第8章　概率 培优课　二项分布、超几何分布、正态分布课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦二项分布、超几何分布、正态分布的应用及区别联系，通过疾病检测、社区活动等现实问题导入，从基础概率过渡到三种分布的具体应用，搭建概念理解到实际解题的学习支架。 其亮点是以现实情境为载体，结合例题解析与规律方法总结，培养学生用数学眼光观察、数学思维推理、数学语言表达的核心素养。题型系统且有跟踪训练，助力学生巩固知识，教师可直接用于教学提升效率。

第8章　概率 培优课　二项分布、超几何分布、正态分布 【课标要求】 1.进一步掌握二项分布、超几何分布、正态分布的应用. 2.弄清二项分布、超几何分布、正态分布的区别及其内在联系. 题型分析·能力素养提升 【题型一】二项分布及应用 例 1 一地区某疾病的发病率为0.000 4.现有一种化验方法,对真正患病的人,其化验结果99%呈阳性,对未患病者,化验结果99.9%呈阴性. (1)若在该地区普查,求某人化验结果呈阳性的概率;并求化验结果呈阳性,某人没有患病的概率. (2)根据该疾病的历史资料显示,这种疾病的自然痊愈率为20%.为试验一种新药,在有关部门批准后,某医院把此药给4个病人服用,试验方案为:若这4人中至少有2人痊愈,则认为这种药有效,提高了治愈率;否则认为这种药无效.如果新药有效,把治愈率提高到了80%,求经试验认定该药无效的概率P. 参考数据:3 960÷13 956≈0.284,9 996÷13 956≈0.716. 解 (1)设A=“检查结果呈阳性”,B=“被检查确实患病”,由题意可知,P(B)=0.000 4,P()=0.999 6,P(A|B)=0.99,P(A|)=0.001,所以P(A)=P(B)P(A|B)+P()·P(A|)=0.000 4×0.99+0.999 6×0.001=0.001 395 6. 由条件概率公式,得P(|A)=≈0.716, 所以化验结果呈阳性,某人没有患病的概率约为0.716. (2)设通过试验痊愈的人数为变量X,则X~B(4,0.8), 所以经试验认定该药无效的概率为P=P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=×0.80×(0.2)4+×0.81×(0.2)3 =0.001 6+0.025 6=0.027 2. 规律方法　1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次. 2.当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的试验次数n与成功概率p. 跟踪训练1由于某疾病对抵抗力差的人的感染率相对更高,特别是老年人群体,因此某社区准备给老年人进行一次免费体检,通过体检发现“高血糖、高血脂、高血压”,即“三高”老人较多.为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表,还特地建设了一个老年人活动中心,老年人每天可以到该活动中心去活动,以增强体质.通过统计每周到活动中心去运动的老年人的活动时间,得到了以下频率分布直方图. 从到活动中心参加活动的老人中任意选取5人, (1)若将频率视为概率,求至少有4人每周活动时间在[8,9)(单位:h)的概率;(结果用数值表示) (2)若抽取的5人中每周活动时间在[8,11](单位:h)的人数为2,从5人中选出3人进行健康情况调查,记3人中每周活动时间在[8,11](单位:h)的人数为X,求X的分布列、期望与方差. 解 (1)由直方图可知,事件“从到活动中心参加活动的老人中任意选取1人,每周活动时间在[8,9)内”的概率为P=,记“至少有4人每周活动时间在[8,9)(单位:h)”为事件A,则P(A)=)4×(1-)+. (2)X为活动时间在[8,11]的人数,随机变量X可能的取值为0,1,2,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=, 故X的分布列如下: X 0 1 2 P 故E(X)=0×+1×+2×,D(X)=(0-)2×+(1-)2×+(2-)2×. 【题型二】超几何分布与二项分布的应用 例 2 多所高校掀起了体育运动的热潮.为了深入了解学生在“艺术体操”活动中的参与情况,随机选取了10所高校进行研究,得到数据绘制成如下的折线图: (1)若“艺术体操”参与人数超过35的学校可以作为“基地校”,现在从这10所学校中随机选出3所,记可作为“基地校”的学校个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望; (2)现有一个“艺术体操”集训班,对“支撑、手倒立、手翻”这3个动作技巧进行集训,且在集训中进行了多轮测试.规定:在一轮测试中,这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”,则该轮测试记为“优秀”.在集训测试中,某同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为,每个动作及每轮测试互不影响.如果该同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到8次,那么理论上至少要进行多少轮测试? 解 (1)参加“艺术体操”人数在35以上的学校共5所,ξ的所有可能取值为0,1,2,3, 则P(ξ=0)=,P(ξ=1)=, P(ξ=2)=,P(ξ=3)=, 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×. (2)由已知得该同学在一轮测试中为“优秀”的概率为p=,则该同学在n轮测试中获得“优秀”的次数X服从二项分布,即满足X~B(n,p),p=, 由E(X)=np=n×≥8⇒n≥≈22.7,所以理论上至少要进行23轮测试. 规律方法　1.在n次试验中,某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布. 区别 ①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球),X服从二项分布; ②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球),X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中,如果总体数量N很大,而试验次数n很小,此时超几何分布可近似转化成二项分布 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型. 跟踪训练2某学校参加某项竞赛仅有一个名额,结合平时训练成绩,甲、乙两名学生进入最后选拔,学校为此设计了如下选拔方案:设计6道题进行测试,若这6道题中,甲能正确解答其中的4道,乙能正确解答每个题目的概率均为,假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响,现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答. (1)求甲、乙共答对2道题目的概率; (2)设甲答对题数为随机变量X,求X的分布列、数学期望和方差; (3)从数学期望和方差的角度分析,应选拔哪个学生代表学校参加竞赛? 解 (1)由题意得甲、乙两名学生共答对2道题目的概率 P=. (2)设学生甲答对的题数为X,则X的所有可能取值为1,2,3.P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=.X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)=1×+2×+3×=2,D(X)=×(1-2)2+×(2-2)2+×(3-2)2=. (3)设学生乙答对的题数为Y,则Y的所有可能取值为0,1,2,3,且Y~B(3,). 所以E(Y)=3×=2,D(Y)=3××(1-)=.因为E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),即甲、乙答对的题目数一样,但甲较稳定,所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛. 【题型三】正态分布与二项分布、超几何分布的应用 例 3 九所学校参加联考,参加人数约5 000,考完后经计算得数学平均分为113分.已知本次联考的数学成绩服从正态分布,且标准差为12. (1)计算联考数学成绩不低于137分的人数(结果保留整数); (2)从所有试卷中任意抽取1份,已知数学成绩不超过123分的概率为0.8. ①求数学成绩低于103分的概率; ②从所有试卷中任意抽取5份,由于试卷数量较大,可以把每份试卷被抽到的概率视为相同,X表示抽到数学成绩低于103分的试卷的份数,写出X的概率分布,并求出均值E(X). 参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954, P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997. 解 (1)设本次联考数学成绩为ξ,由题意知ξ~N(μ,σ2),其中σ=12,μ=113.因为137=μ+2σ,所以P(ξ≥μ+2σ)≈×(1-0.954)=0.023, 故所求人数为0.023×5 000≈115. (2)①P(ξ<103)=P(ξ>123)=1-0.8=0.2. ②由题意可知X~B(5,0.2),故P(X=0)=0.85=0.327 68,P(X=1)=×0.2×0.84=0.409 6,P(X=2)=×0.22×0.83=0.204 8,P(X=3)=×0.23×0.82=0.051 2,P(X=4)=×0.24×0.8=0.006 4,P(X=5)=0.25=0.000 32, 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 4 5 P 0.327 68 0.409 6 0.204 8 0.051 2 0.006 4 0.000 32 E(X)=5×0.2=1. 规律方法　1.利用正态分布的概率公式求得满足条件的概率,再乘以总人数,可得结果. 2.利用正态分布的对称性求概率. 跟踪训练3课堂上,老师为了讲解“利用组合数计算古典概型的问题”,准备了x(x≥3,x∈N*)个不同的盒子,上面标有数字1,2,3,…,每个盒子准备装x张形状相同的卡片,其中一部分卡片写有“巨额奖励”的字样,另一部分卡片写有“谢谢惠顾”的字样.第1个盒子放有1张“巨额奖励”,x-1张“谢谢惠顾”,第2个盒子放有2张“巨额奖励”,x-2张“谢谢惠顾”,……,以此类推.游戏时,老师在所有盒子中随机选取1个盒子后,再让一个同学上台每次从中随机抽取1张卡片,抽取的卡片不再放回,连续抽取3次. (1)若老师选择第3个(即标签数字为3)盒子,且x=7,记摸到“谢谢惠顾”卡片的张数为X,求X的分布列以及数学期望E(X); (2)若x=5,求该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率. 解 (1)当x=7时,老师选择第3个(即标签数字为3)盒子,则有3张“巨额奖励”的卡片和4张“谢谢惠顾”的卡片,则X的所有可能取值为0,1,2,3, 则P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×. (2)当x=5时,一共有5个盒子,记从第k个盒子中第3次抽到“谢谢惠顾”为事件Ak(k=1,2,3,4,5). P(A1)=1-,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=,P(A5)=0.故该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率P=P(Ak)=. 跟踪训练4某城市人口数量为950万左右,共900个社区.在实施垃圾分类之前,随机抽取300个社区,并对这300个社区某天产生的垃圾量(单位:吨)进行了调查,每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布N(20,62).将垃圾量超过32吨/天的社区确定为“超标”社区. (1)请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数;(结果取整数部分) (2)现计划在已知的7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查,已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨.设Y为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数,求Y的概率分布与数学期望; (3)用样本的频率代替总体的概率,现从该市所有社区中随机抽取50个社区,记Z为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数,求P(Z=1)的值. (参考数据:P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ<X<μ+3σ) ≈0.997 4; 0.022 75×(1-0.022 75)49≈0.007) 解 (1)因为该市社区这一天的垃圾量X大致服从正态分布N(20,62),所以P(X>32)=P(X>μ+2σ)==0.022 75,因为900×0.022 75≈20,所以这900个社区中“超标”社区的个数为20. (2)由题可知随机变量Y的取值为0,1,2,3,则P(X=0)=, P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=, 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 则E(Y)=0×+1×+2×+3×. (3)由(1)可知随机变量Z~B(50,0.022 75), 所以P(Z=1)=×(0.022 75)1×(1-0.022 75)49≈0.35,所以P(Z=1)的值约为0.35. $