“分界值”，使不超过它的数据恰好占整体的一定比例？ 第一层——从“二分”到“多分”：位置度量的推广。 中位数将数据分成前后两半：至少50%的数据不超过它，至少50%的数据不低于它。百分位数是这一思想的自然推广：第p百分位数将数据按比例分割，至少有p%的数据不超过它，至少有(100-p)%的数据不低于它。这一推广体现了数学中“从特殊到一般”的思想方法——将二分法的一般化，获得更精细的位置描述工具。 第二层——百分位数刻画了数据分布的“门槛值”。 如果说频率分布直方图给出了分布的“整体画像”，百分位数则为这幅画像标出了关键“刻度”。第10、第25、第50、第75、第90百分位数分别标记了分布的五个关键门槛——这些门槛在现实世界中对应着“低收入线”“下四分位”“中位”“上四分位”“高收入线”等具有明确政策含义的数值。百分位数的本质是在排序数据中寻找“分割点”，使分布信息由图像转化为可直接用于决策的数值。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 3 内容解析 第三层——“至少p%”的定义蕴含着统计的“保守性”思维。 百分位数的定义中使用的是“至少”而非“恰好”，这一措辞看似技术性细节，实则蕴含深刻的统计思想：当数据量较大或存在重复值时，“恰好p%”往往无法实现，使用“至少”确保了百分位数定义的普适性和唯一性。这种处理方式体现了统计学在面对现实数据时的务实态度——不追求绝对的精确切割，而追求逻辑上站得住脚的界定，这一思维方式对学生而言是全新的，也是本节数学本质的重要一面。 百分位数是位置量数，不受极端值影响，适合描述偏态分布的位置特征，统计中分位数分层、等级划定、阈值设定的通用数学模型。百分位数是可直接用于政策制定、标准划定、等级评价、阈值管控的量化工具，是统计知识从“数据分析”走向“现实决策”的关键桥梁 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 4 问题1：体育老师统计了100名学生身高的频率分布直方图。现在，体育老师想选拔“身高位于前20%”的学生进入篮球队训练。怎么确定这个“门槛”身高？ 追问1：如何理解“身高位于前20%”的学生进入篮球队训练？ 就是要寻找一个数 80% 20% 【环节一】创设情境唤醒经验 问题2：如果该市政府希望使的居民用户生活用水费支出不受影响，根据节中户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？ 追问1：如何理解使的居民用户生活用水支出不受影响？ 就是要寻找一个数，使全市居民用户月均用水量中不超过的占80%， 大于等于的占20%. 80% 20% 下面我们通过样本数据对的值进行估计. 【环节一】创设情境——唤醒经验 即：寻求一个数，使全市居民用户月均用水量中 不超过的占，大于的占. ① 把100个样本数据从小到大排序 第个 1 2 3 4 5 ... 80 81 ... 97 98 99 100 数据 1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 ... 13.6 13.8 ... 24.3 24.5 25.6 28.0 ② 得到第80和第81个数据分别是13.6和13.8 ③ 取这两数的平均数 总体数据的 第百分位数约 【环节二】概念建构——本质深挖——百分位数是什么、怎么算 百分位数的定义： 一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. 注意：直观来说，一组数的第位百分位数指按从小到大顺序排列后，处于位置的数． 【环节二】概念建构——本质深挖——百分位数是什么、怎么算 百分位数不是单一数值计算，是数据有序排序后的比例分层阈值，双向约束保证了数据划分的公平性与严谨性. 问题3：你能概括一下求百分位数的步骤吗？ 第1步：按从小到大排列原始数据． 第2步：计算. 第3步： 若不是整数，而大于i的比邻整数为，则第百分位数为第项数据； 若是整数，则第百分位数是第项与第项数据的平均数． 【环节二】概念建构——本质深挖——百分位数是什么、怎么算 例1 从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下： 7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0. (1)分别求出这组数据的第25，50，95百分位数； 解:(1)将所有数据从小到大排列，得 7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9， 因为共有12个数据， 所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4， 则第25百分位数是 ，第50百分位数是 ， 第95百分位数是第12个数据，为9.9. 【环节三】算法建模——从原始数据计算百分位数 常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数. 这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数. 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等， 第1百分位数、第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用. 25% 第一四分位数 (下四分位数) 50% 75% 中位数 第三四分位数 (上四分位数) 中位数：相当于是第50百分位数. 【环节二】概念建构——本质深挖——百分位数是什么、怎么算 根据9.1.2节问题3中女生的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数. 女生： 例2 【环节三】算法建模——从原始数据计算百分位数 例2 解：把27名女生的样本数据从小到大排序，可得 148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0 可知样本数据的第百分位数为第项数据，分别为. 据此估计树人中学高一年级女生的第百分位数分别约为和. 【环节三】算法建模——从原始数据计算百分位数 估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数. 例3.根据下表或下图,估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数. 分析：统计表或统计图，与原始数据相比，它们损失了一些信息，例如由上表中可以知道在[16.2,19.2)内有5个数据，但不知道这5个数据具体是多少.此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上. 【环节三】算法建模——从频率分布直方图估计百分位数 解：由表可知，月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为 23%+32%+13%+9%=77%. 则 13.2+3× =14.2, （小于80%） （大于80%） 在16.2t以下的居民用户所占的比例为77%+9%=86%. 因此，80%分位数一定位于[13.2,16.2)内 类似地，由22.2+3× =22.95, 可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95. 可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数 约为14.2 【环节三】算法建模——从频率分布直方图估计百分位数 线性插值 由样本数据的频率分布直方图计算第百分位数 第1步：计算各组数据的频率(即计算各小长方形的面积); 第2步：确定第百分位数所在的区间，即且； 第3步：线性插值估计：在该组内，按还需补充的频率占该组频率的比例，确定在该组区间内的对应位置. 利用面积比宽之比，则第百分位数为. 【环节三】算法建模——从频率分布直方图估计百分位数 或应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得 1、某中学举行电脑知识竞赛,用简单随机抽样的方法从中抽取了部分参赛学生的成绩,进行整理后分成五组,绘制成的频率分布直方图如图所示. 估计参赛学生的成绩的分位数. 0.3 0.4 0.15 0.1 0.05 x x-50 解：由图得,从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是. 成绩在分以下的学生所占比例为 所以分位数一定位于内. 设第百分位数为,则有 解得 所以估计参赛学生的成绩的分位数为 【环节三】算法建模——从频率分布直方图估计百分位数 本节课你学习到了什么？ （知识？方法？思想？） 【环节五】课堂小结——回顾提炼，升华认知 18 2.用原始数据求百分位数 3.用频率分布表、频率分布直方图估算百分位数 1.百分位数定义 【环节五】课堂小结——回顾提炼，升华认知 1.教材198-199页——练习2,3(作业本)； 情境引入： 课后作业 2.教材第 189 页习题9.1第6、7、8 题(作业本)； 感谢大家的聆听 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 21 $