期末复习：竖直平面内的圆周运动3种高频模型 专项训练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

**基本信息** 聚焦竖直面圆周运动3种模型，通过分模块方法提炼与递进式典例设计，系统构建从临界条件分析到机械能守恒应用的解题体系，培养模型建构与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |绳/单层轨道模型|例3+变式3|最高点速度临界判断、机械能守恒关联速度、受力分析与脱离临界|从弹力约束特性出发，推导完整圆周运动条件，建立高低点速度与受力关系| |杆/管道模型|例3+变式3|速度可为0、弹力方向分段讨论、管道内外壁弹力差异|基于杆/管道双向约束特点，对比绳模型临界条件，深化向心力来源分析| |拱桥和凹桥模型|例3+变式3|圆心位置确定、凸桥速度上限、牛顿定律求压力|结合生活场景，通过向心力指向区分凸凹桥受力差异，强化实际问题转化能力|

期末复习：竖直平面内的圆周运动3种高频模型专项训练 期末复习：竖直平面内的圆周运动3种高频模型专项训练 考点目录 绳/单层轨道模型 杆/管道模型 拱桥和凹桥模型 考点一 绳/单层轨道模型 解题思路点拨 1. 先看最高点速度，和比较，判断能否完整圆周； 1. 常用机械能守恒：最高点↔最低点列方程，关联两点速度； 1. 受力分析：最高点合力向下指向圆心，最低点合力向上； 1. 脱离临界：轨道弹力，只有重力分力提供向心力。 例1．（25-26高一下·江苏苏州·期中）如图所示，在水平地面上竖直放置一质量为的轨道，外形为正方形，内里是一半径为、内壁光滑的圆形轨道，轨道圆心为，、是轨道上与圆心等高的两点。一质量为的小球沿内里轨道做圆周运动且刚好能通过轨道最高点，运动过程中轨道始终在地面并保持静止状态。已知重力加速度为，求： (1)小球经过轨道最低点时的速度大小； (2)小球经过点时，地面对轨道的作用力大小； (3)运动过程中轨道始终在地面并保持静止状态，试写出与之间的关系式； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，小球恰好通过轨道最高点时，小球的重力恰好提供向心力，则 解得 小球从最高点运动到最低点，设小球在最低点的速度为，由动能定理可得 解得 （2）小球经过点时，轨道的支持力提供向心力，设速度为，小球由最高点运动到点过程中，由动能定理得 解得 小球经过点时，轨道对小球的支持力水平向右，大小为 由牛顿第三定律得，小球对轨道压力方向水平向左，大小 因轨道静止，可知竖直方向地面对轨道支持力 水平方向地面对轨道摩擦力 故地面对轨道的作用力大小 （3）小球在圆形轨道上半部分运动时，对轨道的弹力会产生竖直向上的分力，设该分力存在最大值的位置为点，此时小球的速度大小为，连线与竖直方向夹角为，如图所示 由动能定理有 在点，沿半径方向的合力提供向心力，有 联立解得小球对轨道的弹力 弹力的竖直向上分量 根据牛顿第三定律，轨道对地面压力等于地面对轨道的支持力，结合轨道受力平衡可知轨道对地的压力 由数学知识得，当时，取最小值 要满足轨道保持静止不离开地面，则 解得 例2．（25-26高一下·山东济南·期中）某科技小组参加了过山车游戏项目研究，如图甲所示，为了研究其中的物理规律，科技组成员设计出如图乙所示的装置。为弹性发射装置，为倾角的倾斜轨道，为水平轨道，为竖直圆轨道，为足够长的倾斜轨道，各段轨道均平滑连接。以点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系。已知滑块质量为，圆轨道半径，长为，、段动摩擦因数均为，其余各段轨道均光滑。现滑块从弹射装置弹出的速度为，且恰好从点沿方向进入轨道，滑块可视为质点。重力加速度，，。求： (1)求滑块从弹射装置弹出时的坐标值； (2)若滑块恰好能通过点，求轨道的长度； (3)若滑块能进入圆轨道且不脱轨，求轨道的长度。 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）对滑块由到的运动，根据平抛规律有 在平抛运动的竖直方向有 解得 运动时间 则 即弹出时位置的坐标值为。 （2）滑块恰好能通过点，在最高点有 从到圆轨道最高点，由动能定理得 联立解得 （3）滑块刚好不脱离轨道，有两种临界情况，一是刚好在圆轨道最高点压力为零时，二是刚好到达与圆轨道圆心等高的地方。 由上问知，滑块刚好能够到达圆轨道最高点时 滑块刚好到达与圆轨道圆心等高的地方时，从到与圆心等高的位置，由动能定理得 解得 滑块从点进入后不脱离轨道时的长度应满足或。 例3．（25-26高一下·内蒙古包头·阶段检测）某同学设计了一个如图所示的游戏装置，水平轨道右侧有一固定的弹射装置，左侧与固定在竖直平面内圆心角为的圆弧轨道BD平滑连接，之后再与圆心角为的竖直圆弧管道DE平滑连接。圆弧半径均为R，管道DE内径远小于R，点为轨道最高点，其中水平轨道上有一段长为4R、表面粗糙的AB段。将质量为m的滑块（视为质点）挤压弹簧后由静止释放，滑块将沿轨道运动，滑块与AB段间的动摩擦因数，其余轨道均光滑，重力加速度为g。 (1)若弹簧弹性势能，求滑块第一次运动到圆轨道最低点B的速度； (2)若滑块飞出E点后恰好落到A点，求弹簧弹性势能多大； (3)若滑块滑入圆轨道后仍能沿原路返回至水平轨道，求弹簧弹性势能应该满足的条件。 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）滑块从释放到第一次运动到B点的过程中，弹簧弹性势能转化为滑块的动能，同时AB段摩擦力做负功。 由动能定理有： 代入、，得： 解得滑块第一次到B点的速度 （2）滑块从E点飞出后做平抛运动，E点距离水平轨道的高度为，竖直方向做自由落体运动： 解得平抛运动时间 水平方向位移为AB段长度，因此E点的水平速度满足： 代入解得 从滑块释放到运动至E点的过程，由动能定理： 代入、，得： 解得弹簧弹性势能 （3）滑块滑入圆轨道后能沿原路返回，需满足两种情况： 情况1：滑块在BD轨道O点下方区域返回 BD轨道为单轨道，仅能提供指向圆心的支持力。当滑块上升的最大高度不超过O点高度（，O点距离水平轨道高度为）时，运动过程中轨道支持力始终非负，不会脱离轨道，速度减为0后可原路返回 由动能定理： 代入解得。 情况2：滑块进入DE管道后返回 若滑块上升高度超过O点高度，需到达D点且不脱离BD轨道，同时不能从E点飞出 D点距离水平轨道高度，在D点刚好不脱离BD轨道的临界条件为轨道支持力 向心力仅由重力沿半径方向的分力提供： 解得D点最小速度。 从释放到D点的过程，由动能定理： 代入数据解得 滑块不能从E点飞出，即到达E点时速度小于等于0，由动能定理： 代入数据解得 综上，弹簧弹性势能满足的条件为： 或 变式1．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）如图所示，AB为竖直光滑圆弧轨道的直径，其半径R=0.4 m，A端切线水平，水平轨道BC与半径r=0.25 m的光滑圆弧轨道CD相接于C点，D为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道CD对应的圆心角θ。一质量为M=1 kg的小球（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆弧轨道AB，并从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道CD，小球在A点对圆弧轨道的压力大小为12.5 N，取，求： (1)小球从A点飞出的速度大小v0； (2)圆弧轨道CD对应的圆心角θ值； (3)小球在C点受到的支持力的大小FC。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据牛顿第三定律知 在A处，小球 得 （2）竖直方向上有 由 得 （3）在C处有 得 得 变式2．（25-26高一下·广东佛山·阶段检测）如图甲所示，探测器在月球表面着陆前反推发动机向下喷气以获得向上的反作用力，探测器减速阶段可看作竖直方向的匀变速直线运动。若探测器获得的反作用力大小为，经历时间，速度由减速到0，月球半径为，引力常量为，探测器质量为。 (1)求月球表面的重力加速度大小； (2)求月球的质量和平均密度； (3)若将来的某天，中国航天员在月球表面做如图乙所示的实验，将一根长为的细线的一端固定在点，另一端固定一小球（可视为质点），使小球在竖直面内恰好做完整的圆周运动，求小球在最高点的速度大小。 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）探测器做减速运动的加速度大小为 由牛顿第二定律得 解得 （2）在月球表面，由万有引力等于重力得 解得月球的质量 月球的平均密度 （3）由题意，根据牛顿第二定律得 解得 变式3．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）如图所示，从点以的水平速度抛出一质量的小物块（可视为质点），当物块运动至点时，恰好无碰撞的进入半径，圆心角为的粗糙圆弧轨道，与圆心在同一竖直线上，与的高度差。小物块从点进入半径为的光滑小圆周轨道。重力加速度取，求： (1)小物块到达点的速度大小； (2)若小物块恰好通过小圆周的最高点，求通过小圆周轨道最高点时的速度大小； (3)若小物块运动过程中能够到达点且未脱离小圆周轨道，求在粗糙圆弧轨道上运动时，小物块克服阻力所做的功满足的条件。 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）小物块到达点的过程 ，在竖直方向 解得 小物块到达点时，速度满足 （2）若小物块恰好通过小圆周的最高点，根据牛顿第二定律可得 解得 （3）小物块不脱离小圆周轨道有两种情况：①能通过最高点，则小物块在小圆周轨道最高点的速度，则小物块从B点到小圆周轨道最高点的过程，根据动能定理 解得 ②小物块不超过小圆周轨道与圆心等高处，则根据动能定理可得 解得 同时，物块必须能到达C点，则根据动能定理可得 解得 综上所述，小物块克服阻力所做的功满足的条件或。 考点二 杆/管道模型 解题思路点拨 1. 最高点不用卡死，速度可为0，不会脱轨； 1. 机械能守恒联系高低两点速度； 1. 已知速度分三段讨论杆是拉力还是支持力； 1. 管道内外壁：靠内壁=向内弹力，靠外壁=向外弹力。 例1．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg。求A、B两球落地点间的水平距离是多少？ 【答案】 【详解】球A在最高点C由牛顿第二定律有 球B在最高点C由牛顿第二定律有 解得， 小球离开最高点后做平抛运动，由平抛运动知识有，， 联立解得球A、B落地点间的水平距离为 例2．（25-26高一下·河南周口·阶段检测）手机振动马达在高速转动时会产生偏心振动，其原理如图所示。长的轻杆两端分别固定着可视为质点的小球A、B，其质量分别为、，将杆中心O固定在一个水平光滑的转动轴上，使小球A、B可以在竖直面内自由转动，不计一切阻力。已知A球运动到最高点时，轻杆对A球的弹力恰好为0，重力加速度g取，求此时： (1)转动的角速度的大小； (2)杆对B球拉力方向和大小。 【答案】(1) (2)方向竖直向上， 【详解】（1）A在最高点时，对A由牛顿第二定律可知 解得 （2）B在最低点，由牛顿第二定律 解得 方向竖直向上。 例3．（25-26高一下·山东日照·期中）如图所示，光滑圆形管道固定在竖直平面内，质量的小球在管道内做半径的圆周运动。小球可视为质点，g取，不计空气阻力影响。 (1)若小球运动到最高点时仅受重力，求小球通过最高点的速度大小； (2)若小球运动到最高点时速度大小，求小球在最高点和最低点时受到的弹力大小、。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）小球在最高点仅受重力，重力完全提供向心力，由牛顿第二定律得 代入数据解得 （2）因为，则小球受到向上的支持力，由牛顿第二定律得 解得 设最低点速度为，由机械能守恒 最低点处弹力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得 联立解得 变式1．（25-26高一下·江苏南京·期中）质量分别为和的两个小球和，中间用轻质杆固定连接，杆长为，在离球处有一个光滑固定轴，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球摆动到最低点位置时，求： (1)小球Q的速度大小为多少； (2)在此过程中杆对小球Q所做的功； (3)杆对小球P的作用力大小和方向。 【答案】(1)4m/s (2)－8J (3)，方向向上 【详解】（1）在Q球顺时针摆动到最低点位置时，设小球P的速度大小为，则Q的速度为，有 由于两球是做同轴转动，所以两球的角速度大小相等，由于，所以 解得 （2）该过程小球Q的机械能的变化量为 由功能关系，小球Q机械能的变化量等于杆对小球Q所做的功，即其做功为－8J。 （3）对小球P分析可知 解得 即杆对球P的作用力向上，大小为。 变式2．（24-25高一下·福建福州·期末）如图所示，竖直平面内的圆弧形粗糙管道半径，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点为管道的最高点且在O的正上方。一个质量的小球，从A点正上方高处的P点由静止释放，自由下落至A点进入管道并通过B点，过B点时小球的速度为4m/s，小球最后落到AD面上的C点处。不计空气阻力，取。求： (1)小球过A点时的速度的大小； (2)小球过B点时受到管壁的压力大小； (3)C点到A点的距离。 【答案】(1) (2)5N (3)0.8m 【详解】（1）根据 解得 （2）小球在B点有 解得小球过B点时受到管壁的压力大小 （3）根据平抛运动规律有 联立解得 因此 变式3．（25-26高一下·河南许昌·期中）如图所示，一质量为的小球固定在轻直杆的一端并绕点在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度为（未知）。已知重力加速度为，杆长为，小球可视为质点。 (1)若小球在最高点时对杆的弹力大小为零，求的大小； (2)若小球在最高点时对杆的弹力大小为，求的大小。 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）小球在最高点对杆的弹力为零，受力分析可知，小球重力提供向心力有 解得 （2）小球在最高点对杆的弹力大小为时，方向可能向上，也可能向下。当小球在最高点对杆的弹力方向向下时，有 解得 当小球在最高点对杆的弹力方向向上时，有 解得 考点三 拱桥和凹桥模型 解题思路点拨 1. 找准圆心位置，确定向心力指向； 1. 凸桥：速度上限，超了脱离；凹桥无脱离临界； 1. 牛顿第二定律列式，求支持力，车对桥面压力与支持力等大反向。 例1．（25-26高一下·江苏苏州·期中）如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角，D与圆心O等高，圆弧轨道半径，现有一个质量为g可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，物体恰好到达斜面顶端A处。已知DE距离，物体与斜面AB之间的动摩擦因数。不计空气阻力。取，，。求： (1)物体第一次到达C点时的速度大小和受到的支持力大小； (2)斜面AB的长度L； (3)物块在斜面上滑行的总路程s。 【答案】(1)6m/s，11N (2)1.64m (3)4.1m 【详解】（1）物体从E到C由动能定理，得 代入数据得vC=6m/s 在C点，有 代入数据得FN=11N （2）从C到A，由动能定理得 代入数据得L=1.64m （3）物块最终到达B点时的速度为零，则由能量关系可知 解得s=4.1m 例2．（25-26高一下·海南海口·期中）如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道的下端与光滑的圆弧轨道相切于点，点是最低点，圆心角，与圆心等高，圆弧轨道半径，现有一个质量为且可视为质点的小物体，从点的正上方点处自由下落，物体恰好到达斜面顶端处。已知距离，物体与斜面之间的动摩擦因数，已知，，重力加速度，忽略空气阻力，求： (1)物体第一次到达点时的速度大小和第一次到达C点时对轨道的压力； (2)斜面的长度； (3)物块在斜面上滑行的路程。 【答案】(1)，方向竖直向下 (2)4.8m (3)12m 【详解】（1）物体从到由动能定理，得 代入数据解得 在点，由牛顿第二定律得 解得轨道对物体竖直向上的支持力，由牛顿第三定律知物体对轨道的压力 ，方向竖直向下 （2）从到，由动能定理得 代入数据解得 （3）设摩擦因数为时物块刚好能静止在斜面上，则有解得。 由于，物块在斜面上多次往返，最后在点速度为零。 根据动能定理，全程有 解得 例3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图所示，从A点以v0=4 m/s的水平速度抛出一质量m=2 kg的小物块（可视为质点），当小物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定的光滑圆弧轨道BC，圆弧轨道BC的圆心角α=37°，C点在圆心O的正下方，圆弧轨道C端切线水平与水平面平滑连接。C点右侧水平面粗糙，在水平面上固定一个弹簧，弹簧的左端D距C点的水平距离为L＝0.4 m，小物块离开C点后继续在水平面上向弹簧滑去，将弹簧压缩了x=0.1 m后停止滑行。小物块和水平面间的动摩擦因数μ=0.2，圆弧半径R=0.75 m，cos37°=0.8，sin37°=0.6，g=10 m/s2。求： (1)物块经过B点的速度vB的大小； (2)物块滑动至C点时，圆弧轨道对小滑块的作用力的大小； (3)物块停止滑行时弹簧具有的弹性势能大小。 【答案】(1)5m/s (2) (3) 【详解】（1）物经过B点的速度 （2）设小物块到达C点时速度为v2，从B至C点由动能定理得 解得 设C点受到的支持力为FN，则有 解得 （3）当弹簧压缩到最短时，由能量关系有 解得EP=26J 变式1．（25-26高一下·广西河池·期中）如图所示，可视为质点的物块从A点水平抛出，恰好在B点沿切线方向进入半径的固定圆弧轨道BC，经圆弧轨道后滑上水平地面，圆弧轨道C端的切线水平。已知物块质量，AB竖直高度，圆弧轨道对应圆心角，重力加速度g取，，。 (1)求物块抛出时的速度大小； (2)求物块在B点时的速度大小； (3)若物块到达C点时的速度大小，求物块在C点处与轨道间压力的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块从A点到B点，在竖直方向 解得 物块恰好在B点沿切线方向进入固定圆弧轨道BC，所以 解得 （2）物块在B点时的速度大小为 （3）物块在C点处向心力 物块与轨道间的压力大小 变式2．（25-26高一下·广西河池·期中）如图所示，一辆质量为500kg的汽车静止在一座半径为40m圆弧形拱桥顶部，（g取10m/s2）问： (1)此时汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？ (2)如果汽车以10m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？ (3)汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）汽车静止在圆弧形拱桥顶部，对汽车进行受力分析，根据平衡条件 有 根据牛顿第三定律 有 得 （2）汽车以的速度经过拱桥的顶部，根据牛顿第二定律 有，其中 根据牛顿第三定律 有 得 （3）若汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零，有 得 变式3．（25-26高一下·内蒙古兴安·期中）如图所示，质量m=2.0×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60m，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N，则： (1)汽车行驶到凸形桥面最高点时超重还是失重？说明理由。 (2)汽车允许的最大速率是多少？ (3)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？ 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【详解】（1）汽车在凸形桥面最高点做圆周运动，圆心在最高点的正下方，因此汽车的向心加速度方向竖直向下；物体加速度方向向下时处于失重状态，因此汽车处于失重状态。 （2）由题意知桥面承受的压力不得超过 汽车在最低点受到的支持力最大，受力分析根据牛顿第二定律得 解得最大速率 汽车驶过凸形桥面最高点时刚好无压力，恰能安全通过，对最高点的汽车受力分析，根据牛顿第二定律得 解得安全通过最高点的最大速率 综上所述 故安全起见允许最大速率 （3）汽车驶过凸形桥面最高点时，对桥面的压力最小，汽车在最高点有 解得 根据牛顿第三定律，汽车对桥面的最小压力为 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：竖直平面内的圆周运动3种高频模型专项训练 期末复习：竖直平面内的圆周运动3种高频模型专项训练 考点目录 绳/单层轨道模型 杆/管道模型 拱桥和凹桥模型 考点一 绳/单层轨道模型 解题思路点拨 1. 先看最高点速度，和比较，判断能否完整圆周； 1. 常用机械能守恒：最高点↔最低点列方程，关联两点速度； 1. 受力分析：最高点合力向下指向圆心，最低点合力向上； 1. 脱离临界：轨道弹力，只有重力分力提供向心力。 例1．（25-26高一下·江苏苏州·期中）如图所示，在水平地面上竖直放置一质量为的轨道，外形为正方形，内里是一半径为、内壁光滑的圆形轨道，轨道圆心为，、是轨道上与圆心等高的两点。一质量为的小球沿内里轨道做圆周运动且刚好能通过轨道最高点，运动过程中轨道始终在地面并保持静止状态。已知重力加速度为，求： (1)小球经过轨道最低点时的速度大小； (2)小球经过点时，地面对轨道的作用力大小； (3)运动过程中轨道始终在地面并保持静止状态，试写出与之间的关系式； 例2．（25-26高一下·山东济南·期中）某科技小组参加了过山车游戏项目研究，如图甲所示，为了研究其中的物理规律，科技组成员设计出如图乙所示的装置。为弹性发射装置，为倾角的倾斜轨道，为水平轨道，为竖直圆轨道，为足够长的倾斜轨道，各段轨道均平滑连接。以点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系。已知滑块质量为，圆轨道半径，长为，、段动摩擦因数均为，其余各段轨道均光滑。现滑块从弹射装置弹出的速度为，且恰好从点沿方向进入轨道，滑块可视为质点。重力加速度，，。求： (1)求滑块从弹射装置弹出时的坐标值； (2)若滑块恰好能通过点，求轨道的长度； (3)若滑块能进入圆轨道且不脱轨，求轨道的长度。 例3．（25-26高一下·内蒙古包头·阶段检测）某同学设计了一个如图所示的游戏装置，水平轨道右侧有一固定的弹射装置，左侧与固定在竖直平面内圆心角为的圆弧轨道BD平滑连接，之后再与圆心角为的竖直圆弧管道DE平滑连接。圆弧半径均为R，管道DE内径远小于R，点为轨道最高点，其中水平轨道上有一段长为4R、表面粗糙的AB段。将质量为m的滑块（视为质点）挤压弹簧后由静止释放，滑块将沿轨道运动，滑块与AB段间的动摩擦因数，其余轨道均光滑，重力加速度为g。 (1)若弹簧弹性势能，求滑块第一次运动到圆轨道最低点B的速度； (2)若滑块飞出E点后恰好落到A点，求弹簧弹性势能多大； (3)若滑块滑入圆轨道后仍能沿原路返回至水平轨道，求弹簧弹性势能应该满足的条件。 变式1．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）如图所示，AB为竖直光滑圆弧轨道的直径，其半径R=0.4 m，A端切线水平，水平轨道BC与半径r=0.25 m的光滑圆弧轨道CD相接于C点，D为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道CD对应的圆心角θ。一质量为M=1 kg的小球（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆弧轨道AB，并从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道CD，小球在A点对圆弧轨道的压力大小为12.5 N，取，求： (1)小球从A点飞出的速度大小v0； (2)圆弧轨道CD对应的圆心角θ值； (3)小球在C点受到的支持力的大小FC。 变式2．（25-26高一下·广东佛山·阶段检测）如图甲所示，探测器在月球表面着陆前反推发动机向下喷气以获得向上的反作用力，探测器减速阶段可看作竖直方向的匀变速直线运动。若探测器获得的反作用力大小为，经历时间，速度由减速到0，月球半径为，引力常量为，探测器质量为。 (1)求月球表面的重力加速度大小； (2)求月球的质量和平均密度； (3)若将来的某天，中国航天员在月球表面做如图乙所示的实验，将一根长为的细线的一端固定在点，另一端固定一小球（可视为质点），使小球在竖直面内恰好做完整的圆周运动，求小球在最高点的速度大小。 变式3．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）如图所示，从点以的水平速度抛出一质量的小物块（可视为质点），当物块运动至点时，恰好无碰撞的进入半径，圆心角为的粗糙圆弧轨道，与圆心在同一竖直线上，与的高度差。小物块从点进入半径为的光滑小圆周轨道。重力加速度取，求： (1)小物块到达点的速度大小； (2)若小物块恰好通过小圆周的最高点，求通过小圆周轨道最高点时的速度大小； (3)若小物块运动过程中能够到达点且未脱离小圆周轨道，求在粗糙圆弧轨道上运动时，小物块克服阻力所做的功满足的条件。 考点二 杆/管道模型 解题思路点拨 1. 最高点不用卡死，速度可为0，不会脱轨； 1. 机械能守恒联系高低两点速度； 1. 已知速度分三段讨论杆是拉力还是支持力； 1. 管道内外壁：靠内壁=向内弹力，靠外壁=向外弹力。 例1．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg。求A、B两球落地点间的水平距离是多少？ 例2．（25-26高一下·河南周口·阶段检测）手机振动马达在高速转动时会产生偏心振动，其原理如图所示。长的轻杆两端分别固定着可视为质点的小球A、B，其质量分别为、，将杆中心O固定在一个水平光滑的转动轴上，使小球A、B可以在竖直面内自由转动，不计一切阻力。已知A球运动到最高点时，轻杆对A球的弹力恰好为0，重力加速度g取，求此时： (1)转动的角速度的大小； (2)杆对B球拉力方向和大小。 例3．（25-26高一下·山东日照·期中）如图所示，光滑圆形管道固定在竖直平面内，质量的小球在管道内做半径的圆周运动。小球可视为质点，g取，不计空气阻力影响。 (1)若小球运动到最高点时仅受重力，求小球通过最高点的速度大小； (2)若小球运动到最高点时速度大小，求小球在最高点和最低点时受到的弹力大小、。 变式1．（25-26高一下·江苏南京·期中）质量分别为和的两个小球和，中间用轻质杆固定连接，杆长为，在离球处有一个光滑固定轴，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球摆动到最低点位置时，求： (1)小球Q的速度大小为多少； (2)在此过程中杆对小球Q所做的功； (3)杆对小球P的作用力大小和方向。 变式2．（24-25高一下·福建福州·期末）如图所示，竖直平面内的圆弧形粗糙管道半径，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点为管道的最高点且在O的正上方。一个质量的小球，从A点正上方高处的P点由静止释放，自由下落至A点进入管道并通过B点，过B点时小球的速度为4m/s，小球最后落到AD面上的C点处。不计空气阻力，取。求： (1)小球过A点时的速度的大小； (2)小球过B点时受到管壁的压力大小； (3)C点到A点的距离。 变式3．（25-26高一下·河南许昌·期中）如图所示，一质量为的小球固定在轻直杆的一端并绕点在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度为（未知）。已知重力加速度为，杆长为，小球可视为质点。 (1)若小球在最高点时对杆的弹力大小为零，求的大小； (2)若小球在最高点时对杆的弹力大小为，求的大小。 考点三 拱桥和凹桥模型 解题思路点拨 1. 找准圆心位置，确定向心力指向； 1. 凸桥：速度上限，超了脱离；凹桥无脱离临界； 1. 牛顿第二定律列式，求支持力，车对桥面压力与支持力等大反向。 例1．（25-26高一下·江苏苏州·期中）如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角，D与圆心O等高，圆弧轨道半径，现有一个质量为g可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，物体恰好到达斜面顶端A处。已知DE距离，物体与斜面AB之间的动摩擦因数。不计空气阻力。取，，。求： (1)物体第一次到达C点时的速度大小和受到的支持力大小； (2)斜面AB的长度L； (3)物块在斜面上滑行的总路程s。 例2．（25-26高一下·海南海口·期中）如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道的下端与光滑的圆弧轨道相切于点，点是最低点，圆心角，与圆心等高，圆弧轨道半径，现有一个质量为且可视为质点的小物体，从点的正上方点处自由下落，物体恰好到达斜面顶端处。已知距离，物体与斜面之间的动摩擦因数，已知，，重力加速度，忽略空气阻力，求： (1)物体第一次到达点时的速度大小和第一次到达C点时对轨道的压力； (2)斜面的长度； (3)物块在斜面上滑行的路程。 例3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图所示，从A点以v0=4 m/s的水平速度抛出一质量m=2 kg的小物块（可视为质点），当小物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定的光滑圆弧轨道BC，圆弧轨道BC的圆心角α=37°，C点在圆心O的正下方，圆弧轨道C端切线水平与水平面平滑连接。C点右侧水平面粗糙，在水平面上固定一个弹簧，弹簧的左端D距C点的水平距离为L＝0.4 m，小物块离开C点后继续在水平面上向弹簧滑去，将弹簧压缩了x=0.1 m后停止滑行。小物块和水平面间的动摩擦因数μ=0.2，圆弧半径R=0.75 m，cos37°=0.8，sin37°=0.6，g=10 m/s2。求： (1)物块经过B点的速度vB的大小； (2)物块滑动至C点时，圆弧轨道对小滑块的作用力的大小； (3)物块停止滑行时弹簧具有的弹性势能大小。 变式1．（25-26高一下·广西河池·期中）如图所示，可视为质点的物块从A点水平抛出，恰好在B点沿切线方向进入半径的固定圆弧轨道BC，经圆弧轨道后滑上水平地面，圆弧轨道C端的切线水平。已知物块质量，AB竖直高度，圆弧轨道对应圆心角，重力加速度g取，，。 (1)求物块抛出时的速度大小； (2)求物块在B点时的速度大小； (3)若物块到达C点时的速度大小，求物块在C点处与轨道间压力的大小。 变式2．（25-26高一下·广西河池·期中）如图所示，一辆质量为500kg的汽车静止在一座半径为40m圆弧形拱桥顶部，（g取10m/s2）问： (1)此时汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？ (2)如果汽车以10m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？ (3)汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零？ 变式3．（25-26高一下·内蒙古兴安·期中）如图所示，质量m=2.0×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60m，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N，则： (1)汽车行驶到凸形桥面最高点时超重还是失重？说明理由。 (2)汽车允许的最大速率是多少？ (3)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $