精品解析：甘肃平凉市泾川县高平中学2026年高三考前模拟数学试卷B卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试 考前预测试卷数学 注意事项： 1.答卷时，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上断的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. i 【答案】C 【解析】 【详解】 因， 而的共轭复数为 ，其虚部为. 2. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由子集的定义分类讨论参数的取值，并通过集合的互异性进行验证，最后由补集的运算求解即可. 【详解】由题意得或， 当时，，此时集合不满足互异性，舍去， 当时，，此时，满足题意， 则. 3. 若双曲线虚轴的一端点与两顶点构成直角三角形，则C的渐近线方程为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】双曲线的顶点为，虚轴的一个端点为 由题意，这三点构成直角三角形，且直角顶点只能是. 则，即，整理得，即 双曲线的渐近线方程为，代入，得渐近线方程为. 4. 在2026年春节联欢晚会《武BOT》节目中，机器人的集群表演实现了0.001秒级响应.节目组随机抽取了甲、乙两组各5台机器人，记录其完成“空中转体”动作的响应时间（单位：秒）数据如下： 甲组：0.008，0.009，0.010，0.011，0.012 乙组：0.007，0.009，0.010，0.011，0.013 则下列关于两组数据的统计结论，正确的是（ ） A. 甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数 B. 甲组数据的中位数小于乙组数据的中位数 C. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差 【答案】C 【解析】 【详解】甲组平均数， 乙组平均数， 故，选项A错误， 两组数据均已按从小到大排序，共5个数据，中位数为第3个数据， 甲组中位数为，乙组中位数为，二者相等，选项B错误， 甲组方差， 乙组方差， 得到，选项C正确， 甲组极差为，乙组极差为， 故甲组极差小于乙组极差，选项D错误. 5. 已知命题；命题在区间内恰有一个零点，则p是q的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】令，得，即． 要求在内恰有一个零点，故且，解得． 命题是范围的真子集，故是的充分不必要条件． 6. 已知向量，满足，，若向量在向量方向上的投影向量恰好是，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由投影向量的性质得向量在向量方向上的投影向量是， 设，则，，得到投影向量是， 而向量在向量方向上的投影向量恰好是，可得， 则，由模长公式得， 因为，所以， 解得或，则或， 当时，，由模长公式得， 当时，，由模长公式得， 综上可得，，故A正确. 7. 过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的切线的性质，求得，得到点的轨迹方程为，令，转化为圆上的动点到定点的连线的斜率，结合直线与圆的位置关系，列出不等式，即可求解. 【详解】如图所示，根据圆的切线的性质，可得， 因为为正三角形，可得，所以， 即点的轨迹方程为， 令，其几何意义为圆上的动点和定点的连线的斜率， 由，可得， 则圆心到直线的距离为， 令，即，整理得，即， 解得，即的取值范围为. 8. 若，，，，则a，b的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，设，利用导数得到函数的单调性，进而可得，再判断与零的大小即可． 【详解】，， 则， 设， ， 令，， 在上单调递增，则时，， 即，则， 在上单调递减， ，即， ， ，， 则． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知离散型随机变量的分布列如表所示.其中,且，则下列说法正确的是（ ） 0 1 2 P 0.2 c a A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由分布列期望的计算公式，可得，再结合基本不等式，逐项判断即可. 【详解】由期望的计算公式可得，得. 对于A：因,则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B：由，可得，又由A可知，， 故，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于C：因，则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D：令，则，则， 则又因为，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 10. 已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（ ） A. 点在C上 B. C关于x轴对称 C. 过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点 D. 若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件求出轨迹的方程，验证判断A；利用轴对称的特征判断B；求出点的坐标，进而求出直线的方程判断C；求出点到圆心距离判断D. 【详解】设点，由点P到点F的距离比到直线l的距离大2， 则得，整理得轨迹的方程为， 对于A，当时，，因此点在C上，A正确； 对于B，显然点满足方程，而点与关于轴对称， 因此轨迹C关于x轴对称，B正确； 对于C，设直线方程为，由，得, 则直线的方程为， 由，得或，则得点， 同理可得点， 当直线不垂直于轴时，直线的方程为，整理得， 当直线时，由，解得,则直线，故直线恒过定点，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，设，则， 于是，当且仅当时取等号， 因此的最小值为，D错误. 11. 在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，.点是棱的中点；点在线段上（不包括端点）， .则下列结论正确的是（ ） A. 存在某个点，使得平面 B. 当时，直线与直线所成角的正弦值为 C. 四棱锥的外接球的表面积为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，由线面垂直的性质结合空间向量法得出矛盾判断A；由异面直线所成角空间向量法计算判断B；计算外接球半径可得外接球表面积计算判断C；将侧面展开，由将军饮马模型计算可判断D. 【详解】以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，， 因为，则， 解得，所以， 对于A，，， 若平面成立，而平面， 则，，则， 点在线段上（不包括端点）， 所以不存在某个点，使得平面，故A错误； 对于B，当时，，， 则， 所以， 即直线与直线所成角的正弦值为，故B正确； 对于C，由题意可得四棱锥的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同， 所以四棱锥的外接球的半径为， 所以四棱锥的外接球的表面积为，故C正确； 对于D，将平面与平面展开如下图所示， 则的最小值为，此时为与的交点， ， 设， 由余弦定理可得， ， 则， ， ， 因为， 所以的最小值不是. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义域为R的偶函数，当时，，则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用函数的奇偶性求出时的表达式，结合指数与对数运算法则代入后即可求解. 【详解】设，则，， 因为为偶函数，则， 即， 因为，则. 13. 有，两批数量相同的零件，其中批零件全部合格，批零件有25%不合格.制定如下规则：随机从一批零件中任取1件零件，经检验不合格，则直接判定这两批零件整体不合格；经检验合格，则放回原处，并在该零件所在批次中再取1件零件，若检验合格则判定这两批零件整体合格，若检验不合格则判定这两批零件整体不合格.已知这两批零件整体不合格，则第二次检验后整体不合格的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式计算求解即可. 【详解】记事件：随机选取的是批零件；事件：随机选取的是批零件， 事件：第一次检验不合格；事件：第一次检验合格，第二次检验不合格， 事件：两批零件整体不合格（即，且与互斥）， 由题意可知，， 所以， ，， ， 所以， 所以第二次检验后整体不合格的概率为. 14. 的末两位数为________. 【答案】61 【解析】 【详解】由题意得， 由题意得，从第三项开始，每一项都是100的倍数， 则的末两位数由前两项决定， 而，， 且，则的末两位数为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，. （1）求； （2）求数列的前n项和，并证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，化简得，得到数列是首项为，公比为的等比数列，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）得，利用等比数列的求和公式，求得，根据 ，得到，结合等比数列的求和公式，即可得证. 【小问1详解】 解：由数列满足， 因为， 所以， 设，即， 所以，解得，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知：， 所以 ， 下面证明：， 因为，当为奇数时，； 当为偶数时，，所以， 又因为当时，； 当且时， ，则，所以， 若，可得，此时满足， 若且，可得， 因为，所以， 综上可得：对于任意，都有. 16. 已知锐角的内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，公差，. （1）若，求a； （2）设角B的平分线交AC于点M，若与的面积之比为，求BM的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到，然后根据余弦定理得到，根据等差数列的性质及已知条件求出即可. （2）根据三角形面积公式和等差数列的性质求出，然后根据余弦定理和面积之比求出结果即可. 【小问1详解】 已知，由正弦定理可得，化简得. 因为是三角形内角，，所以. 根据余弦定理，则，即. 因为成等差数列，所以，即. 将代入中可得. 又因为，代入上式得， 即，化简得， 因为，，所以，解得， 当时，，所以. 【小问2详解】 因为角B的平分线交AC于点M，所以，所以， 即，因为a，b，c成等差数列，所以，所以. 则，又因为且，， 所以，即，当时，， 根据余弦定理. 因为，所以. 又因为，所以. 化简得，由于. 所以. 17. 如图，是边长为1的正三角形，在中，，. （1）将沿AC翻折，使二面角为直二面角. （ⅰ）求证：； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值. （2）若将沿着AC折起后，使得，求此时平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）（ⅰ）由二面角为直二面角，得平面平面，由， 得，而平面平面，平面，则平面， 又平面，所以. （ⅱ）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证；（ⅱ）利用等体积法求出点到平面的距离，再利用线面角的定义法求解. （2）取中点，利用空间向量数量积的运算律求解. 【小问1详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由是边长为1的正三角形，得，由， 得，由（ⅰ）知平面，而平面，则，， 等腰的面积，而， 设点到平面的距离为，由，得， 即，解得，令直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 取中点，连接，则，由，得， 由（1）知，则二面角的平面角为，由， 得， 即，解得， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若，求直线l的方程； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率和经过点及求解即可； （2）设直线l的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，得到点坐标，再写出AB的垂直平分线方程，得到点坐标，表示出，列方程求解； （3）又（2）用表示，令，分析函数的取值范围. 【小问1详解】 由题可得，解得， 所以椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）可知，若直线斜率不存在，则的方程为， 此时点为的中点，即重合，线段AB的垂直平分线即为x轴，不符合题意； 所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为，， 联立，化简得：， 所以， 所以，线段AB的垂直平分线为， 令，解得，所以， 所以， 又， 所以，解得， 所以直线l的方程为，即或； 【小问3详解】 由（2）可知， 令，则， 因为，所以，， 所以的取值范围为. 19. 已知函数 （，e为自然对数的底数）. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的极值点的个数； （3）若有两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2）2 （3）因为，是的两个极值点，所以， 即， 所以. 要证， 即证， 即证，即证. 令，则恒成立， 所以在上单调递增， 因为，所以，即， 得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）分三种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，进而得到极值点的个数； （3）由极值点得到，代入要证的不等式，化简，构造，得证. 【小问1详解】 由题可知，， 又，所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，， 令，则， 令，则， 当时，恒成立，(即)在上单调递增， 所以故(即)在上单调递增，即， 所以在上单调递增； 当时，，，又， 所以，所以在上单调递增； 当时，，所以， 所以在上单调递增，又， ， 所以，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又在和处有意义，所以是连续函数，端点不断开， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以有一个极大值点，一个极小值点，共两个极值点. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试 考前预测试卷数学 注意事项： 1.答卷时，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上断的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. i 2. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线虚轴的一端点与两顶点构成直角三角形，则C的渐近线方程为（） A. B. C. D. 4. 在2026年春节联欢晚会《武BOT》节目中，机器人的集群表演实现了0.001秒级响应.节目组随机抽取了甲、乙两组各5台机器人，记录其完成“空中转体”动作的响应时间（单位：秒）数据如下： 甲组：0.008，0.009，0.010，0.011，0.012 乙组：0.007，0.009，0.010，0.011，0.013 则下列关于两组数据的统计结论，正确的是（ ） A. 甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数 B. 甲组数据的中位数小于乙组数据的中位数 C. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差 5. 已知命题；命题在区间内恰有一个零点，则p是q的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知向量，满足，，若向量在向量方向上的投影向量恰好是，则（ ） A. B. 4 C. D. 7. 过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，，，则a，b的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知离散型随机变量的分布列如表所示.其中,且，则下列说法正确的是（ ） 0 1 2 P 0.2 c a A. B. C. D. 10. 已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（ ） A. 点在C上 B. C关于x轴对称 C. 过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点 D. 若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为 11. 在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，.点是棱的中点；点在线段上（不包括端点）， .则下列结论正确的是（ ） A. 存在某个点，使得平面 B. 当时，直线与直线所成角的正弦值为 C. 四棱锥的外接球的表面积为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义域为R的偶函数，当时，，则 ________. 13. 有，两批数量相同的零件，其中批零件全部合格，批零件有25%不合格.制定如下规则：随机从一批零件中任取1件零件，经检验不合格，则直接判定这两批零件整体不合格；经检验合格，则放回原处，并在该零件所在批次中再取1件零件，若检验合格则判定这两批零件整体合格，若检验不合格则判定这两批零件整体不合格.已知这两批零件整体不合格，则第二次检验后整体不合格的概率为________. 14. 的末两位数为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，. （1）求； （2）求数列的前n项和，并证明：. 16. 已知锐角的内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，公差，. （1）若，求a； （2）设角B的平分线交AC于点M，若与的面积之比为，求BM的长. 17. 如图，是边长为1的正三角形，在中，，. （1）将沿AC翻折，使二面角为直二面角. （ⅰ）求证：； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值. （2）若将沿着AC折起后，使得，求此时平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若，求直线l的方程； （3）求的取值范围. 19. 已知函数 （，e为自然对数的底数）. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的极值点的个数； （3）若有两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $