2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选拔赛考试卷

**基本信息** 2026年新疆数学奥赛选拔赛试卷，8道填空（64分）与3道解答（56分），覆盖集合、复数、向量等高中数学核心知识，通过创新问题设计考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配竞赛选拔需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|8/64|集合元素个数、复数方程、向量最大值等|基础巩固层，如集合题考查抽象能力，复数题结合方程思想| |解答题|3/56|函数零点与等差数列、解析几何轨迹与面积、不等式证明与最值|能力提升与创新应用，如函数题融合奇函数性质与数列推理，不等式题体现逻辑思维，适配竞赛真题趋势|

2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选技赛 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛新赛区选拔赛 试题卷 说明： 1.请考生使用0.5mm的碳素笔或钢笔进行作答，不得使用计算器. 2.评阅试卷时，请根据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准 的评分档次给分，不得增加其他中间档次。 3.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次 评分。 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1.设集合A={1,2,3,…,2026,B={a°+3|a∈A),则AUB的元素个数为 2.设复数满足z=1,使得关于x的方程3x2+3+z=0有实数根，则这样的复数z的和为 3.sin20°+cos250°+2sin20°sin30°sin40°= 4.已知O为坐标原点，曲线C1:x2-y2=2与曲线C:y2=2Px交于点M,N若△OMN的外接圆经过点 P(3,0),则曲线C,的方程为 -1- 试题卷 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选技赛 5.已知m,n为非零向量，且列=m+列=1，则3m+列+同的最大值为 6.已知四面体P-ABC,点A在△PBC内，满足△4，PB,△4，PC,△4BC的面积之比为5：3：2，G在线 段A4上，直线PG交平面ABC于点M,且AC=PC ,则四面体P-ABC与A-ABM的体积之比 GA GM 为 已知正项数列a》满足a=2,C=24+a,41,令b,三，+a,数列b,}的前n项和为S,】 S=—1 8.方程x+x,+x=30的非负整数解(x,x,x)中，满足x≤12，x≤13,3≤14的解的个数为 -2- 试题卷 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选技赛 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 9.(本题满分16分)已知函数f(x)=x2+x+b(a,b∈R)有两个不同的零点. (1)若函数g(=(x-0f)是奇函数，求f0f(③)-f199) 的值 f(2)f(4)…f(200) (2)若方程f(x2+4x+1)=0有四个不同的实数根x<x2<x<x4,且x,x2,x3,x4等差数列，求a-b 的最大值 .3. 试题卷 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选技赛 10.(本题满分20分)已知点O为坐标原点，F(-1,0),FL,0).A为线段耳F上一点，点P满足 PA平分∠FPF,PF=√2AF,设动点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)设直线PA与曲线E另一个交点为Q,求△OPQ面积的最大值 -4- 试题卷 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选技赛 11.(本题满分20分) (1)已知a≥0，i=l2,3求证：4a+aa+a44≤a+g,+a 3 -1 (2)已知n≥2，n∈V,且∑4，=2，a,≥0，i=1,2,,n,求∑(a-1)a+1-1)的最小值和最大值. =1 .5. 试题卷2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选拔赛参考答案 说明： 1.请考生使用0.5mm的碳素笔或钢笔进行作答，不得使用计算器. 2评阅试卷时，请根据本评分标准填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按 照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次。 3如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标 准适当划分档次评分。 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分， 1.设集合A={1,2,3,…,2026,B={a2+3|a∈A},则AUB的元素个数为· 【答案】4046 【详解】当a∈1，+oo)时，a2+3a关于a单调递增， 若X表示有限集X的元素个数，则B引=|A=2026, 又12+31=4<2026，，62+36=765<2026,72+37=2236>2026故A∩B=6, 所以AUB|=|A+IB1-1AnB|=2026+2026-6=4046. 故答案为：4046 2.设复数满足|z=1,使得关于x的方程3x2+3zx+z=0有实数根，则这样的复数z的和为 【答案】- 【详解】设=a+bi(a,b∈R,a2+b2=1). 将原方程改为3x2+3(a-bix+a+bi=0,分离实部与虚部后等价于 3x2+3ax+a=0 ① -3bx+b=0 ② 若b=0,则a2=1,但当a=1时，①无实数解，从而a=一1，此时存在实数满足①、②，故z=-1满足条 件. 若b0,则由②知x 代入①解得a=一名进b=土医，相应有z=出国 6 综上，满足条件的所有复数2之和为-1+-1+35+1-3=-4 6 6 3 3.sin220°+cos250°+2sin20°sin30°sin40°= 【答案】 sin220°+cos250°+2sin20°sin30°sin40°=sin220°+cos250°+sin20°c0s50° 【详解】=1-cos40°+1+cos10°+sm70°-sin30°-1-2sin70°sin30°+sim70°-sin30 2 2 2 13 =1- 44 4.已知0为坐标原点，曲线C1:x2-y2=2与曲线C2:y2=2px交于点M、N.若△0MN的外接圆经过点 P(3,0),则曲线C2的方程为 【答案】y2=x 【详解】如图，设点M(xo,yo),N(xo,-yo),T为MN与x轴的交点.则T(xo,0) 因为O、M、P、N四点共圆，所以，由相交弦定理得OT·TP=MT·TN →xo(3-x0)=y=2px0(x0>0)· 解得x0=3-2p, y6=2px0=6p-4p2 代人曲线C1的方程得(3-2p)2-(6p-4p2)=2 →8p2-18p+7=0. 解得p=(舍去)或p=: 故曲线C2的方程为y2=x. 5.已知m,n为非零向量，且mm+n=1,则3m+n+n的最大值为 【答案】3 【详解】设元=(1,0)，元=(cos0-1,sin0),则 13m+l+|=√(cos0+2)2+sin26+√(cos日-1)2+sin2日 =5+4cos6+2小sin引 令a=g,原式=√5+41-2stn2a网+2 Isin=V9-8sin2a+2 Isinal 法一：令u=Isina∈[0,1]，则f(u)=V9-8u2+2,求导得： -8u f'(u）= ±2+2N9-8w0得u=0舍例 V9-8u2 V9-8u2 易知f四在[0，上单调递增，在，1]上单调递减， 所以当u=时，f(四)最大值为36. 法二：原式5 9-4sin'a+1.2sinals 2+1 19 4sin2a+4sin2a 36 2 当且仅当nd-6时，最大值为 2 6.已知四面体P-ABC,点A在△PBC内，满足△ABP,△ACP,△ABC的面积之比为5：3：2，G在线段AA 线PG交平面ABC于点M,且气，则四面体P-ABC与A,-ABM的体积之比为 【答案】10 【分析】设P4=PD,由题意结合向量共线定理可解得入=手进而可得觉=手于是SABD=SAARD= 言号SAAMG=SABC,进而可求四面体PABC与AMB的体积之比. 【详解】如图，设PA=2PD, D BD SAABD 由已知CD=SAACD SAB2一3 5 TS△ACP 所以BD=BC→PD-P丽+P元→PA=卧P丽+P元=P丽+p吓， 因为84，F三点共线，则路+合=1，解得入= 由GAGM可得4M1P1,则0= AG_PG AD-51 于是SAD=SaAD=号aA8c=3SaA8c, 所吃=断路=2×5=10 故答案为：10. 7已知正项数列{a,}满足4=2a2=2a,2+a,4,令6，=n+2,数列仂，}的前n项和为S, n(n+1)a 则Sn=一 解析：由a2=2a,2+a,01可得(8，>-2型-2=0，解得81-2或2=-1（舍）， anan an "an 则an=2”. b,n+2 1 1 nn+1)2n2-0n+102’ .Sn=1- 、1 (n+1)2” 8.方程x+x2+x3=30的非负整数解(x,x2,x3)中，满足x≤12，x2≤13，x3≤14的解的个数为 解析： 方法一： 无约束的解个数为：C=496。 利用容斥原理先找到不满足约束的解的个数为：C,+C+C2,-C-C-C3+0=441. 可得满足x≤12，x2≤13，x≤14的解的个数为：496-441=55. 方法二： 令y1=12-x1,y2=13-x2,y3=14-x3, 等价于求解y+y2+y=9的非负整数解个数，其个数为C=55 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 9.(本题满分16分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)有两个不同的零点. ()若函数g()=(x-)f)是奇函数，求实数f四f3):f099 的值 f(2)f(4)…f(200) (2)若方程f(x2+4x+1)=0有四个不同的实数根x<x2<x3<x4,且x,x2,x3,x4等差数列，求a-b的 最大值 解：解析：(1)g(x)=(x-1)(x2+ax+b)=x3+(a-1)x2+(b-a)x-b. 由g(-x)=-g(x)可得a=1,b=0. .f(x)=x2+x=x(x+1). .f1)f(3)…f(199)_1·2·3.4…199.200_1 f(2)f(4)…f(200)2.3.4.5…200.201201 (2)设函数数f(x)的两个不同的零点为m,n(m<n),则x2+4x+1=m或x2+4x+1=n .x,x4是方程x2+4x+1-n=0的两根，x2,x3是方程x2+4x+1-m=0的两根. .x1+x4=x2+x3=-4,xx4=1-n,x2X3=1-m. 设x=-2-3d,x2=-2-d,x3=-2+d,x=-2+3d(d>0). ∴.m=d2-3,n=9d2-3. '.'m+n=-a,mn=b. a-b=-m-n-mn=-9d4-30d2+9=-9d2-19+723 当d0时，a-创-召 :.a-b的最大值为 3 10.(本题满分20分)己知点O为坐标原点，F(-1,0),F(1,0).A为线段FF2上一点，点P满足PA平分 ∠EPF,|PF=V2AF引，设动点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程： (2)设直线PA与曲线E另一个交点为Q,求△OPQ面积的最大值. 解：①)PA平分∠乐P所，则P-M,则PE+P=2,Pg+P5=2W5,则曲线E的方程 PF4F4F+4F 为号+r2=1,y≠0 2 (2)设P心w),由对称性不妨设点P在第一象限，则PSV2-5, 26, ·22. -0-》则：兮，设PA方程-) 1 即y-%代入号1，得2+2x-2=0, 整理得(+8)x2-8xx+2x-2x=0,设0(，) 则x+0= 8xoyo ，.X1= x后+8哈 喝明为- x后+8 1 .SaoPQ= _-3x66-8i+-1-20-8o_%+4,6 x行+8 场+8喝2x后+8喝 x+8哈 20+40) 2(x0%+4o8)2(0x0+4xy8) yo xo =(6+86X6+2)分+1066+16%号+10+166 令1=0+40≥2西.4h=4 Yo xo yo xo 2-2 则SA0P02+2t+ aa为通酸2子229 4+ t 4 当且仅当 一3时，AOP0面积的最大值为 1 9 11.(本题满分20分) (1)已知a≥0i=l23,求证：aa+a,4+4≤a+ag+a 3 (2)已知m≥2，neN,且∑4=2n4≥0i=2,a,求公a-a1-)的最小值和最大值 （）i证明：a+a4+4a+4+aP-G+时+asu+a+ay-@+a+a] 3 即aa+a,a+as4≤4+a+a 3 2)解：令s-足4-wa4-, 当n=2时，4+42=4，S=(a-10a2-)=aa2-(a+a2)+1=aa2-32-3，当a=0,42=4,Smin=-3 s=a-1Wa,-D≤4-14a-}=1,当a==2,Sx=1 2 当m≥3时，S=分a,-a1-》=a+a4+…+a,-4,-2a+2++a,)+m-1+4+a. =a1a2+a2a3+…+am-14m-4n+n-1+a1+an≥-3n-1 当4=a3=a4=a5=…=an=0,a2=2n时，Smin=-3n-1 anl=1,S=aaz+azas+..+an-an+anan+i+an+ia -3n-1 当n为奇数时， 4+4+45++a@+04+…+0)-3n-1≤4十03+0，++0。+ay-3n-1=m22 2 。1 1 当a=n+20,=n- 4=4=…=4,=0,5x=2-2n- 当n为偶数时，a+a2+…+an=2n,至少存在一个数大于等于2， 不妨设a122,则anan+1≤a14 S≤a+g+a5++an-Xa,+4++a,+a,1）-3n-1s(4+a+a++a+ay-3n-1=m2-2m-3 2 4 1 当41=n 1 3 +2%,=n-2a=04==4m=0,Snax=12-2n- 4 综上所述，当n=2时，Smin=-3，Smax=1; 当n≥3时，Sn=-3n-1,Snx=n2-2n-3 4 62026年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选拔赛 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选拔赛 试题卷 说明： 1.请考生使用0.5mm的碳素笔或钢笔进行作答，不得使用计算器 2.评阅试卷时，请根据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准 的评分档次给分，不得增加其他中间档次。 3.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次 评分。 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1.设集合A={1,2,3,…,2026},B={a2+3|a∈A,则AUB的元素个数为 2.设复数满足z=1,使得关于x的方程3x2+3+z=0有实数根，则这样的复数z的和为 3.sin220°+cos250°+2sin20°sin30°sin40°= 4.已知O为坐标原点，曲线C:x2-y2=2与曲线C2:y2=2x交于点M,N若△0MN的外接圆经过点 P(3,0),则曲线C,的方程为 -1- 试题卷 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选拔赛 5.已知m,万为非零向量，且m=m+=1,则3m++的最大值为 6.已知四面体P-ABC,点A在△PBC内，满足△APB,△APC,△ABC的面积之比为5：3：2，G在线 段A4上，直线PG交平面ABC于点M,且4C=P GA GM ,则四面体P-ABC与A-ABM的体积之比 为 7.已知正项数列a,}满足a=2,a=2a+aa,,令h,=n+2,数列6，}的前n项和为S,则 n(n+1)a S=_ 8.方程x,+x2+x3=30的非负整数解(x1,x2,x3)中，满足x≤12，x2≤13，x3≤14的解的个数为 -2- 试题卷 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选拔赛 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.(本题满分16分)己知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)有两个不同的零点. )若函数g()=(x-f)是奇函数，求f0/3f199 的值 f(2)f(4)…f(200） (2)若方程f(x2+4x+1)=0有四个不同的实数根x,<x2<x;<x4,且x,x2,x,x,等差数列，求a-b 的最大值 -3- 试题卷 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选拔赛 10.（本题满分20分)己知点O为坐标原点，F(-1,0),F,(1,0).A为线段F,F,上一点，点P满足 PA平分∠F,PF,|PF=√2AF引，设动点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)设直线PA与曲线E另一个交点为Q,求△OPQ面积的最大值. -4 试题卷 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选拔赛 11.（本题满分20分) （1)已知a≥0，i=l,23,求i证：a4,+a,4+a,4≤a+a,+a, 3 n-1 (2)已知n≥2，n∈N,且∑a,=2m,4,≥0，i=1,2,,n,求∑(a,-1(a1-)的最小值和最大值. -5- 试题卷