专题2.3 绝对值和相反数【导图+知识卡片+知识梳理+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题】-2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦绝对值和相反数核心知识点，系统梳理绝对值的定义（数轴上点到原点的距离）、代数意义（正数、负数、0的绝对值）、几何意义及非负性，相反数的定义（只有符号不同的两个数）、性质（和为0，位置关系），并构建两者与有理数大小比较、多重符号化简的知识脉络，为后续有理数运算提供学习支架。 资料设计亮点突出，知识梳理配思维导图构建体系，9个题型讲练（如绝对值几何意义的数轴点位置关系题、非负性综合题）培养抽象能力与推理意识，中考真题演练与难度分层训练（基础夯实、培优拔高）提升应用意识。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识理解与运用。

null 专题2.3 绝对值和相反数『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【苏科版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 绝对值 2 知识点二 相反数 3 题型讲练 4 题型一 绝对值的几何意义 4 题型二 求一个数的绝对值 7 题型三 绝对值非负性 9 题型四 绝对值的其他应用 11 题型五 有理数大小比较 14 题型六 有理数大小比较的实际应用 16 题型七 相反数的定义 18 题型八 相反数的应用 22 题型九 化简多重符号 24 中考真题演练 26 难度分层训练 28 【基础夯实】 28 【培优拔高】 31 知识点一 绝对值 1.绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即 6.利用绝对值比较两个有理数的大小： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 技巧点拨：一个数的绝对值只有一个结果，而反之根据绝对值写出原来的数一般会有两个结果（0除外）．例如，绝对值为3的数有3和-3两个。 绝对值的几何意义非常重要，解决问题时要灵活应用。 知识点二 相反数 1. 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 2. 相反数的表示方法：的相反数为。 技巧点拨 （1）相反数定义中的“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同，即两个数的绝对值相同，符号不同。 （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，这是一种特殊情况，0没有符号问题； （3）相反数是两个数的一种关系，必须成对出现，单独一个数不能说是相反数； （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 3.相反数的性质： （1）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等. （2）和的关系：互为相反数的两数和为0. 4.多重符号的化简问题： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定： 若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1 . 技巧点拨 （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋2＝2，＋（－2）＝－2. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数。 因此，－（－3）＝3. 题型一 绝对值的几何意义 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】先根据绝对值的性质求出负数a的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a和的位置关系． 【规范解答】解：∵， 又∵，且a是负数， ∴， ∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确． 【变式训练1】（25-26七年级上·河南开封·期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质可得，，则可得，，由此即可得． 【规范解答】解：由数轴可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知线段，P为线段的中点． (1)E为线段上一点，D为线段的中点． ①若，求线段的长． ②若，求线段的长． (2)若C为直线上一点，，Q为线段的三等分点，求的长（直接写出结果）． 【答案】(1)①或；②或 (2)8或10或20或16 【思路引导】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差计算以及分类讨论思想，掌握线段中点的定义，线段的和差计算以及分类讨论思想是解本题的关键，注意考虑点在不同侧的情况． （1）①由P为线段的中点，可得的长，再由在的左侧和右侧分别求出的长，进而即可求出的长；②设线段的长为，则，由可得，分两种情况讨论，即和求出x的值，进而可得线段的长； （2）分两种情况讨论，即在线段上和在线段的延长线上（B点右侧），分别计算出的长即可． 【规范解答】（1）解：，P为线段的中点， ， ，在线段上， 或， 为线段的中点， ，即或， 或， 答：线段的长或； ②解：设线段的长为，则， ，且， ， 分两种情况讨论： 当时，，方程， 解得：， 当时，，方程， 解得：， ， 即：当时，， 当时，， 答：线段的长或． （2）解：为直线上一点，， 分两种情况讨论： 在线段上， ，且， ， 解得，， 为线段的三等分点， 或， 为的中点，，， 点坐标（设A为原点）为18， 当时，点坐标为，， 当时，点坐标为，， 在线段的延长线上（B点右侧）： ，且， ， 解得：，， 为线段的三等分点， 或， 点坐标为， 当时，点坐标为，， 当时，点坐标为，， 答：的长为8或10或20或16． 题型二 求一个数的绝对值 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）把这些数在数轴上表示出来： 0，，，，，，再将这些数用“”连接起来． 【答案】数轴表示见解析， 【思路引导】把各数按照所在位置表示在数轴上，然后根据数轴上从左到右的点表示的数从大到小即可用“<”连接起来． 【规范解答】解：， 各数在数轴上表示为： 这些数用“”连接为： ． 【变式训练1】（25-26七年级上·重庆綦江·期末）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为4．    (1) 　 　， 　 　． (2)写出大于的所有负整数； (3)在数轴上标出表示，，0，，的点，并用“”连接起来． 【答案】(1)2，； (2)，，； (3)见解析， 【思路引导】本题考查有理数的比较大小，相反数，数轴，绝对值等知识点，能熟记有理数的大小法则是解题的关键． （1）根据点M表示的数即可求出a，再求出b即可； （2）根据有理数的大小比较法则即可得出答案； （3）先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可． 【规范解答】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为4， ∴，， 故答案为：2，； （2）解：大于的所有负整数是，，； （3）解：，， 在数轴表示为：      则． 【变式训练2】（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期末）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来： ，，，0，． 【答案】图见解析， 【思路引导】本题考查了利用数轴比较数的大小，先化简各数，再表示在数轴上，再结合数轴上右边的数总是大于左边的数即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：，, 在数轴上表示下列各数如图： ， 由数轴可得：． 题型三 绝对值非负性 【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【答案】B 【思路引导】本题主要考查绝对值的性质、正负数的定义、举反例判断命题的真假等知识点，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性、正负数的定义以及举反例判断命题的真假逐项判断即可． 【规范解答】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误； B．由，则，故一定是正数，B正确； C．由时，或，故不一定相等，C错误； D．例如，，但，故不一定是正数，D错误． 故选B． 【变式训练1】（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，已知线段，，线段在射线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且；已知点是线段延长线上任意一点，当点与点重合时，，那么的值是_____． 【答案】2 【思路引导】此题主要考查了线段的计算．先根据非负数的性质求出，，则，．设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，，则，据此可得出结论． 【规范解答】解：∵，，， ， 解得：， ∴． 设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧， ∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图所示： ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：2． 【变式训练2】（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或； (4)． 【思路引导】本题主要考查绝对值和数轴及两点间的距离公式，根据题意分类讨论思想的运用是解题的关键． （）根据绝对值的定义结合由数轴得出的符号即可得； （）根据数轴上两点间的距离公式即可得； （）设点表示的数为，则，，根据题意得，然后求出的值即可； （）根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，，且由数轴可知，， ∴，； （2）解：， ∴，两点相距个单位长度； （3）解：设点表示的数为， ∴，， ∵点到点的距离是点到点的距离的， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或； （4）解： ， 所以操作次后，点表示的数为． 题型四 绝对值的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 【答案】2 【思路引导】本题考查了绝对值的应用和求最小值问题． 会议地点应设在使所有志愿者爬楼距离之和最小的楼层，通过计算每层作为会议地点时的总距离，比较即可． 【规范解答】解：设会议地点在第层， 则总距离， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可知当时，总距离最短， 故会议地点应设在第2层． 故答案为：2． 【变式训练1】已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 【答案】(1)第4件样品最符合标准 (2)第1件、第2件和第4件属于正品，第3件是次品，第5件是废品 【思路引导】（1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好，因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小．比较各个数据的绝对值即可得解； （2）每件样品所对应的结果的绝对值，即为该零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，即可确定该零件是正品、次品还是废品． 本题考查了有理数的实际应用，以及绝对值的意义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵ ， ∴第4件样品的大小最符合要求； （2）解：∵，， ∴第1，2，4件样品是正品； ∵，， ∴第3件样品为次品； ∵， ∴第5件样品为废品． 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【思路引导】本题考查了绝对值的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法解答即可； （2）根据绝对值的化简方法运算即可； （3）根据绝对值的化简方法运算即可． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：①；②； （2）解：， 故答案为：； （3）解： 原式 ． 题型五 有理数大小比较 【典例精讲】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 【答案】(1)①，；② (2)表示数为8或 【思路引导】本题考查了用数轴表示有理数，用数轴比较有理数的大小等知识点． （1）①根据数轴可得，即可求解； ②将，表示在数轴上，即可利用数轴比较大小； （2）先求出点B表示的数，然后结合求解即可． 【规范解答】（1）解：①根据数轴知：， ∴，， 故答案为：，； ②把，在数轴上表示为： ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴点表示的数为或． 【变式训练1】（25-26七年级上·河南安阳·期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较小的数，例如．按照这个规定，那么方程的解为_____． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查了新定义运算，解一元一次方程，根据规定，表示与中的较小值，需分两种情况讨论：当时，方程化为；当时，方程化为，分别求解并验证条件，得到唯一解． 【规范解答】解：由题意，， 当时，即，有，则方程化为，解得，但 不满足，舍去； 当时，即，有，则方程化为，解得，且 ，满足条件． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）表示不超过x的最大整数，如：，．表示a，b两数中较小的数，例如，．如果整数x满足，则x的值为（    ） A． B． C．12 D．12或 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了解一元一次方程的方法，解题的关键是分两种情况列出方程求解．根据题意，分，，两种情况，再根据表示不超过x的最大整数，建立方程求解即可． 【规范解答】解：根据题意分两种情况： ①当，即时，， ∵是整数， ∴， ∵整数x满足， ∴， 解得且不为整数（舍去，不符合题意）； ②当，即时，， ∵整数x满足， ∴， 解得（符合题意）； 综上，． 故选：C． 题型六 有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·河南安阳·期中）重庆文德中学为适应新的中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌铅球和跳绳，在查阅天猫网店后发现铅球每个定价160元，跳绳每条定价30元．现有、两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．网店：买一个铅球送一条跳绳，网店：铅球和跳绳都按定价的付款，已知要购买跳绳60条，铅球个． (1)若在网店购买，需付款__________元（用含的代数式表示）；若在网店购买需付款__________元（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ 【答案】(1)；． (2)在A网店购买较为合算 【思路引导】本题考查了列代数式及代数式求值，解题的关键是根据优惠方案列出对应的表达式． （1）A网店：买x个铅球,送了条跳绳，付款为元，化简得；B网店：铅球和跳绳都按定价90%付款，付款为元，化简得元． （2）将分别代入A、B网店的表达式，计算后比较大小． 【规范解答】（1）解： A网店：元， B网店： 元， 故答案为：；． （2）解：当时， A网店付款：（元）， B网店付款：（ 元）， 因为， 答：在A网店购买较为合算． 【变式训练1】（25-26七年级上·四川内江·阶段检测）根据条件分别解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若a是最大的负整数，b是最小的正整数，c的相反数是它本身，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了绝对值，有理数的相关概念，代数式求值，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性，列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可； （2）根据题意得到的值，再代入计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵a是最大的负整数，b是最小的正整数，c的相反数是它本身， ∴，，， ∴． 【变式训练2】已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 【答案】(1)编号为4的样品的大小最符合要求 (2)见解析 【思路引导】本题考查正负数的应用、绝对值的应用、有理数的大小比较，理解绝对值的性质是解答的关键． （1）先求得各数据的绝对值，再比较大小，根据绝对值最小的最符合要求即可解答； （2）比较各绝对值与、的大小，根据正品、次品和废品定义可得结论． 【规范解答】（1）解：，，，，， ∵， ∴编号为4的样品的大小最符合要求； （2）解：因为，，， 所以编号为1，2，4的样品是正品； 因为， 所以编号为3的样品是次品； 因为， 所以编号为5的样品是废品． 题型七 相反数的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，，． (1)若点表示的数是，直接写出点，表示的数． (2)若点，所表示的数互为相反数，求出点表示的数． (3)若点与原点之间的距离为，求出点表示的数． 【答案】(1)点，表示的数分别为和 (2)点表示的数为 (3)点表示的数为或 【思路引导】本题考查了相反数的定义、利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离； （1）根据数轴，直接写出点，表示的数． （2）根据点，所表示的数互为相反数得出点表示的数为，结合数轴即可求解． （3）分两种情况，原点在点的左侧或右侧分别讨论，即可求解． 【规范解答】（1）解：点表示的数是， ∴点，表示的数分别为和； （2）解：∵之间的距离为个单位长度，点，所表示的数互为相反数， ∴点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为． （3）解：当原点在点的左侧时，则点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为； 当原点在点的右侧时，则点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为； 综上，点表示的数为或． 【变式训练1】（25-26七年级上·福建福州·期末）是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了数轴，求一个数的绝对值，求一个数的相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 利用绝对值和相反数求出各值，然后在数轴上表示出各点，利用数轴比较大小即可． 【规范解答】解：由数轴可得， 在数轴上表示出如下： ∴， 故选：B． 【变式训练2】（25-26七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是，则点的一次跳跃点表示的数是_______，点关于点的二次跳跃点表示的数是_______，线段的长度为_______． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)不变， 【思路引导】本题主要考查了相反数、有理数、数轴上两点间的距离、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据相反数的定义、数轴上两点间的距离公式即可得答案； （2）①根据跳跃点的定义可知和关于原点对称，所以可得到表示的数，再根据二次跳跃点的定义可得表示的数，进而可求的长度；②由题意可知是和中点，再分类讨论，利用数轴上两点距离公式求解即可； 【规范解答】（1）解：由数轴可知，点，点所表示的数分别为、， ∴点与点之间的距离， ∵点与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数是，点与点的中点表示的数是， 故答案为：，， （2）解：①∵点与点表示的数互为相反数，点表示的数是， ∴表示的数是， ∵点与点位于点的两侧，且，点表示的数是， ∴， ∴表示的数为， ∴线段的长度为， 故答案为：，， ②的值不变，，理由如下： 依题意知点表示的数是， 若，如图所示， ∵点与点位于点的两侧，且， ∴， ∴， ∴点表示的数是， ∴； 若，如图所示： ∵点与点位于点的两侧，且， ∴， ∴， ∴点表示的数是， ∴， 综上所述：． 题型八 相反数的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·期中）若与互为相反数，则的值为______ 【答案】 【思路引导】本题考查相反数的性质，绝对值的非负性，求代数式的值．根据互为相反数的定义，两个数的和为零，结合绝对值的非负性，列出方程求解． 【规范解答】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级下·四川巴中·期中）若式子与的值互为相反数，可列式为_____，则_____． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了相反数的意义，解一元一次方程等知识点，解题的关键是熟练掌握相反数的意义和解一元一次方程的步骤． 根据相反数的意义和解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【规范解答】解：根据相反数的意义可得， ， 故答案为：，． 【变式训练2】（25-26七年级上·四川泸州·阶段检测）在数学中，我们把“不大于x的最大整数”称为下取整函数（Floor Function），记为，也就是说表示取小于或等于x的最大整数．例如：，． (1)填空：______；______；______；______． (2)若x为整数，且，则x所有可能的取值为______． (3)若a，b都是整数，且和互为相反数，求代数式的值． 【答案】(1)10；；0； (2)，0，1，2 (3)2 【思路引导】本题考查新定义的运算，绝对值，相反数，代数式求值，理解“下取整函数”的定义是解题的关键． （1）根据“下取整函数”的定义，直接对给定的数取不大于它的最大整数； （2）根据x为整数可得，，则转化为，根据绝对值的意义求解即可； （3）根据a，b为整数可得，，根据相反数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：；；；． 故答案为：10；；0；． （2）解：∵x为整数， ∴，， ∵， ∴， 当时，， ∴，与矛盾，舍去； 当时，， ∴成立； 当时， ∴，与矛盾，舍去； 综上所述，， ∴x所有可能的取值为，0，1，2． 故答案为：，0，1，2． （3）解：∵a，b为整数， ∴，， ∵和互为相反数， ∴， ∴， ∴ ． 题型九 化简多重符号 【典例精讲】（25-26七年级上·贵州·期末）把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨． (1)有理数集合：{______ …}； (2)非正整数集合：{_______ …}； (3)正分数集合：{_______…}． 【答案】(1)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ (2)⑤⑦ (3)②③⑧ 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，计算绝对值和化简多重符号，熟知有理数的分类方法是解题的关键． （1）先计算绝对值和化简多重符号，再根据有理数的定义可得答案； （2）非正整数是小于或等于0的整数，据此可得答案； （3）根据正分数的定义可得答案． 【规范解答】（1）解：，，，， 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧⑨…}； 故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨； （2）解：非正整数集合：{⑤⑦…}； 故答案为：⑤⑦； （3）解：正分数集合：{②③⑧…}； 故答案为：②③⑧． 【变式训练1】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知下列各数：，0，，． (1)将上面各数填入表示它所在的数集的大括号内： 分数集合：{ …}；非负整数集合：{ …}． (2)将上面各数表示在数轴上，并用“＜”把这些数连接起来． 【答案】(1)，；，0； (2)见解析， 【思路引导】此题考查有理数的分类、有理数的大小比较和数轴，熟知数轴上右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据有理数的分类解答即可； （2）先在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点用“”连接起来即可． 【规范解答】（1）解：由可知： 分数集合： …；非负整数集合： ，0… 故答案为：，；，0； （2）解：如图所示： 用“”把它们连接起来为：． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·期末）如图是一个不完整的数轴，已知下列各数：，，，． (1)请将数轴补充完整，并将各数表示在数轴上； (2)将各数按从小到大的顺序用“”号连接起来． 【答案】(1)见解析 (2)． 【思路引导】本题考查了用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，求一个数的绝对值以及化简多重符号． （1）根据各数及数轴的特点表示各数； （2）根据数轴上左边的数小于右边的数比较大小． 【规范解答】（1）解：，． 将各数表示在数轴上： ； （2）解：由数轴可得，． 【真题演练1】（2024·湖南邵阳·中考真题）的绝对值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据负数的绝对值等于它的相反数，即可求解． 【规范解答】解：． 【真题演练2】（2025·四川·中考真题）下列各数中，最大的是(    ) A． B． C．0 D．1 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小． 先将选项中的数按“负数、0、正数”分类，明确正数大于0、0大于负数的基本关系；再对负数部分比较绝对值大小，最后综合判断所有数的大小顺序，找出最大的数． 【规范解答】解：根据有理数大小比较法则可知，仅有D选项符合题意．   故选：D． 【真题演练3】（2025·湖北武汉·中考真题）在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是_________． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 【答案】液态氧 【思路引导】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，根据有理数比较大小的方法比较出四个物质凝固点的大小即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴凝固点最低的物质是液态氧， 故答案为：液态氧． 【真题演练4】（2024·江苏南京·中考真题）比较大小：____（填“”“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可． 【规范解答】解：∵， ， 又， ∴． 故答案为：． 【真题演练5】（2025·四川甘孜·中考真题）若，则______ 【答案】 【思路引导】本题考查的是绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键； 根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0，即可解答． 【规范解答】解：因为， 所以， 故答案为：． 【基础夯实】 1．（2025·甘肃庆阳·二模）的绝对值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据绝对值的定义计算的绝对值即可得到结果． 【规范解答】解：，即的绝对值是． 2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）2025的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】A 【规范解答】解：的相反数是． 3．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数的大小比较，方法一结合数轴进行求解，方法二结合已知条件用特殊值法即可快速得出结果． 【规范解答】方法一：如图所示， ∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数 ∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，， ∵ ∴ ． 4．（23-24七年级上·广西北海·期末）________． 【答案】16 【规范解答】解：． 5．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）比较大小：（1）______；（2）_____；（3）______0． 【答案】 【思路引导】先对需要化简的数进行化简，再根据有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小，进行比较即可． 【规范解答】解：（1），，且， ； （2），， ； （3）， ． 6．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）比较大小∶用“”，“”或“”填空∶_______． 【答案】 【思路引导】两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【规范解答】解：​​，​ ∵​，即​​​， ∴​． 7．（24-25七年级上·湖南·期中）把下列各数分别填在相应的横线上： 整数： 分数： 负数： 【答案】见解析 【规范解答】解∶，， 整数：，0，，； 分数：，，，，； 负数：，，， 8．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 【答案】，见解析 【规范解答】解：, 如图 ． 9．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 【答案】(1)2， (2)数轴见解析， 【思路引导】（1）根据点在数轴上的位置，确定a的值，根据绝对值的意义，确定b的值； （2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，进行判断即可． 【规范解答】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴，； （2）解：，，， 在数轴上表示各数，如图： 用“”连接各数为：． 10．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ (2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析 【思路引导】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）根据绝对值的定义进行判断即可． 【规范解答】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ （2）解：最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管． 【培优拔高】 1．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查负数的大小比较，核心知识点为：两个负数比较大小，绝对值大的反而小，通过计算各选项中两个数的绝对值，再根据规则判断即可． 【规范解答】解：A.∵，，且， ∴，故选项A正确，不符合题意； B.∵，，， ∴，故选项B正确，不符合题意； C.∵，，，， ∴，故选项C正确，不符合题意； D.∵，，， ∴，与选项中矛盾，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·山东滨州·期末）在实际生产中，乒乓球的质量可能有误差，通常把比标准质量大的克数记为正数，比标准质量小的克数记为负数．为了挑选最接近标准质量的乒乓球用于比赛，小杰同学对6个乒乓球进行编号后，称重记录如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 称重 -0.04 你认为小杰应该选几号乒乓球用于比赛？（    ） A．2号 B．3号 C．5号 D．6号 【答案】D 【思路引导】本题考查了正数与负数、有理数的大小比较、绝对值，先求出绝对值，再找出绝对值最小的乒乓球即可得解． 【规范解答】解：，，，，，， ∵， ∴小杰应该选号乒乓球用于这次比赛， 故选：D． 3．（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和，据此分析其最小值． 【规范解答】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和， ∴当时，的值最小，为到的距离，即； ∴最小值是1； 故选A． 4．我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 【答案】 【思路引导】的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和，可得当x在1和9之间的5时距离的和最小，据此求解即可． 【规范解答】解：的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和， ∴根据绝对值的几何意义可得，当x在1和9之间的5时距离的和最小， 那么当时，， ∴式子的最小值是． 5．（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知有理数，请比较两数的大小：_______． 【答案】 【思路引导】本题考查绝对值的性质和有理数的大小比较，关键是根据绝对值的性质确定、的取值范围．首先利用绝对值的性质，由判断出是非负数，由判断出是非正数，再依据有理数大小比较的规则，即可推出与的大小关系． 【规范解答】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 6．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【思路引导】根据绝对值的几何意义，得到当时，，进而求出符合题意的所有整数，求和即可. 【规范解答】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为， 故. 7．已知，且，你会借助数轴，将a、b、、、0按从小到大的顺序排列吗？ 分析、解题步骤如下： (1)【理解概念】 数轴上表示一个数的点与 的距离叫做这个数的绝对值． (2)【由数到形】 在数轴上先描出表示a、b的点A、B，再描出表示、的点C、D． (3)【由形到数】 借助数轴，可将a、b、、、0按从小到大的顺序排列为 ． 【答案】(1)原点 (2)图见解析 (3) 【思路引导】（1）根据绝对值的定义可以解答本题； （2）根据题意可以画出相应的数轴； （3）根据（2）中的数轴可以解答本题． 【规范解答】（1）解：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值； （2）解：如图，点A、B、C、D即为所求； （3）解：由数轴可得，． 8．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【规范解答】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 9．（25-26七年级上·全国·期中）如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数． 【答案】(1)； (2)5；点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为． 【思路引导】本题考查数轴、相反数、绝对值，解答关键是确定原点的位置． （1）根据互为相反数的两个数到原点的距离相等确定原点位置求解即可； （2）同（1）方法确定原点位置，再根据各点的位置即可求解． 【规范解答】（1）解：∵点A、B表示的数是互为相反数， ∴原点为线段的中点， ∵点C在原点左边一格位置， ∴点C表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点B、E表示的数是互为相反数， ∴原点为线段中点，即为点C， 点D距离点C5个单位， ∴点D表示的数的绝对值为5； 此时点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为． 故答案为：5． 10．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【思路引导】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【规范解答】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 绝对值和相反数『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【苏科版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 绝对值 2 知识点二 相反数 3 题型讲练 4 题型一 绝对值的几何意义 4 题型二 求一个数的绝对值 5 题型三 绝对值非负性 5 题型四 绝对值的其他应用 6 题型五 有理数大小比较 7 题型六 有理数大小比较的实际应用 8 题型七 相反数的定义 9 题型八 相反数的应用 11 题型九 化简多重符号 11 中考真题演练 12 难度分层训练 12 【基础夯实】 12 【培优拔高】 14 知识点一 绝对值 1.绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即 6.利用绝对值比较两个有理数的大小： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 技巧点拨：一个数的绝对值只有一个结果，而反之根据绝对值写出原来的数一般会有两个结果（0除外）．例如，绝对值为3的数有3和-3两个。 绝对值的几何意义非常重要，解决问题时要灵活应用。 知识点二 相反数 1. 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 2. 相反数的表示方法：的相反数为。 技巧点拨 （1）相反数定义中的“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同，即两个数的绝对值相同，符号不同。 （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，这是一种特殊情况，0没有符号问题； （3）相反数是两个数的一种关系，必须成对出现，单独一个数不能说是相反数； （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 3.相反数的性质： （1）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等. （2）和的关系：互为相反数的两数和为0. 4.多重符号的化简问题： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定： 若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1 . 技巧点拨 （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋2＝2，＋（－2）＝－2. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数。 因此，－（－3）＝3. 题型一 绝对值的几何意义 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【变式训练1】（25-26七年级上·河南开封·期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 【变式训练2】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知线段，P为线段的中点． (1)E为线段上一点，D为线段的中点． ①若，求线段的长． ②若，求线段的长． (2)若C为直线上一点，，Q为线段的三等分点，求的长（直接写出结果）． 题型二 求一个数的绝对值 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）把这些数在数轴上表示出来： 0，，，，，，再将这些数用“”连接起来． 【变式训练1】（25-26七年级上·重庆綦江·期末）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为4．    (1) 　 　， 　 　． (2)写出大于的所有负整数； (3)在数轴上标出表示，，0，，的点，并用“”连接起来． 【变式训练2】（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期末）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来： ，，，0，． 题型三 绝对值非负性 【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【变式训练1】（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，已知线段，，线段在射线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且；已知点是线段延长线上任意一点，当点与点重合时，，那么的值是_____． 【变式训练2】（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 题型四 绝对值的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 【变式训练1】已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 题型五 有理数大小比较 【典例精讲】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 【变式训练1】（25-26七年级上·河南安阳·期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较小的数，例如．按照这个规定，那么方程的解为_____． 【变式训练2】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）表示不超过x的最大整数，如：，．表示a，b两数中较小的数，例如，．如果整数x满足，则x的值为（    ） A． B． C．12 D．12或 题型六 有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·河南安阳·期中）重庆文德中学为适应新的中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌铅球和跳绳，在查阅天猫网店后发现铅球每个定价160元，跳绳每条定价30元．现有、两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．网店：买一个铅球送一条跳绳，网店：铅球和跳绳都按定价的付款，已知要购买跳绳60条，铅球个． (1)若在网店购买，需付款__________元（用含的代数式表示）；若在网店购买需付款__________元（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ 【变式训练1】（25-26七年级上·四川内江·阶段检测）根据条件分别解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若a是最大的负整数，b是最小的正整数，c的相反数是它本身，求的值． 【变式训练2】已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 题型七 相反数的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，，． (1)若点表示的数是，直接写出点，表示的数． (2)若点，所表示的数互为相反数，求出点表示的数． (3)若点与原点之间的距离为，求出点表示的数． 【变式训练1】（25-26七年级上·福建福州·期末）是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是，则点的一次跳跃点表示的数是_______，点关于点的二次跳跃点表示的数是_______，线段的长度为_______． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 题型八 相反数的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·期中）若与互为相反数，则的值为______ 【变式训练1】（24-25七年级下·四川巴中·期中）若式子与的值互为相反数，可列式为_____，则_____． 【变式训练2】（25-26七年级上·四川泸州·阶段检测）在数学中，我们把“不大于x的最大整数”称为下取整函数（Floor Function），记为，也就是说表示取小于或等于x的最大整数．例如：，． (1)填空：______；______；______；______． (2)若x为整数，且，则x所有可能的取值为______． (3)若a，b都是整数，且和互为相反数，求代数式的值． 题型九 化简多重符号 【典例精讲】（25-26七年级上·贵州·期末）把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨． (1)有理数集合：{ }； (2)非正整数集合：{ }； (3)正分数集合：{ }； 【变式训练1】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知下列各数：，0，，． (1)将上面各数填入表示它所在的数集的大括号内： 分数集合：{ …}；非负整数集合：{ …}． (2)将上面各数表示在数轴上，并用“＜”把这些数连接起来． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·期末）如图是一个不完整的数轴，已知下列各数：，，，． (1)请将数轴补充完整，并将各数表示在数轴上； (2)将各数按从小到大的顺序用“”号连接起来． 【真题演练1】（2024·湖南邵阳·中考真题）的绝对值等于（    ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·四川·中考真题）下列各数中，最大的是(    ) A． B． C．0 D．1 【真题演练3】（2025·湖北武汉·中考真题）在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是_________． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 【真题演练4】（2024·江苏南京·中考真题）比较大小：____（填“”“”或“”） 【真题演练5】（2025·四川甘孜·中考真题）若，则______ 【基础夯实】 1．（2025·甘肃庆阳·二模）的绝对值是（    ） A．6 B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）2025的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 3．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·广西北海·期末）________． 5．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）比较大小：（1）______；（2）_____；（3）______0． 6．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）比较大小∶用“”，“”或“”填空∶_______． 7．（24-25七年级上·湖南·期中）把下列各数分别填在相应的横线上： 整数：{ }； 分数：{ }； 负数：{ }； 8．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 9．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 10．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【培优拔高】 1．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东滨州·期末）在实际生产中，乒乓球的质量可能有误差，通常把比标准质量大的克数记为正数，比标准质量小的克数记为负数．为了挑选最接近标准质量的乒乓球用于比赛，小杰同学对6个乒乓球进行编号后，称重记录如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 称重 -0.04 你认为小杰应该选几号乒乓球用于比赛？（    ） A．2号 B．3号 C．5号 D．6号 3．（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 5．（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知有理数，请比较两数的大小：_______． 6．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 7．已知，且，你会借助数轴，将a、b、、、0按从小到大的顺序排列吗？ 分析、解题步骤如下： (1)【理解概念】 数轴上表示一个数的点与 的距离叫做这个数的绝对值． (2)【由数到形】 在数轴上先描出表示a、b的点A、B，再描出表示、的点C、D． (3)【由形到数】 借助数轴，可将a、b、、、0按从小到大的顺序排列为 ． 8．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 9．（25-26七年级上·全国·期中）如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数． 10．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null