2026年哥伦比亚奥林匹克数学竞赛试题

2026年哥伦比亚数学奥林匹克 第一天 题1.11名学生参加一场锦标赛.锦标赛包含从22个可选项目中选出的11个比赛项目.这11个选定 的项目仅在比赛当天才会公布，且每名学生必须恰好参加其中一个项目. 要赢得比赛，学生们必须赢下全部11个选定的项目.为确保能赢得锦标赛，学生们决定提前准 备.已知每名学生花1小时准备就能精通一个项目，从而保证在该项目中获胜.每名学生各自准 备，但他们会提前商定好每个人练习哪些项目. 求无论比赛当天需要参加哪些项目，都能保证赢得锦标赛所需的最少，总准备时长. 题2.设ABC是锐角三角形，满足AB<AC,M是线段AC的中点.点D在AC上，且满足 DB=DC,E是三角形ABM的外接圆与直线BD的交点（异于B),设P、Q分别是直线BC与 直线EM、AE的交点.证明P是线段BQ的中点， 题3.设a≥2为正整数.对于正整数m,定义c(m)为整除m的最大平方数.称序列ao,a1,.…为哥 伦比亚序列，若它满足a0=a,且对任意n≥0，有 ∫√an 若√an为整数， an+1= lan十c(an)否则. 求所有属于每一个哥伦比亚序列的整数 第二天 题4.设a和是两个正实数，且b≠1.费利佩执行如下操作： 第一步，他在一张纸上写下数字α.之后每一步，他都将上一步写下的数字乘以b,再写在纸上. 当纸上出现大于100的数，或者出现非整数时，费利佩停止书写.求这张纸上最多能写下多少个 数字？ 题5.求所有实数1，x2,·,100,使得 平x1十优2 公 甲第2十花3 =Eg8十Egg 100 =cg9+x100 =100+C1 题6.设n为正整数.初始时，一个n×n棋盘的所有格子均为白色.每一步操作允许将棋盘上的一 个格子涂成黑色，前提是操作完成后，每一个白色格子都至少与另外两个白色格子有公共边.求 最多可以将多少个格子涂成黑色